7/25/2019 Multiplic Lagrange

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PROBLEMA DE APLICACIN

1. En relacin a un sistema de coordenadas cartesianas, una personaest en el origen, en el interior de una plaza, cuyo contorno tiene por

ecuacin . La persona quiere salir de la plaza y

caminar lo menos posible. A cul punto se debe dirigir?

2 23 4 6 140+ + =y xy x

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2. Encuentre los alores ptimos de la !uncin

su"eto a la restriccin . #igura $1%

2 2( , ) 12 2f x y x x y y= + +

2 24 25x y+ =

&.Encuentre los alores ptimos de la !uncin

su"etos a la restriccin

. #igura $2%

2 2( , ) 2f x y x y= +

2 2 1x y+ =

Figura 1 Figura 2

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'u( condiciones se deben cumplir para la

e)istencia de los e)tremos, ba"ocondiciones dadas?

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LOGRO DE LA SESIN

* Al t(rmino de la sesin, el estudiante resuele problemas

relacionados con la optimizacin de !unciones de arias

ariables con restricciones, utilizando como +erramientasbsicas la !ormulacin de la nuea !uncin que incluye la

!uncin a optimizar y las restricciones llamada !uncin

Lagrangeana, as como la condicin necesaria sobre los

e)tremos de una !uncin de arias ariables, argumentando

e interpretando los resultados obtenidos con precisin.

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MTODO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE:

* -ara encontrar los alores m)imos y mnimos de una !uncin su"eto a la

restriccin $asumiendo que estos alores e)isten%

$a% Encuentre todos los alores de y tal que

$b% Eal/e en todos los puntos que se obtienen del paso $a%. El alor ms grande de

estas ealuaciones es el alor m)imo de 0 mientras que el ms pequeo es el mnimo alor

de .

( , )z f x y= ( , )g x y k=

,x y

( , ) ( , ) , ( , )f x y g x y g x y k = =

f ( , )x yf

f

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* i escribimos la ecuacin ectorial en t(rminos de sus componentes,

entonces la ecuacin en el paso $a% se describe como sigue

Este es un sistema de & ecuaciones en con tres ariables y , donde no es

necesario encontrar en !orma e)plicita los alores para .

* Nota.-ara el caso de una !uncin de tres ariables el m(todo de Lagrange es similar aldescrito para dos ariables. -ara encontrar los alores e)tremos de la !uncin

, su"etos a la restriccin , buscamos alores para y tal

que se cumple

( , ) ( , )f x y g x y =

, , ( , )x x y y

f g f g g x y k = = =

,x y

( , , )w f x y z =( , , )g x y z k= , ,x y z

, , , ( , , )x x y y z z

f g f g f g g x y z k = = = =

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BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA

1. Larson-Hostetler Clculo 515.15 LARS

2. Stewart !a"es. Clculo "ult#$ar#a%le& 515 S'()*+2,,2