limites continuidad - Web viewCalcula: Solución: Ejercicio nº 2.-Calcula el siguiente...
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Ejercicio nº 1.-
Calcula: 2
23a) xlim
x
xlimx
21b)8
xsenlimx
2
c)
Solución:
2553a) 22
2
xlim
x
54116121b)8
xlimx
12
lim)2
senxsencx
Ejercicio nº 2.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:
xxxlim
x 212
20
Solución:
212
212
020
xx
xlimxx
xlimxx
Calculamos los límites laterales:
xx
xlimxx
xlimxx 2
12212
2020
Ejercicio nº 3.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
13354
23
2
1
xxxxxlim
x
Solución:
1
Evaluación: Fecha:
213123
2
1 1
5
1
51133
54
xxlim
x
xxlim
xxxxxlim
xxx
Ejercicio nº 4.-
funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x y representa la información que obtengas:
3
421 2 xxxf
Solución:
3421
3421 22 xxlimxxlim
xx
Ejercicio nº 5.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
xxlim
x 353a)
xxlim
x 353b)
Solución:
133
353a) x
xlimx
2
135
3b) x
xlimx
Ejercicio nº 6.-
:xf función la de gráfica la es Esta
46
8
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
6
Y
X
a) ¿Es continua en x = 2?b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x 0.
Ejercicio nº 7.-
Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:
si 1si 12
x + 3 xf x
2x a x
Solución:
11
2
11
3 2
2 2
1 2
xx
xx
lim f x lim x
lim f x lim x a a
f
3
1 1
Para que sea continua en 1, 1 . Por tanto, 2 2 0x x
x lim f x lim f x f a a
Ejercicio nº 8.-
Dada la función:
12
12
xx
xf
halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.
Solución:
2 2 1 0 1x x x Solo tiene una asíntota vertical: x 1
Posición de la curva respecto a la asíntota:
22 1
112
1
xxx
2121 1
1
1
1
xlim
xlim
xx
Ejercicio nº 9.-
representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xxlos resultados obtenidos:
xxxxf 223
23
Solución:
xxxlim
xxxlim
x
x
223
22323
23
4
Ejercicio nº 10.-
Dada la función:
313
xxxf
resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx obtenidos.
Solución:
313
xxlim
x
313
xxlim
x
Ejercicio nº 11.-
yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x representa los resultados que obtengas:
112
2
2
xxxf
Solución:
2112
2112
2
2
2
2
xxlim
xxlim
x
x
5
Con calculadora podemos comprobar que:
Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax asíntota y 2.
Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax asíntota y 2.
Ejercicio nº 12.-
a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?
223 2
xxxf
b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.
Solución:
a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.
23 2 103 6 Asíntota oblicua: 3 62 2
x x y xx x
10Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.2
xx
10Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.2
xx
• Representación:
2
6
y x= 3 6
Ejercicio nº 13.-
Estudia la continuidad de la función:
6
2
1 si 12
si 1 22 si 2
xx
f x x x xx
Solución:
1El primer tramo de función no está definido en 2, valor que pertenece a la2
y xx
semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x 2.
En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas en todo .Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:
• x 1:
2
11
2
11
1 1 1 2
1 1 12 1 2
1 1 2
xx
xx
f
lim f x limx
lim f x lim x x
1
No existe , luego la función es discontinua en 1.
Se produce un salto en 1.xlim f x x
x
• x 2:
2
2 22
22
2 2
2 2 2
2 2x xx
xx
f
lim f x lim x x lim f x f
lim f x lim
La función f x es continua en x 2.
Luego fx es continua en todo excepto en x 2 y x 1.
Ejercicio nº 14-
Calcula estos límites:
1b)13a) 92
xelímxxlím
x
xx
Solución:
29
92 13a) xlímxxlímxx
7
0011
)b
xelím
xelím
x
x
x
x
Ejercicio nº 15.-
Halla los límites:
xxxxlímxxxlím
xx 213b)325a)
6
22
Solución:
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx 325
325325325a)
2
22
2
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 325
24
325
9252
2
2
22
02
13
2
13b)6
2
6
2
xx
xxlímxx
xxlímxx
Ejercicio nº 16.-
Calcula los siguientes límites:
1
2322b)
2312a)
2
x
x
x
x xxlím
xxlím
Solución:
032
2312
2312a)
22
x
x
x
x xxlím
xxlím
25
23551·
232322
1·123
221
2322b)
eeee
xxlím x
xlímx
xxx
límxx
xlímx
xxxx
Ejercicio nº 17.-Halla el valor del siguiente límite:
43102
23
2
2
xxxxlím
x
Solución:
)0(
921
5221
25243
10222223
2
2
xxxlím
xxxxlím
xxxxlím
xxx
Hallamos los límites laterales:
2152;
2152
22 xxxlím
xxxlím
xx
Ejercicio nº 18.-Calcula el límite:
8
13
21 642
x
x
x xxxlím
Solución:
)1()6(
)3()23(1
3·
6
642
13
·16
421
3
21
2
2
12
2
121
642 xxx
xxxlím
xx
xxxxxlím
xx
xxxlímx
x
x
xxx eeexx
xlím
21
63
6
)2(3)1()6(
)1()2(32121 eeee xx
xxlím
xxxxxxlím
xx
Ejercicio nº 19.-
Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
103
8232
2
xxxxxf
Solución:
25
243103
8232
2
xxxx
xxxxxf
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
:laterales límites los Hallamos .)0(
11543
55
x
xlímxflímxx
xflímxflímxx 55
;
Discontinuidad de salto infinito en x 5.
7
10543
22
x
xlímxflímxx
Discontinuidad evitable en x 2.
Ejercicio nº 20.-
Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
2si1321si2
1si32
xxxabxx
xaxxf
Solución:
Dominio
9
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
abf
ababxxlímxflím
aaxlímxflím
xx
xx
21
22
33
2
11
11
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
3 a 2 b a 2a b 1
En x 2:
72
713
282
22
2
22
f
xlímxflím
ababxxlímxflím
xx
xx
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
8 2b a 7 a 2b 1
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
1;133142121221
1212
baaaaaaab
baba
Ejercicio nº2 1.-
Halla los límites siguientes:
13 a) 22
xx
xlimx
xlimx
36b)1
xloglimx 1
c)
Solución:
71
1241
13
22
xx
xlimx
a)
3936361
xlimx
b)
011
logxloglimx
c)
Ejercicio nº 22.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:
22 21
x
xlimx
10
Evaluación: Fecha:
Solución:
222222 2
1
2
1
2
1
xxlim
xxlim
xxlim
xxx
Ejercicio nº 23.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
4242
2
xxlim
x
Solución:
2
24
22
2222
424
22
2
2
xlimx
xxlimx
xlimxxx
Ejercicio nº2 4.-Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24a) xlimx
24b) xlimx
Solución:
24a) xlimx
24b) xlimx
Ejercicio nº25.-
, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla x x y representa los resultados que obtengas:
11
31
2x
xxf
Solución:
0
1
201
233
x
xlimx
xlimxx
Ejercicio nº26.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x = 0, sí es continua.En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
Ejercicio nº2 7.-
Estudia la continuidad de la función:
4si15
4si3
1
2 xx
xxxf
Solución:
Si x 4, la función es continua.Si x 4:
4 4
2
44 4
1lim lim 13
lim lim 15 1 También es continua en x 4 porque lim 4 .
4 1
x x
xx x
xf x
f x x f x f
f
12
Ejercicio nº2 8.-
Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
2
32
xxxxf
Solución:
2
11 1 82 0
22
xx x x
x
Las asíntotas verticales son x 1 y x 2.
• Posición de la curva respecto a las asíntotas:
213
23
2
xx
xxx
x
2
32
32121 xxxlim
xxxlim
xx
2
32
32222 xxxlim
xxxlim
xx
2 1
Ejercicio nº 29.-
:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
x
3
2xf x
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
Solución:
3
lim2x
x x
3
lim2x
x x
13
Ejercicio nº 30.-
yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x representa los resultados que obtengas:
1
22
4
x
xxxf
Solución:
1
22
4
xxxlim
x
1
22
4
xxxlim
x
Ejercicio nº 31.-
Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x :
xxxf
2
31
Solución:
32
31
313
231
xxlim
xxlim
x
x
3
Ejercicio nº 32.-
Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:
12
3
xxxf
14
Solución:
3
2 2 Asíntota oblicua: 1 1
x xx y xx x
2Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.1
xxx
2Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.1
xxx
• Representación:
1
1y x=
Ejercicio nº 33.-
Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes:
a y 1 3x b y 3x 1 c y 0,7x 2 d y 0,5x 1
Solución:
a) 1 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
xlim
1 3 1; 1 es asíntota horizontal hacia .x
xlim y
1b) 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
xlim
1 3 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x
xlim y
c) 0,7 2 2; 2 es asíntota horizontal hacia .x
xlim y
0,7 2 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
xlim
1d) 0,5 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x
xlim y
1 0,5 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
xlim
Ejercicio nº 34.-
Calcula los siguientes límites:
1
3b)a) 2x3
x
xlímx logxlím
x
15
Solución:
x logxlím
x
3a)
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
001
31
3b) 22
xlím
xlím
x
x
x
x
Ejercicio nº 35.-
Calcula los límites:
212b)213a)
4
3 52
xxlímxxlím
xx
Solución:
xx
xxlímxx
xxxxlímxxlím
xxx 213
413
213
213213213a)
2
22
2
22
2
xx
xlímx 213
12
2
02
12
2
12b)4
3 5
4
3 5
x
xlímx
xlímxx
Ejercicio nº 36.-
Halla:
13
2 2
5324b)
5425a)
x
x
x
x xxlím
xxlím
Solución:
54
1512
151212
32
·54
54253
2·1
5425
32
5425a)
eeeee
xxlím x
xlímx
xxxlímx
xxlím
x
xxxx
34
5324
5324b)
11 22 x
x
x
x xxlím
xxlím
Ejercicio nº 37.-
Calcula el límite:
123
23
2
1
xxxxxlím
x
Solución:
16
)0(
511
2311231
123
12123
2
1
xx
xlímxxxxlím
xxxxxlím
xxx
Hallamos los límites laterales:
1123;
1123
11 xxxlím
xxxlím
xx
Ejercicio nº 38.-
Halla el límite:
x
x xxxlím
32
0 1513
Solución:
15833·
1583·
1515133·1
15133
2
0
0
2
0
2
0
2
0
1513 xx
xxlímxx
xxlímxxxxxlím
xxxxlímx
x
xxxx eeeex
xxlím
2415
830
ee xx
límx
Ejercicio nº39.-Estudia la continuidad de la función:
1si 410si13
0si2
xxlnxx
xexf
x
Solución:
Dominio
Si x 0 y x 1 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 0:
.0 en continua es
10
113
1
2
00
00
xxf
f
xlímxflím
elímxflím
xx
x
xx
En x 1:
.1 en continua es
41
1 4
413
11
2
11
xxf
f
xlnlímxflím
xlímxflím
xx
xx
17
Por tanto, f (x) es continua en .
Ejercicio nº 40.-
Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
1si531si2
2 xaxxaxf
x
Solución:
Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
af
aaxlímxflím
aalímxflím
xx
x
xx
21
3653
22
2
11
11
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
2 a 6 3a 4a 4 a 1
Ejercicio nº 41.-
3. en y 1 en 23
función la de límite el Calcula4
xxxxxf
Solución:
61
21
31
23
4
1
xxlimx
251
2327
23
4
3
xxlimx
Ejercicio nº 42.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:
91
23 xlimx
Solución:
331
91
323
xxlim
xlim
xx
Calculamos los límites laterales:
18
Fecha:
9
19
12323 x
limx
limxx
Ejercicio nº 43.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
618122
2
2
3
xxxxlim
x
Solución:
0
232
2332
618122
3
2
32
2
3
x
xlimxx
xlimxxxxlim
xxx
Ejercicio nº 44.-
tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x la información que obtengas:
122
a)3
xxxf
5
23b)32 xxxf
Solución:
1
22a)
3xxlimx
523b)
32 xxlimx
19
Ejercicio nº 45.-
Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos:
311a)x
limx
2
33b)x
xlimx
Solución:
0
1
1a)3
x
limx
2
33b)x
xlimx
Ejercicio nº 46.-
:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La
4
6
8Y
X
2
6 82 4 2 8 6 2
4
6
4
20
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
1 1 lim lim .
x xf x f x
En x 2 sí es continua.
Ejercicio nº4 7.-
Estudia la continuidad de la función:
0si2
20si12 2
xxxx
xf
Solución:
Si x 0, la función es continua.
.0 porque0 en continua Es
10
12
2
112
000
2
00
fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx
Ejercicio nº 48.-
Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
112
2
xxxf
Solución:
2 1 0 1 ; 1.x x x Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
• Posición de la curva respecto a ellas:
112
1112
211 xxlim
xxxlim
xx
1
12112
2121 xxlim
xxlim
xx
21
Ejercicio nº49.-
la representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x información que obtengas:
42a) xxf 2b) xxxf
Solución:
42a) xlimx
2) xxlimbx
Ejercicio nº 50.-
:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx
x
xxxf
12 3
Representa la información obtenida.
Solución:
xxxlim
xxxlim
x
x
12
12
3
3
22
Ejercicio nº 51.-
ycuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,xx representa las ramas que obtengas:
22
12
xxxf
Solución:
022
1
022
1
2
2
xxlim
xxlim
x
x
Asíntota horizontal y=0
Ejercicio nº 52.-
La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:
122
x
xxxf
Solución:
2 2 11 Asíntota oblicua: 11 1
x x x y xx x
1Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.1
xx
1Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.1
xx
• Representación:
1
1
y x+= 1
Ejercicio nº 53.-
Calcula los siguientes límites.
23
2 3
2
2 1 2a) b) 5 5
xx
x x
x xlim limx x
29 1 2 1c) d) 2 2 3x x
x xlim limx x
Solución:
22 33a) 2 1 2 1 2 0
5 5 5
xx
x
x limx
x x
x xlim limx x
2
b) 2 2 25x x
x xlim limxx
2 2 3c) 9 1 9 3 2 2 2 2x x x
xx xlim lim limx x x
d) 2 1 2 1 1 12 3 2x x x
x xlim lim limx x
Ejercicio nº 54.-Calcula:
2
42 3b)1a)
x logxxlímxelím
xx
x
Solución:
1a) 2xelím x
x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 33b)x log
xxlímx log
xxlímxx
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
Ejercicio nº 55.-Calcula los siguientes límites:
xxxlímxx
xlímxx
23b)135
23a) 2
2
Solución:
553
53
135
23a)2
xx
xlímx
xxx
xxxxxxlímxxxlímxxxlím
xxx 23
23232323b)
2
22
22
24
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 23
33
23
432
2
2
22
Ejercicio nº 56.-Calcula:
21
2
232
323b)12a)
x
x
x
x xxlím
xlím
Solución:
021212a)3232
x
x
x
x xlím
xlím
132
3b) 064
222
1·32
3232
1·132
32
1
2
222
22
2
2
eeeex
xlím x
xlímx
xxxlímx
xxlím
x
x
xxx
Ejercicio nº57.-Halla el límite:
3
19
223 x
xx
xlímx
Solución:
33
34233
31231
92 2
3323 xxxxxlím
xxxxxlím
xx
xxlím
xxx
)0(18
33322
3
xx
xxlímx
Hallamos los límites laterales:
3332;
3332 2
3
2
3 xxxxlím
xxxxlím
xx
Ejercicio nº 58.-Calcula:
32
2
3 4412
xx
x xxxlím
Solución:
3
2·
44352
32
·44
44123
2·1
4412
32
2
3
2
3
2
3
2
3
4412 x
xx
xxlímxx
xxxxlím
xx
xxxlímx
x
xxxx eee
xxxlím
25
8
211642
44212
3442312
33 eeee xxxlím
xxxxxlím
xx
Ejercicio nº 59.-
de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103
5153 función la Dada 2
23
xx
xxxxf
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.
Solución:
25
135103
5153 2
2
23
xxxx
xxxxxxf
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
776
776
213 2
55
x
xlímxflímxx
Discontinuidad evitable en x 5.
:laterales límites los Hallamos .)0(
132
13 2
22
x
xlímxflímxx
xflímxflímxx 22
;
Discontinuidad de salto infinito en x 2.
Ejercicio nº60.-
Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
2si321si4
1si22
2
xbxxbaxx
xxaxxf
Solución:
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
baf
babaxxlímxflím
axaxlímxflím
xx
xx
41
44
22
2
11
2
11
Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser:
26
a 2 4 a b b 6
En x 2:
02
063
21064
22
2
22
f
xlímxflím
aaxxlímxflím
xx
xx
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
10 2a 0 2a 10 a 5
Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.
27