CV00-845 Mtodos numricos en ingeniera civil

Mtodo Cholesky

Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el nombre de factorizacin LU sin embargo, si A es simtrica y definida positiva, se puede escoger los factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama descomposicin o factorizacin de Cholesky. Tanto la descomposicin LU como la descomposicin de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Cuando es aplicable, la descomposicin de Cholesky es dos veces ms eficiente que la descomposicin LU.

Problema:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el mtodo de Cholesky

A =

y C=

Solucin:

En el mtodo de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las frmulas

y

La primera ecuacin se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para elementos en la diagonal principal.

Entonces.

= 2.4495

= 6.1237

= 22.454

Ya sabemos que l12 = 0

= 4.1833

= 20.916

De igual forma l13 = l23 = 0 y

= 6.1106

La matriz L es igual a

En el mtodo de Cholesky U = LT

El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el mtodo de descomposicin de LU

=40.8246

=-23.9045

=-51.826

Finalmente se calcula el vector de incgnitas comenzando por la ltima x.

=-8.481

= [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690

= [40.8246 ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685

El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.

_1145257239.unknown

_1145257836.unknown

_1145262567.unknown

_1145262780.unknown

_1145262862.unknown

_1145263465.unknown

_1145262762.unknown

_1145258935.unknown

_1145259288.unknown

_1145258857.unknown

_1145257542.unknown

_1145257705.unknown

_1145257376.unknown

_1145256809.unknown

_1145257019.unknown

_1145257139.unknown

_1145256986.unknown

_1145256548.unknown

_1145256724.unknown

_1145256467.unknown