Mecanica_materiales_hetereogeneos
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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE QUERETARO DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Facultad de Ingeniería Arroyo M. 1
UNIVERSIDAD AUTÓNMA DE QUERÉTARO
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil
APUNTES DE MECÁNICA DE SOLIDOS II
SÉPTIMO SEMESTRE
DR. GUADALUPE MOISÉS ARROYO CONTRERAS División de Estudios de Posgrado
Centro Universitario, Cerro de las Campanas, C.P. 76010, Stgo. de Querétaro, Qro. Tel.: (42) 192-12-00, EXT. 6071, Email: [email protected]
CU, Santiago de Querétaro, Qro., Enero de 2009
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE QUERETARO DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Facultad de Ingeniería Arroyo M. 2
INDICE I. FLEXIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO
I.1 Contenido de las NTC-RC-DF. I.2 Modelo analítico de flexión I.3 Tipos de Refuerzo en Vigas a Flexión I.4 vigas rectangulares simplemente armadas I.5 Viga reforzada con la condición balanceada I.6 Viga doblemente reforzada
I.6.1 Viga doblemente reforzada con fluencia en el acero de compresión
I.6.2 Viga doblemente reforzada sin fluencia en el acero de compresión
I.7 Vigas de sección transversal “T” II. CORTANTE EN VIGAS III. SECCIÓN TRANSFORMADA
III.1 Sección transformada de una sección simplemente reforzada III.2 Sección transformada de una sección doblemente reforzada
IV. DEFLEXIONES IV.2 Deflexiones inmediatas y diferidas IV.2 Deflexiones admisibles
V. AGRIETAMIENTO VI. ANCLAJE Y ADHERENCIA IV. FLEXIÓN EN VIGAS DE ACERO
III.1 Modelo analítico. III.1.1 Análisis por el principio del trabajo virtual
III.4 Mecanismos de vigas III.4 Modelos experimentales
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I FLEXION Las cargas transversales que actúan sobre una viga producen acciones internas como momentos flexionantes, fuerzas cortantes y por consiguiente esfuerzos de tensión.
Refuerzo transversal pararesistir cortanterefuerzo longitudinalpara resistir flexi‗n
cortanteGrieta por
2WL
(+)
-
Grieta porflexi¾n
WL8
2(- )
M
2WL
V
W
Para absorber adecuadamente estos esfuerzos, se puede utilizar un material compuesto de concreto simple y barras de acero, comúnmente denominado: CONCRETO REFORZADO. (El refuerzo no impide el agrietamiento, pero si lo restringe). El Dimensionamiento de vigas de concreto reforzado consiste en determinar:
• Las dimensiones de la sección. • La cuantía y distribución del acero de refuerzo.
Lo anterior, con el afán de predecir:
• La resistencia de la sección. • Las deflexiones. • La magnitud del agrietamiento.
Conociendo las leyes o curvas de comportamiento esfuerzo-deformación del concreto y del acero, así como, tomando en cuenta los Principios de:
• Compatibilidad de deformación. • Estática.
Con base en estos conceptos se puede determinar la capacidad del par interno para resistir flexión en una viga.
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I.1 Contenido de las NTC-RC-DF. El contenido de las NORMAS TECNICAS COMPLEMENTARIAS PARA DISEÑO Y CONSTRUCCION DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO, DEL Reglamento de Construcción del DF., NTC-RC-DF (GACETA OFICIAL DEL DISTRITO FEDERAL 25-MAR-96) se puede resumir a través del índice de dichas normas: INDICE NOTACION. 1. CONSIDERACIONES GENERALES. 1.1 Alcance 1.2 Criterios de diseño 1.3 Análisis
1.3.1 Aspectos generales 1.3.2 Efectos de esbeltez
1.4 Materiales 1.4.1 Concreto 1.4.2 Acero
1.5 Dimensiones de diseño 1.6 Factores de resistencia 2. REVISION DE LOS ESTADOS LIMITE 2.1 Estados límite de falla
2.1.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño 2.1.2 Flexión 2.1.3 Flexocompresión 2.1.4 Aplastamiento 2.1.5 Fuerza cortante 2.1.6 Torsión
2.2 Estados límite de servicio 2.2.1 Esfuerzos bajo condiciones de servicio 2.2.2 Deflexiones 2.2.3 Agrietamiento de elementos no presforzados que trabajan en una dirección
3. REQUISITOS COMPLEMENTARIOS 3.1 Anclaje
3.1.1 Requisitos generales 3.1.2 Requisitos complementarios de anclaje 3.1.3 Anclaje del refuerzo transversal 3.1.4 Anclaje de malla de alambre soldada
3.2 Espesor de desgaste 3.3 Revestimiento 3.4 Recubrimiento 3.5 Tamaño máximo de agregado
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3.6 Separación entre barras o tendones individuales 3.6.1 Acero de refuerzo 3.6.2 Acero de presfuerzo
3.7 Paquetes de barras 3.8 Dobleces de refuerzo. 3.9 Uniones de barras.
3.9.1 Uniones de barras sujetas a tensión. 3.9.2. Uniones de mallas de alambre soldado. 3.9.3 Uniones de barras sujetas a compresión.
3.10 Refuerzo por cambios volumétricos. 3.11 Inclusiones. 4. DISPOSICIONES COMPLEMENTARIAS PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES
COMUNES. 4.1 Vigas.
4.1.1 Conceptos generales. 4.1.2 Pandeo lateral. 4.1.3 Refuerzo complementario en las paredes de las vigas. 4.1.4 Vigas diafragma. 4.1.5 Vigas de sección compuesta.
4.2 Columnas. 4.2.1 Geometría. 4.2.2 Refuerzo mínimo y máximo. 4.2.3 Requisitos para el refuerzo transversal. 4.2.4 Columnas zunchadas. 4.2.5 Detalles de refuerzo en intersecciones con vigas o losas.
4.3 Losas. 4.3.1 Disposiciones generales. 4.3.2 Losas que trabajan en una dirección. 4.3.3 Losas apoyadas en su perímetro. 4.3.4 Cargas lineales. 4.3.5 Cargas concentradas. 4.3.6 Losas encasetonadas.
4.4 Zapatas. 4.4.1 Disposiciones generales. 4.4.2 Transmisión de esfuerzos en la base de una columna o pedestal. 4.4.3 Espesor mínimo de zapatas de concreto reforzado.
4.5 Muros. 4.5.1 Muros sujetos a cargas verticales axiales o excéntricas. 4.5.2 Muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano.
4.6 Diafragmas y elementos a compresión de contraventeos. 4.7 Arcos, cascarones y losas plegables.
4.7.1 Análisis. 4.7.2 Simplificaciones en el análisis de cascarones. 4.7.3 Dimensionamiento. 4.7.4 Losas plegables.
4.8 Articulaciones plásticas en vigas, columnas y arcos. 4.9 Ménsulas.
4.9.1 Requisitos generales.
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4.9.2 Refuerzo. 4.9.3 Area de apoyo.
5. MARCOS DUCTILES. 5.1 Requisitos generales. 5.2 Miembros a flexión. 5.3 Miembros a flexocompresión. 5.4 Uniones viga-columna. 6. LOSAS PLANAS. 6.3 Análisis. 6.12 Dimensionamiento de los ábacos.
7. CONCRETO PRESFORZADO.
8. CONCRETO PREFABRICADO.
9. CONCRETO SIMPLE.
10. CONCRETO LIGERO.
11. CONSTRUCCION. 11.1 Cimbras. 11.2 Acero. 11.3 Concreto
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I.2 Modelo analítico de flexión. Las hipótesis simplificatorias para determinar la capacidad del par interno en una viga que debe resistir flexión, según Las Normas Técnicas Complementarias 2.1.1 (NTC-RC-DF) en su capítulo: 2. REVISIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITES, 2.1 Estados límites de falla, 2.1.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño, son:
a) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana.
b) Existe adherencia entre el concreto y el acero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente.
c) El concreto no resiste esfuerzos de tensión. d) La deformación unitaria del concreto en compresión cuando alcanza
la resistencia de la sección es 0.003. e) La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto es
uniforme en una zona cuya profundidad es 0.8 (β veces) el eje neutro).
El esfuerzo uniforme se toma igual a:
*'' 85.0 cc ff = Sí 2* /250 cmkgfc ≤
**
''
125005.1 c
cc fff ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= Sí 2* /250 cmkgf c ⟩
Según las NTC-RC-DF-2004:
'*
*
*''
8.0
85.01250
05.1
cc
c
cc
ff
f
ff
=
≤−=
=
α
α
Las hipótesis antes mencionadas se puede plasmar a través del análisis de una sección transversal de un elemento rectanguar de viga, como se muestra en la figura 1.1.
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Figura 1.1 Modelo mecánico para flexión. El diagrama esfuerzo-deformación unitaria del acero de esfuerzo ordinario puede idealizarse con un comportamiento elasto-plástico perfecto (figura 1.2):
Figura 1.2 Diagrama de esfuerzo-deformación.
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I.3 Tipos de Refuerzo en Vigas a Flexión. Secciones balanceadas: Cuando la deformación unitaria en la fibra extrema comprimida es la máxima admisible (0.003) y la deformación unitaria en el acero es la correspondiente al esfuerzo de fluencia.
36
3
102102104 −=== x
xx
Ey
y
σε
Secciones sub-reforzadas: Cuando se tiene menos acero que el correspondiente a la sección balanceada (Falla dúctil). Sección sobre-reforzada: Cuando se tiene un porcentaje de acero superior a la condición balanceada (Falla frágil).
Figura 1.3 Diagrama Carga-Deflexión de vigas sobre y sub-reforzadas. Para encontrar la resistencia de una sección simétrica de características conocidas, se procede como sigue:
1. Determinar la posición del eje neutro, con base del equilibrio interno.
2. Determinar las fuerzas internas, y con ellas calcular los momentos con respecto al eje neutro.
3. La suma de los momentos del par de fuerzas interno es la resistencia
a momento flexionante de la sección.
4. Puede también localizarse el centro de gravedad de las fuerzas de tensión y calcular los momentos de las fuerzas de compresión con respecto a este eje o centro, o viceversa.
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I.4 vigas rectangulares simplemente armadas.
Figura 1.4 Sección transversal.
Si suponemos que es una sección sub-reforzada, ys ff =∴ Por equilibrio de fuerzas internas respecto a x, se tiene:
∑ ==+−= CTTCFx ,0,0
por tanto: ysc fAabf =''.
A partir de la ecuación anterior se tiene:
''c
ys
fbfA
a = (1)
que es la profundidad del bloque de esfuerzos
y la profundidad del eje neutro: 1
;8.0 β
acac ==
Si se define como Cuantía de acero a la relación de áreas: dbAp s= ,
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Por lo anterior, el área de acero se expresa como: dbpAs = Remplazando este valor en la ec. (1) se tiene:
ycc
y
c
y fdbpfbaoff
pdfb
fdbpa === ''
´´'' (2.a)
Dividiendo ambos lados entre dos:
''22 c
y
ffdpa
= (2.b)
Tomando momentos con respecto al eje de la Resultante de Compresión:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
22adfAadTM ysu (3)
Tomado momentos con respecto al eje de la Resultante de Tensión:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
''''
''
''
2
22
c
y
c
cy
cu
ffdp
dfffdbp
adabfadCM
Haciendo ''''c
ys
c
y
ff
bdA
ffp
q == , el Índice de resistencia, la ecuación
anterior se expresa como:
( )qqfdbqfdbqdqdfdbqM cccu 5.012
12
''2''2'' −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Esta ecuación proporciona la Resistencia ideal o analítica a flexión de la sección considerada o la Resistencia calculada.
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Para obtener la Resistencia de diseño, la resistencia anterior se afecta por un factor de reducción 9.0=RF :
( )[ ]qqfdbFMFM cRuRR 5.01''2 −== (4) Para flexión FR = 0.9 Otra forma de expresar uM es utilizando el valor de q anterior, es decir:
''''c
ys
c
y
ff
bdA
ffp
q ==
( )
( )qff
bdAfbd
qqfbdM
c
ysc
cu
5.01
5.01
''''2
''2
−=
−=
( )qdfAM ysu 5.01−=
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I.5 Viga reforzada con la condición balanceada. Relacion de acero correspondiente a la condición balanceada. La relación de acero o cuantía balanceada, bp , puede obtenerse directamente de consideraciones de equilibrio interno y por compatibilidad de formaciones.
Figura 1.5 Sección balanceada.
Si se considera que la deformación del concreto es 0.003 y la del acero es la correspondiente a la fluencia, se tiene que esta deformación es:
002.0102
40006 ====
xEEf yy
y
σε
Por triángulos semejantes se tiene la siguiente relación:
da
dCCd b
y
bb
y 8.0003.0003.0
003.0003.0=
+=⇒=
+ εε
Por consiguiente: ddayy
b⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
003.00024.08.0
003.0003.0
εε
Por equilibrio de fuerzas se deduce: ''
cbysbbb bfafACT ===
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⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+==∴
y
c
yy
cbsb f
fbdffbaA
''''
003.00024.0
ε
Replanteando el término de relación entre deformaciones, se tiene:
( )( ) 6000
4800102003.0
1020024.0003.0
0024.0
003.00024.0
003.0
0024.0003.0
0024.0
6
6
+=
×+×
=+
=
=+
=+
=+
yyy
yyy
ffEfE
EEf
Efε
Por consiguiente el Acero balanceado Asb es:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
y
c
ysb f
fbdf
A''
60004800
Nota: En zonas de alto riesgo sísmico como la Cd. de México, por razones de seguridad y buscando un comportamiento dúctil en las estructuras para el diseño sísmico se recomienda usar 0.75 Asb como acero máximo. El acero balanceado es el máximo acero a utilizar:
bdA
p sbb = ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
y
c
yb f
ff
p''
60004800
''''c
ys
c
y
ff
bdA
ff
q == ρ 60004800+
=y
b fq
a) Refuerzo mínimo (2.1.2 Flexión, NTC-RC-DF-96). El área mínima de refuerzo de secciones rectangulares de concreto
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reforzado de peso normal, puede calcularse con la siguiente expresión:
y
cs
y
cs
ff
bdA
p
bdf
fA
'
min
'
7.0
7.0
min
min
==
=
(2.1)
Resistencia a compresión.
Para concretos clase 1 y 2: '* 8.0 cc ff =
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Ejemplo 1.1 Obtener la resistencia a flexión de una sección rectangular simplemente armada, de acuerdo a las NTC-DF-94.
• Datos.
Figura 1.6 Sección transversal.
26
2
2'
2
/)10(2
/000,4
/200
6.11,7#3
cmKgE
cmKgf
cmKgf
cmAV
y
c
ss
=
=
=
=
• Constantes y especificaciones
2*''
2'*
/136)160(85.085.0
/160)200(8.08.0
cmKgff
cmKgff
cc
cc
===
===
• Acero mínimo.
0025.04000
2007.07.0'
min ===y
c
ff
ρ
( ) ( ) 2minmin 43.325550025.0 cmbdAs === ρ
bρρρ ≤≤min • Acero máximo.
0163.04000136
600040004800
60004800 ''
max =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+==
y
c
yb f
ff
ρρ
( ) ( ) 2
max 44.2225550163.0 cmbdA bs === ρ
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4.226.1143.3 ≤≤∴ O.K.
• Obtención de la resistencia.
Figura 1.7 Sección transversal.
Por equilibrio de fuerzas:
C = T
ysc fAfab ='' ∴
( ) ( )( ) cm
bffA
ac
ys 65.131362540006.11
'' ===
Tomando momentos con respecto a C.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
22adfAadTM ysu
( )
mToncmKg
M u
−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
353.22320,235'2
265.135540006.11
( ) mTMM uR −=== 117.20353.229.09.0
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Obtención de la resistencia, aplicando una de las expresiones obtenidas:
( ){ }qqfdbFMFM cRuRR 5.01''2 −==
''''c
ys
c
y
ff
bdA
ffp
q ==
I.6 Viga doblemente reforzada. I.6.1 Viga doblemente reforzada con fluencia en el acero de compresión. Obtención del momento resistente de una viga doblemente armada (con acero tención y de compresión).
Figura 1.8 Sección doblemente reforzada.
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Figura 1.9 Modelo equivalente. Suponiendo que el acero de compresión fluye: yS ff = A partir de la viga 1 se puede obtener lo siguiente.
Por equilibrio de fuerzas con respecto al eje x; ∑ = 0xF :
1
1
'
y'
11
ss
syss
AA
fAfATCC
=∴
=⇒==
Tomando momentos respecto al eje de la fuerza de compresión C1 se tiene:
)'()'( '11 1
ddfAfAddTM ysys −==−= A partir de la viga 2 se tiene; tomando momentos con respecto a la fuerza de compresión Cc:
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21
12
2
22
's
22
sss
ssss
s
AAA
AAAAA
adfAadTM
+=
−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Por tanto:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
2)( '
2adfAAM yss
Finalmente el momento nominal total de una viga doblemente reforzada es:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−=+=
2)()'( ''
21adfAAddfAMMM yssysn
Y el momento resistente de diseño es:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−== )'(
2)( '' ddfAadfAAFMFM ysyssRnRR
El valor de “a” se obtiene aplicando equilibrio, de acuerdo al diagrama de la viga 2:
''2 2 cysc abffATC ===
Como
'2 sss AAA −= , se tiene:
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''
'
'''
)(
)(
c
yss
yssc
bffAA
a
fAAabf
−=
−=
Estas expresiones son válidas si el acero de compresión fluye, esto es si se cumple:
y
c
y ff
dd
fpp
'''6000
4800)'(−
≥−
Donde:
bdAp s
'
'=
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I.6.2 Viga doblemente reforzada sin fluencia en el acero de compresión. Obtención del momento resistente de una viga doblemente armada (con acero tención y de compresión)
Figura 1.10 Sección doblemente reforzada, con yS ff < .
Si el acero de compresión no fluye, , yS ff < se puede proceder como sigue. Por triángulos semejantes de la figura de la variación de la deformación se tiene que:
cdcs 003.0
'
'
=−ε
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
ad
cd
cdc
s'8.01003.0'1003.0'003.0'ε
Las fuerzas de compresión y de tensión son:
ys
cc
sssssssss
fATabfC
AadA
adEAEAC
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −===
''
''''' '8.01000,6'8.01003.0εσ
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Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x se tiene:
( )
( ) 0'8.0003.0003.0
0'8.0003.0003.0
0'8.0003.0
0,0
''2''
''2''
'''
=−−+
=−−+
=−−+=++
=−−=∑
ssysssc
ysssssc
ysss
ccs
csx
AdEafAAEabf
afAAdEaAEabf
fAAdaa
EabfTCC
CCTF
donde 6102 xE s = , por consiguiente se tiene:
( )
( ) 0'4800000,6
0'8.0)102(003.0)102(003.0
''2''
'6'62''
=−−+
=−−+
syssc
syssc
AdafAAabf
AdxafAAxabf
A partir de esta ecuación se deduce el valor de a. El momento nominal o calculado puede obtenerse tomando momentos respecto al eje de la fuerza de tensión:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−==
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
−+−=
''8.01000,65.0
''8.01000,65.0
'5.0
'''
'''
ddAa
dadabfFMFM
ddAa
dadabf
ddCadCM
scRnRR
sc
scn
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EJEMPLO 1.2 Obtener el momento resistente de una sección rectangular, doblemente armada, de una viga sometida a flexión, de acuerdo a las NTC-RC-DF. DATOS: Los datos del problema se muestran a continuación.
Figura 1.11 Sección transversal.
2
2
2'
26
2
2'
9.1510#2
7.3910#5
8.2310#3
/102
/4000
/2006030
cmVs
cmVsA
cmVsA
cmKgE
cmKgf
cmKgfcmhcmb
s
s
s
y
c
=
==
==
×=
=
=
==
Especificaciones y constantes.
2*''
2'*
/136)160(85.085.0
/160)200(8.08.0
cmKgff
cmKgff
cc
cc
===
===
Obtención de r. Para la obtención del eje centroidal del acero de tensión o la distancia r, se toman momentos de área respecto a la base como sigue:
cmr
AArA sss
00.84.87.39
68.23129.15
)6()12(21
≈=×+×
=
+=
Se supone para el cálculo del peralte efectivo, r de 8 cm, por tanto:
∴ d = 60 - 8 = 52 cm.
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Cálculo del acero mínimo.
22minmin
'
min
7.399.352300025.0
0025.04000
2007.07.0
cmAcmbdpA
ff
p
ss
y
c
=<=××==
===
Cálculo del acero máximo. Condición balanceada.
Figura 1.12 Sección transversal con la condición balanceada.
Por triángulos semejantes de la variación de las deformaciones, se tiene (ver figura 1.12):
cmdda
cmCa
cmddC
Cdd
b
bb
b
b
9.2448.0)6.0(8.0
2.31)2.31(8.0)(8.0
2.31)52(6.0)(6.0005.0003.0
003.0005.0003.0002.0
===
===
===×=
==+
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Obtención de la deformación del acero de compresión, para la condición balanceada. Por triángulos semejantes de la variación de la deformación, se tiene:
Figura 1.13 Variación de la deformación de la parte de compresión.
fluye
cdc
ys
bb
s
∴=>=×
=
=−
002.0002423.02.31
2.25003.0
003.0'
'
'
εε
ε
Por lo tanto el acero de compresión fluye y se encuentra sujeto a un esfuerzo de yf = 4000 2/ cmkg . Cálculo de las fuerzas de compresión y de tensión. La fuerza de compresión del acero para la condición balanceada es:
KgfACC yss 200,9540008.23'1 =×===
La fuerza de compresión del concreto para la condición balanceada es:
KgbfaC cb 837,1011363096.24''2 =××==
La fuerza total de compresión para la condición balanceada es:
KgCCCb 037,197837,101200,9521 =+=+=
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Cálculo del acero de tensión, para la condición balanceada. Por equilibrio de fuerzas respecto al eje “x” se tiene, ∑ = 0xF , por lo tanto:
22max 7.3926.49
4000037,197
037,197
cmAcmAA
KgfATCT
ssbs
ybsb
bb
====∴
===
f
2maxmin
cm 49.26 39.7 3.9 <<
<< sss AAA
Obtención del momento resistente. Primero se obtiene el valor de “c” y “a”, para la sección y acero propuesto. Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x, se tiene:
( )''
'
''
'
''''''21
21
8.08.0
8.0
800,15840007.39
0
c
yss
c
ysys
cyscysys
ys
T
T
T
bffAA
bffAfA
c
cbffAabffAfA
CCT
KgfATCCC
CTCT
−=
−=∴
+=+=
+=
=×==+=
==−
( ) ( )
cmca
cmc
c
cbffAT cys
6.155.198.08.0
5.1948.19264,3600,63
136308.0200,95800,158
136308.040008.23800,158
8.0 '''
=×==
≈==××
−=
××+×=
+=
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Suponiendo que el acero de compresión fluye:
TCKgT
KgCCKgfabC
KgfAC
T
c
ys
≈∴⇒=
=+=××==
=×==
800,158840,158
648,63136306.15
200,9540008.23
21
''2
'1
Verificación de la fluencia del acero de compresión.
( )
fluye
bdsA
bdA
ff
dd
f
s
y
c
y
⇒>∴
=−
=×
==
=×
==
=××−
××
−≥−
00942.00102.0
0102.0'
01526.052308.23''
02545.052307.39
00942.040005240006000
13664800
'6000
4800'''
ρρ
ρ
ρ
ρρ
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Cálculo del Momento Resistente Tomando momentos respecto al eje neutro, de acuerdo a la figura 1.14, se tiene:
Figura 1.14 Variación de los esfuerzos y fuerzas en la sección
transversa.
FUERZA kg
BRAZO DE PALANCA
cm
MOMENTO Kg-cm
C1 = 95,200 13.5 1’285,200 C2 = 63,648 11.7 744,682 T = 1’588,000 32.5 5’161,000 Momento total = 7’190,882 Momento total = 71.909 Ton-m
Cálculo del momento resistente de diseño.
( ) mTonMFM uRR −=== 718.64909.719.0
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Cálculo del Momento Resistente utilizando la fórmula.
6.1559.154000)136(30
8.237.39()(''
'
≈=−
=−
= yc
ss fbf
AAa
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ]
mToncmKgM
M
ddfAadfAAFM
R
R
ysyssRR
−⇒−=
−+−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
712.64268,471'6
65240008.2326.155240008.237.399.0
'2
''
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I.7 vigas de sección transversal “T” En estructuras de Concreto, un sistema estructural común de concreto reforzado consiste en losas soportadas sobre vigas. Estos elementos estructurales se cuelan normalmente monolíticamente. En el cálculo de la resistencia de este sistema se supone que la viga actúa conjuntamente con una porción de la losa, para formar una sección transversal “T”.
Figura 1.15 Sección transversal tipo T.
Las Especificaciones de acuerdo a las NTC-RC-DF-1996, se pueden describir como sigue:
2.- Revisión de los estados límite.
2.1.1 Estados límite de falla. 2.1.2 Flexión.
b) Secciones L y T. El ancho del patín que se considera trabajando a compresión a cada lado del alma, será menor que:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧−
≤
t
cercanomáselementodelalmadelpañoaciadis
bl
b
8
tan21
28
'
''
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Para el caso particular donde lados del patín tiene claros iguales, se obtiene:
( ) ⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=+=
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
=+−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<
'16'82tan
tan'tan212
4'
2'2
82'
2'
82
'
btbtvigasdeejesaciadis
pañosaciadisbpañosaciadisb
lbblbbl
b
Donde el área de refuerzo transversal en el patín (incluyendo el del lecho inferior).
[ ]
2/
10)(10
cmkgenestáfdonde
tbf
patíndelltransversaáreaf
y
yy ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≥
La longitud de este refuerzo debe comprender el ancho efectivo del patín y a cada lado de los paños del alma debe anclarse de acuerdo con la sección 5.1. Si a < t, donde a es la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión en el concreto, la resistencia de la viga se puede calcular como si se tratase de una sección rectangular.
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EJEMPLO 4. Calcular la resistencia a flexión de la sección “T” mostrada en la figura 1.16, que conforma el sistemas de piso, mostrado en la figura 1.17.
Figura 1.16 Sección transversal T.
Figura 1.17 Sistema de piso.
Datos adicionales de la viga con claro 9 m:
26
2
2'
/102
/4000
/200
cmKgE
cmKgf
cmKgf
s
y
c
×=
=
=
a) Especificaciones y Constantes
2'*'' /1362008.085.08.085.085.0 cmKgfff ccc =××=××==
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b) Recubrimiento Efectivo Calculando momentos de superficie respecto a la base se tiene:
( ) ( )( ) ( )
cmrhd
cmr
AAA
r
AArA
s
ss
sss
47855
0.81.858.36
676.211282.12
612
612
21
21
=−=−=∴
≈=×+×
=
+=
+=⋅
El ancho efectivo de la sección T, b, se obtiene de acuerdo a la norma mencionada, de la manera siguiente:
cml
cmbtb
2254
9004
15830)8)(16('16
==
=+=+=
Distancia entre ejes de vigas = 100 cm
cmbcalculadomínimovalorelb 100: ==∴
c) Acero mínimo
Cuantía mínima: 0025.0002475.04000
2007.07.0 '
min ≈===y
c
ff
ρ
Acero mínimo: AsAs
cmdbAs
<
=××==
min
2minmin 52.347300025.0'ρ
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d) Acero máximo.
Figura 1.18 Sección T, con la condición balanceada.
Por triángulos semejantes de la variación de las deformaciones en la sección transversal, se obtiene (ver figura 1.18):
cmCa
cmC
dC
bb
b
b
56.2226.288.08.0
26.28005.0
003.047
003.0002.0003.0
=×==
=×
=
+=
La fuerza de compresión total para la condición balanceada es:
kgC
fbtC
fbtaC
CCC
b
cpatin
cbalma
almab patin
8.204,168
0.800,108)136)(10)(8(
8.404,59)136)(30)(856.22(')(''
''
=
===
=−=−=
+=
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Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x se tiene (ver figura 1.18):
sss
y
bs
bysb
bb
AAA
cmcmf
CA
CfATCT
bmáx
b
b
>=
>===∴
===−
22 6.3605.424000
8.204,168
0
Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x, se tiene:
patínalmaT
T
CCCTCT
+===− 0
''''')( ccys tbffbtafA +−= (1.3)
y
csp
spy
c
y
c
y
cs
cc
ccc
ftfbbAdonde
Af
fabf
tfbbf
fabA
tfbbfab
tbffbtfab
''
''''''
''''
''''''
)'(
')'('
)'('
''
−=
+=−
+=
−+=
+−=
despejando “a” en la ec. 1.3 se tiene:
( ) ( )( )( ) KgfbtaC
cma
tfb
tbffAa
calma
c
cys
600,3713630822.17'
22.17822.9813630
800,108400,146'
''
''
''
=−=−=
∴
=+=+×−
=
+−
=
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e) Cálculo del momento resistente de la sección “T”.
Figura 1.19 Esfuerzos y Fuerzas en la sección.
( )( )
( )( ) KgbftC
KgfAT
cpatín
ys
800,1081361008
400,146400058.36
'' ===
===
Tomando momentos de las fuerzas, respecto al eje de la fuerza de tensión, se tiene:
FUERZA
kg BRAZO DE PALANCA
cm
MOMENTO kg-cm
Calma= 37,600 34.4 1’293,440 Cpatín= 108,800 43.0 4’678,400 5’971,840
El Momento nominal calculado es por tanto: Mu = 59.71 Ton-m. f) Momento resistente de diseño:
( ) mTonMFM uRR −=== 74.5371.599.0
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II. CORTANTE EN VIGAS Vigas con refuerzo transversal. Analogía de la armadura (Ritter, 1899) El incremento de momento entre dos secciones distantes s es igual a:
MsV ∆= Por equilibrio de fuerzas verticales, 0=∑ yF
θα senFsenfA csv = (1) Por equilibrio de fuerzas horizontales, 0=∑ xF
θαθα
coscos0coscos)(
csv
csv
FfATFfATTT
+=∆=++∆+−
(2)
Por otro lado:
zsV
zMT
zTM
=∆
=∆
∆=∆ )(
(3)
Despejando cF de la ecuación 1 se tiene:
θα
sensenfAF sv
c =
Substituyendo este valor de cF y el valor de �T de la ecuación 3 en la ecuación 2 se obtiene:
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⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
θαα
θθ
αα
tancos
coscos
senfA
sensenfA
fAzsV
sv
svsv
Por lo que la fuerza cortante máxima que puede tomarse con un área Av de fuerza transversal es:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
θαα
tancos sen
szfA
Vs
v
Si se admite que las grietas se forman comúnmente con un ángulo de 44º se tiene:
[ ]αα sens
zfAV
s
v += cos
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III. SECCIÓN TRANSFORMADA Se utiliza para la:
- revisión de esfuerzos bajo condiciones de servicio,
- agrietamientos,
- deflexiones, Hipótesis del Modelo: - Se desprecia el concreto en la zona de tensión, - Se transforma el acero en un área de concreto de efecto equivalente,
donde las fajas son de un ancho unitario, de manera que su momento de inercia centroidal sea despreciable y estas superficies son paralelas al eje neutro.
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Una vez transformada la sección se utiliza para determinar:
a) Algunas propiedades geométricas de las sección transversal como:
- Profundidad del eje neutro,
- Momento de inercia.
b) Esfuerzos bajo condiciones de servicio, para el diseño por agrietamientos y deflexiones.
Pasos a seguir para determinar estos primeros momentos de superficie y esfuerzos:
a) Determinación de la profundidad del eje neutro, tomando momentos de primer orden de las áreas con respecto al eje neutro.
b) Cálculo del momento de inercia con respecto al eje neutro.
c) Determinación de esfuerzos mediante las expresiones:
- Para esfuerzos en el concreto 1yI
Mfc =
- Para esfuerzo en el acero 2yI
mMfs =
Donde y1 y y2 son las distancias desde el eje neutro a la fibra considerada, y m es la relación entre los módulos de elasticidad del acero y del concreto. III.1 SECCIÓN TRANSFORMADA DE UNA SECCIÓN SIMPLEMENTE REFORZADA Se considera un comportamiento elástico de los materiales (concreto y acero), para simplificar el problema de una sección compuesta de concreto y acero (de concreto reforzado) al de una sección homogénea de concreto.
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Los esfuerzos y la profundidad del eje neutro son iguales en las dos secciones: real y equivalente. Los esfuerzos están dados por:
εεεε
ssss
cccc
EEfEEf
====
La fuerza de tensión de la sección equivalente es igual a:
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tsscsc
s
sssc
csssss
fnAEAEE
EAEEEAfAT
==
===
ε
εε
donde sctc
s EfyEEn ε==
.
Para el cálculo de la posición del centroide de la sección transformada, se igualan los momentos de primer orden del área de concreto a compresión con el del área de acero transformada:
( )
( ) ( )
022
02
2
2 =−+
=−−
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dnAxnAbx
xdnAxbx
xdnAxbx
ss
s
s
Resolviendo la ecuación se obtiene x.
Para el cálculo del momento de inercia se procede como sigue.
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La contribución de la superficie de concreto al momento de inercia de la sección transversal transformada es:
( )312
13412212
33
33232
0bxbxbxbxxbxxbAdII oconcreto =
+=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=
La contribución de la superficie de concreto equivalente de la superficie de acero al momento de inercia de la sección transformada es:
( )220 0
xdnAAdI
Iaceroelparaconsiderase
soacero −==
≅
Finalmente el momento de inercia de la sección transformada es:
( )23
3xdnAbxI
III
stotal
aceroconcretototal
−+=
+=
Momentos de primer y segundo orden de la sección transformada de una sección de concreto, con acero de refuerzo a tensión y
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compresión.
Para tener en cuenta el área de concreto desplazado por las barras de
acero de compresión se emplea ')1( sAn − en vez de
'snA .
( ) ( ) 0)'()1(2
´ =−−−−+ xdnAdxAnxbx ss
[ ] [ ] 0')1(2)1(2 ''2 =+−−+−+ dnAdAnxnAAnbx ssss
2aceroCaceroTconcretototal IIII ++=
( ) ( )2'23
')1(3
dxAnxdnAbxI sstotal −−+−+=
Ejemplo 7
Revisión de esfuerzos en una sección rectangular simplemente armada por el método de la sección transformada.
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Datos:
Momento: 13 Ton - m
Concreto: '
cf = 200 kg/cm2
Acero: yf = 4000 kg/cm2
sE = 2 x 106 kg/cm2
Constantes y especificaciones Módulo de elasticidad del concreto:
2' /100,11320080008000 cmkgfE cC ===
Relación modular: 7.17100,113000,000'2
===c
s
EEm
Superficie de concreto equivalente: 23.205)6.11(7.17 cmmAs ==
Profundidad del eje neutro
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Aplicando momentos de primer orden de las superficies respecto al eje neutro.
( ) ( )
( )
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
−±−==∴
=−+
=+−
=−−
=−−
95.222
4,95.22
03.90342.1603.205553.2055.12
0553.205225
02
2
2
2
2
AACBB
xx
xxxx
xx
xdmAxbx s
Momento de inercia
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
2220
4333
333
3232
00
617,311
885,21095.22553.205
0
732,10095.22325)25(
31
31
31231
41
12212
cmIII
xdmAAdI
Iaceroelpara
cmxbhI
bxbxbxbxxbxxbAdI
concretoelpara
aceroconcreto
soacero
concreto
=+=
=−=−==
≅
====
=+
=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+
Momento de inercia de la sección de concreto completa:
( ) 433 000,45060)25(31
31 cmbhIconcreto ===
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Calculo de Esfuerzos
( ) ( ) 22
241
/367,295.2255617,311
000,300'17.17
/74.95)95.22(617,311
000,300'1
cmkgyI
mMmff
cmkgcmcm
cmkgyI
Mf
ts
c
=−===
=−
==
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III.2 Sección transformada de una sección doblemente reforzada
Ejemplo 8 Revisión de esfuerzos en una sección rectangular doblemente armada por el método de la sección transformada.
Datos
Momento demandado: 30 ton-m = 3’000,000 kg-cm
2
2'
26
2
2'
7.3910#5
9.1510#2
/102
/4000
/20060,30
cmVA
cmVA
cmKgE
cmKgf
cmKgfcmhcmb
ss
ss
s
y
c
==
==
×=
=
=
==
Constantes y especificaciones - Módulo de elasticidad del concreto
2' /137,11320080008000 cmkgfE cc ===
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- Relación modular: 68.17137,113000,000'2
===c
s
EEm
Profundidad del eje neutro Aplicando momentos de primer orden de las superficies respecto al eje neutro.
( ) ( )
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±−==∴
=−+
=+−++
=+−−+
=−−−+
=−−−−+
AACBBxcmx
xxxx
xxx
xxx
xdmAdxAmxbx ss
24,58.27
0539,25.640)8.498,362.591,1()9.7012.265(15
09.701)52(9.701)6(2.2652.26515
052)7.39(68.17)6)(9.15(68.162
30
0)'()1(2
2
2
2
2
2
'
Momento de inercia Contribución de la superficie del concreto al momento de inercia:
( ) 433 789,20958.273
3031 cmbxIconcreto ===
Contribución de la superficie del acero negativo al momento de inercia,
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donde 00 ≅I : 4222 503,123)658.27(2.265)'()1( cmdxAmAdI soacero =−=−−==
Contribución de la superficie del acero positivo al momento de inercia, donde 00 ≅I :
( ) ( ) 4222 569,41858.27529.701 cmxdmAAdI soacero =−=−== Finalmente, el momento de inercia total es:
4861,751569,418503,123789,209 cm
IIII tenacerocompaceroconcreto
=++=
++= −−
( ) 433 000,54060)30(31
31 cmbhI totalc ===−
Calculo de Esfuerzos
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( ) ( )
( ) ( ) 22
2'2
''
21
/719,142.24861,751
000,000'368.17
/522,158.21861,751
000,000'368.17
/05.110)58.27(861,751000,000'3,
cmkgyI
mMmff
cmkgyI
mMmff
cmkgyI
Mf
ts
ts
c
====
====
===
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IV. DEFLEXIONES 3. ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO. 3.1 Esfuerzos bajo condiciones de servicio 3.2 Deflexiones 3.2.1 Deflexiones en elementos no presforzados que trabajan en una
dirección La delexión total será la suma de la inmeidata más la diferida. Las deflexiones se calculan suponiendo un comportamiento elástico. Para obtener el valor del módulo de elasticidad se utiliza el recomendado por las NTC-RC-DF-2000
2/000,8
1/000,142'
2'
claseconcretocmkgfE
claseconcretocmkgfE
cc
cc
=
=
Para porcentajes bajos de acero se toma el valor del momento de inercia correspondiente a la sección total del concreto, no agrietada y sin considerar el refuerzo. 3.2.1.1 Deflexiones inmediatas Para porcentajes altos se utiliza el momento de inercia de la sección transformada agrietada. En claros continuos se toma un valor promedio de los momentos de inercia de las secciones de momento positivo y negativo:
42 321 III
I++
=
donde 21 IeI son los momentos de inercia de las secciones extremas del
claro e 3I el momento de inercia de la sección central. Flecha bajo efectos de corta duración:
IElWCf
c
3
=
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donde W es la carga total l el claro I el momento de inercia C un coeficiente que depende del tipo de carga y de las
condiciones de apoyo o de frontera. 3.2.1.2 Deflexiones diferidas Deflexión adicional debido a la permanencia de la carga, se multiplica la flecha anterior por el factor:
compresiónaacerodecuantíabdA
pdonde
IIclasenormalconcretoparap
Iclasenormalconcretoparap
s'
'
'5014
'5012
=
+
+
En elementos continuos se usa un promedio de p’ como el criterio para I:
42 '
3'2
'1' ppp
p++
=
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Deflexiones admisibles (permisibles).
RC – DF – 87, TITULO SEXTO, CAPÍTULO III, ART. 184. I.
Flecha vertical, incluyendo los efectos a largo plazo:
)(240
5.0 cmlcmfmáx +=
Para miembros cuyas deformaciones afectan elementos no estructurales (como muros de mampostería, que no sean capaces de soportar deformaciones apreciables) se considera como estado límite una deflexión medida después de la colocación de los elementos no estructurales:
)(480
3.0 cmlcmfmáx +=
Para elementos en voladizo, los límites anteriores se multiplican por 2.
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EJEMPLO 9. CÁLCULO DE LA DEFLEXIÓN MÁXIMA EN UNA VIGA CONTINUA
Datos:
Materiales:
26
2
2'
/102
/200,4
/200
cmkgxE
cmkgf
cmkgf
s
y
c
=
=
=
Cargas de servicio: Carga muerta 1.5 t/m
Carga viva 2.8.t/m Carga viva media 0.8 t/m (para deflexiones diferidas) Momentos resistentes en las secciones de momento máximo:
mtM
mtM
R
R
−=
−=−
+
5.48
4.27
Refuerzo en las secciones central 3 y extrema 2
Sección central 3
2'3
23 54.2,09.11 cmAcmA ss ==
Sección extrema 2 2'
32
2 07.5,49.22 cmAcmA ss ==
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Constantes y especificaciones Módulo de elasticidad del concreto y del acero:
26
2'
/)10(2
/100,11320080008000
cmkgE
cmkgfE
s
cC
=
===
Relación modular: 7.17100,113000,000'2
===c
s
EE
n
7.161 =−n
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
a) Cálculo del momento de inercia de la sección extrema 2
Superficie de concreto equivalente:
2'2
22
19.95)70.5(7.16)1(
1.398)49.22(7.17
cmAn
cmnA
s
s
==−
==
Profundidad del eje neutro
( ) ( )
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±−==∴
=−+
=+−++
=+−−+
=−−−+
=−−−−+
AACBBxcmx
xxxx
xxx
xxx
xdmAdxAmxbx ss
24,6.29
0848,188.320)5.349,27380()1.39819.95(15
01.398)7.68(1.398)4(19.9519.9515
07.68)49.22(68.17)4)(07.5(68.162
30
0)'()1(2
2
2
2
2
2
'
Momento de inercia
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( ) ( ) 422 600,6086.297.681.398 cmxdmAI sacero =−=−=
( ) 433 300,2596.293
3031 cmbxIconcreto ===
422'' 380,62)46.29(19.95)'()1( cmdxAmI sacero =−=−−=
4' 280,930 cmIIII aceroaceroconcreto =++= Cálculo de la flecha inmediata (CM máx + CV máx) Cálculo de la flecha diferida
AssA'0' ==ρ
Concreto normal clase I 2
'5012
=ρ+
Concreto normal clase II
( )
)...(56.4)14.1(44)...(28.2)14.1(22
máx2
1
12
12
IICNCcmfICNCcmff
CVmediaCMff
=====+=
Flecha total
42.328.214.121 =+=+= fff Flecha admisible
cmcmcmfmáx
cm
cmLcmfmáx
42.37.53
35.25.02406005.0
2405.0
<<=
=+=+=
+=
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V. AGRIETAMIENTO
NTC-RC-DDF-96 2.2.3 Agrietamiento en elementos no pres-forzados que trabajan en
una dirección. Elementos no expuestos a un ambiente muy agresivo y que no deben ser impermeables. Si en el diseño se usa un esfuerzo de fluencia (>) mayor de 3,000 2/ cmkg para el refuerzo de tensión, las secciones de máximo momento positivo y
negativo se dimensionan de modo que 3 Adf cs < 40,000 kg/cm. Donde sf es el esfuerzo en el acero en condiciones de servicio
en 2/ cmkg .
cd recubrimiento de concreto medido desde la fibra extrema a tensión al centro de la barra más próxima a ella, en cm.
A área de concreto a tensión en 2cm , que rodea al refuerzo principal a tensión y cuyo centroide coincide con el dicho refuerzo, dividida entre el número de barras equivalente, área total de acero / área de la barra de mayor diámetro.
El esfuerzo sf puede obtenerse con la expresión:
ys
ss
ffó
AdMf
6.0
9.0
=
=
Esta última expresión se puede utilizar si no se recurrió a la redistribución de los momentos elásticos) y M en la primera expresión es el momento flexionante en condiciones de servicio.
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EJEMPLO 10 Revisión del agrietamiento de la viga continua del ejemplo 9. Datos: Refuerzo en las secciones de momento máximo.
Sección central 3
23 09.11 cmAs =
Momento flexionante de servicio:
4.1273.19 =−= mtM A
Sección extrema 2 2
2 49.22 cmAs = Momento flexionante de servicio:
4.1483.34 =−= mtM B
Materiales:
26
2
2'
/102
/200,4
/200
cmkgxE
cmkgf
cmkgf
s
y
c
=
=
=
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ADHERENCIA Y ANCLAJE
4
2sb
sbfdfAT π
==
Por equilibrio de fuerzas respecto a x se tiene:
des
bs
sbdesb
ldfu
fdldu
4
4)(
2
=
=ππ
Si se conoce el esfuerzo de adherencia último nu , la longitud dl necesaria
para desarrollar el esfuerzo de fluencia del acero yf es:
n
byd u
dfl
4=
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Las fuerzas de tensión se pueden obtener como sigue:
n
byd u
dfl
4=
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NATURALEZA DE LA ADHERENCIA
PATRONES DE AGRIETAMIENTO
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VARIABLES QUE DETERMINAN EL TIPO DE FALLA
ENSAYES DE EXTRACCIÓN - BARRA LISA
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ENSAYES DE EXTRACCIÓN - BARRA CORRUGADA
FALLA EN ESPECÍMENES DE EXTRACCIÓN DE BARRAS CORRUGADAS
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ESFUERZOS ÚLTIMOS DE ADHERENCIA
b
cu d
fkU
'
=
si '
cf se expresa en 2/ cmkg y bd en cm, k = 6 (del orden de acuerdo a algunos reglamentos). Si
2' /200 cmkgfc = y bd es el diámetro de una barra del No 8:
2'
/3354.22006 cmkg
dfk
Ub
cu ===
Otra expresión simplificada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
b
ysvc
bu sd
fAf
dCU 2.07.016 '
que toma en cuenta:
- C espesor del cilindro hueco de falla - bd diámetro de la barra - '
cf resistencia del concreto
- svA área de los estribos transversales - yf esfuerzo de fluencia de los estribos y - s separación de los estribos
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Conocidos los valores de u se pueden obtener las expresiones para las longitudes de desarrollo en función de estos valores, como se deduce a continuación.
Dado b
cu d
fkU
'
= y
'
2
' 44
4c
by
b
c
by
n
byd
fk
df
dfk
dfudf
L ===
Haciendo bbbb AdódAπ
π 44
22 == y remplazando el valor del
diámetro de la barra en la expresión anterior se tiene:
'''
2
4
4
4 c
by
c
by
c
byd
fk
Af
fk
Af
fk
dfL
ππ =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
si k se toma igual a 6, se obtiene:
'''053.0
6 c
yb
c
yb
c
ybd
f
fA
f
fA
fk
fAL ===
ππ
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VI. ANCLAJE Y ADHERENCIA (RC-DDF-NTC-96)
3. REQUISITOS COMPLEMENTARIOS 3.1 Anclaje 3.1.1 Requisitos generales
b) se cumple el requisito de adherencia en una longitud suficiente de barra o de algún dispositivo mecánico de anclaje, en la mayoría de los casos, para el acero de tensión de miembros sujetos a flexión si:
I. Las barras que dejan de ser necesarias por flexión se cortan o se doblan a una distancia no menor que su peralte efectivo d, más allá del punto teórico donde de acuerdo con el diagrama de momentos ya no se requiere.
II. La longitud que continua de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que dLd + .
III. A cada lado de toda sección de momento máximo la longitud de cada barra es mayor o igual que dL (Longitud de desarrollo).
IV. Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado se prolonga más allá del centro del apoyo una longitud mayor que:
( ) hLLd 5.025.0 ≥+ (3.1)
donde L es el claro del elemento y h el peralte total.
c) Longitud de desarrollo básica para barras < #12 (diámetro de 38.1 mm):
yb
c
ysdb fd
f
faL 006.006.0
'≥=
(3.2)
donde bd es el diámetro de la barra en cm, sa el área transversal
en 2cm y, yf y '
cf en 2/ cmkg .
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TABLA 3.1 Condición del refuerzo Factor
Barras horizontales o inclinadas colocadas de manera que bajo ellas se cuelan más de 30 cm de concreto.
1.4
En concreto ligero 1.33 Barras con yf mayor de 4,200 2/ cmkg
( yf en 2/ cmkg )
yf200,42 −
Barras torcidas en frío de diámetro igual o mayor que # 6 (19.1 mm)
1.2
Todos los otros casos 1 En ningún caso dL será menor de 30 cm.
O para todos los casos cmLd 30>
La longitud de desarrollo de una barra lisa será el doble de la requerida para corrugadas
La longitud de desarrollo de una barra a compresión será:
cmLL dbdb 206.0' >≥
3.1.2 Requisitos complementarios de anclaje. I. En extremos libremente apoyados, sin doblar, cuando
menos un 1/3 del refuerzo de tensión (momento positivo) se prolongará.
II. En extremos continuos se prologará ¼.
3.1.4 Anclaje de mallas de alambre soldado. Se supondrá que un alambre puede desarrollar su esfuerzo de fluencia en una sección, si a cada lado de ésta se ahogan en el concreto cuando menos dos alambres perpendiculares al primero, distando el más próximo no menos de 5 cm de la sección considerada.
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3.6 Separación entre barras o tendones individuales 3.6.1 Acero de refuerzo La separación libre entre barras paralelas (excepto entre capas de barras de vigas) no será menor que el diámetro nominal de la barra ni que 1.5 veces el tamaño máximo del agregado.
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EJEMPLO 11. CORTE DE BARRAS Y REQUISITOS DE ANCLAJE EN UNA VIGA CONTINUA
Datos:
Materiales:
26
2
2'
/102
/200,4
/200
cmkgxE
cmkgf
cmkgf
s
y
c
=
=
=
Diagrama de momentos flexionantes de diseño, uM .
Momentos resistentes en las secciones de momento máximo:
mtM
mtM
R
R
−=
−=−
+
5.48
4.27
Refuerzo en Sección central 3
23 09.11 cmAs =
Refuerzo en Sección extrema 2 2
2 49.22 cmAs =
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LONGITUDES DE DESARROLLO (véase 3.1.1.c)
ybc
ysdb fd
f
faL 006.006.0
'≥=
Barras No. 6:
( )
( ) cmdxfdL
cmaxf
faL
cmdcma
bybdb
sc
ysdb
b
s
9.479.12.254200006.0006.0
8.5085.285.17200
420006.006.0
9.185.2
'
2
===≥
====
==
Para el lecho inferior:
cmLd 308.50 >=
Para el lecho superior (para más de 30 cm de concreto):
cmcmxLd 301.718.504.1 >== Barras No. 4:
cmxfdL
cmxf
faL
cmdcma
ybdb
c
ysdb
b
s
3227.12.25006.0
7.2227.185.1706.0
27.127.1
'
2
==≥
===
==
Para el lecho inferior:
cmLd 3032 >=
Para el lecho superior (para más de 30 cm de concreto):
cmcmxLd 308.44324.1 >==
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Resumiendo:
Barra # 4 # 6 Para el lecho inferior: cmLd 3032 >= cmLd 8.50= Para el lecho superior: cmcmLd 308.44 >= cmLd 1.71=
MOMENTOS RESISTENTES DE GRUPOS DE BARRAS
Refuerzo positivo
( )
( )
( ) ( ) mtm
mtm
mtMAam
R
R
Rs
sR
−===
−==
−===≅
28.64.2709.1154.24.27
09.11)27.1(2;4#2
1.14)4.27(09.1185.22;6#2
04.7)4.27(257.04.2709.1185.2;6#1
Primer corte: sí se eliminan 2 ó 1 varillas del # 6, respecto al acero de tensión total, se tiene respectivamente:
( )
( ) 33.026.009.1185.21
33.0514.009.117.5
09.1185.22
<=
>==
Para el acero que corre se tiene que dos varillas del # 4 dan un valor menor que un tercio, por lo que se seleccionan dos varillas del # 6:
( ) 33.0229.009.1154.2
09.1127.12
<==
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Refuerzo negativo
( )
( ) ( )
( ) ( ) mtm
mtm
mtMAam
R
R
Rs
sR
−===
−==
−==≅
47.55.485.22
54.25.485.22
)27.1(2;4#2
3.125.485.2285.22;6#2
14.65.485.22
85.2;6#1
Primer corte: sí se eliminan 3 ó 2 varillas del # 6, respecto al acero de tensión total, se tiene respectivamente:
( )
( ) 33.025.05.22
7.55.2285.22
33.038.05.22
57.85.22
85.23
<=
>=
Segundo corte, sí se eliminan 2 varillas del # 6, respecto al acero de tensión restante, se tiene respectivamente:
33.034.08.167.5
7.55.22)2(85.2
>==−
LONGITUDES DE CORTE DE ACUERDO A LAS NORMAS NTC-RC-DDF-96, SECCION 3.1. Inciso 3.1.1 b II. Barra que no se corta y no se dobla:
Momento positivo Barras # 6: cmdLd 1227151 =+=+ Barras # 4: cmdLd 1037132 =+=+
Momento negativo Barras # 6: cmdLd 1406971 =+=+
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Inciso 3.1.1 b IV
Momento positivo, extremo libremente apoyado
hLLd 5.02008.50)800(25.08.5025.0 <−=−=−
Rige 0.5 h = 0.5 x 75 = 37.5 cm Inciso 3.1.2 I.
Área de acero para momento positivo máximo: 209.11 cmAs =
Área que llega a cada extremo (2#6), para extremos libremente apoyados.
22 7.3309.11
3170.5)85.2(2 cmAcmA ss ==>==
Sí se cumple este requisito 3.1.2 I.
COMENTARIOS 1. Los momentos uM ya están afectados por el factor de carga. 2. El ejemplo está planeado para ilustrar el corte de todas las
barras que van dejando de ser necesarias por flexión, sin que en ninguna sección de corte en zona de tensión se interrumpa más del 33 por ciento del refuerzo (véanse 2.1.5 f). Este proceder puede resultar demasiado laborioso en la práctica, y es entonces preferible un esquema de cortes más sencillo, aunque implique un consumo algo mayor de refuerzo longitudinal.
3. Se supone que el momento resistente varía linealmente con As
y que el peralte efectivo es el mismo para todas las barras. 4. Las longitudes constructivas de las barras y su localización se
obtienen de este diagrama, que debe dibujarse a escala.
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CORTES DE LAS VARILLAS DE ACERO LONGITUDINAL
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III. MÉTODO DE LÍNEAS DE FLUENCIA. La Teoría de la líneas de fluencia está reportada en la referencia: Park R. y Gamble N.L. 1994, “Losas de concreto Reforzado”, Limusa, Noriega Editores, México, Capitulo 7 y 8. Los autores de esta teoría son Ingerslev (inicio el tema en 1923) y Johanse (Ampliado y mejorado, danés, 1943, Yield-line theory, CCA, Londres, 1962) En el diseño de losas de concreto reforzado con malla soldada III.1 Modelo analítico.
La teoría está sustentada en el método de Límite superior, donde se considera lo siguiente: • La Carga última se estima suponiendo un mecanismo de colapso
plástico por flexión (estado límite plástico), • Los momentos en las líneas de articulaciones plásticas son los
momentos máximos de resistencia de las secciones, • La carga última se determina usando el principio del trabajo virtual, • No se examinan las regiones entre las líneas de articulaciones plásticas
(movimiento de cuerpo rígido), • Es preciso examina todos los posibles mecanismos de colapso para
garantizar la carga crítica. • Se impide la falla por cortante.
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Figura 2.1 Ejemplos de patrones de líneas de fluencia de losas
uniformemente cargadas
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III.1 MODELO ANALÍTICO
Refuerzo de la losa Lozas uniformemente reforzadas. El área de la sección de refuerzo por ancho unitario se supone constante. El refuerzo puede ser diferente en las dos direcciones y diferente el refuerzo de arriba al de abajo de la losa. Identificación del estado límite plástico o patrón de líneas de fluencia que forman un mecanismo de colapso plástico. - Experimental (Historia de carga con pruebas de carga, en la literatura
existe una gran variedad de patrones tipo de mecanismo de falla) - Analíticamente (análisis elasto-plásticos) Convención _______ Borde libre _______ Borde simplemente apoyado _______ Borde fijo (empotrado) Columna ___ _ ___ Eje de giro (rotación) Línea de fluencia de momento positivo _ _ _ _ _ Línea de fluencia de momento negativo Para la determinación del patrón líneas de fluencia - Las líneas de fluencia deben ser líneas rectas que constituyen ejes de
rotación,
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- Los apoyos de las losas actúan como ejes de rotación, un eje de rotación puede pasar sobre una columna,
- Para que haya compatibilidad en las deformaciones una línea de fluencia
debe pasar por la intersección de los ejes de rotación de los segmentos adyacentes.
Una vez desarrollado un mecanismo de colapso los segmentos de la losa
entre líneas de fluencia permanecen como cuerpos rígidos planos. Momentos máximos de resistencia (plástica) en las líneas de fluencia
Para la línea de fluencia que corre por perpendicular al refuerzo se tiene:
( )''5.0c
ys
bf
fAysu dfAm −= NTC-RC-DF-96
( )'59.0c
ys
bffA
ysu dfAm −= ACI donde:
um es el momento último de resistencia por ancho unitario
yf esfuerzo de fluencia del refuerzo
sA el área de acero a tensión (por ancho unitario) b ancho unitario (100 cm, 1m) d la distancia del centroide del acero a tensión a la fibra extrema del
concreto a comprensión (peralte efectivo)
'cf esfuerzo a comprensión del concreto
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Para la línea de fluencia que cruza el refuerzo con un ángulo α cualquiera, se modela como sigue (Johansen): - El refuerzo se coloca en las direcciones x e y. - La línea de fluencia tiene una inclinación α respecto a y. - Una línea escalonada puede sustituir a la línea real de fluencia, que
consiste en una serie de escalones en las direcciones x e y. - Los momentos de torsión en las direcciones x ó y son cero.
- El acero a tensión que cruza la línea de fluencia ha alcanzado la cedencia.
Momento máximo de resistencia por ancho unitario que actúa normalmente a la línea de fluencia:
αα 22 sencos uyuxun mmm += Momento de torsión por ancho unitario que actúa a lo largo de la línea de fluencia:
( ) αα cossenuyuxunt mmm −= Sí m mux uy≠ se tiene una losa “ORTOTRÓPICA” o reforzada ortotrópicamente. Sí m mux uy= se tiene que:
0
)( 22
=
==+=
unt
uyuxuxun
m
mmSenCosmm δδ
Una losa de este tipo se le llama “ISOTRÓPICA” o que está reforzada isotrópicamente
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Modelo analítico para determinar la resistencia de una LF
Momentos flexionantes que actúan sobre la sección diagonal.
( ) ( ) ( )
αα
αααα
αα
αα
22cos
coscos
cos
cos
senmmm
sensenmmm
senabbcm
abacmm
senbcmacmabm
uyuxun
uyuxun
uyuxun
uyuxun
+=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
Momentos torsionantes que actúan sobre la sección diagonal.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) αα
αααα
αα
αα
cos
coscos
cos
cos
senmmm
senmsenmmabbcmsen
abacmm
bcmsenacmabm
uyuxunt
uyuxunt
uyuxunt
uyuxunt
−=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
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III.1.1 Análisis por el principio del trabajo virtual El trabajo realizado por una carga crítica (última o máxima) uniformemente distribuida por área unitaria wu es:
( ) ∆== ∑∫∫ uue Wdxdyyxww ,δ donde:
wu es la carga última uniformemente distribuida por área unitaria, δ( , )x y desplazamientos en todos los puntos de la losa,
uW carga total sobre un segmento del patrón de líneas de fluencia, ∆ desplazamiento del centroide. El trabajo realizado por las acciones internas en las líneas de fluencia se debe solamente a los momentos flexionantes, ya que el trabajo efectuado por los momentos de torsión y las fuerzas cortantes son iguales a cero cuando se suman sobre toda la losa. El trabajo interno se expresa como:
0lmw nuni θ= donde:
nθ es la rotación relativa (o giro) al rededor de la línea de fluencia entre dos segmentos,
mun es el momento último de resistencia por ancho unitario, lo longitud de la línea de fluencia. La ecuación del Trabajo Virtual se puede entonces expresar como:
00
0
=∆−=−
==∆=
∑∑∑∑∑∑∑∑
ununei
nuniue
Wlmwwo
lmwWw
θ
θ
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III.2 Ejemplos de aplicación. III.2.1 Ejemplo 1, Losa Cuadrada. Determinar la carga crítica (máxima o última) uniformemente distribuida por área unitaria, wu, de la losa cuadrada, simplemente apoyada. La losa está reforzada isotrópicamente.
Si se desplaza una distancia pequeña δ hacia abajo el centro de la losa, se tienen que la rotación total de los segmentos alrededor de cada línea i de fluencia es:
lni
δδθθ22
2/22 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==l
Para cada línea diagonal de fluencia se tiene:
l
llo
fbfA
dAfmm
ni
c
yssyuun
δθ 22
2
59.0
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
−==
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El trabajo interno es:
δδθ uunun mll
mlm 822220 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∑
La carga total de cada segmento y el punto aplicación se pueden obtener
como:
32/6/,
4221 2 δδδ ====
llwlwllP puui
El trabajo externo es:
3344 2
24
1
δδ lwlw
w uu
iiui =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆∑
=
La ecuación del trabajo virtual puede escribirse como:
∑∑ ===∆ nounuuu lmmlwW θδδ 83
2
La carga crítica es por consiguiente:
[ ][ ]cysys
uu
fbfAdfAl
lmw
′−=
=
/59.024
24
2
2
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III.2.2 Ejemplo 2, Ecuaciones de Equilibrio. Obtención de la carga crítica por el método de las ecuaciones de equilibrio. Segmento A, tomando momentos con respecto al eje del apoyo se tiene:
Carta total del segmento 4
2lwu
Punto de aplicación de la carga a 6l
momento interno total m lu Tomando momentos respecto al eje del apoyo
uu
uu
wlm
llwlm
24
064
2
2
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
224lm
uuw =∴
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III.2.3 Ejemplo 3, Carga concentrada. Losa sometida a una carga concentrada. Para cargas concentradas, donde los patrones de líneas de fluencia pueden involucrar líneas curvas de momentos negativos con líneas radiales de momentos positivos, pueden se más críticos que los patrones que involucran grandes segmentos triangulares entre líneas de fluencia. Sea una losa cuadrada fija en todos sus bordes, sometida a una carga
centroidal última concentrada uP , la losa está isotrópicamente reforzada
tanto en laparte superior como inferiror, con 'um y um como momentos
últimos negativos y positivos, respectiviamente, por ancho unitario.
La carga que actúa en cada segmento
es 4/uP , por equilibrio del segmento ABC y tomando momentos con respecto a AB se tiene:
Cada segmento carga nPu / . Tomando momentos respecto a la línea de apoyo se tiene:
( )( )uuu
uuu
mmP
lPlmm
+=
=+
'
'
824
( )( )uuu
uuu
mmP
rnP
nrmm
+=
=+
'
'
2
2
π
π
Es la carga crítica
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III.2.4 Ejemplo 4. Losa exagonal. Obtener la carga última o máxima,
uniformemente distribuida por área unitaria, uw , de una losa de forma poligonal, con n lados, fija en todos sus bordes. La losa está isotrópicamente reforzada tanto en la parte superior como inferior, con momentos últimos o máximos resistentes negativos y positivos, por ancho
unitario, 'um y um , respectivamente. Ver figura siguiente, donde r es el
radio inscrito de la losa de forma poligonal y l la longitud de cada lado.
PATRÓN DE LÍNEAS DE FLUENCIA, MECANISMO DE FALLA PLÁSTICA Considerando el equilibrio del segmento ABC, se toman momentos respecto a la línea de apoyo AB.
( )
( )uu
EuuI
mmr
w
wrlrwrlMlmmM
+=∴
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==+=
'2
2'
6632
Donde IM y EM son los momentos producidos por las fuerzas internas y fuerzas externas, respectivamente. Esta solución se aplica a una variedad de casos de losas poligonales de lados regulares.
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III.2.5 Ejemplo 5, Losa triangular. Sea un polígono de tres lados, o una losa triangular, donde el número de lados es igual a 3, n = 3.
PATRÓN DE LÍNEAS DE FLUENCIA, MECANISMO DE FALLA PLÁSTICA
( )uu mmr
w += '2
6
donde:
( ) ( )uuuu mml
mml
w
lllrl
r
+=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∴
===⇒=
'2
'2
00
72
32
6
3231
230tan
22/30tan
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III.2.6 Ejemplo 6, Losa de cuatro lados. Sea un polígono de cuatro lados, o una losa cuadrada, donde el número de lados es igual a 4, n = 4.
( )uu mmr
w += '2
6
En este caso de tiene:
( ) ( )uuuu mml
mml
w
lr
+=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∴
=
'2
'2
24
2
6
2
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III.2.7 Ejemplo 7, Losa de seis lados. Sea un polígono de seis lados, o una losa hexagonal, donde el número de lados es igual a 6, n = 6.
( )uu mmr
w += '2
6
En este caso de tiene:
( ) ( )uuuu mml
mml
w
lllrl
r
+=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∴
===⇒=
'2
'2
00
8
23
6
233
260tan
22/60tan
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III.2.8 Ejemplo 8, Losa circular. Sea un polígono de lados infinitos, o una losa circular, donde el número de lados es igual a ∞ , ∞=n . El círculo se puede discretizar o aproximar con un polígono de longitud dl (o de lados muy pequeños), por tanto se tiene que:
( )
( )
( ) ( )
( )uu
EuuI
uu
EuuI
mmr
w
rwrdlMdlmmM
mmr
w
wrlrwrlMlmmM
+=∴
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==+=
+=∴
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==+=
'2
'
'2
2'
632
6632
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III.3 Losas rectangulares ortotrópicas. Para el caso de losas rectangulares, con refuerzo paralelo a los lados de la losa, en la dirección x e y, el problema se puede tratar como sigue. Para una línea de fluencia, con un ángulo � de inclinación respecto al eje y, donde los segmentos de la losa experimentan un rotación relativa nθ alrededor de la línea de fluencia, el trabajo interno está dado por:
∑ onun lm θ Este trabajo interno también se puede expresar a través de las componentes de mun , como sigue:
( )
( )( ) ( )( )[ ]
[ ]
[ ]∑
∑
∑
∑∑
=
=
=
==
+=
+=
+=
+=
nl
iyuyxux
nl
ixyuyyxux
nl
nnuynux
nl
nnuyux
nl
nnun
iiiiiixmym
lmlm
lsensenmlm
lsenmmlm
100
1
100
01
22
10
coscos
cos
θθ
θθ
ααθααθ
θααθ
donde xθ y yθ son las componentes de nθ , en las direcciones de x e y, y
0x e 0y son las longitudes proyectadas de la línea de fluencia en las direcciones de x e y.
[ ] [ ]∑∑∑===
+=∆nl
iyuy
nl
ixux
nb
iiu iiiiiii
xmymW1
01
01
θθ (1)
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Determinar la carga última uniformemente distribuida por área unitaria, , de losa rectangular, simplemente apoyada en su periferia, ortotrópicamente reforzada, con momentos últimos positivos por ancho unitario, uxm y uym , en las direcciones de los claros largo y corto, respectivamente. En la figura siguiente se muestra un patrón de líneas de fluencia.
Losa rectangular uniformemente cargada
Para obtener los trabajos interno y externo, se aplica al centro de la losa un desplazamiento pequeño δ hacia abajo del plano de la losa, es decir un desplazamiento perpendicular al plano de la losa. El trabajo interno se puede hallar aplicando la ecuación 1, como a
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continuación se describe.
Componentes de rotación Componentes de trabajo SEGMENTO xθ yθ
iiiym xux 0θ iii
xm yuy 0θ ADE
1lδ
0
yux ll
m1
δ
ABFE 0
yl5.0δ
x
yuy l
lm δ2
BCF
1lδ
0
yux ll
m1
δ
DCFE 0
yl5.0δ
xy
uy ll
m δ2
Por consiguiente el trabajo interno total es:
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δδθy
xuy
yux
nl
nnun l
lmll
mlm 4211
0 +=∑=
El trabajo externo se puede obtener por segmentos rígidos, como sigue.
Segmento ADE y BCF: 321 δll
w yu
Segmento AEG, DEI, BFH, CFJ: 34322 1
1 δδ yu
y
u
llw
ll
w =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Segmento EFGH y EFIJ: ( )22
2 1δy
xu
lllw −
El trabajo total es:
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( )
( )2
233
2222
344
322
111
111
δδδ
δδδ
yxuyuyw
yxu
yu
ywu
lllwllwllw
lllw
llw
llwW
−++=
−++=∆∑
( )
( )
( )6
23
6634
22
232
22
33
1
11
11
111
δ
δ
δδδ
δδδ
lllw
llllw
llwllwllw
lllwllwllwW
xyw
xyw
yuyxuyw
yxuyuywu
−=
−+=
−+=
−++=∆∑
Por equilibrio de trabajos se tiene:
( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
+=−
+=−
y
xuyyux
xyu
y
xuy
yuxxyw
y
xuy
yuxxyw
llm
llm
lllw
llm
ll
mlllw
llm
ll
mlllw
223
12
426123
426
23
11
11
11 δδδ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=y
xuyyux
yy
xy
u llm
llm
ll
lll
w2
2312
112 (2)
Para obtener el valor mínimo de la ecuación 2, se procede como sigue:
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043
22230
1
2
1
12
1
1
1
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∴
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
uy
ux
yxuy
yux
y
yy
xuyyuxyux
yy
xu
mm
ll
lmlm
ll
lllm
llm
llm
ll
ll
dldw
de donde se tiene que:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
uy
ux
x
y
uy
ux
uy
ux
x
y
y mm
ll
mm
mm
ll
ll
2/12
1 321
Finalmente la carga última o máxima uniformemente por área unitaria está dada por.
22/12/12
2 3
24
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
uy
ux
x
y
x
y
uy
uxy
uyu
mm
ll
ll
mml
mw
(3)
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III.4 Mecanismo de sistema de piso. Mecanismos compuestos de colapso de viga y losa.
Losa reticular uniformemente cargada, sobre vigas apoyadas solamente en las esquinas, a) Losa sobre las vigas, b) modo de falla 1, c) modo de falla 2, d) modo de falla 3, e) modo de falla combinando los modos 1, 2 y 3. En este sistema los momentos últimos de resistencia de las vigas en la dirección x e y son uxM y uyM , por otro lado, uxm y uym , son los momentos últimos de resistencia por ancho unitario de losa, en las direcciones x e y, y
uw la carga última por área unitaria.
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Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo a:
xxx lllδθδδθ 42,2
2
===
222442 δδδ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
yx
ux
yuxx
ux
EI
llwl
lml
M
WW
22
2
816
82
x
ux
xy
uxu
xyuyuxux
lm
llMw
llwlmM
+=
=+
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Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo b:
yyy lllδθδδθ 42,2
2
===
222442 δδδ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
xy
uy
xuyy
uy
EI
ll
wl
lml
M
WW
82
2yxu
xuyuy
llwlmM =+
22
816
y
uy
yx
uyu l
mll
Mw +=
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Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo c, en este caso se tiene la expresión obtenida con anterioridad para una losa rectangular:
22/12/12
2 3
24
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
uy
ux
x
y
x
y
uy
uxy
uyu
mm
ll
ll
mml
mw
El modo crítico es el modo con la menor carga última de los tres mecanismos analizados. Es posible que las resistencias de las vigas y la losa, sean tales que los tres modos tengan la misma carga última, en este caso, se presenta el modo combinado de la figura d.
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III.3 Modelos experimentales.