MATERIAL DE APOYO CON FINES DIDCTICOSPARA EL CURSO DE ESTADSTICA INFERENCIALEstadstica Es una ciencia formal y una herramienta que estudia el uso y los anlisis provenientes de una muestra representativa de datos, busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenmeno fsico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional (wikipeda) Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de propiciar una toma de decisiones ms eficaz (Lind Marchal y Wathen) Razones para estudiar estadstica Saber cmo emplearla en las investigaciones El conocimiento esencial es bsico para la lectura juiciosa y razonada de un artculo de investigacin o un moderno texto cientfico Para el profesor para la estructuracin y anlisis de exmenes y para evaluacin de los alumnos mediante calificaciones Contribuir a la instruccin general del pblico consumidor La publicidad moderna utiliza toda clase de recursos apoyndose con frecuencia en datos estadsticos impresionantes Todo consumidor inteligente debe analizar crticamente tales recursos publicitarios, as como las estadsticas presentadas.

Tipos de estadsticaDescriptivaEs la descripcin, visualizacin y resumen de datos originados a partir de los fenmenos de estudio InferencialGeneracin de modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenmenos.

Poblacin Y MuestraPoblacinConjunto de individuos u objetos que tienen una caracterstica en comn Es el nmero total de objetos o individuos.Muestra Es una porcin o parte de la poblacin Es una Muestra representativa

Variables -son caractersticas o cualidades objeto de estudio- (Las cuales se Analizan o Interpretan)Cualitativas es la Cualidad o atributo y tiene dos clases de variables Dicotmica (2) Policotomica (3 ms) Cuantitativas cantidad o nmero de las caractersticas y tiene dos clases de variables Discreto (Nmeros enteros) Continuos (Decimales) Progresin continua

Descriptiva (deductiva)

Se utiliza Diagrama de sectores o barras. Es la Serie de datos para clasificarlos o medirlos Medidas de Tendencia central Media Suma de todos los nmeros entre el nmero total Moda el que ms se repite Mediana dato que queda justo en el centro Medidas de Dispersin Forma en que estn dispersos los datos Rango amplitud restando el dato mayor por el menor Varianza Desviacin tpica o estndar Medidas de Posicin (Dividir) Percentiles 100 Cuartiles 4 Deciles 10 Quintiles 5 Forma de distribucin de los datos Simtrica o Asimtrica Apuntalamiento (leptocurtica, mesocurtica, platicurtica Inferencial (Inductiva o analtica)Los datos se presentan para Analizarlos e interpretarlos Cuando se tiene variables Solo Cualitativas Se utiliza el Chi cuadrado Cuando se tiene variables solo Cualitativas Dicotmica y Cuantitativa Se utiliza el T. Sudent Cuando se tiene variables solo cualitativas Policotomicas Se utiliza el Anova Anlisis de varianza Cuando se tiene variables Solo Cuantitativas Se utiliza la Correlacin o Regresin lineal

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon cantidades tpicas o representativas de un conjunto de datosLas principales medidas son: MODA, MEDIANA Y MEDIA O PROMEDIOEn los fenmenos que se estudian estadsticamente ocurre, de comn, que la mayora de los datos o valores, por mucha dispersin que presenten, tienden a concentrarse en un cierto valor o grupo de valores. Generalmente este valor ocupa el centro de la distribucin. La obtencin de ese valor, hacia el cual tienden los dems y que puede representarlos, se hace mediante el clculo de las medidas de tendencia central o promedios, que tambin se llaman medidas de posicinEs encontrar un cierto valor del centro de la distribucin que los represente a todos.

MODA (Mo)Es el valor que aparece con ms frecuencia en una distribucin de medidas o puntuaciones

x f

65 3

66 4

67 2

68 4

70 2

71 5

72 6

74 3

78 1

79 2

80 5

Datos agrupados en intervalos

La moda se define como el punto medio de intervalo que tiene mayor frecuencia

La moda es (80 + 89 = 169 / 2) 84.5 porque el intervalo 80 89 tiene la mayor frecuencia que es 14

x f

60 - 69 5

70 - 79 6

80 - 89 14

90 - 99 8

100 - 109 1

110 - 119 1

Para que el resultado sea el ms exacto posible utilizamos la frmulaMo = L + ( A1 ) i A1 + A2Se determina las diferencias entre las frecuencias del intervalo en donde est la moda y las frecuencias de los intervalos inferior y superior14 6 = 8 ---- A1 14 8 = 6 --- A2Lmite inferior del intervalo en donde se encuentra la moda(79 + 80 = 159 / 2 = 79.5; L = 79.5Amplitud del intervalo de 10; i = 10Mo = 79.5 + ( 8 ) 10 = 79.5 + 5.71 = 85.2 8 + 6

MEDIANA (Md) P = N + 1 /2Es el valor que divide una distribucin de frecuencias por la mitad, una vez ordenados los datos de manera ascendente o descendenteDatos simples3, 5, 8, 7, 4, 8, y 10Como el nmero es impar, la Md= 72, 3, 4, 5, 6, 7,8 y 9Como el nmero de magnitudes es par, entonces el lugar (8+1)/2 = 4.5;Esto quiere decir que el valor est entre el lugar cuarto y el lugar quinto, por lo que obtenemos la media aritmtica de 5 y 6, Que ser 5+6 /2 = 5.5Por lo tanto la mediana del conjunto dado es Md = 5.5

Datos agrupados en una distribucin de frecuencias simpleLa mediana estar determinada por el nmero que representa a la clase que contiene el valor que ocupa el lugar (N + 1) / 2, en la columna de frecuencias acumuladas(51+ 1) / 2 = 26Md = 72 x f fa

65 3 3

66 4 7

67 2 9

68 4 13

69 3 16

70 2 18

71 5 23

72 6 29

73 4 33

74 3 36

75 2 38

76 2 40

77 3 43

78 1 44

79 2 46

80 5 51

Datos agrupados en intervalos

x f Fa

60 - 69 5 5

70 - 79 6 11

80 - 89 14 25

90 - 99 8 33

100 - 109 1 34

110 - 119 1 35

Md = L + ( N/2 faa ) i fm L = Limite real inferior del intervalo en donde est la medianaN = Nmero total de los datosFaa = Frecuencia acumulada del intervalo inmediato inferior al intervalo en donde est la medianaFm = Frecuencia del intervalo en donde est la medianai = amplitud del intervalo en donde est la mediana SOLUCINN/2 = 35/2 = 17.5 el intervalo que contiene la mediana es 80 89. Este intervalo contiene los valores que ocupan desde el lugar 12 hasta el 25.

Intervalo inmediato inferior en donde se encuentra la mediana es 70 79 y tiene la frecuencia acumulada de 11, o sea que faa = 11.

Frecuencia del intervalo donde se encuentra la mediana es 14, o sea que fm = 14.

Amplitud de los intervalos es de 10, luego i = 10

Lmite real inferior del intervalo donde se encuentra la mediana es L = 79.5

Md = 79.5 + (17.5 - 11) 10 = 79.5 + 4.64 = 84.14 14 Respuesta la mediana (Md) = 84.14

Media Aritmtica

De una serie estadstica es un valor tal que si con l se sustituyen los trminos de una serie se puede obtener una suma igual a la que los propios trminos daran.La media aritmtica es el valor obtenido despus de sumar todos los datos y de dividir el total entre el nmero de datos que haya, se representa por X (se lee X barra) y su frmula es:

X = x1 + x2 + x3 +xn = Z x1 N N

N = nmero de observacionesx 1 = valores de cada observacinX = media aritmticaSe lee: La media de las mediciones es igual a la suma de todas ellas dividida entre el nmero de mediciones.Es la mejor y ms significativa de las medidas de tendencia central, pues por basarse en todos los valores es la que mejor los representa. Si tenemos, por ejemplo, las puntuaciones alcanzadas por un grupo de alumnos en una prueba de rendimiento acadmico, habr entre todas ellas una que las represente. Posiblemente esa puntuacin representativa del grupo no haya sido obtenida, en la realidad por ningn alumno; es lo de menos. Lo que interesa es saber qu valor de la distribucin es el que sirve de punto representativo, de punto medio y alrededor del cual giran o se agrupan los dems. Si los valores de una serie los sustituimos por el promedio aritmtico, la suma de los valores y la suma de los promedios son iguales. Ejemplo: 7, 9,10, 11, y 13 aos, la edad promedio es 10 50 /5 = 10 7+9+10+11+13= 50 10+10+10+10+10= 50

La media de una serie simple

Cuando los valores forman una serie simple, o sea que no presentan frecuencias repetidasFormula X = Z xi NCalcular la media aritmtica de la siguiente serie simple: 47, 43, 40, 38, 37, 35 = 240 La suma de los valores es 240 y el nmero de valores es 6. Substituyendo los valores en la frmula X = 240 / 6 = 40

Serie de datos agrupados en una distribucin de frecuencias simplex f fx

65 3 195

66 4 264

67 2 134

68 4 272

69 3 207

70 2 140

71 5 355

72 6 432

73 4 292

74 3 222

75 2 150

76 2 152

77 3 231

78 1 78

79 2 158

80 5 400

Zx= 1160 Zf=51 Zfx= 3682

X = Zfx NEsta frmula nos indica que tenemos que sumar los productos de cada valor por su respectiva frecuencia.

Hallar la Media Aritmtica o promedio de las notas finales del curso de matemtica.

X = Zfx = 3682 = 72.20 N 51La Media Aritmtica o Promedio es 72

Otra forma de calcular la media aritmtica o promedio, es utilizando la desviacin d = (x A), en donde A es una cantidad elegida arbitrariamentex d f Fd

65 -5 3 -15

66 -4 4 -16

67 -3 2 -6

68 -2 4 -8

69 -1 3 -3

70 0 2 0

71 1 5 5

72 2 6 12

73 3 4 12

74 4 3 12

75 5 2 10

76 6 2 12

77 7 3 21

78 8 1 8

79 9 2 18

80 10 5 50

Zf= 51 Zfd= 112

Escoger cualquier valor de la columna x y se asigna el valor 0Hacia arriba de ese valor negativos y hacia abajo positivosMultiplicar los valores de la desviacin por las frecuencias Sumar el producto de la Fd y aplicar la frmulaX = A + Zfd = 70 + 112 N 51X = 70 + 2.196 = 72.20

Para datos agrupados en intervalosLa media aritmtica la obtenemos por medio de la frmulaX = Zfxs NEn donde xs representa el punto medio de cada clase60 - 69 64.5 5 322.5

70 - 79 74.5 6 447.0

80 - 89 84.5 14 1,183.0

90 - 99 94.5 8 756.0

100 - 109 104.5 1 104.5

110 - 119 114.5 1 114.5

Zf = 35 Zfxs = 2927.5

X = Zfxs = 2927.5 = 83.64 N 35 Tambin podemos utilizar la frmulaX = xs + ( Zfd ) i En donde: N xs punto medio del intervalo a quien se le asigna el valor de 0 en la columna de la desviacini es la amplitud del intervaloZfd es la sumatoria de la columna de los productos de las frecuencias por las desviacionesN es el total de los casosx d f Fd

60 - 69 -1 5 -5

70 - 79 0 6 0

80 - 89 1 14 14

90 - 99 2 8 16

100 - 109 3 1 3

110 - 119 4 1 4

Zf = 35 Zfd= 32

X= xs + ( Zfd ) i X = 74.5 + ( 32 ) 10 X = 74.5 + 9.14 = 83.64 N 35 El resultado de los dos procedimientos es el mismo y que la calificacin promedio de los 35 alumnos es de 83.64

Resumen

La Media Aritmtica es un punto de equilibrio La Mediana tiene la propiedad de dividir en dos partes iguales La Moda es el valor que tiene la frecuencia mayor

Ejemplos

Un investigador interesado en conocer el nmero promedio mensual de consumo de litros de cerveza por persona en los habitantes de la ciudad XYZ, realizo un estudio exploratorio en un expendio de cerveza, donde entrevisto a 21 personas y encontr los siguientes resultados:

Nmero de personas entrevistados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Numero de litros de cerveza consumida 5 6 7 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 11 11 12 13 14 15 15 17 mediana

10 entrevistados 10 entrevistados

Para este caso, la mediana es el dato de la posicin 11 (en este caso, 9 litros de cerveza) que indica que la poblacin encuestada consume el equivalente de 9 litros de cerveza mensualmente.

Siguiendo el caso del consumo promedio per cpita de litros de cerveza por los habitantes de la ciudad XYZ, el promedio es el siguiente: X = 6+8+13+7+8+5+9+11+7+15+12+9+10+7+15+9+17+14+7 = 9.95 21Interpretacin: Los datos de la encuesta a 21 personas de la ciudad XYZ indican que el promedio per cpita de consumo mensual de cerveza en esta ciudad es de 10 litros de cerveza aproximadamente

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