Optimizacion Usando Multiplicaciones de Lagrange
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MULTIPLICACION DE LAGRANGE
AUTOR: MARTINEZ VARGAS MARGARITO
OPTIMIZACION
EJEMPLO:
VAMOS A TRABAJAR EN UN EJERCISIO DE OPTIMAZACION DE UN PRODUCTO PARA EL AHORRO DE MATERIAL.
1.- UNA CAJA DE CARTON SIN TAPA DEBE TENER 32 000 CM CUBICOS. CALCULA LAS DIMENSIONES QUE MINIMISEN LA CANTIDAD DEL USO DE CARTON.
2.- HALLAR UN PARALELEPIPEDO DE AREA TOTAL DADA (S) QUE TENGA EL VOLUMEN MAXIMO.
3.- DETERMINE LAS DIMENSIONES DE UNA CAJA RECTANGULAR DE VOLUMEN MAXIMO TAL QUE LA SUMA DEL LARGO DE LAS 12 ARISTAS ES UNA CONSTANTE C.
RESOLVIENDO EL PUNTO (1):
Y+ 2z= λ*yz
x+ 2z= λ*xz
2y + 2x=λ*xy
X*y*z= 32 000 = 0 LA CUARTA ECUACION QUE REALIZAREMOS ES LA QUE TIENE LA RESTRICCION
λ* = λ*= λ*V(x, y, z)=0
PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS
Los multiplicadores de LaGrange
Sacando las derivadas parciales correspondientes
ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2
Y+ 2z= λ*yz
x+ 2z= λ*xz
Y+ 2z= y
x+ 2z= x
Haciendo la multiplicación cruzada:
xy+2xz=xy+2yz
2xz=2yz x=y
ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)
Y+ 2z= λ*yz
2y +2x =λ*xy
Y+ 2z= z
2y +2x =x
Xy + 2xz= 2yz + 2xz
Haciendo la multiplicación cruzada
Xy = 2yz x= 2z z= x/2
x=y ; z= x/2
X*y*z= 32 000 = 0
X*x*x/2-32 000=0
X^3/2 = 32 000
X^3= 64 000
X=
X= 40
Entonces nos quedan los valores
X=40
Y=40
Z=20
Por lo tanto estos valores son los que minimizan el uso del cartón
AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)
Remplazamos los valores adquiridos en la ecuacion del área
A(x,y,z)= xy + 2yz + 2xz
A(40,40,20)= (40)(40) + 2(40)(20) + 2(40)(20)
A= 1600 + 1600 + 1600
A= 4800
Y aquí obtuvimos el mínimo
Cambiando los valores:
X=20 ;Y=40 ;Z=40
A= (20)(40) + 2(40)(40) + 2(40)(20)
A= 800 + 3200 + 1600
A= 5600
Con esto nos da el máximo
COMO SABER SI ESTOS VALORES SON MÍNIMOS
PARA LA PARTE NUMERO 2 TENEMOS
Y*z= λ(2y + 2z)
X*z= λ(2x + 2z)
X*y=λ(2y + 2x)
2xy + 2yz + 2xz - S = 0
λ* = λ*= λ*A(x, y, z)=0
PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS
Los multiplicadores de LaGrange
Sacando las derivadas parciales correspondientes
ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2
Y*z= λ(2y + 2z)
X*z= λ(2x + 2z)
Y=2 y + 2z
x= 2x + 2z
Haciendo la multiplicación cruzada:
2xy+2yz=2xy+2xz
2yz=2xz y=x
ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)
Y*z= λ(2y + 2z)
X*y=λ(2y + 2x)
z= 2y + 2z
x= 2y + 2x
Haciendo la multiplicación cruzada
2yz+ 2xz= 2xy + 2xz
2yz = 2xy z= x
AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)
Y=x ; z=x
2xy + 2yz + 2xz - S= 0
2xx + 2xx + 2xx - S=0
2x^2 + 2x^2 + 2x^2 –S=0
6x^2 – S =0
X^2= S/6
x= S/6
RESOLVIENDO EL PUNTO (3):
Y*z= λ*4
X*z= λ*4
X*y=λ*4
4x + 4y + 4z - C = 0
λ* = λ*= λ*S(x, y, z)=0
PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS
Los multiplicadores de LaGrange
Sacando las derivadas parciales correspondientes
ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2
Y*z= λ*4
X*z= λ*4
Y= 1
X
y=x
ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)
Y*z= λ*4
X*y=λ*4
Z =1 x
z= x
AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)
Y=x ; z=x
S= 4x + 4y + 4z - C= 0
4x + 4x + 4x - C=0
12x –C=0
x=C/12
LAS MEDIDAS DE LAS ARISTAS PARA QUE LA CAJA ALCANZE SU MAXIMO VOLUMEN DEBE DE SER
X=C/12
GRACIAS