Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 3

1. Es pot construir un fractal que rep el nom de “hexafloc” (de Sierpinski)

començant per un hexàgon i canviant a cada pas cada hexàgon per un

floc de 7 hexàgons. Mostrem la llavor i el resultat en aplicar la primera

iteració:

a) Realitzeu un programa en Flash tipus zoòtrop que mostri la llavor i les 4

primeres iteracions de la construcció d’aquest fractal. Els dibuixos han

d’estar fets en el mateix Flash, podeu crear còpies d’objectes i modificar-

ne les mides. (1 punt)

b) Trobeu quants hexàgons té la cinquena iteració. Com es calcularia el

nombre d’hexàgons de la iteració 40? (0,5 punt)

iteracions operació nombre d'hexàgons

1ª iteració 70=1 1 hexàgon

2ª iteració 71= 7 7 hexàgons

3ª iteració 72= 49 49 hexàgons

4ª iteració 73= 343 343 hexàgons

5ª iteració 74= 2401 2.401 hexàgons

6ª iteració 75=16807 16.807hexàgons

El nombre d'hexàgons de la iteració 40 es calcularia resolent la potència 740 .

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

c) Calculeu l’àrea de la figura en els cinc primers passos si l’àrea inicial és

1. Trobeu la superfície total de l’hexafloc. (0,75 punt)

Per calcular l'àrea dels hexàgons en les cinc primeres iteracions primer hem calculat la relació

existent entre l'àrea d'un hexàgon i l'àrea de l'hexàgon de la iteració anterior. Per fer-ho ens

hem basat en un procediment de triangulació. Hem descomposat l'àrea de llavor en triangles

equilàters tal i com s'observa en la següent figura.

Al descomposar l'hexàgon inicial en triangles equilàters en surten 54. D'aquest 54 en

necessitem 6 per contruir els hexàgons petits, així que cada hexàgon té àrea 654

que és igual a

19.

iteracions operació àrea

2ª iteració 1

9x7 =

7

9= 0'77 0'77

3ª iteració 1

9

!

"#$

%&

2

x72=49

81= 0'6 0'6

4ª iteració 1

9

!

"#$

%&

3

x73=343

729= 0'47 0'47

5ª iteració 1

9

!

"#$

%&

4

x74=49

81= 0'36 0'36

6ª iteració 1

9

!

"#$

%&

5

x75=16807

59049= 0'28 0'28

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

d) Calculeu la suma dels perímetres dels hexàgons en els cinc primers

passos. Quina és la suma dels perímetres de tots els hexàgons? (0,75

punt)

iteracions operació perímetre

2ª iteració 1

3x6x7 =14 14

3ª iteració 1

3

!

"#$

%&

2

x6x72= 32'66 32'66

4ª iteració 1

3

!

"#$

%&

3

x6x73= 76'22 76'22

5ª iteració 1

3

!

"#$

%&

4

x6x74=177'85 177'85

6ª iteració 1

3

!

"#$

%&

5

x6x75= 414'98 414'98

suma del perímetre dels hexàgons de les 5 iteracions. 715'71

e) Defineix dimensió fractal i posa un exemple (el pots cercar a Internet)(0,5

punt).

La dimensió fractal és un nombre que ens ajudarà a descriure la rugositat o la fragmentació

que experimenta un objecte fractal, intentant explicar en quina mesura l'objecte fractal

omple l'espai a mesura que les seves línies es van fent més fines.

Podem trobar diferents tipus de dimensions, com la d'homotècia, la de correlació, la de

Renyi o la de Hausdorff-Besicovitch.

Una de les maneres de calcular la dimensió fractal és considerar els següents valors:

· n! nombre d'objectes idèntics que es creen en cada iteració a partir de l'original.

· k! factor d'ampliació al que se sotmet l'objecte.

· D! dimensió.

D'aquesta manera, es pot concloure que n = kD

Un exemple de dimensió fractal seria la del triangle de Sierpinski. El triangle de Sierpinski

genera en cada iteració tres rèpliques de l'original mentre que el factor d'ampliació és de

dos, ja que cada línia queda dividida en dues parts iguals. Així doncs:

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

n = kD! 3= 2

D!D =

ln3

ln2=1'58

f) Calculeu la dimensió de l’hexafloc (0,5 punt). Tenint en compte l'explicat fins ara, per calcular la dimensió del nostre hexofloc haurem de

determinar quin és el valor de cadascun dels paràmetres.

· n = 7!Cada cop que es produeix una iteració l'objecte original es replica 7 cops.

· k = 3!Cada cop que es produeix una iteració l'objecte conté 1

3   l'anterior,  de  manera  

que experimenta un factor d'ampliació de 3, igual que passa, per exemple, amb la corba

de Koch.

n = kD! 7 = 3

D!D =

ln 7

ln3"1'77  

2. Construïu en Flash un paisatge que contingui un fractal autosemblant

aleatori i un camí aleatori. Expliqueu com els heu construït. (1 punt)

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 6

3. A partir del programa en Flash contingut a l’arxiu circum.fla que

adjuntem, feu les modificacions necessàries per a obtenir aquestes

corbes:

a) La cardioide (a partir de les seves coordenades polars, fixant un valor de

“a”) (0,75 punts)

b) La gràfica de la funció y = cos x en l’interval [-6π,6 π] (0,75 punts)

4. A partir del programa en Flash contingut a l’arxiu esfera.fla que

adjuntem, feu les modificacions necessàries en la funció definirVertexs

per a obtenir aquestes superfícies:

a) El semiel·lipsoide de semieixos de longituds 40, 70 i 100. (0,75 punts)

b) El tor de radis 90 i 20. (0,75 punts)

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

5. Si tallem l’esfera de radi 5 i centre l’origen de coordenades amb el pla x =

3...

a) Quina és l’equació de la figura que obtenim? Com la descriuries? (0,5

punts)

L'equació de l'esfera és x2 + y2 + z2 = R2 . El nostre cas, si el centre es correspon amb

l'origen de coordenades i amb el pla x = 3 , l'equació serà la següent:

32+ y

2+ z

2= 5

2! y

2+ z

2= 5

2"3

2! y

2+ z

2= 4

2 , on x = 3 i R = 4 .

Podem observar que quan es divideix l'esfera just pel mig la parametrització sempre es

basarà en el radi màxim. En el nostre cas el centre queda desplaçat de l'origen de

coordenades, fet que provoca que el radi sigui menor.

b) Dóna’n una parametrització. (0,5 punts) Per definició, aquesta és

la parametrització de la

nostra esfera.

x = 3

y = 4·cost

z = 4·sin t

!

"#

$#

% 0 & t & 2!

Prenent aquesta

parametrització com a

referència, podem

demostrar que:

y2+ z

2=16

4·cost( )2

+ 4·sin t( )2

=16

42·cos

2t + 4

2·sin

2t =16

42· cos

2t + sin

2t( ) =16

16·1=16

16 =16

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

6. El cilindre circular d’eix l’eix de coordenades z i de radi 3 es pot

transformar en un cilindre el·líptic del mateix eix i radis 6 i 9.

a) Escriu les equacions de les dues figures. (0,5 punt) El nostre cilindre circular és

una circumferència de

R = 3sobre el pla XY que

s'eleva s sobre l'eix Z, sent

h la seva alçada total.

Així doncs, la parametrització

serà la següent:

x = 3·cost

y = 3·sin t

z = s

!

"#

$#

% 0 & t & 2! % 0 & s & h

De manera anàloga, el nostre

cilindre el·líptic tindrà

aquesta parametrització:

x = 6·cost

y = 9·sin t

z = s

!

"#

$#

% 0 & t & 2! % 0 & s & h

Demostrem que aquesta

parametrització és correcta

perquè es compleix la igualtat

x2

a2+y2

b2=1:

x2

a2+y2

b2=1

6·cost( )2

62

+9·sin t( )

2

92

=1

62·cos

2t

62

+92·sin

2t

92

=1

cos2t + sin

2t =1

1=1

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

b) Quina és la transformació necessària? Quina és la matriu d’aquesta

transformació? (0,5 punt) La transformació caldrà fer-la

a partir d'una matriu de

transformació que multiplicada

pels paràmetres del cilindre

circular generi el cilindre

el·líptic. Així doncs:

M ·

3cost

3sin t

s

!

"

###

$

%

&&&=

6cost

9sin t

s

!

"

###

$

%

&&&

M ·3cost3sin ts

!

"

###

$

%

&&&=

6cost9sin ts

!

"

###

$

%

&&&

a b cd e fg h i

!

"

###

$

%

&&&·3cost3sin ts

!

"

###

$

%

&&&=

6cost9sin ts

!

"

###

$

%

&&&

3acost +3bsin t + cs = 6cost' b = 0,c = 0,a = 23d cost +3esin t + fs = 9sin t' d = 0, f = 0,e = 33gcost +3hsin t + is = s' g = 0,h = 0, i =1

(

)*

+*

M =2 0 00 3 00 0 1

!

"

###

$

%

&&&