7/25/2019 Multiplic Lagrange
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PROBLEMA DE APLICACIN
1. En relacin a un sistema de coordenadas cartesianas, una personaest en el origen, en el interior de una plaza, cuyo contorno tiene por
ecuacin . La persona quiere salir de la plaza y
caminar lo menos posible. A cul punto se debe dirigir?
2 23 4 6 140+ + =y xy x
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2. Encuentre los alores ptimos de la !uncin
su"eto a la restriccin . #igura $1%
2 2( , ) 12 2f x y x x y y= + +
2 24 25x y+ =
&.Encuentre los alores ptimos de la !uncin
su"etos a la restriccin
. #igura $2%
2 2( , ) 2f x y x y= +
2 2 1x y+ =
Figura 1 Figura 2
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'u( condiciones se deben cumplir para la
e)istencia de los e)tremos, ba"ocondiciones dadas?
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LOGRO DE LA SESIN
* Al t(rmino de la sesin, el estudiante resuele problemas
relacionados con la optimizacin de !unciones de arias
ariables con restricciones, utilizando como +erramientasbsicas la !ormulacin de la nuea !uncin que incluye la
!uncin a optimizar y las restricciones llamada !uncin
Lagrangeana, as como la condicin necesaria sobre los
e)tremos de una !uncin de arias ariables, argumentando
e interpretando los resultados obtenidos con precisin.
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MTODO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE:
* -ara encontrar los alores m)imos y mnimos de una !uncin su"eto a la
restriccin $asumiendo que estos alores e)isten%
$a% Encuentre todos los alores de y tal que
$b% Eal/e en todos los puntos que se obtienen del paso $a%. El alor ms grande de
estas ealuaciones es el alor m)imo de 0 mientras que el ms pequeo es el mnimo alor
de .
( , )z f x y= ( , )g x y k=
,x y
( , ) ( , ) , ( , )f x y g x y g x y k = =
f ( , )x yf
f
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* i escribimos la ecuacin ectorial en t(rminos de sus componentes,
entonces la ecuacin en el paso $a% se describe como sigue
Este es un sistema de & ecuaciones en con tres ariables y , donde no es
necesario encontrar en !orma e)plicita los alores para .
* Nota.-ara el caso de una !uncin de tres ariables el m(todo de Lagrange es similar aldescrito para dos ariables. -ara encontrar los alores e)tremos de la !uncin
, su"etos a la restriccin , buscamos alores para y tal
que se cumple
( , ) ( , )f x y g x y =
, , ( , )x x y y
f g f g g x y k = = =
,x y
( , , )w f x y z =( , , )g x y z k= , ,x y z
, , , ( , , )x x y y z z
f g f g f g g x y z k = = = =
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BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA
1. Larson-Hostetler Clculo 515.15 LARS
2. Stewart !a"es. Clculo "ult#$ar#a%le& 515 S'()*+2,,2
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