FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 1

Tema 1 – FUNDAMENTOS DE LOS CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1 MATERIALES MAGNETICOS Y CIRCUITOS MAGNETICOS

Dos temas fundamentales en el análisis y diseño de las máquinas eléctricas.

Los materiales magnéticos están involucrados en el funcionamiento de la mayoría de los artefactos eléctricos, generadores, motores, instrumentos de medición y transformadores, como elementos básicos para el establecimiento de campos magnéticos.

El circuito magnético es el modelo clásico utilizado para analizar el comportamiento de los materiales magnéticos, caracterizado por la trayectoria cerrada que siguen las líneas de campo magnético, generalmente dentro de un núcleo magnético.

El análisis y diseño de los dispositivos usados en el proceso de conversión energía de las máquinas eléctrica, se basa en el estudio de la relación causa efecto del flujo de energía asociada entre los circuitos eléctricos y sus respectivos campos magnéticos.

INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO: [ / ]H AV m

Existen dos principios que describen el uso de los campos magnéticos en el estudio de las máquinas eléctricas:

1. Un conductor que transporta una corriente eléctrica, constante o variable, genera a su alrededor un campo magnético (Ley de Ampere).

2. Un campo magnético variable en el tiempo, que atraviesa un bobina, genera en ella una fuerza electromotriz (f.e.m.) (Ley de inducción de Faraday).

La Ley de Ampere establece la relación causa-efecto entre la corriente ( )i que circula a través de una bobina de N vueltas o espiras y el campo magnético ( ) generado. Se asume que el campo magnético existe en una trayectoria cerrada o circuito magnético y es caracterizado por su intensidad de campo magnético ( )H .

d N i H F (1.1)

Donde:

H intensidad de campo magnético en [AV/m]

i corriente eléctrica en [A]

N i F fuerza magnetomotriz del circuito magnético en [AV]

La f.m.m. ( )F del circuito magnético se reconoce como su habilidad para mantener un magnético ( ) en una trayectoria cerrada, similar a lo que ocurre con la fuerza electromotriz

(f.e.m.) en un circuito eléctrico.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 2

La intensidad de campo magnético ( )H es una medida del esfuerzo de la corriente ( )i para establecer el campo magnético ( ) .

La dirección del campo magnético generado por una corriente, se determina aplicando la regla de la mano derecha y pueden ocurrir dos situaciones prácticas:

CASOS PRACTICOS DE APLICACIÓN DE LA LEY DE AMPERE

Asumiendo que todo el flujo magnético ( ) se encuentra dentro del núcleo de hierro (no existe dispersión de flujo):

- Circuito magnético simple: sin entrehierro:

- Circuito magnético compuesto: con entrehierro:

Figura 1.1 Casos prácticos de aplicación de la regla de la nano derecha.

Figura 1.2 Elementos de un circuito magnético simple (sin entrehierro).

N S

Corriente a través de un conductor simple

i

Corriente a través de una bobina

Figura 1.3 Elementos de circuito magnético compuesto (con entrehierro).

v g

c

v

c

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 3

FMM TOTAL EN UN CIRCUITO MAGNETICO COMPUESTO

La fuerza magnetomotriz (f.m.m.) se requiere para mantener circulando un flujo magnético ( ) alrededor de una trayectoria cerrada. En un circuito magnético simple (Figura 1.1), si la intensidad de campo magnético ( )cH es uniforme, la f.m.m. total se determina como:

c cN i H F (1.2)

donde c es la longitud media de la trayectoria cerrada.

En un circuito compuesto (Figura 1.2), la presencia del entrehierro establece dos valores de intensidad de campo. Asumiendo que cH y gH , son constantes (uniformes) en las trayectorias

medias c y g , respectivamente, la f.m.m. total de determina como:

k k c c g gN i H H H F (1.3)

DENSIDAD DE FLUJO MAGNETICO: 2 [Wb/m ]B

La densidad de flujo magnético o inducción magnética ( )B se define como el flujo magnético ( ) por unidad de superficie de una sección normal a la dirección del flujo y se determina como:

S

d B A (1.4)

Donde: B densidad de campo magnético en 2[Wb/m ] o Tesla.

flujo magnético en [Wb] .

Si la densidad de campo magnético ( )B es uniforme en la trayectoria cerrada de la figura 1.3 y todo el flujo se concentra en el núcleo, aplicando (1.4) obtenemos:

c c g gB A B A (1.5)

PERMEABILIDAD DE UN MATERIAL MAGNETICO: µ

Valor utilizado para caracterizar la facilidad relativa que ofrece un material magnético para establecer un campo magnético. Permite formular la relación entre la densidad de campo magnético ( )B y la intensidad de campo magnético ( )H :

B H (1.6)

donde µ es la permeabilidad del material magnético en [Wb/AV-m] en o [Henrios/m] .

Generalmente, por efecto de la saturación magnética (Ver sección 1.4), la relación B H formulada en (1.6), conocida como característica de magnetización, no es lineal (figura 1.4) y su forma depende del tipo aleación utilizada en la fabricación del material magnético.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 4

Por lo tanto, la permeabilidad en los materiales magnéticos no es constante y debe determinarse, a partir de las curvas de la figura 1.4, para cada par de valores B-H. El aire es el único medio en el que esta relación es lineal y su valor viene dado por [H/m]7

0 4 10 .

En aplicaciones prácticas la permeabilidad de un material magnético se calcula como:

0r (1.7)

donde r se reconoce como la permeabilidad relativa.

1.2 METODOLOGIA DE ANALISIS DE LOS CIRCUITOS MAGNETICOS

ANALOGIA CIRCUITO MAGNETICO-CIRCUITO ELECTRICO

Un material magnético puede caracterizarse por su reluctancia magnética ( )R , como la oposición del material a la existencia del flujo magnético ( ) , similar al concepto de resistencia en un circuito eléctrico.

Este concepto permite establecer analogía de un circuito magnético y un circuito eléctrico:

. . . .T

F m m e F e mReluctancia R Resistencia

Flujo i Corriente FR (1.8)

Para el circuito magnético compuesto de la figura 1.3, obtenemos:

c c g g

campomagnéticonúcleo campomagnético entrehierro

H H F (1.9)

Figura 1.4 Curvas B-H en materiales magnéticos.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 5

Asumiendo relación lineal en el núcleo de hierro c cB H y sustituyendo (1.6) en (1.9)

0

gcc g

BB

F (1.10)

Si además el flujo es uniforme en toda la trayectoria cerrada (no existe flujo marginal en el entrehierro)

c c g gB A B A (1.11)

Sustituyendo (1.11) en (1.10):

0

gc

c gA A

F (1.12)

Si definimos:

0

gcc g

c gA A R R

(1.13)

y sustituimos (1.13) en (1.12)

c g T F R R R

A partir de este resultado se puede establecer la siguiente analogía entre un circuito magnético un circuito eléctrico

T T

ei

R

FR

F.m.m. F.e.m.Reluctancia Resistencia

(1.14)

Aplicando esta metodología al circuito magnético de la figura 1.3, obtenemos el circuito eléctrico análogo mostrado en la figura 1.5.

Dependiendo de la forma del circuito magnético se pueden lograr diferentes configuraciones, serie o paralelo, del circuito eléctrico análogo. La tabla 1.1 muestra la comparación entre cantidades eléctricas y cantidades magnéticas, basada en la metodología anterior.

Figura 1.5 Circuito eléctrico análogo del circuito magnético de la figura 1.3.

cR

gR

F +

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 6

Tabla 1.1 – Analogía circuito magnético y circuito eléctrico Cantidades magnéticas Cantidades electricas

F.m.m. F [AV] voltaje v [V]

Flujo [Wb] Corriente i [A] Reluctancia R [H-1] Resistencia R [] Permeancia magnética P [H] Conductancia G [-1] Intensidad campo magnético H [AV/m] Intensidad campo eléctrico E [V/m]

Densidad de flujo B [Wb/m2] Densidad de corriente J [A/m2]

Permeabilidad magnética µ [H/m] Conductividad eléctrica [S/m]

F R B H

1A

RP

V I R J E

1R

A G

OTROS ASPECTOS IMPORTANTES

En aplicaciones prácticas de análisis de circuitos magnéticos, se pueden presentar 3 situaciones importantes:

- Efecto marginal en el flujo del entrehierro. - Flujo de dispersión en el núcleo. - Simplificación del circuito análogo equivalente. El efecto marginal en el flujo del entrehierro se muestra en la figura 1.6, que curre cuando parte del flujo magnético del núcleo se sale de la trayectoria. El resultado final es un aumento de la sección efectiva del entrehierro. Aunque se han desarrollado modelos matemáticos [Cathey2002], en aplicaciones prácticas puede estimarse un incremento entre 3% y 5%:

Por lo tanto, evaluar la reluctancia magnética usando (1.13) debe considerarse que

a (1.03 1.05)g cA A (1.15)

Figura 1.6 Efecto marginal del flujo magnético en el entrehierro.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 7

Además, al evaluar la densidad de campo magnético

c g c gc g

B B B BA A

(1.16)

El flujo de dispersión ( ) ocurre cuando las líneas de flujo magnético no siguen la trayectoria

del núcleo, tal como se muestra en la figura 1.7, donde se muestra además el circuito magnético equivalente.

De acuerdo con (1.13), los valores de la reluctancias 1R , 21R , 22R , 41R , 42R , R y 3R dependen del tipo de material magnético del núcleo ( ) , de la longitud ( ) y de la sección transversal ( )A de cada trayectoria. La reluctancia el núcleo depende solo de la longitud del entrehierro ( )g y de la sección efectiva ( )gA .

El flujo de dispersión se utiliza para determinar la inductancia de dispersión, fundamental en el desarrollo del circuito equivalente de las máquinas eléctricas.

La tercera situación práctica ocurre cuando se simplifica un circuito magnético, considerando la elevada permeabilidad del núcleo, con relación al entrehierro.

Por ejemplo, el circuito de la figura 1.5 podría simplificarse considerando que por la elevada permeabilidad del núcleo, c gR R . El resultado se muestra en la figura 1.8.

Figura 1.7 Flujo de dispersión en un circuito magnético.

Figura 1.8 Simplificación de un circuito magnético al considerar la elevada permeabilidad del núcleo.

gR F +

g

21R 22R

41R 42R

1R R

3R

gR F

3R

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 8

En este caso:

0

0/g

g g g g

AN i

A

F F

R (1.17)

que implica una relación lineal i .

PROBLEMAS TIPICOS EN EL ANALISIS DE CIRCUITOS MAGNETICOS

Tipo 1: Calcular la f.m.m. ( )F en [AV] necesaria para establecer un valor determinado de flujo magnético ( ) en [Wb].

Tipo 2: Calcular el flujo magnético ( ) en [Wb] que se consigue con valor determinado de f.m.m. ( )F en [AV].

Ejemplo 1.1: Circuito magnético de la figura 1.3: Calcular reluctancias cR y gR , flujo magnético ( ) y corriente ( )i . [Problema tipo 1].

Problema 1.1: Efecto de cambio en número de vueltas ( )N y la longitud de entrehierro ( )g , en la

magnitud flujo ( ) y en la corriente ( )I . Ejemplo 1.2: Circuito magnético de la figura 1.9: Máquina síncrona. Calcular flujo magnético en

el entrehierro y la densidad de flujo gB . [Problema tipo 1].

Figura 1.9 Circuito magnético del ejemplo 1.2.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 9

Problema 1.2: Calcular flujo ( ) y corriente ( )I para la máquina síncrona del ejemplo 1.2, asumiendo un valor conocido de densidad de campo ( )B .

CURVA CARACTERISTICA B-H USANDO MATLAB

Función especial de MATLAB para generar la curva B v/s H de del material ferromagnético acro electrolítico LAE M-27 calibre 24 de la figura 1.4.

>> H = BHM27ESS(B)

Introduciendo solo el nombre se obtiene ayuda y la gráfica B v/s H. Introduciendo argumento de entrada, estima el valor de B [Wb/m2] para valor particular de H [AV/m], usando interpolación de una tabla de datos.

>> Bx = 1.5, Hx=BHM27ESS(Bx,2)

Hx = 1.5113e+003

LINEA DE CARGA

Problema tipo 2 de un circuito magnético serie (figura 1.5), donde la sección transversal del núcleo es uniforme y no existe efecto marginal en el entrehierro ni flujo de dispersión, el punto de operación puede obtenerse usando en concepto de línea de carga.

Si el circuito es excitado con una f.m.m. [AV]N IF , aplicando (1.9), obtenemos:

c c g gN I H H

donde cH y gH es la intensidad de campo magnético del núcleo y del entrehierro respectivamente. Sustituyendo 0/g gH B y considerando que si no existe efecto marginal en el entrehierro ni flujo de dispersión, g cB B , obtenemos

0 0

g cc c g c c g

B BN I H H

Despejando cH , obtenemos:

0 0cc c

g g

B H N I

(1.18)

La expresión (1.18) es la ecuación de una línea recta en el plan B-H, cuyos puntos de intersección son:

, 00 0c g g cg m

N I N IH B B H

(1.19)

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 10

El resultado se muestra en la Figura 1.10.

Ejemplo 1.3: Circuito magnético de la figura 1.3: Calcular el flujo magnético ( ) que se logra con una corriente de excitación A2i , asumiendo vueltas500N . El entrehierro es de cm0.067 y la longitud media del núcleo es de cm15 . [Problema tipo 2].

1.3 FLUJO CONCATENADO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA. ENLACES DE FLUJO

Concepto que facilita la aplicación e interpretación de la Ley de Inducción de Faraday, para calcular la f.e.m. inducida en una bobina sometida a un flujo ( )t , que cambia con el tiempo:

d de N

dt dt

(1.20)

donde ( )N t se reconocen como los enlaces de flujo. La expresión (1.20) permite calcular la

magnitud de la f.e.m. inducida. El sentido o polaridad se obtiene aplicando la Ley de Lenz, la cual establece que: “Todo efecto tiende a oponerse a la causa que la produce”, como parte del principio físico de acción y reacción.

Figura 1.10 Circuito magnético del ejemplo 1.3

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 11

La figura 1.10 muestra la aplicación de la Ley de Lenz para determinar el sentido de la f.e.m. inducida ( )inde t cuando un flujo ( )t enlaza una bobina de N espiras.

El sentido de ( )inde t debe ser tal que la corriente ( )i t que se establece en el circuito, sea capaz de crear un flujo magnético '( )t de dirección opuesta al flujo ( )t que originó a ( )inde t .

Algunos autores presentan la Ley de Inducción de Faraday, como:

d de N

dt dt

(1.21)

donde el signo negativo lo utilizan para la interpretación de la Ley de Lenz.

INDUCTANCIA EN UN CIRCUITO CON UN DEVANADO

Parámetro para cuantificar efecto físico de variación de flujo respecto del tiempo en un circuito magnético.

Figura 1.11: Circuito magnético donde la corriente de excitación ( )i t es variable.

Aplicando forma generalizada de la Ley de Inducción de Faraday:

 ( ) ( )d di d

v t idt i dt i di

Figura 1.10 Aplicación de la Ley de Lenz para determinar el sentido de la f.e.m. inducida

'( )t

( )t

Flujo original

Flujo generado por inducción

( )i t

( )inde t

N vueltas ( )t

0P Curva de

magnetización real.

Curva de magnetización

aparente.

( )i t

( )i t

( )v t

Figura 1.11 Circuito magnético excitado con una corriente variable con el tiempo.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 12

En casos más generales se puede considerar que puede ser función de más de una variable y deberían utilizarse derivadas parciales.

Utilizando el concepto de inductancia incremental, sobre la curva de magnetización aparente de la figura 1.11

[H]0 0

/iP P

vL N

i i di dt

(1.22)

Que corresponde a la pendiente de la recta que pasa por 0P en la figura 1.11. Si el puno de

operación cambia, se modifica el valor de la inductancia y decrece cuando se aproxima a la zona de saturación.

En análisis de sistemas electromecánicos se asume relación línea i y la expresión (1.22) se reduce a:

[H]a

NL

i i

(1.23)

y se reconoce como inductancia aparente. En dispositivos con baja saturación y entrehierros

a iL L . En casos de elevada saturación, pueden usarse factores de corrección. Si no se

especifica lo contrario, en aplicaciones prácticas se asume que los parámetros se asumen como inductancia aparente.

ASPECTOS PRACTICOS AL EVALUAR LA INDUCTANCIA

Manipulando la expresión (1.23) se pueden identificar factores que determinan la inductancia

2/ /eq eq

eq

N i NL N N N

i i i i

F R R

R (1.24)

Asumiendo que en la figura 1.3, c gR R

22 2

0

0/g

g g g g

N AN NL

A

R (1.25)

La inductancia aparente exige una relación lineal i . La relación B H también sería lineal y se puede hablar de permeabilidad media /md B H y de inductancia media.

Ejemplo 1.4: Circuito magnético paralelo de la figura 1.12. Evaluar inductancia (L) y

densidad de campo en dos ramas (B). Despreciar reluctancia del núcleo (permeabilidad infinita).

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 13

Ejemplo 1.5: Circuito magnético del ejemplo 1.1. Asumiendo núcleo de cero M-5,

que presenta relación B H no lineal, calcular: (a) Inductancia del devanado para 72.300r . (b) Repetir para 2.900r .

Comentarios:

1. Efecto de linealización entrehierro dominante. 2. Factor de reducción en permeabilidad 72.300 / 2.900 24.93 25 3. Reducción en inductancia 0.468 / 0.561 0.8342 0.83 4. ¿Inductancia constante? rango de valores 5. Facilitar cálculo dispendioso resultados aceptables.

Problema 1.3: Repetir ejemplo 1.4 para 2.900r . Ejemplo 1.6: Usando MATLAB® obtener gráfica de rL para el ejemplo 1.4.

Asumir variación de permeabilidad relativa: 100 100.000r , para intervalos de 10r .

Solución: El siguiente guión de MATLAB® permite obtener la gráfica: >> Ac=9e-4; Ag=Ac; g=5e-4; lc=0.3; >> mu0=4*pi*10^-7; N=500; >> Rg=g/(mu0*Ag) %reluctancia entrehierro >> mur=100:10:100000; >> Rc=lc./(mur*mu0*Ac); %valores reluctancia núcleo

Figura 1.12 Circuito magnético paralelo.

FUNDAMENTOS DE LOS CIRUITOS LOS MAGNETICOS L1 - 14

>> RT=Rg+Rc; %valores reluctancia total >> L=N^2./RT %valores de inductancia >> Lmed=L(end) %valor medio de inductancia

Lmed = 0.5621

>> %comandos de graficación...

20.000r constanteL Inductancia media [ ]0.5621 Henrios

Problema 1.4: Programa MATLAB® para evaluar efecto del tamaño del entrehierro en la

inductancia del circuito magnético del ejemplo 1.1, asumiendo 70.000r y valores del entrehierro entre 0.01 cm y 0.10 cm .

Figura 1.13 Relación entre inductancia y permeabilidad.