Notas Limites

Dr. Omar Olmos López ITESM Campus Toluca

Limites y Continuidad

LíMITES Y CONTINUIDAD Puntos a tratar: 1.-Definición intuitiva de límite de una función 2.-Teoremas sobre Límites 3.-Límites infinitos, al infinito y asíntotas 4.-Continuidad 1.-DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Noción intuitiva de límite:

Si queremos saber el valor de la función y= x+2 cuando x tiende a 2, es decir, queremos saber a que valor tiende la variable dependiente cuando la variable independiente tiende a un valor determinado, esto matemáticamente se expresa de la siguiente manera: Lím f(x) = L1 x→xo Lím x+2 = ? x→2 Realicemos el anàlisis numèrico de este planteamiento a travès de pequeños incrementos variando la variable independiente, cuando èste se acerca por la derecha y cuando se acerca por la izquierda observandose el siguiente coportamiento:


por la derecha: por la izquierda:

X Y X Y 2.1 4.1 1.9 3.9 2.01 4.01 1.99 3.99 2.001 4.001 1.999 3.999

↓ ↓ ↓ ↓ 2 4 2 4 A travès del anterior anàlisis observamos que la variable cuando màs se acerca al valor de 2, la variable independiente se aproxima mucho màs al valor de 4. Sin embargo hay que observar que el valor de la variable independiente nunca es el valor exacto de 2.0, pero sì nos acercamos los suficiente a él. Observamos del anàlisis anterior que estamos obteniendo el límite de la función acercandonos por la derecha o por la izquierda, denominandose a estos límites, limites unilaterales. Ahora, Sí los limites unilaterales son iguales de la funciòn analizada tenemos: Lím f(x) = L ,por la derecha x→x0

+ Lím f(x)= L ,por la izquierda x→x0

- Entonces nos damos cuenta que el límite de la función existe y se plantea como: Lím f(x) = L . x→x0


Técnicas de cálculo para El límite de una función

I)Técnica de sustitución El primer paso que se utiliza siempre para obtener el limite de una función es la técnica de sustitución.

Según esta técnica se sustituye el valor al que tiende la variable independiente en la función, y si el resultado no da alguna forma indeterminada como:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞⋅∞±∞∞∞ ∞∞ 0,0,1;,,

00

entonces se dice que ese valor es el límite de la función. Ejemplo

En general, todas las funciones elementales y elementales fundamentales, se resuelven por sustitución siempre y cuando el valor al que tiende la variable independiente pertenezca al Dominio de la función que se esta analizando. De ahí la importancia de saber obtener y conocer el dominio de las funciones. II.- Técnica de factorización Si el valor al que tiende la variable independiente no pertenece a al dominio de la función; entonces es posible que el límite de la funciòn sea de una forma indeterminada como la siguientes:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞⋅∞±∞∞∞ ∞∞ 0,0,1;,,

00

Por lo tanto es posible obtener el límite en muchas ocaciones, ùnicamente factorizando la funciòn y restringiendo el domino de la funciòn equivalente para la funciòn en estudio.

Todas las funciones lineales se resuelven por sustitución, que atienden a la siguiente forma: Lím x+b = c+b x→c


Ejemplo

En este caso se recomienda sacar como factor común, tanto en el denominador como en el numerador.

Aquí lo único que es necesario aclarar es que la función: f x xx

( ) = −−

2 42

no es igual a la

función f(x) = x+2. Sino que son funciones equivalentes, para darnos cuenta de este hecho tracemos sus gráficas (Note lo importante que es saber obtener las gráficas de las funciones anteriores, se recomienda repasar la unidad I).

Gráficas:

f x xx

( ) = −−

2 42

D= x ≠2 Y=x+2, D=Reales

Aquí además es necesario aclarar que el límite no necesariamente tiene que ser un valor que pertenezca al rango de la función.

24x = f(x) Sea f(x) Lím Obtener

2

xX 0 −−

→ x

2 x 4 =f(x) Lím :límite el aplicando

2x 2 x2x

2con x, 2+x=f(x) )2(

2)-2)(x+(x Lím=f(x)

→

→→→

≠=−

Límx

Lím


III) Técnica O

Recuerde que al obtener por cualquier método el límite de una función, es necesario ratificarlo, y este proceso se realiza obteniendo el límite por la derecha y por la izquierda de las funciones en estudio. Ejemplo

Para comprobar este resultado grafiquemos la funciòn y observemos que en el punto x=0 no puede existir el limite por que los valores a los que se llegan acercandose por la izquierda y por la derecha son distintos:

Gràfica

Las técnicas 0, I, II complementadas con el uso adecuado de los siguientes teoremas es una arma poderosa para obtener una gran variedad de límites.

Sea la siguiente funciòn comprobar si el lìmite de la función existe:

Lím (1 + 1x

) = ?

x→0 Probando los límites unilaterales tenemos:

existe no límite el ,L L como

0x

- = ) x1+(1 Lím

0x

+ =)x1 + (1 Lím

21

-

+

≠

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

→

∞

→

∞


TEOREMAS SOBRE LÍMITES Teorema 1

El límite de la función constante Lím c = c es equivalente a: x→a

Lím c = Lím c x→a- x→a+ Ahora si e cumple que Lím f(x) =L1 y Lím g(x) = L2 entonces se cumplen los siguientes teoremas: x→a x→a Teorema 2 El límite de una suma o resta de funciones es la suma o resta de los límites de las funciones. Lím (f(x) ± g(x)) = Lím f(x)± Lím g(x) = L1 ± L2 x→a x→a x→a Teorema 3 El límite de un producto de funciones, es el producto de los limites Lím (f(x). g(x)) = Lím f(x) . Lím g(x) = L1. L2 x→a x→a x→a Teorema 4 El límite de un cociente de funciones, es el cociente de los límites: Si Lím f(x) =L1 y Lím g(x) = L2

Lím x a

f (x)g(x)

= x aLím f (x)

x a Lím g(x)→

→

→

=L

L1

2

con la restricción, que g(x) ≠ 0


Teorema 5 El límite de una raíz de una función es la raíz del límite de la función: Lím f x( ) = Lím f (x) = L1 x→a x→a Con la restricción que L1 ≥ 0 Teorema #6 Límite de una función lineal. Sea F(x) = ax + b entonces Lím f(x) = Lím a . Lím x ± Lim b x→a x→a x→a x→a Teorema 7 Límite de una función intermedia: Si f(x) < g(x) < h(x) en un intervalo abierto (a,b) y c ∈ (a,b) y Lím g(x) = Lím h(x) x→c x→c ⇒ Lím g(x) = Lím f(x) = Lím h(x) x→a x→a x→a

Ejemplo

Lím x2sen x x→0

partimos de que: -1≤sen x ≤ 1 -x2< x2 sen x < x2 Checamos los límites de x2 y de - x2 : Lím - x2 = 0 x→0 Lím x2 = 0 ⇒ Lím x2 sen x =0 x→0 x→0


Ejercicios Resueltos 1.- Lím -4x = -12 x→3 2.-Lím (x3-4x+1) = -1+4+1=4 x→-1 21 21 3.-Lím w2 - _____ = 49 - ____ = 49 - 21/9 = 420/9 w→7 w+ 2 7+2 t t 4.-Lím _____ , este limite no existe, ya que: Lím _____ = +∞ t→1 t2+t-2 t→1+ t2+t-2 t Lím ______ = -∞ t→1- t2+t-2 x3-1 (x-1)( x2+x +1 ) 5.-Lím ____ =____________ = 3 x→1 (x-1) (x-1) t3+1 (t+ 1)( t2-t +1 ) 6.-Lím ____ =___________ = -3/2 t→-1 t + 1 t+1


III) Técnica de racionalización

Cuando la técnica de sustitución y de factorización fallan es posible utilizar la técnica de racionalización. En esta técnica se utiliza ampliamente en funciones irracionales y consiste simplemente en racionalizar la funciòn para intentar obtener el límite de la funciòn. Ejemplo Sea la función x h+ - x F(x)= ____________ h Obtener el lìmite cuando h tiende a cero. x h+ - x ( x + h x + h− +x x)( ) Lím ____________ = ____________________________ h→0 h h( x+h ) + x x + h - x 1 =___________ = ______________ h( x+h )+ x ( x+h )+ x entonces racionalizando del denominador:

1 1 Lím ___________ = ____ h→0 ( x+h )+ x 2 x

El cálculo de el límite de una expresión irracional, a veces es posible hacerlo llevando la irracionalidad del numerador al denominador y/o viceversa.


LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Para obtener una gran variedad de limites trigonométricos es necesario utilizar el teorema de la función intermedia que revisamos anteriormente, puesto que el método de sustitución nos da una forma indeterminada en las siguientes expresiones, como podemos observar:

x 0 Lím _____ = ___ x→0 sen x 0 sen x 0 Lím _____ = ___ x→0 x 0 En estos caso es necesario utilizar el teorema de la función intermedia para obtener los límites de cada una de las funciones anteriores asì,

Calculemos primero el Lím x

sen xx→ 0= ?

Del círculo unitario tenemos el siguiente esquema:

A

B

C

D

B`

C`

x

Observemos que el segmento BC es menor que el arco de BC y que este arci es menor que el segmento de B`C`, en otras palabras: BC<BC<B`C` Ahora observe que del circulo unitario el segmento BC se puede plantear en funciòn del àngulo x como: Sen x = BC/2 es decir BC = 2sen x Mientras que el arco BC es; S=θr por lo que BC= (2x).(1)= 2x Y finalmente el segmento B`C` se puede plantear a traves de la fuciòn tangente como:


Tan x = B`C`/2 es decir B`C`= 2tan x De esta forma utilizando el principio de valor intermedio tenemos:

2sen x < 2x < 2 tan x dividiendo entre 2

sen x <x < tan x pero esta desigualdad sólo se cumple en [ 0, π2

)

como se ve en la siguiente gráfica:

dividiendo la última desigualdad entre el sen x tenemos: x 1 1 < ______ < _____ sen x cos x calculando los límites por el teorema de la función intermedia, tenemos: 1 x Lím 1 = 1 Y Lím ____ = 1 ⇒ Lím _____ = 1 x→0 x→0 cos x x→0 sen x

Analicemos el segundo límite, Lím sen x

xx→ 0 puesto que de la relaciòn anteior tenemos

sen x < x < tan x

entonces podemos plantear la relaciòn de la siguiente forma:

tan x

1x 1

sen x1

<<

Multiplicando esta desigualdad por el sen x tenemos:


1 ≤ sen x

x≤ cos x

Calculando los límites de esta última desigualdad nos damos cuenta que ambos son

iguales a la unidad, como en el ejemplo anterior, entonces tenemos que deacuerdo al teorema de la función intermedia: sen x Lím _____ = 1 x→0 x Para comprobar los dos resultados anteiores observemos el comportamiento gràfico De ambas funciones: Gráfica sen x

F(x) = _____ x

De la gràfica se puede observar que el valor del límite cuando x tiende a cero es 1 lo que concuerda con el análisis anteriormente descrito.


Ejemplo

IV.- Técnica del conocimiento previo Esta técnica se emplea ampliamente para la obtención de límites de funciones trigonométricas, y consiste en que si uno conoce de antemano algún límite puede utilizar este conocimiento para obtener otro límite. Ejemplo Tan Kx sen kx . k sen kx . kx 1 . k Lím ________ =____________ = _____________ = _____ = 1. k = k x→0 x xcos kx . k kx x cos kx cos kx

0x1sen x Lím

tantoloPor 0x 0 x

0 xLím y 0x- Lím Pero

1senx-

11sen1

:x1sen analizando ,intermediafunción de principio del

x1sen xLím

2

0x

22

222

2

0x

=

→→

==

≤≤

≤≤−

→

→

xx

x

x


V.- Técnica de la repetición

Está técnica nos dice que cualquier técnica puede ser empleada n veces. Ejemplo

Lím )525x(-

)11)(525()525(=)11)(11()11)(525(=

11 525

++

+−++−+

+−−−

+−−+

−−

−+

xxxx

xxxx

xx

x→0

= 51

102

52511

)525()11(

−=−=−+−

+−=

++−

+−

xx

xxxx

VI.- Técnica de cambio de variable o introducción de nuevas variables Se utiliza en ocasiones en funciones irracionales Ejemplo

91

)1t(t1

1t Lím

)1tt(1)-(t

1)-(t1t Lím

=)1(t

12t1t Lím

)1t(12t

1t Lím

: tenemosasì1 t 1 x

:es esto valor,mismo al endetambién ti variablede cambio el que garantizar también debemos

x )1(

12 Lím

22

222

2

23

2

23

2

32

32 2

=++→

=

++→−

+−→

=−

+−→

→

→

=−

+−

tt

tx

xx


LÍMITES INFINITOS

Veamos ahora dos clases de limites en los que interviene el símbolo infinito y que en matemáticas se presentan en muchas ocaciones. I)Es común encontrarse con límites del tipo: Lím f(x) = ±∞ ; Lím f(x) = ± ∞ ; Lím f(x) = ± ∞ t→0 a→0+ a→0- En este tipo de límites el valor de la variable dependiente crece sin cota, es decir crece desmedidamente. En tal caso nosotros hablamos de límite infinito y decimos que en la recta x=xo existe una asíntota vertical.

Asíntotas verticales Si el Lím f(x) = ± ∞

a→0 Entonces decimos que en la recta x=a , existe una

Asíntota vertical Ejemplo

vertical.

asíntotauna es que dice se 1=xrecta la y existe no límite el caso este En

+ =1-x

2 1x

Lím

- =1-x

2 1x

Lím

queya

existe no = 1 xf(x) Lím

1 x , 1-x

2 = f(x)

+

-

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞→

∞→

→≠


Gráfica:

Ejemplo

F(x) = 2

x+x

, x> -2, D(-2, ∞ )

Lím =xx + 2

=-∞, en este caso la recta x=-2 es una asintota vertical.

x→-2+ Gráfica


Ejemplo

F(x) =1x2

, D: x ≠ 0,

Lím = 1x2

=+∞ En este caso decimos que la recta x=o

x→0+ asíntota vertical.

Lím = 1x2

= +∞

x→0- Gráfica


Ejemplo Determine las asíntotas verticales de la siguiente función.

f(x) =x x +1

(x x x + 8)2 2

2

1 6+

+ −)(

revise que existe descontinuidad de la funciòn en el denominador en 2 y 4 por lo que hay que revisar los limites en esos puntos.

Lím = x x +1

(x x x + 8)2 2

2

1 6+

+ −)( = +∞

x→2+

Lím =x x +1

(x x x + 8)2 2

2

1 6+

+ −)(= -∞

x→2-

Lím = x x +1

(x x x + 8)2 2

2

1 6+

+ −)( = +∞

x→4+

Lím =x x +1

(x x x + 8)2 2

2

1 6+

+ −)(= -∞

x→4+ ¿Cómo podemos graficar esta función ? Veamos el signo de cada uno de los términos:

0 1 2 3 4

++++++++++

- - - - - - - -

++++++++++

Gráfica

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