Newton Raphson
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Método de Newton-Raphson
Alejandra Sahabi Angón LezamaLuis Yair Mendez Perez
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0.Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
𝑥𝑖+1=𝑥 𝑖
𝑓 (𝑥¿¿ 𝑖)𝑓 ′ (𝑥¿¿ 𝑖)¿
¿
Newton-Raphson
Representación gráfica
Criterio de terminación y estimación de errores
Tiene una velocidad de convergencia expresada por:
𝐸 𝐼+1=0(𝐸𝐼 ¿¿2)¿
Podemos observar que si utilizamos todos los términos de la serie de Taylor se obtendrá un resultado exacto.
Para esta situación
Ejemplo 6.4
Como se dedujo, el método de Newton-Raphson es convergente en forma cuadrática , el error es proporcional al cuadrado del error anterior.
Se evalúan en Xr = 0.56714329
En el ejemplo 6.3, el error inicial fue , el cual se sustituye en la ecuación de error que predice:
Es cercano al error verdadero de 0.06714329.
En la siguiente iteración
Para la tercera iteración:
i xi Xi+1 et0 0 0.5 1001 0.5 0.566311003 11.709290982 0.566311003 0.567143165 0.1467287083 0.567143165 0.56714329 2.21064E-054 0.56714329 0.56714329 5.08968E-13
Finalmente:
Ilustra que el error en el método de Newton-Raphson para este caso, proporcional por un factor de 0.18095, al cuadrado del error de la iteración anterior.
Error 6.3 Error 6.4
0.06714329 0.0582
0.0008323 0.0008158
1.25 x 10¯⁷ 1.25 x 10¯⁷