MCVV2_U1_A2_KAAM
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Actividad 2. Solución de integrales dobles Karla Judith Andrew Méndez AL12509552 I. Demostración teorema de Fubini. Sea F una función continua ∬ R ❑ f ( x,y ) dA = ∫ a b ∫ c d f ( x,y ) dydx= ¿ ∫ a b ∫ c d f ( x,y) dxdy ¿ Para demostrar: ∫ a b ∫ c d f ( x,y) dydx=¿ ∬ R ❑ f ( x,y) dA ¿ Tomamos una partición de magnitudes iguales en (c,d) tales que c= y 0 < y 1 <y 3 …. <y m =d Ahora definimos la función: F ( x) = ∑ 0 m−1 ∫ y r y r+1 f ( x,y ) dx La función es acotada y continua entonces aplicamos el teorema de valor medio para integrales ∫ y r y r+1 f ( x,y ) dy =f ¿
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Actividad 2. Solución de integrales doblesKarla Judith Andrew MéndezAL12509552
I. Demostración teorema de Fubini.Sea F una función continua
∬R
❑
f ( x , y )dA=∫a
b
∫c
d
f (x , y )dydx=¿∫a
b
∫c
d
f ( x , y )dxdy ¿
Para demostrar:
∫a
b
∫c
d
f ( x , y )dydx=¿∬R
❑
f ( x , y )dA ¿
Tomamos una partición de magnitudes iguales en (c,d) tales que c=y0< y1< y3….< ym=d
Ahora definimos la función:
F ( x )=∑0
m−1
∫y r
yr+1
f ( x , y )dx
La función es acotada y continua entonces aplicamos el teorema de valor medio para integrales
∫yr
y r+1
f ( x , y )dy=f ¿
Siempre que los yr+1 pertenezcan a la partición c=y0< y1< y3….< ym=d
Ahora obtenemos el límite de las sumas de Rienman:
∫a
b
f ( x , y )dx=∫a
b [∫c
d
f (x , y )]dx=limn→∞∑j=0
m−1
F (P j )(x j+1¿¿−x j)¿¿
Los a≤ x0< x2<x4….< xm=b de magnitudes iguales pertenecen al intervalo (a,b) y el
punto P jϵ (x j , x j+1) Definimos el punto P jr=(P j ,Y r ( p j ))ϵR y lo aplicamos a F
F (P j )=∑0
m−1
F (P j )( xr+1 ,¿xr)¿
∫c
d
∫a
b
f ( x , y )dydx=¿∫a
b
F ( x )dx= limn→∞
∑j=0
m−1
F (P j )(x j+1¿¿ , x j)¿¿¿
Con esto queda demostrada la igualdad:
∫c
d
∫a
b
f ( x , y )dydx=¿∬R
❑
f ( x , y )dA ¿
El procedimiento para la segunda igualdad será el mismo.
http://207.249.20.73/Mt20142C/file.php/45/Documentos_U1/U1._Integrales_multiples.pdf
II. Aplicamos el cambio de variables utilizando coordenadas polares
x=rcosθ y=rsenθ ;∂ (x , y )∂(r , θ)
=r
4∫−π4
π412
(cos22θ )dθ
¿ 42∫−π4
π /4
(cos22θ)=π4=1.57
El área del terreno es de 1.57 u2
III. Vol=π (r)2dθ
r=cos2θ
V ol=π (cos2θ)2dθ
Vol sol=∫−π4
π4
π (cos (2θ ) )2dθ= π2
4=2.47
El volumen de los nuevos balones es 2.47u3
IV. Puntos (0,0) (0,2)(2,0)(2,2), función de densidad dada por p ( x , y )=2+x+ y , calcular masa y centro de masa
Calculamos las integrales:
m=∫0
2
¿¿
M x= (2+ x+ y )2 y=2 y+xy+ y2
∫0
2
∫0
2
[2 y+xy+ y2dy ]dx=523
=17.33
M y=(2+x+ y )2x=2x+x2+ y
∫0
2
∫0
2
[2x+x2+xy dx ]d y=523
=17.33
Ahora sustituimos por la formula la original cada integral obtenida:
x=
523161
=132
ỹ=
523161
=132
La masa es igual a 16
y
Las coordenadas del centro de masa es la pareja: ( 132 ,132 )
