Cap 1. Flujo Compresible Definiciones

U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA ANTONIO JOS DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA SECCIN DE TERMOFLUIDOS DINAMICA DE GASES

DINAMICA DE GASES(322678) Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2010.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana

CAPITULO ICONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO COMPRESIBLE.1.1 Definicin de Flujo Compresible. 1.2 Regmenes de Flujo Compresible. 1.3 Velocidad del sonido. Nmero y Angulo de mach. 1.4 Condicin Caracterstica y de Estancamiento. 1.5 Resumen de ecuaciones. 1.6 Aplicaciones. 1.7 Problemas. 1.8 Bibliografa.

UNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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CAPITULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO COMPRESIBLE.1.1.- DEFINICIN DE FLUIDO COMPRESIBLE. Por lo general el fluido compresible se ha definido como aquel cuya densidad vara; esto en contraste con la tradicional definicin del fluido incompresible, en donde la densidad se asume como constante. Cientficamente se puede demostrar que todo fluido es compresible en mayor o menor grado. De cualquier modo, el hecho de asumir que la densidad se mantiene constante para algunos gases y lquidos puede considerarse razonable y en muchos casos el uso de la ecuacin de Bernoulli de la forma p + 1 V 2 = const 2 (1.1)

permite cierta confianza. Sin embargo, para los conocimientos a suministrar en este trabajo, no se puede utilizar la ecuacin (1.1) para tratar el fluido compresible, ya que se requiere una definicin ms elaborada del mismo. Considrese un pequeo elemento de fluido de volumen v . La presin que los alrededores ejercen sobre ese elemento de volumen es p . Ahora considrese que esa presin es incrementada una cantidad infinitesimal dp . Sobre este elemento de volumen se estar experimentando una compresin que genera una variacin de volumen dv y como el volumen se ha reducido, ste ser negativo. La compresibilidad, la cual es una medida de cuanto se puede comprimir un fluido, de un fluido se ha definido como

=

1 dv v dp

(1.2)

Fsicamente, la compresibilidad es una fraccin de cambio de un elemento de volumen por unidad de cambio de presin. Sin embargo, lo expresado anteriormente, no es totalmente preciso. Por experiencia cuando un gas es comprimido su temperatura se incrementa, dependiendo de la cantidad de calor que ese gas intercambia con los alrededores. Si la temperatura de ese elemento de fluido es mantenida constante, entonces se estar realizando una compresin isotrmica y la compresibilidad se puede definir comoUNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 3


=

1 v v p T

(1.3)

En otro orden de ideas si en el proceso de compresin no existe transferencia de calor, es decir, si el proceso es adiabtico, se estar realizando una compresin isentrpica y la compresibilidad se define como

=

1 v v p S

(1.4)

en donde el subndice s , indica que la derivada parcial es realizada a entropa constante. La compresibilidad es una propiedad de los fluidos. Los lquidos la poseen muy 2 baja, (por el orden de 10-10 m a 1 atm) y los gases la poseen muy alta (por el orden N 2 de 10-5 m a 1 atm). Si se asume que el elemento de fluido posee una masa unitaria, N v es el volumen especfico, y la densidad es = 1 ; en trminos de la densidad la v compresibilidad queda como

=o tambin

1 d dp

(1.5)

d = dp

(1.6)

es decir, cuando se experimenta un cambio de presin existir el correspondiente cambio en la densidad del fluido. Con el anterior razonamiento se debe de llegar a comprender, definitivamente, que la compresibilidad es una propiedad exclusiva de los fluidos. Asmase ahora que ese elemento de fluido tiene velocidad, la cual es creada por una diferencia de presin. En particular, altos cambios de velocidad involucran altos cambios de presin. En consecuencia, si existen cambios de presin y en base a la ecuacin (1.6), existirn cambios en la densidad. Estos cambios en la densidad sern pequeos en los lquidos (poseen bajos valores de ), y altos en los gases (poseen altos valores de ). Para un campo de flujo de lquidos se hace necesario muy altos gradientes de presin para crear altas velocidades y as generar altos cambios en la densidad. Por lo anterior es que se asume que los lquidos son incompresibles, en donde la densidad de los mismos es constante. En otro orden de ideas, para un campo de flujo de gas, los cuales poseen altos valores de compresibilidad, para moderados cambios del gradiente de presinUNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 4


existen sustanciales cambios en la densidad. Al mismo tiempo, al existir gradientes de presin, existirn altos cambios en la velocidad. El flujo definido de esta forma ser considerado como compresible. Sin embargo es til sealar que para campos de flujos de gases a baja velocidad, los cambios de presin asociados a los mismos, son pequeos, a pesar de poseer alta compresibilidad. Por esta razn, los campos de flujo de gas a bajas velocidades pueden considerarse como incompresibles. Por ejemplo, al disear ventiladores, estos se disean como si fueran a manejar un flujo incompresible. Para fines de clculo se considerar como flujo compresible aquel cuyo cambio en su densidad este por encima del 5 porciento. 1.2.- REGMENES DE FLUJO COMPRESIBLE. En el flujo compresible, as como en el flujo incompresible, existen diferentes regmenes de flujo. Antes de sealar los diferentes tipos de regmenes del flujo compresible, es necesario considerar algunas definiciones iniciales, las cuales algunas sern tratadas con ms detalle ms adelante y otras ya fueron estudiadas en el curso de Mecnica de Fluidos. Aguas arriba de un cuerpo aerodinmico, si el campo de flujo es uniforme, la velocidad ser considerada como velocidad de corriente libre uniforme ( V ). Una lnea de corriente es aquella curva, en el campo de flujo, en donde la velocidad local de cada partcula del campo de flujo, V , es tangente a esa curva. Considrese un punto arbitrario en un campo de flujo, en donde p , T , y V son la presin, temperatura, densidad y el vector velocidad reales o estticas o locales en ese punto. Estas propiedades pueden variar en ese punto a otro en el campo de flujo. Si a V es la velocidad del sonido para la corriente libre uniforme, entonces la relacin , a define el nmero de Mach de esa corriente libre y se expresa como M . Similarmente, se define como nmero de Mach real, esttico o local como M = V , el cual puede a variar de un punto a otro en el campo de flujo. Con las anteriores definiciones en mente, se puede sealar que existen cuatro regmenes de flujo compresible, los cuales se sealan a continuacin. (Ver figura 1.1) 1.- Flujo Subsnico. Considrese unas condiciones infinitas en donde M < 0,8 y un cuerpo aerodinmico agua abajo de esas condiciones infinitas. En el cuerpo el nmero de Mach local, en cualquier punto, es menor a la unidad y por lo tanto la velocidad del campo de flujo, en cada punto, es menor a la velocidad del sonido. El campo de flujo, con las caractersticas del nmero de Mach sealado anteriormente, se define como flujo subsnico. Este flujo se caracteriza por tener sus lneas de corriente paralelas y una variacin en las propiedades en forma continua. Se debe de notar que en la corriente libre uniforme las lneas de corriente son rectas y paralelas y es al llegar alUNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 5


cuerpo aerodinmico dejan de ser rectas y se amoldan al mismo. Es decir, las lneas de corriente se percatan de la presencia del cuerpo, propiedad sta importante en el flujo


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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana M1V M

0.8b V Onda de Choque M1 M1 M1

0.8

M 1.0

M1 1.0

M1

Onda de Choque

M 1.2Onda de Choque Curva M1

M

1.2Onda de Choque Oblicua

M1

M

5

FIGURA 1.1 Ilustracin de diferentes tipos de regmenes de flujo.subsnico, y cambian de direccin Como se demostrar posteriormente, al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinmico, la velocidad y el nmero de Mach local se incrementan, pero no lo suficiente como para que el nmero de Mach supere la unidad. En definitiva se considera un campo de flujo subsnico aquel en donde la corriente libre tenga un nmero de Mach igual o menor a 0,8.UNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 7


2.- Flujo Transnico. Si M permanece subsnico, pero suficientemente cerca de la unidad, y si el nmero de Mach esttico o local del campo de flujo que circula sobre la superficie del cuerpo aerodinmico llega a ser supersnico en varios puntos, el flujo se considera como flujo transnico. En este tipo de rgimen se puede producir alguna onda de choque en una dimensin, (este concepto se tratar posteriormente con detalle), con las respectivas discontinuidades en las propiedades del campo de flujo. Si el nmero de Mach, de la corriente libre, se incrementa sobre la unidad se pueden generar ondas de choque en tres dimensiones y hasta ondas de expansin. Para este rgimen las lneas de corriente de la corriente libre, son rectas y paralelas con un nmero de Mach uniforme. Al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinmico y generarse alguna onda de choque, este se convierte en subsnico y posteriormente puede llegar a ser supersnico. Cuando en el campo de flujo exista una mezcla de flujo subsnico y supersnico se estar considerando como flujo transnico; y especficamente cuando se presenta la situacin en que el nmero de Mach vara de la forma 0,8 M 1,2 se estar considerando un rgimen transnico. 3.- Flujo Supersnico. Un campo de flujo en donde el nmero de Mach sea, en cada punto, constantemente superior a la unidad ser considerado como supersnico. Puede que se presente una onda de choque en dos dimensiones, (choque oblicuo), y como se estudiar posteriormente, la corriente de flujo, posterior a la onda de choque puede continuar supersnica, a pesar de existir las correspondientes discontinuidades en las propiedades del mismo. Aguas arriba de la onda de choque las lneas de corriente son paralelas y rectas. Aguas abajo de la onda de choque continan siendo rectas y paralelas. A diferencia del flujo snico, la corriente libre uniforme supersnica no se percata tan rpidamente de la presencia de la obstruccin y se genera una onda de choque. El campo de flujo es generalmente supersnico aguas arriba y abajo de la onda de choque oblicua, existiendo dramticos cambios en fsicos en las propiedades del campo de flujo. 4.- Flujo Hipersnico. Como se indicar posteriormente, la temperatura, la presin y la densidad de un campo de flujo se incrementan a travs de alguna onda de choque. En la medida en que M se incrementa a valores muy altos, en esa misma medida los cambios en las propiedades sern ms severos. Para valores de M > 5 y con alguna onda de choque existirn, en el campo de flujo, un aumento de temperatura tal que el gas se disocia y reacciona qumicamente. Por esta razn el campo de flujo con M > 5 es un caso muy especial el cual se le denomina flujo hipersnico. Se ha establecido entonces que el valor de M = 5 sea la frontera entre el flujo supersnico y flujo hipersnico. El estudio de este tipo de flujo se tratar en futuros trabajos. 1.3.- VELOCIDAD DEL SONIDO. NMERO Y ANGULO DE MACH. El aire esta compuesto por molculas que estn en continuo movimiento, con diferentes velocidades instantneas y energas diferentes en diferentes tiempos. SinUNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 8


embargo, se puede determinar, para un perodo de tiempo determinado, la velocidad promedio y el nivel de energa molecular. Para un gas perfecto dichas propiedades son nicamente funcin de la temperatura. Considrese ese aire alrededor de usted. Asuma que en este instante se produce alguna perturbacin, (como por ejemplo, la explosin de un globo de goma), alrededor de usted. La energa liberada por esa perturbacin es absorbida por las molculas adyacentes con el resultado del incremento de la velocidad media de las mismas. Estas molculas colisionan con las adyacentes a ellas, transfirindoles energa y as sucesivamente, crendose una transferencia neta de energa o la propagacin, en el espacio, de la perturbacin o especficamente, la creacin de una onda de energa. Esta onda de energa se desplaza en el aire a una velocidad que depende de la velocidad media de las molculas, ya que son las colisiones moleculares las que estn originando dicha onda de energa. Mientras la onda de energa se desplaza, se est variando la energa lo cual produce cambios sensibles en la presin, densidad y temperatura del aire. Lo anterior ocurre hasta que la onda llega al odo y es detectada en el celebro como un sonido. De este modo, esa onda energticamente dbil se denominar onda snica u onda de sonido y esa velocidad se representa por a . Una onda snica, por definicin, es una onda dbil que produce cambios en las propiedades en forma infinitesimal. Bsicamente el propsito del estudio del flujo compresible consiste en estudiar los efectos que esa onda snica produce en el seno del aire o de algn gas. Considrese que se esta desplazando junto con una onda snica que tiene una velocidad a . El aire, aguas arriba de la onda, se mueve a la velocidad de la onda a , como se indica en la figura 1.2. A causa de la existencia de los cambios en las propiedades del flujo, a travs de la onda, el flujo aguas abajo de la onda se desplaza a una velocidad diferente.

onda de presinpp + dpa

onda de presin p

Volumen de Control

p + dp

T V =0

+ dT + dT dV

T a A(b)

+ dT + dT a + da

A

(a )

A

A

FIGURA 1.2 (a ) Onda de presin moviendose a travs del campo de flujo. (b) El campo de flujo relativo al volumen de control conteniendo la onda de presin.Sin embargo, estos cambios son sensibles. Como una onda snica, por definicin, es una onda dbil, se deben considerar los cambios en las propiedades, como cambios infinitesimales, y en el caso de la velocidad de la onda se tiene un cambio de da . De la misma forma, la presin, la densidad y la temperatura tendrn sus respectivos cambios generando, aguas abajo de la onda, los valores de p + dp , + d y T + dT respectivamente.


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Para aplicar las ecuaciones bsicas es necesario establecer el volumen de control en la onda snica, para ello se mantendr fija y moveremos el aire. El campo de flujo a travs de la onda es unidimensional. En base a la figura 1.2, y si la regin 1 y 2 estn aguas arriba y abajo respectivamente y aplicando continuidad, se tiene

a = ( + d )(a + da )a = a + ad + da + dda

(1.7) (1.8)

realizando las operaciones necesarias y despreciando los trminos de segundo orden, se obtienea = da d

(1.9)

Aplicando la segunda Ley de Newton, se lograp + a 2 = ( p + dp ) + ( + d )(a + da )2

(1.10)

realizando, de nuevo, las operaciones necesarias y despreciando los trminos de segundo orden,

dp = 2ada a 2 dresolviendo para da :

(1.11)

da =sustituyendo la ecuacin (1.12) en la (1.9)

dp + a 2 d 2 a

(1.12)

dp + a 2 d a = 2 a

(1.13)

y resolviendo para a 2

dp a2 = d

(1.14)


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Considrese, en este momento, necesario estudiar el proceso que ocurre dentro de la onda snica. Ya se ha dicho que los cambios producidos por la onda snica son sensibles, infinitesimales, esto implica que la irreversibilidad, los efectos de disipacin por friccin y transferencia de calor son despreciables. Por otro lado, no existe adicin de calor al flujo dentro de la onda snica. Por lo tanto se puede afirmar que el proceso, dentro de la onda snica, es isentrpico y la ecuacin (1.14) puede escribirse de la forma

p a2 = S

(1.15)

La ecuacin (1.15) es la expresin fundamental de la velocidad snica o de la velocidad del sonido para cualquier gas. Si se recuerda que = 1 , entonces v d = dv 2 y si se sustituye este trmino en la ecuacin (1.15), se tiene que v p v p a 2 = = v 2 = v S 1 v S v p S

( )

y por lo tanto

p v a= = S S

(1.16)

Se ha deducido la ecuacin (1.16) para confirmar que, si se considera = 0 para los fluidos incompresibles, implica que la velocidad del sonido debe tener un valor infinito. Para los gases calricamente perfectos, tomando en cuenta la relacin isentrpica

pv k = constdiferenciando y recordando que v = 1 , se tiene

p kp = Sentonces,UNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. 11


a=o

kp

(1.17)

a = kRT

(1.18)

En definitiva, la ecuacin (1.16) es la expresin general de la velocidad snica para todos los gases y las ecuaciones (1.17) y (1.18) son las expresiones de la velocidad snica para los gases perfectos. Obviamente que para los gases reales o qumicamente reaccionantes dichas ecuaciones no son vlidas. Es de notar que la ecuacin (1.18) indica que la velocidad snica esta en funcin proporcional solamente de raz cuadrada de la temperatura y esto esta en concordancia con el criterio inicial de que la velocidad snica es un promedio de la velocidad molecular. , si ambos a lados de la ecuacin se elevan al cuadrado y se supone un gas calricamente perfecto, se obtiene Como se recordar el nmero de Mach esta definido como M = V

M2 =

V 2 V2 = kRT kp

(1.19)

La energa cintica e interna por unidad de masa de algn elemento de fluido son V y e respectivamente y recordando que cv = R , se llega a k 1 22

V2 e

2 =

V2

V2 k V2 k (k 1) 2 2 = 2 = 2 M = 2 RT a cvT 2 (k 1) (k 1)

( )

Como se deduce, para un gas calricamente perfecto, (donde e = cvT ), el cuadrado del nmero de Mach es proporcional a la relacin entre las energas cintica e interna respectivamente. Esto es una forma de entender la relacin que existe entre el movimiento de un gas y el movimiento trmico molecular del mismo. En base a lo anterior se puede concluir que, dependiendo de que el nmero de Mach sea menor o mayor a la unidad, la respuesta de un campo de fluido difiere. Como Onda generada a t 2t Onda generada a t t Onda generada a t tFuente

Onda generada a t 2t12

V = 0 UNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible. o V=1 a 2at at at 2 V

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