libro principio de las telecomunicaciones.pdf

Tercera Edicin Edicin Digital

PRINCIPIOS DE LAS COMUNICACIONES Jos E. Briceo M., Dr. Ing. Profesor Titular, ULA

Mrida, Abril 2005

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PUBLICACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

La primera edicin de este libro fu recomendada para su edicin y publicacin por el Departamento de Electrnica y Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Facultad de Ingeniera de la Universidad de los Andes, en su Reunin Ordinaria realizada el 14 de Diciembre de 1989.

Est prohibida la reproduccin total o parcial de este libro sin previa autorizacin del autor. Ediciones: 1990, 1993, 1998, 2004, Digital 2005 Cdigo:

Impreso en Mrida Taller de Publicaciones de la Facultad de Ingeniera,

Universidad de Los Andes

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INDICE DE MATERIAS PREFACIO A LA EDICIN DIGITAL xiii

PREFACIO xiv

CAPITULO I 1

REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 1

1.1. INTRODUCCION 1

1.2. MODELOS DE SEALES 5 1.2.1. Seales Determinsticas y Aleatorias 5 1.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas 5 1.2.3. Seales de Energa y de Potencia 6 1.2.4. Seales Singulares 9 La Rampa Unitaria 10 El Escaln Unitario 10 La Funcin Signo 11 El Impulso Unitario Delta Dirac 12 1.2.5. Seales Ortogonales 14

1.3. EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 15 1.3.1. Representacin Espectral 15

1.4. SERIES Y ESPECTROS DE FOURIER 18 1.4.1. Seales Peridicas 18 Definicin 18 1.4.2. Series de Fourier 20 Definicin 20 La Serie Trigonomtrica de Fourier 20 La Serie Exponencial de Fourier 22 1.4.3. El Espectro Discreto 24 Propiedades del Espectro Discreto 27 1.4.4. Espectro de Potencia de Seales Peridicas. Teorema de Parseval 28

1.5. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 31 1.5.1. Introduccin 31 1.5.2. El Espectro Continuo 33 1.5.3. Propiedades de la Transformada de Fourier de Seales Reales 35

1.6. DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA. TEOREMA DE RALEIGH 38

1.7. TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 40 1.7.1. Teorema de la Superposicin o Linealidad 40 1.7.2. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en el Tiempo 41 1.7.3. Teorema del Cambio de Escala 42 1.7.4. Teorema de la Dualidad o Simetra 42 1.7.5. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en Frecuencia 44 Teorema de la Modulacin 44 1.7.6. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en el Tiempo 47 1.7.7. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en Frecuencia 49

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1.8. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICAS 51

1.9. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA 54 1.9.1. Introduccin 54 Definicin 54 1.9.2. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 56

1.10. RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEAL 59

1.11. FUNCIONES DE CORRELACION 61 1.11.1. Introduccin 61 1.11.2. Autocorrelacin 62 Definicin 62 Propiedades de la Funcin de Autocorrelacin 64 1.11.3. Teorema de Wiener-Kintchine 67 1.11.4. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 68 1.11.5. Intercorrelacin 69 Propiedades de la Funcin de Intercorrelacin 70 1.11.6. Deteccin de una Seal en presencia de Ruido 71

1.12. RESUMEN 72

PROBLEMAS DE APLICACIN 73

CAPITULO II 87

REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SISTEMAS 87

2.1. INTRODUCCIN 87

2.2. CARACTERIZACION DE SISTEMAS 87 2.2.1. Concepto de Sistema 87

2.2.2. Clasificacin de Sistemas 88 2.2.3. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio del Tiempo 89 Respuesta Impulsional 89 Sistemas Lineales Invariantes y Variantes en el Tiempo 90 Causalidad y Estabilidad en Sistemas Lineales 94 2.2.4. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio de la Frecuencia 95 Funcin de Transferencia 95 Criterio de Paley-Wiener 97 Propiedades de la Funcin de Transferencia 97

2.3. LA INTEGRAL DE CONVOLUCION 100 2.3.1. Aplicaciones en el Anlisis de Seales y Sistemas 100 2.3.2. Interpretacin Grfica de la Convolucin 106

2.4. DISTORSION EN LAS SEALES 108 2.4.1. Transmisin sin Distorsin 108 Sistemas de Fase Lineal 112 2.4.2. Tipos de Distorsin 113 Distorsin de Amplitud 113 Distorsin de Fase 113 Distorsin no Lineal 116 Compansin 118

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2.5. INTERCONEXION DE SISTEMAS 119

2.6. FILTROS 120 2.6.1. Introduccin 120 2.6.2. Filtros Ideales 121 Filtro Ideal Pasabajo 122 Filtro Ideal Pasabanda 121 Filtro Ideal Pasaalto 122 Filtro Ideal Eliminador de Banda 123 2.6.3. Ancho de Banda en Filtros Reales 127

2.7. SEALES Y SISTEMAS PASABANDA 132 2.7.1. La Transformada de Hilbert 132 2.7.2. La Seal Analtica 136 2.7.3. Seales Pasabanda 137 2.7.4. Seales Moduladas y Bandas Laterales 144 Modulacin en Doble Banda Lateral 144 Modulacin en Banda Lateral Unica 146 2.7.5. Seales Pasabanda de Potencia 148 2.7.6. Sistemas Pasabanda 149

2.8. FUNCIONES DE CORRELACION EN SISTEMAS LINEALES 152 2.8.1. Autocorrelacin Entrada/Salida 152 2.8.2. Intercorrelacin Entrada/Salida 154

2.9. RUIDO EN SISTEMAS 156 2.9.1. Introduccin 156 2.9.2. Ruido Interno 156 Ruido de Disparo 156 Ruido Trmico 156 Circuitos Equivalentes del Ruido 158 Potencia de Ruido Disponible 159 2.9.3. Ruido Blanco 160 Ruido Blanco Pasabanda de Banda Angosta 162 2.9.4. Ancho de Banda Equivalente del Ruido 165 2.9.5. Caracterizacin del Ruido en Sistemas 167 Relaciones Seal/Ruido en Sistemas de Comunicacin 167 Relaciones Seal/Ruido en un Receptor con Deteccin Coherente 167 Ganancia de Conversin o de Deteccin, 169 Cifra de Ruido 171 Cifra de Ruido en Sistemas en Cascada 174 Cifra de Ruido en Redes Atenuadoras 175 Medida del Ruido 179

2.10. RESUMEN 181


vi

CAPITULO III 195

VARIABLES Y PROCESOS ALEATORIOS 195

3.1. INTRODUCCIN 195

3.2. NOCIONES DE LA PROBABILIDAD 195 3.2.1. Definicin de la Probabilidad 195 Definicin Emprica de la Probabilidad 195 Sucesos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos 196 Definicin Axiomtica de la Probabilidad 196 3.2.2. Probabilidad Conjunta. Probabilidad Condicional. Independencia 197 Probabilidad Conjunta 197 Probabilidad Condicional 197 Independencia Estadstica 198 Probabilidad Total 199 Teorema de Bayes 199 Modelo Probabilstico de un Canal de Comunicaciones 200

3.3. VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE PROBABILIDAD 203 3.3.1. Variables Aleatorias Discretas 203 3.3.2. Variables Aleatorias Continuas 205

3.3.3. Distribuciones Conjuntas 208 Distribucin Condicional 209

3.4. FUNCIONES DE PROBABILIDAD ESPECIALES 211 3.4.1. Distribucin Normal o Gaussiana 211 3.4.2. Distribucin de Poisson 213 3.4.3. Distribucin Binomial 214 3.4.4. Distribucin Uniforme 214 3.5.5. Distribucin de Laplace 215 3.4.6. Distribucin de Cauchy 215 3.4.7. Distribucin de Raleigh 216 3.4.8. Distribucin de Maxwell 217

3.5. FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS 217 Teorema Fundamental 218

3.6. PROMEDIOS ESTADSTICOS 219 3.6.1. Definicin 219 3.6.2. Valor Promedio de Funciones de Variables Aleatorias 220 Valor Promedio de una Funcin de una Variable Aleatoria 220 Valor Promedio de una Funcin de Variables Aleatorias 220 Valor Promedio de Variables Aleatorias Estadsticamente Independientes 221 3.6.3. Momentos 221 Momentos Centrales 223

3.7. FUNCION CARACTERSTICA 225

3.8. PROCESOS ALEATORIOS O ESTOCASTICOS 228 3.8.1. Introduccin 228 Estadsticas de Primer Orden 230 Estadsticas de Segundo Orden 230

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3.8.2. Estacionaridad y Ergodicidad 232 Estacionaridad en el Sentido Estricto 232 Estacionaridad en el Sentido Amplio 232 Ergodicidad 232 3.8.3. Funcin de Autocorrelacin y Densidad Espectral de Potencia 234 Funcin de Autocorrelacin 234 Densidad Espectral de Potencia 235

3.9. PROCESOS ALEATORIOS DISCRETOS 236 3.9.1. Secuencias Aleatorias Discretas 236 3.9.2. Densidad Espectral y Funcin de Autocorrelacin de Secuencias PCM 242 3.9.3. Secuencias Binarias Seudoaleatorias 247 Caractersticas Espectro-Temporales 247 Dispersin del Espectro (Spread Spectrum) 249 Generacin de Secuencias Binarias Seudoaleatorias 251

3.10. RESUMEN 253


CAPITULO IV 261

PRINCIPIOS DE LA TRANSMISION DE INFORMACIN 261


4.2. MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION DE INFORMACION 261 Fuente de Informacin 262 Transductor de Entrada 262 Transmisor 262 Canal 262 Receptor 263 Ruido 263 Ancho de Banda y Potencia de Transmisin 263

4.3. CONCEPTO Y MEDIDA DE LA INFORMACION 264

4.4. CARACTERIZACION DE LA INFORMACION 266 4.4.1. Entropa 266 4.4.2. Velocidad de Informacin 268 4.4.3. Codificacin de Canal 269 4.4.4. Velocidad de Modulacin 271 4.4.5. Redundancia Agregada 271

4.5. CARACTERIZACION DEL CANAL 273 4.5.1. Ancho de Banda del Canal 273 4.5.2. Capacidad del Canal 276 Definicin 276 Canal sin Ruido 277 Canal con Ruido 278

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4.6. EL SISTEMA IDEAL DE TRANSMISION DE INFORMACIN 280

4.6.1.Introduccin 280 4.6.2. El Receptor Ideal 280 Relacin de Expansin del Ancho de Banda, 281

4.7. RESUMEN 283

PROBLEMAS DE APLICACION 283

CAPITULO V 295

MODULACION Y TRANSMISION DE IMPULSOS 295


5.2. TEORIA DEL MUESTREO UNIFORME DE SEALES 296 5.2.1. Introduccin 296 5.2.2. Teoremas del Muestreo Uniforme de Seales 296 Teorema No 1. Teorema del Muestreo de Shannon 296 Teorema No 2. Recuperacin o Interpolacin de la Seal 298 Teorema de Parseval para Seales Muestreadas 300 Teorema No 3. Muestreo de Seales Pasabanda 301 Muestreo en el Dominio de la Frecuencia 303 Teorema No 4 303 5.2.3. Muestreo Prctico de Seales Pasabajo 307 Muestreo Natural 308 Muestreo con Retencin 310 5.2.4. Distorsin Producida por el Muestreo 314 Distorsin de Solapamiento (Aliasing) 315 Distorsin de Interpolacin 315 Distorsin por Efecto de Apertura 316

5.3. SISTEMAS DE MODULACION ANALOGICA DE IMPULSOS 317 5.3.1. Introduccin 317 5.3.2. Modulacin de Amplitud de Impulsos (PAM) 318 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PAM 318 5.3.3. Modulacin de la Duracin de Impulsos (PDM) 321 Ancho de Banda en Sistemas PDM 324 5.3.4. Modulacin por Posicin de Impulsos (PPM) 325 Ancho de Banda y Relaciones S/N en PPM y PDM 328 5.3.5. Comparacin entre las Ganancias de Conversin en PAM, PDM y PPM 332

5.4. SISTEMAS DE MODULACION DIGITAL DE IMPULSOS 334 5.4.1. Introduccin 334 5.4.2. Modulacin de Impulsos Codificados (PCM) 334 Cuantificacin y Codificacin 335 Demodulacin de Seales PCM 338 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PCM 340 5.4.3. Modulacin Diferencial de Impulsos Codificados (DPCM) 346 5.4.4. Modulacin Delta Lineal (DM) 348 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas de Modulacin Delta Lineal 351

ix

5.5. TRANSMISION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE 355 5.5.1. Introduccin 355 5.5.2. Tcnicas de Multicanalizacin o Multiplicidad 356 Tcnicas de Multiplicidad por Divisin de Tiempo (TDM) 356 5.5.3. Interferencia Intersmbolo 358 5.5.4. Cdigos de Lnea 361

5.6. RECEPCION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE 366 5.6.1. Introduccin 366 5.6.2. El Filtro Acoplado 367

5.7. TRANSMISION Y RECEPCION DE SEALES BINARIAS MEDIANTE PORTADORA MODULADA 371 5.7.1. Introduccin 371 5.7.2. Demodulacin y Sicronizacin de Seales Binarias Moduladas 373 Mtodos de Demodulacin 373 Sincronizacin de Portadora y Temporizacin 374 5.7.3. Modulacin Binaria de Amplitud (ASK) 3676 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas ASK 377 Rendimiento de Transmisin 378 Demodulacin Coherente de Seales ASK 379 Demodulacin no Coherente de Seales ASK 382 5.7.4. Modulacin Binaria de Frecuencia (FSK) 384 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas FSK 384 Principio de Ortogonalidad en Seales FSK 385 Ancho de Banda en FSK 387 Relaciones S/N en FSK 388 Demodulacin Coherente de Seales FSK 388 Demodulacin no Coherente de Seales FSK 389 5.7.5. Modulacin Binaria de Fase (PSK) 394 Demodulacin de Seales PSK 394 Modulacin Binaria Diferencial de Fase (DPSK) 395 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PSK y DPSK 398 5.7.6. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Binaria 402

5.8. MODULACION DIGITAL M-aria MEDIANTE PORTADORA MODULADA 404 5.8.1. Introduccin 404 5.8.2. Modulacin PSK M-aria 405 5.8.3. Modulacin DPSK M-aria 408 5.8.4. Modulacin FSK M-aria de Banda Ancha 411 Ortogonalidad de Seales FSK M-aria 412 5.8.5. Acceso Mltiple por Divisin de Tiempo (TDMA) 414

5.9. TRANSMISION DE SEALES DIGITALES MEDIANTE DISPERSION DEL ESPECTRO (SPREAD SPECTRUM) 415 5.9.1. Introduccin 415 5.9.2. Sistemas SS de Secuencia Directa (DSSS) 416 Acceso Mltiple por Divisin de Cdigo (CDMA) 420 5.9.3. Dispersin del Espectro mediante Conmutacin de Frecuencias (FHSS) 422 5.9.4. Consideraciones Finales 425

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5.10. RESUMEN 426


CAPITULO VI 445

MODULACION Y TRANSMISION DE SEALES CONTINUAS 445

6.1. INTRODUCCIN 445 6.1.1. Esquemas de Modulacin Analgica de Ondas Continuas 446

6.2. MODULACION LINEAL DE SEALES CONTINUAS 448 6.2.1. Introduccin 448

6.2.2. Modulacin de Amplitud en Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB) 448

Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin DSB 450 6.2.3. Modulacin de Amplitud con Portadora de gran Potencia (AM) 451 Potencia y Rendimiento de Transmisin en AM 454 Moduladores y Transmisores AM 459 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin AM 461 Efecto Umbral en Sistemas AM 463 6.2.4. Modulacin en Banda Lateral Unica (SSB) 465 Generacin de Seales SSB 466 Demodulacin de Seales SSB 467 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin SSB 468 6.2.5. Modulacin en Banda Lateral Residual (VSB) 473 6.2.6. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Lineal 479

6.3. TECNICAS DE TRASLACION DE FRECUENCIAS 482 6.3.1. Conversin de Frecuencias 482 Frecuencias Imagen 483 El Receptor Superheterodino 483 6.3.2. Multiplicidad por Divisin de Frecuencia (FDM) 486 Ancho de Banda de la Banda de Base Multicanal 487 Multicanalizacin en Sistema Telefnicos 488 Acceso Mltiple por Divisin de Frecuencia (FDMA) 488

6.4. MODULACION ANGULAR O EXPONENCIAL DE SEALES CONTINUAS 490 6.4.1. Introduccin 490 Esquemas de Modulacin Angular de Seales Continuas 491 Efecto de una Componente Continua en Modulacin Angular 495 6.4.2. Modulacin Angular de Banda Angosta 496 6.4.3. Modulacin Angular de Banda Ancha 498 Modulacin Sinusoidal Compuesta 503 6.4.4. Potencia y Ancho de Banda en Modulacin Angular de Banda Ancha 505 Potencia en Modulacin Angular 505 Ancho de Banda en Modulacin Angular 505 6.4.5. Generacin y Deteccin de Seales Moduladas en Angulo 511 Generacin Directa de Seales Moduladas en Frecuencia 511 Generacin Indirecta de Seales Moduladas en Frecuencia 514 Demodulacin de Seales Moduladas en Angulo 515 6.4.6. Interferencia y Relaciones S/N en Modulacin Angular 521

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Interferencia 521 Relaciones S/N en Modulacin de Frecuencia 523 Efecto Umbral en Modulacin de Frecuencia 526 Relaciones S/N en Modulacin de Fase 529 6.4.7. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular 530

6.5. COMPARACION ENTRE LOS SISTEMAS DE MODULACION DE SEALES CONTINUAS 531 6.5.1. Criterios de Comparacin 531 6.5.2. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular vs Modulacin Lineal 532 6.5.3. Intercambio Ancho de Banda-Relacin S/N en Sistemas de Banda Ancha 532 6.5.4 Comparacin entre los Sistemas de Banda Ancha 534 6.5.5. Caractersticas Generales de los Sistemas de Modulacin de Ondas Continuas 536

6.6. RESUMEN 537


APENDICE A 555

CALCULO NUMERICO DE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER 555

A.1. Clculo Numrico de los Coeficientes de Fourier 555

A.2. La Transformada de Fourier Discreta (DFT) 557

Clculo Directo de la Transformada de Fourier Discreta 560

A.3. La Transformada de Fourier Rpida (FFT) 561

Algoritmo FFT por Decimacin en el Tiempo 561

APENDICE B 567

MISCELNEOS 567

B.1. El Espectro Electromagntico 567

B.2. Designacin de las Bandas de Microondas 567

B.3. Bandas de Televisin (NTSC, CATV) y FM en VHF 568

B.4. Bandas de Televisin (NTSC, CATV) en UHF 568

B.5. Cdigo ASCII o Alfabeto Internacional No 5 de la UIT-T 569

B.6. Cdigo Baudot 569

APENDICE C 570

TRANSFORMADAS 570

C.1. Teoremas de la Transformada de Fourier 570

C.2. Pares de Transformadas de Hilbert 570

C.3. Pares de Transformadas de Fourier 571

C.4. Otros Teoremas de Inters 571

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APENDICE D 572

FORMULAS MATEMTICAS 572

D.1. Identidades Trigonomtricas 572

D.2. Integrales Indefinidas 573

D.3. Integrales Definidas 573

D.4. La Funcin Error 574

BIBLIOGRAFA 575

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PREFACIO A LA EDICION DIGITAL

Actualmente en Venezuela y en muchas partes del mundo se est observando la gran importancia que tiene la informacin en la vida cotidiana; esto ha permitido que la demanda de informacin vaya en aumento y por lo tanto se tenga que hacer uso de sistemas ms sofisticados para lograr la generacin, almacenamiento, administracin y acceso de los datos.

La Biblioteca Digital de la Universidad de Los Andes es una coleccin de artculos, de trabajos de investigacin y de libros de texto completos, disponibles a travs de la Web, con la finalidad de contribuir a las actividades acadmicas y de investigacin de cualquier disciplina. Esta Biblioteca Digital permitir la difusin a nivel mundial de la inmensa cantidad de obras producidas por el personal acadmico docente y de investigacin de la Universidad.

Con esta finalidad, he puesto a disposicin de la comunidad hispanoamericana los libros Transmisin de Datos y el presente libro Principios de las Comunicaciones, como una contribucin a la enseanza, tanto terica como prctica, de las Telecomunicaciones.

Como una ayuda y colaboracin para mis colegas profesores, pongo tambin a su disposicin el Problemario de Comunicaciones que contiene la solucin completa de todos los problemas planteados en el libro Principios de las Comunicaciones, Edicin Digital. Este Problemario, mis estimados colegas, lo pueden obtener dirigindose a m directamente por correo electrnico; mi direccin electrnica es: [email protected]. Esto me permitir el establecimiento de contactos ms personales con los potenciales usuarios del libro.

Espero que este texto les sea de utilidad en su diaria enseanza.

Jos E. Briceo M., Dr. Ing. Profesor Titular, ULA. [email protected] Mrida, Abril 2005

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PREFACIO A LA TERCERA EDICION

El presente texto es el resultado de casi cuatro dcadas de enseanza de las comunicaciones en la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Universidad de Los Andes (ULA) y es una reedicin corregida y aumentada del texto del mismo nombre editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de los Andes y utilizado en los cursos del Pregrado de Ingeniera Elctrica.

Este libro ha sido concebido para servir como introduccin a los principios bsicos de la teora moderna de la comunicacin y a los sistemas de comunicacin desde el punto de vista del anlisis de sistemas. El mtodo seguido consiste en la presentacin de los principios matemticos aplicados a los modelos fsicos de los sistemas con ejemplos, hasta donde es posible, de sistemas de comunicacin prcticos. No est contemplada la deduccin o explicacin de los principios matemticos bsicos utilizados.

Los requisitos necesarios para entender el material son conocimientos elementales de la teora de las probabilidades y variables aleatorias, trigonometra, lgebra lineal, clculo diferencial e integral, convolucin y nociones de circuitos elctricos y electrnica, es decir, conocimientos a nivel de sexto o sptimo semestre de Ingeniera Elctrica o Electrnica. El material, incluyendo los Apndices, se cubre cmodamente en dos semestres o tres trimestres.

El texto est dividido en cinco captulos y cuatro apndices. Los dos primeros captulos comprenden los principios bsicos tericos, el tercer captulo es una introduccin a la teora de la probabilidad, variables y procesos aleatorios, en el cuarto captulo se presentan los principios de la transmisin de informacin, y los captulos quinto y sexto son aplicaciones en sistemas de comunicacin prcticos. El procedimiento seguido se ha planteado principalmente desde el punto de vista determinstico; sin embargo, a todo lo largo del texto se hace continuas referencias a seales aleatorias, y para el lector poco familiarizado con estos conceptos, en el Captulo III se presenta una breve introduccin a las variables y procesos aleatorios. Nuestra intencin es la de proporcionar al estudiante conocimientos slidos de los fundamentos tericos como introduccin, tanto analtica como intuitiva, a la metodologa a seguir en el anlisis, planificacin, diseo y evaluacin de sistemas de comunicacin, y como una primera fase en el estudio de la Teora Estadstica de la Comunicacin y Sistemas Avanzados de Comunicacin.

La seleccin de tpicos, organizacin y presentacin son consecuencia de nuestra experiencia en la enseanza de esta materia. En particular, se hace nfasis en los principios y conceptos de los sistemas y de las aplicaciones ms bien que en la instrumentacin prctica, pues los dispositivos, circuitos y componentes pueden cambiar con la tecnologa y son ms del dominio de la electrnica que de las comunicaciones. A fin de facilitar el estudio no dirigido, el material se complementa con una bibliografa suficiente y con numerosos ejemplos resueltos y problemas al final de cada captulo, en su mayor parte con respuesta. Para profesores de la materia hay disponible un Manual del Instructor con la solucin completa de todos los problemas propuestos en el texto. Los interesados en este Manual se pueden dirigir directamente al autor.

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Quizs en la Ingeniera de las Comunicaciones es donde se hace empleo muy extenso, tal vez abusivo, de las siglas. Esta codificacin es necesaria por cuanto permite, a los iniciados, expresarse rpidamente y sin ambigedades acerca de un tpico dado. La mayor parte de los libros de comunicaciones en idioma espaol son traducciones de otros idiomas, y cada traductor interpreta o traduce libremente y luego define unas siglas correspondientes a su traduccin. El resultado son textos completamente ilegibles, an para los iniciados. En este texto utilizaremos las siglas correspondientes al idioma ingls, pues la mayora de la informacin pertinente se encuentra en este idioma. Por ejemplo, para la Modulacin Diferencial de Impulsos Codificados utilizaremos la sigla en ingls DPCM y no MDIC o MCID o MCPD o MICD, encontradas en cuatro textos diferentes.

Vamos a describir sumariamente el contenido de los captulos que conforman el texto. En los Captulos I y II se presentan las tcnicas y modelos matemticos necesarios para la representacin de seales y sistemas, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Particularmente, se hace nfasis especial en los mtodos clsicos para el anlisis espectral de seales: las Series y la Transformada de Fourier, y se presenta un desarrollo unificado de la densidad espectral de potencia y de las funciones de correlacin. En el Captulo II se presenta un breve estudio de los sistemas lineales y su caracterizacin espectro-temporal, as como la descripcin, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, de la transmisin de seales a travs de filtros y canales lineales. La Transformada de Hilbert se define en trminos muy sencillos y mediante el concepto de funcin analtica, se obtiene la descripcin de seales pasabanda de banda angosta y el concepto de bandas laterales en seales moduladas. El CaptuloII concluye con un breve estudio del ruido en sistemas de comunicacin y su caracterizacin como Relacin Seal/Ruido, Temperatura de Ruido, Cifra de Ruido y Medida del Ruido.

En el Captulo III se desarrollan algunos modelos probabilsticos de las variables y procesos aleatorios. El captulo comienza con una breve revisin de los conceptos elementales ms importantes de la teora de la probabilidad y a continuacin se introduce el concepto de variable aleatoria, tanto en su forma discreta como en su forma continua. El concepto de proceso aleatorio se presenta como un modelo para describir una coleccin de funciones del tiempo y se estudian las propiedades de los procesos estacionarios y ergdicos en relacin con la funcin de autocorrelacin y la densidad espectral de potencia. Por ltimo, se estudian algunos modelos que representan secuencias aleatorias binarias de gran utilizacin en la teora, prctica y diseo de sistemas comunicacin digital y se presenta el concepto de dispersin del espectro (Spread Spectrum). El material presentado en este captulo es solamente una introduccin, o ms bien un repaso, de la teora de la probabilidad y procesos aleatorios, y no se pretende que sea un curso completo en s mismo. El lector interesado en profundizar sus conocimientos en este campo puede consultar la bibliografa especializada.

En el Captulo IV se presentan las ideas bsicas de la Teora de la Informacin ms desde un punto de vista intuitivo que mediante desarrollos matemticos avanzados. El concepto de informacin, la entropa, la velocidad de informacin, la velocidad de modulacin, el ancho de banda de un canal y la capacidad de Shannon se presentan hacindose nfasis en la codificacin digital de seales y en las caractersticas de los canales reales. Se definen, asimismo, los parmetros bsicos de un sistema ideal de transmisin de informacin.

El Captulo V est dedicado a la modulacin y transmisin de impulsos, bases de las tcnicas del procesamiento digital de seales y de la transmisin de datos. Se comienza con la Teora del Muestreo de Seales, utilizando las tcnicas y conceptos estudiados en los Captulos I y II. El muestreo y la recuperacin de seales se tratan tanto desde un punto de vista terico como

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prctico, y se hace nfasis de su importancia en los sistemas de modulacin de impulsos. Se estudian los diferentes sistemas de modulacin analgica (PAM, PDM y PPM) y digital (PCM, DPCM y DM) de impulsos y se comparan sus caractersticas en el caso de transmisin y recepcin en banda de base. En este captulo se estudia tambin la transmisin de impulsos binarios mediante portadora modulada y se describen los sistemas usuales para la transmisin de datos en presencia del ruido con aplicaciones a sistemas reales. Asimismo, se hace una breve introduccin a la transmisin de seales digitales mediante dispersin del espectro (Spread Spectrum) y algunas de sus aplicaciones. Donde es aplicable, se utilizan o citan las Recomendaciones del UIT-T (Unin Internacional de Telecomunicaciones-Sector de Telecomunicaciones) y del UIT-R (Unin Internacional de Telecomunicaciones-Sector de Radiocomunicacin).

En el Captulo VI se estudia la modulacin y transmisin de seales continuas, tales como voz, msica o video. Se definen los dos tipos de modulacin de ondas continuas: lineal (Modulacin de Amplitud) y exponencial (Modulacin Angular), y se desarrollan las descripciones de los diferentes sistemas particulares, tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo. Particular nfasis se da al comportamiento de los sistemas desde el punto de vista de la potencia (Relaciones S/N) como del ancho de banda, sin olvidar la complejidad en la instrumentacin prctica. Se desarrolla el concepto de multicanalizacin o multiplex, y se dan algunos ejemplos de su aplicacin en telefona, radiodifusin y transmisin por satlites. El captulo concluye con una comparacin de todos los sistemas estudiados, tanto de impulsos como de ondas continuas, y se sealan algunas de sus aplicaciones en el campo de la transmisin de informacin.

En el Apndice A se presenta una breve introduccin al clculo numrico de los Coeficientes y Transformada de Fourier. En particular se estudia la Transformada de Fourier Discreta, se presentan algunas de sus aplicaciones, especialmente la Transformada de Fourier Rpida (Fast Fourier Transform, FFT), de gran aplicacin en el Anlisis Espectral de Seales. En los Apndices siguientes se da informacin adicional acerca del Espectro Electromagntico, las Bandas de Frecuencia en FM, VHF y UHF, as como frmulas matemticas, tablas de transformadas, etc., que son de amplia utilizacin en el texto.

Se ha hecho un esfuerzo considerable para presentar el material de tal manera que haya una progresin coherente desde los principios y conceptos hasta las consideraciones de diseo, sin profundizar demasiado en desarrollos matemticos innecesarios, e intentando, en lo posible, interpretar en forma intuitiva los conceptos y resultados, as como su materializacin fsica (dispositivos y circuitos).

Queremos dejar constancia de nuestro agradecimiento a los Profesores Ermanno Pietrosemoli y Nstor Angulo Reina (+), de la Ctedra de Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Universidad de los Andes, cuyas valiosas sugerencias han contribuido a mejorar considerablemente la exactitud y claridad del texto

Finalmente, quiero dedicar este libro a Margot, mi esposa, por el apoyo que siempre me ha dado y por la paciencia que ha demostrado por el tiempo robado a su compaa y dedicado a la elaboracin de este texto.

Jos E. Briceo M., Dr. Ing. < [email protected]>

Mrida, Agosto 2004

CAPITULO I

REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES

1.1. INTRODUCCION

El propsito de un sistema de comunicacin es el de transmitir informacin. Un sistema de comunicacin comprende un transmisor, un canal sobre el cual la informacin se transmite, y un receptor para recoger la informacin. El canal de transmisin puede ser un simple par de conductores, un cable coaxial, una fibra ptica, una gua de ondas o el espacio libre.

La palabra comunicacin parece privativa del ingeniero de comunicaciones o de los medios de comunicacin de masas. Este es un error muy frecuente an en personas tcnicamente calificadas. La transmisin de medidas de voltaje, corriente, frecuencia, etc., desde una estacin remota hasta el puesto de control es comunicacin; la transmisin de datos a travs de un cable coaxial en un sistema de automatizacin industrial es tambin comunicacin. La transmisin de un programa de opinin por un medio de transmisin de masas tambin es comunicacin. Hay un gran nmero de aplicaciones en las cuales la palabra comunicacin se emplea indistintamente. Sin embargo, desde el punto de vista que nos ocupa, la palabra o palabras ms apropiadas que describen el proceso son las de transmisin de informacin.

Como estaremos hablando continuamente de comunicacin, y siendo la comunicacin tan diversa y tan importante, sera interesante conocer algo de sus orgenes histricos y de los hombres que han sobresalido en su estudio y desarrollo.

La teora moderna de la comunicacin tuvo su origen en el estudio de las comunicaciones elctricas y algunas de las ideas ms importantes se originaron en los primeros intentos para establecer comunicaciones rpidas a larga distancia.

En 1832, Samuel Morse (1791-1877) logr la primera forma eficiente del telgrafo elctrico. Como todos sabemos, el cdigo Morse de telegrafa consta de puntos y rayas cuyas combinaciones se asignan a los smbolos del alfabeto (letras y nmeros). La transmisin se efectuaba mediante conductores sobre postes y no haba demasiados problemas en lo que se refera a la reproduccin de la seal recibida en el extremo alejado. En 1843, Morse emprendi la tarea de construir una lnea con cable subterrneo, pero encontr ciertas dificultades que ms tarde afectaron a los cables submarinos an ms severamente. Las dificultades que Morse encontr, con su cable subterrneo, siguen siendo todava un problema importante. En efecto, circuitos diferentes que conduzcan igualmente una corriente continua, no son necesariamente adecuados para una comunicacin elctrica en donde las corrientes son esencialmente variables. Si se transmite puntos y rayas demasiado a prisa por cable subterrneo, estos puntos y rayas, que bsicamente son impulsos, no pueden diferenciarse en el extremo receptor. Como se indica en la Fig. 1.1(a), cuando se transmite un corto impulso de corriente, se recibe en el extremo alejado del circuito un impulso de corriente mucho ms largo, muy disperso. Asimismo, como se indica en la Fig. 1.1(b), cuando se transmite una seal clara y distinta, puede suceder que se reciba una seal difcil de interpretar.

I. REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES

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Naturalmente, si los impulsos son lo suficientemente largos, la interpretacin en el extremo receptor ser completa, pero la velocidad de transmisin habr disminuido apreciablemente. Es evidente, entonces, que hay una velocidad de transmisin lmite asociada de algn modo con un circuito o canal dado. Los primeros telegrafistas estaban conscientes de esta limitacin, y en sus esfuerzos para superarla se sentaron los primeros cimientos de la teora de la comunicacin.

Impulso Transmitido Impulso Recibido t t

t t

(a)

(b)Seal Transmitida Seal RecibidaFig. 1.1. Formas de Onda Transmitidas y Recibidas.

Pero no solamente eran las limitaciones del canal las que hacan difcil la interpretacin.

Durante las tormentas, sobre todo, aparecan seales extraas que hacan an ms difcil la interpretacin. Estas seales espurias, llamadas en general ruido, estn siempre presentes en los circuitos y dificultan la interpretacin de la informacin contenida en un mensaje. Los telegrafistas de aquella poca tenan un conocimiento, que podramos llamar intuitivo, de las limitaciones de los sistemas fsicos, pero hace falta algo ms que un conocimiento intuitivo: se necesita un anlisis matemtico de estos fenmenos.

Desde muy pronto se aplicaron tcnicas matemticas a la solucin de estos problemas, aunque el cuerpo completo de la teora slo se ha logrado en las ltimas dcadas. En 1885, William Thompson (1824-1907), conocido como Lord Kelvin, calcul en forma exacta la corriente recibida en un cable submarino cuando se transmita impulsos (puntos y rayas). Un ataque ms poderoso a tales problemas sigui a la invencin del telfono por Alexander Graham Bell (1847-1922), en 1876. En la telefona las seales varan brusca y rpidamente en un amplio margen de amplitudes, con una rapidez mucho mayor que en la telegrafa manual; esto complic an ms la recepcin de la seales.

Muchos hombres ayudaron al establecimiento del tratamiento matemtico de la telefona. Hombres como Poincar (1854-1912), Heaviside (1850-1925), Pupin (1858-1935), Baudot (1845-1903), son los ms eminentes de ellos. Estos hombres usaron los mtodos matemticos establecidos por el fsico francs Joseph Fourier (1768-1830), los cuales haban sido aplicados al estudio de las vibraciones y que se utilizan para analizar el comportamiento de seales elctricas que varan de modo complicado en funcin del tiempo. El Anlisis de Fourier es de absoluta necesidad en el estudio de las comunicaciones elctricas, porque provee las tcnicas matemticas con las cuales el ingeniero puede describir seales y sistemas no solamente en el dominio del tiempo sino tambin en el dominio de la frecuencia. Este es el principal objetivo de este texto.


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El Anlisis de Fourier se basa en la representacin de una funcin complicada como una suma de funciones sinusoidales, y su utilidad depende de dos hechos fsicos importantes: la invariancia en el tiempo y la linealidad. Un circuito elctrico posee parmetros (R, L y C) que no varan en el tiempo (por lo menos a corto plazo); en trminos ms formales, la ecuacin diferencial que representa al circuito es una ecuacin cuyos coeficientes (los parmetros del circuito) son constantes. La linealidad significa, sencillamente, que si conocemos las seales de salida correspondientes a cualquier nmero de entradas enviadas separadamente, podemos calcular la seal de salida total simplemente sumando las seales de salida individuales; ste es el enunciado del teorema de superposicin. El anlisis de Fourier de las seales en funcin de sus componentes frecuenciales, hace posible estudiar las propiedades de transmisin de un circuito lineal para todas las seales en trminos de la atenuacin y desfasaje que les son impuestas a su paso por el circuito, y proporciona a los ingenieros una asombrosa variedad de resultados que no pueden ser obtenidos de otro modo.

En 1917, Harry Nyquist, de la American Telephone and Telegraph Company, de los Estados Unidos, empez a atacar los problemas de la telegrafa con mtodos matemticos ms poderosos y secundado por una gran intuicin y claridad de conceptos. Los primeros resultados de su trabajo los public en 1924 en el artculo Ciertos Factores que afectan a la Velocidad Telegrfica [Nyquist, 1924]. En este artculo Nyquist trata varios problemas relacionados con la telegrafa y, en particular, aclara la relacin entre la velocidad telegrfica y el nmero de valores o impulsos de corriente que pueden ser transmitidos y correctamente interpretados. Este trabajo, en nuestra opinin, es el primer cimiento de la moderna teora de la informacin. Nyquist demostr que se poda transmitir varios mensajes simultneamente por un mismo canal si los anchos de banda de las seales mensaje no se solapaban. Observ, asimismo, que la velocidad de transmisin era proporcional al ancho de banda del circuito y que poda aumentarse mediante una codificacion apropiada de la seal. Demostr que una seal contena, en todo momento, una componente continua de amplitud constante, que, consumiendo parte de la potencia transmitida, no tena utilidad y poda ser aadida en el receptor, lo mismo que si hubiera sido transmitida por el circuito.

Nyquist continu sus trabajos sobre los problemas de la telegrafa y en 1928 public un segundo e importante artculo: Ciertos Tpicos en la Teora de la Transmisin Telegrfica [Nyquist, 1928]. Este segundo artculo fue ms cuantitativo y exacto que el primero, y juntos abarcan mucho material importante que hoy est incorporado en la Teora de la Comunicacin.

En 1928, R.V. Hartley, el inventor del conocido Oscilador Hartley, public el artculo Transmisin de Informacin [Hartley, 1928]. Hartley atac el problema de la codificacin de los smbolos primarios (por ejemplo, las letras del alfabeto o caracteres alfanumricos) en trminos de smbolos secundarios (por ejemplo, puntos o rayas del cdigo Morse o secuencias de impulsos) y observ que las longitudes de los smbolos secundarios deberan depender de la frecuencia de ocurrencia de los smbolos primarios si se desea transmitir los mensajes con ms rapidez. Hartley sugiri tambin un modo de aplicar tales consideraciones a las seales continuas, por ejemplo, las seales telefnicas o de transmisin de imgenes. Finalmente, Hartley estableci, de acuerdo con Nyquist, que la cantidad de informacin que puede ser transmitida es proporcional al ancho de banda del canal multiplicado por el tiempo de transmisin. Vemos la importancia que en la velocidad de transmisin tiene una codificacin adecuada.

Despus de los trabajos de Nyquist y Hartley no se public ningn trabajo de importancia hasta el advenimiento de la Segunda Guerra Mundial. Acicateados por las obligaciones de la defensa, los gobiernos beligerantes establecieron equipos de matemticos, cientficos e ingenieros para estudiar y desarrollar muchos aspectos de la ciencia y de la tecnologa. El radar, las


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microondas, la televisin y muchos desarrollos ms, fueron los frutos de este esfuerzo combinado, hbilmente dirigido y con ilimitados medios econmicos.

Problemas como la deteccin y estimacin de seales en presencia de ruido fueron resueltos por A.N. Kolmogoroff (1903-1987), en Rusia, y en Estados Unidos, independientemente, por Norbert Wiener (1894-1964). Despus de la guerra otro matemtico, Claude E. Shannon (1916-2001), se interes en los problemas de las comunicaciones en presencia de ruido y en 1948 public en dos partes su artculo Una Teora Matemtica de la Comunicacin [Shannon, 1948], que es otro de los pilares de la moderna Teora de la Comunicacin. En el problema tratado por Shannon se permite elegir cmo representar el mensaje por medio de una seal elctrica, cuntos valores de la corriente se pueden permitir y cuntos se transmitiran por segundo, es decir, el problema de la codificacin y la redundancia. El problema no es, pues, cmo tratar una seal contaminada con ruido para obtener una mejor estimacin de ella, sino qu clase de seal enviar para transportar mejor los mensajes de un tipo dado sobre un canal particular o circuito ruidoso. Shannon demostr, asimismo, que no es posible transmitir sin error si los cdigos utilizados no tienen redundancia.

Los sistemas de comunicacin consisten en un conjunto de bloques funcionales interconectados que transfieren informacin entre dos puntos mediante una serie secuencial de operaciones o procesamiento de seales. La Teora de la Comunicacin trata de los modelos y tcnicas matemticas que se pueden utilizar en el estudio y anlisis de los sistemas de comunicacin.

En los sistemas de comunicacin las seales son magnitudes que varan en el tiempo, tales como voltajes y corrientes que, en general, se representarn con la notacin x(t). Los elementos funcionales de un sistema son los circuitos elctricos, pero tanto los circuitos elctricos (sistemas) como las seales se pueden representar en el dominio del tiempo si la variable independiente es el tiempo (t), o en el dominio de la frecuencia si la variable independiente es la frecuencia (f). En el anlisis y estudio de los sistemas de comunicacin a menudo es necesario y conveniente describir o representar las seales y sistemas en el domino de la frecuencia, lo cual conlleva a los conceptos de espectro y de ancho de banda.

La representacin espectro-temporal de seales y sistemas es posible mediante el Anlisis Espectral de Fourier: Series y Transformadas. En este captulo se desarrollarn las tcnicas matemticas para la descripcin de seales en el dominio de la frecuencia y de la correspondencia Tiempo Frecuencia. Estas tcnicas no son sino modelos matemticos, es decir, descripciones idealizadas de seales reales. Aunque se puede elegir diferentes modelos para un problema particular, la seleccin del modelo ms apropiado estar basada en el conocimiento ms o menos completo de los fenmenos fsicos a modelar y en las limitaciones de los diferentes modelos.

En las ltimas dcadas el desarrollo de las telecomunicaciones ha sido extraordinario pero ms que todo desde el punto de vista de la tecnologa: fueron las tcnicas de integracin de dispositivos de estado slido las que iniciaron esta nueva era de las comunicaciones. El Procesamiento y Transmisin de Datos, las Comunicaciones por Satlite y las Comunicaciones Opticas son los dominios en los cuales el crecimiento ha sido y seguir siendo espectacular. En la conjuncin entre la Electrnica, las Telecomunicaciones y la Informtica estar la base de este desarrollo. En la Referencia [IEEE, 1984] de la Bibliografa, el lector interesado encontrar un nutrido material sobre la historia de las telecomunicaciones en los ltimos 100 aos.


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1.2. MODELOS DE LAS SEALES

1.2.1. Seales Determinsticas y Aleatorias

En los sistemas de comunicacin se encuentran dos clases amplias de seales, conocidas como seales determinsticas y seales aleatorias. Las seales determinsticas se pueden representar mediante expresiones matemticas explcitas del tiempo. Por ejemplo, una seal sinusoidal de la forma x(t) = Acos(2fct) para todo t, es una seal determinstica. Son tambin seales determinsticas aquellas que no poseen una ecuacin que las describa pero que estn representadas mediante grficos. El punto a resaltar es que el valor exacto de una seal determinstica se puede predecir o calcular por adelantado.

En su definicin ms sencilla, una seal aleatoria es aquella en la cual existe un mayor o menor grado de incertidumbre en cuanto a un valor instantneo futuro. Aunque el valor exacto en un instante dado no se conoce, muchas de las seales aleatorias que se encuentran en los sistemas de comunicacin tienen ciertas caractersticas en su comportamiento que permiten describirlas en trminos estadsticos o probabilsticos.

Como veremos en Captulo IV, puede decirse que solamente las seales aleatorias proporcionan verdaderamente informacin, puesto que las seales determinsticas pueden ser totalmente conocidas de antemano. Esto es verdad desde un punto de vista muy amplio y, por supuesto, todas las seales procesadas en un sistema de comunicacin son de naturaleza aleatoria, por lo menos en lo que se refiere al destinatario. Sin embargo, desde el punto de vista del anlisis, diseo, prueba y operacin de sistemas, no solamente es deseable sino tambin necesario utilizar seales determinsticas para analizar el sistema y predecir su comportamiento. Las seales determinsticas tienen propiedades bien conocidas adems de que son ms fciles de generar y utilizar. En el Captulo III se presentan algunos fundamentos de las variables y procesos aleatorios.

1.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas

Una seal peridica es aquella que se repite en una forma predecible cada T segundos, donde T es el perodo de repeticin de la seal, es decir,

x t x t T( ) ( )= + para todo t (1.1) T es una constante positiva y es el valor ms pequeo que satisface la expresin (1.1). Al

intervalo de un perodo se le denomina tambin un ciclo de la seal, aunque la palabra ciclo se utiliza principalmente en seales sinusoidales.

Una seal no peridica o aperidica se puede considerar como el lmite de una seal peridica cuanto el perodo T tiende a infinito. En trminos ms formales, una seal no peridica es aquella para la cual no existe un T finito que satisfaga la expresin (1.1).

Pudiera pensarse que dentro de un intervalo finito una seal no peridica puede repetirse despus de un perodo bastante grande y ser en realidad una seal peridica. Igualmente, podemos argumentar que una seal aparentemente peridica deje de serlo despus de un tiempo lo suficientemente grande. Desde un punto de vista prctico estos argumentos no producen ninguna dificultad, pero en los intervalos usuales de trabajo y para efectos de anlisis, hay que considerar siempre una u otra representacin.


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1.2.3. Seales de Energa y de Potencia

La energa total de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define en la forma

E lim x t dtT T

T= 222 ( )// (1.2) La seal x(t) puede ser un voltaje o una corriente. E es la energa normalizada para una

resistencia de 1 Ohm, y se expresa en joules.

Como x(t) puede, en general, ser compleja, una definicin ms general de la energa es

E lim x t dtT T

T= ( )// 222 (1.3) donde x t x t x t( ) ( ) *( )2 = .

Si x(t) es real e independiente de T, la energa se puede definir en la forma siguiente, que es la ms utilizada en la caracterizacin de seales reales de aplicacin prctica.

E x t dt= 2 ( ) (1.4)

La potencia promedio de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define como la energa por unidad de tiempo; por lo tanto, la potencia promedio de la seal en el intervalo (-T/2, T/2) es

PET

limT

x t dtT T

T= = 1 222 ( )// (1.5)

Si la seal es peridica, no es necesario tomar el lmite y la integracin se efecta dentro de un perodo T, es decir,

PT

x t dtT

T=1 222 ( )// si x(t) es real (1.6)

Esta es la potencia normalizada para una resistencia de 1 ohm; se mide en vatios (W).

Para simplificar la notacin, en este texto utilizaremos continuamente el llamado operador

promedio tiempo definido mediante la expresin general < >= [ ] [ ]//lim TT TT1 22 dt o la expresin

particular < >= [ ] [ ]//1 22T TT dt . Este es un operador lineal.

Algunas veces se define tambin la denominada intensidad normalizada de una seal como la potencia o la energa normalizadas, segn el caso. En este texto representaremos la intensidad normalizada de una seal con la notacin < >x t2 ( ) , que corresponder a la energa si la seal es de energa, o a la potencia si la seal es de potencia; sin embargo, daremos preferencia a la notacin < >x t2 ( ) para representar la potencia promedio normalizada de una seal x(t); asimismo,

>< )t(x representar el valor promedio (componente continua) de una seal x(t). De las definiciones (1.2) a (1.6) se puede establecer lo siguiente:

(a) Se dice que una seal x(t) es de energa si y slo si


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0 2< < x t dt( ) (1.7)

lo cual implica que limT

x t dtT T

T

=1 02

2

2( )

/

/

Las seales de energa finita tienen potencia cero.

(b) Se dice que x(t) es una seal de potencia si y slo si

01 2

2

2< lim T x t dtT TT ( )// < (1.8)

lo cual implica que la energa de una seal de potencia es infinita (E = ). Las seales de potencia finita tienen una energa infinita.

Evidentemente, todas las seales peridicas son necesariamente seales de potencia. Sin embargo, no todas las seales de potencia son peridicas. En efecto, hay muchas seales que tienen una potencia lmite dada cuando T , aunque tales seales sean no peridicas o tengan un comportamiento de carcter aleatorio. En este tipo de seales hay que utilizar la ecuacin (1.5) para su definicin.

Ejemplo 1.1. Se trata de determinar si la seal x t A a t( ) exp( | | )= , donde A y a son constantes y a > 0, es de potencia o de energa, Fig. 1.2.

Por inspeccin, x(t) no es peridica; pero como la curva se extiende hasta el infinito, no es obvio si es o n de energa. En efecto, aplicando (1.4),

0 t

x(t) A

Fig. 1.2

A a t dt at dtAa

2 22

02 2A 2exp( | | ) exp( ) = =

joules

Se verifica que EAa

= < 2

, por lo tanto x t A a t( ) exp( | | )= es una seal de energa. Ejemplo 1.2 Determinar si la seal x(t) de la Fig. 1.3 es de energa, de potencia o ninguna de las dos.

El rea bajo la seal es infinita, por lo tanto no es una seal de energa. La seal no es peridica pero puede ser de potencia. Vamos a verificar esto aplicando la expresin (1.5) a la seal de la Fig. 1.3.

0 t

Ax(t)

Fig. 1.3

limT

A dtA

T

T

=1 22

2

0

2/ W


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Se verifica entonces que < >= < x t A22

2( ) , por lo tanto, x(t) es una seal de potencia.

Podemos decir tambin que una seal continua de amplitud A para todo t es una seal de potencia cuya potencia es A2. Ejemplo 1.3. Potencia de una Seal Sinusoidal Sea la seal sinusoidal x t A f tc( ) cos( )= +2 , donde A, fc y son constantes reales. Por inspeccin, el perodo T de x(t) es T=1/fc. De (1.6),

< >= + = + + x t f A f t dt f A dt f t dtc c c cffffff cccccc2 2 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 22

24( ) cos ( ) cos( )

/

/

/

/

/

/

La segunda integral de la derecha es cero pues la integracin cubre dos perodos completos de la funcin por integrar. La potencia promedio de una seal sinusoidal ser entonces

< >= = x t

A A22 2

2 2( ) (1.9)

donde A / 2 es el valor eficaz de la seal sinusoidal, resultado ya obtenido en los cursos de Circuitos Elctricos. Ntese que la informacin de fase (valor de ) no interviene para nada en el clculo de la potencia. Esto es vlido para cualquiera seal, sea o n sinusoidal. Ejemplo 1.4. Energa de una Seal Triangular

Sea la seal triangular mostrada en la Fig. 1.4(a), donde x tA

t( )

(| |

)=

1

para | t|

0 para | t| >

Esta forma de seal es de uso muy frecuente, por lo que se ha definido la funcin tringulo, Fig. 1.4(b), representada por

1 | t | para |t| 1

Triang(t) (t)0 para |t|>1 = =

( )t

0 -1 0 1 t t

x(t) A 1

(a) Seal (b) Funcin TringuloFig. 1.4

En consecuencia, x t At

( ) ( )= . La energa de x(t) ser: E At

dt A= =2 1 232 2 20 ( ) joules


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Ejemplo 1.5. Potencia Promedio de una Seal Peridica Rectangular Sea la seal peridica rectangular mostrada en la Fig. 1.5(a).

/ 2

( )t

/ 2 T -T 0 0-1/2 1/2t t

1Aoooo oooo

(a) Seal Peridica Rectangular

x(t)

(b) Funcin RectnguloFig. 1.5.

Esta forma de seal tambin es de uso muy frecuente, habindose definido la funcin rectngulo, Fig. 1.5(b), representada por

Re ( ) ( )ct t t= =

1

0

para | t|12

para | t|>12

Por consiguiente, x t At

( ) ( )= en T. La potencia promedio de la seal peridica rectangular x(t) ser

< >= =x t T A dt T A2 2 20 22( ) / En la literatura tcnica a la relacin R

TT= se la denomina ciclo o relacin de trabajo.

1.2.4. Seales Singulares

Hay una clase de seales elementales cuyos miembros tienen formas matemticas muy simples pero que son discontinuas o tienen derivadas discontinuas. Debido a que estas seales no tienen derivadas finitas de ningn orden, generalmente se las denomina seales o funciones singulares. Las seales singulares ms comunes en el anlisis de seales y sistemas son la rampa, el escaln unitario, la seal signo y el impulso unitario Delta Dirac.

Aunque este tipo de seales no son sino idealizaciones matemticas y no ocurren naturalmente en un sistema fsico, ellas sirven para varios propsitos de gran utilidad en el anlisis de seales y sistemas. En primer lugar, sirven como aproximacin de seales que verdaderamente ocurren en los sistemas cuando se efectan operaciones de tipo conmutativo. En segundo lugar, su forma matemtica ms simple permite efectuar cuantitativamente el anlisis de un sistema con mucha ms facilidad que si se emplearan seales ms complicadas. Adems, muchas seales complicadas pueden representarse como combinaciones de estas seales elementales. Por ltimo, no por eso menos importante, estas seales pueden simularse en el laboratorio con mucha facilidad y aproximacin, de modo que puede determinarse experimentalmente si un sistema se comporta en la forma predicha por un anlisis matemtico previo.


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La Rampa Unitaria

La rampa unitaria, r(t), se muestra en la Fig. 1.6 y se define en la forma siguiente:

r tt par

( ) = a 0 t

0 para t < 0 (1.10)

0 t 1

1r(t)

Fig. 1.6. La Rampa Unitaria.

Si se desea que la pendiente sea distinta de la unidad, bastar multiplicar por una constante; por lo tanto, br(t) es una rampa de pendiente b. Una forma matemtica para cambiar la pendiente es mediante un cambio de escala en el eje t. En efecto, como la pendiente de r(t) es la unidad, su valor debe ser la unidad siempre que su argumento sea la unidad, es decir, br(t) y r(bt) representan rampas cuyas pendientes son iguales a b. En la Fig. 1.7 se representa diferentes formas de la rampa.

0 t 0

b

-a 1

1r(-t+1)

t t 0

(b/a)r(-t) A

a 1+a

Ar(t-a)

Fig. 1.7. Formas diferentes de la Rampa.

El Escaln Unitario

El escaln unitario, u(t), se muestra en la Fig. 1.8 y se define en la forma

u t( ) = 1 para 0 t0 para t < 0

(1.11)

0t

1u(t)

Fig. 1.8. El Escaln Unitario.

Para un cambio de escala en el eje t, u at u t u ttao( ) ( ), ) ( )= = pero u(at - t o

Puede observarse que la rampa es la integral del escaln unitario, es decir,

r t u t dtt

( ) ( ' ) '= (1.12)

Esta expresin es vlida para todo t, excepto t = 0, en cuyo punto no existe una derivada; por lo tanto,

u tddt

r t( ) ( )= (1.13) De las definiciones de rampa y escaln unitario, se puede decir que r t t u(t)( ) = . En la Fig. 1.9 se muestran diferentes representaciones del escaln unitario.


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.

Au t t o( ) u t t o( ) +

t o t o

t o +Au t t o( )

0

A 1

t t0 t

0

Fig. 1.9. Formas del Escaln Unitario.

-A

La Funcin Signo

La funcin signo, sgn(t), es aquella que cambia de signo cuando su argumento pasa por cero; se representa en la Fig. 1.10 y la vamos a definir en la forma siguiente:

sgn( )t = 1 para 0 t-1 para t < 0 (1.14)

1

-1

Fig. 1.10. Funcin Signo

sgn(t)

t0

Para un cambio de escala en el eje t, sgn( ) sgn( ), ) sgn( )at t t

tao= = pero sgn(at - t o .

La funcin signo es una funcin impar de t.

El escaln unitario y la funcin signo se relacionan mediante las siguientes expresiones:

u t t( ) [ sgn( )]= +12

1 o sgn(t) = u(t) - u(-t) (1.15)

En la Fig. 1.11 se muestran algunas representaciones de la funcin signo.

t o t o

+ = A t t A t to osgn( ) sgn( ) sgn( )t t o

t

0 0-1

1

t

Fig. 1.11. Formas de la Funcin Signo.

Usando combinaciones de las funciones rampa, escaln y signo, es posible representar otros tipos de seal. El lector puede verificar que las seales x(t) y z(t) de la Fig.1.12 se pueden representar en la forma

x tt

u t u t u t u t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [sgn( ) sgn( )]= = + = + + = + 2

12

z t r t r t r t u t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + 1 2 2 3


12

00t t

x(t)z(t)

1 2 3-1

1-1

1

Fig. 1.12. Seales Compuestas.

El Impulso Unitario Delta Dirac

El Impulso Unitario Delta Dirac, representado en la forma (t), no es una funcin en el sentido matemtico usual. Pertenece a una clase especial de funciones conocida como funciones generalizadas o distribuciones, y se define mediante un proceso o regla de asignacin en vez de una ecuacin. El impulso unitario Delta Dirac se define entonces mediante la integral

x(t) (t)dt = x(t)|t=0 = x( )0 (1.16)

donde x(t) es una funcin cualquiera continua en t = 0. El impulso unitario Delta Dirac se representa en la forma mostrada en la Fig. 1.13.

Mediante un cambio de variables en la definicin (1.16), se puede demostrar la conocida Propiedad de Muestreo o Cernido del impulso unitario Delta Dirac. En efecto, si x(t) es continua en t = to, se verifica que

x t t t dt x to o( ) ( ) ( ) = (1.17)

( )t

Fig. 1.13. El Impulso Unitario Delta Dirac

1

t0

La propiedad de muestreo del impulso unitario, expresin (1.17), es de mucha aplicacin en el anlisis de seales y sistemas y la estaremos utilizando continuamente.

Otras propiedades del impulso unitario son:

(a) ( )t = 0 para t 0 (b) ( )t t o = 0 para t t o

(c) ( )t t dt t to ot

t = <


13

ellas son consistentes con lo que sucede despus de la integracin. A continuacin damos, sin demostrarlas, algunas de esas relaciones.

1. x t t x t( ) ( ) ( ) ( ); = 0 x t t t x t t to o o( ) ( ) ( ) ( ) = (1.18) 2. Cambio de escala en el eje t: ( )

| |( )at

at= 1 para a 0

pero ( )| |

( )at ta

ttaoo = 1

En relacin con la variable independiente t, (at) es un impulso unitario de rea 1/|a|. El caso especial cuando a = 1, define la propiedad de simetra par del impulso

unitario:

( ) ( )t t= 3. Se puede relacionar ( )t con el escaln unitario u(t). En efecto, de (1.16),

( ' ) ' ( )t dt u tt = (1.19)

y diferenciando ambos miembros de (2.19)

( ) ( )t ddt

u t= (1.20a)

y en general, ( ) ( )t t ddt

u t to o = (1.20b) Las expresiones (1.20a) y (1.20b) no son definiciones de (t) sino una consecuencia de la regla de asignacin (1.16). Pero, por otro lado, estas expresiones establecen tambin que la derivada en una discontinuidad es un impulso unitario de rea igual al valor absoluto de la discontinuidad; el signo depender de si la discontinuidad es montante o bajante. Por ejemplo, la derivada de la funcin signo es

ddt

t tsgn( ) ( )= 2 ; y de la Fig. 1.11, ddt

t t t to osgn( ) ( ) = +2 Esta propiedad es particularmente til en la diferenciacin de seales discretas.

4. Aunque el impulso unitario no existe fsicamente, hay numerosas funciones de tipo convencional que tienen las propiedades del impulso unitario (t) cuando algunos de sus parmetros tiende a cero o a infinito. Por ejemplo:

limt

t =0

1( ) ( ) (1.21a)

limt

tt

=0 sen( ) ( ) (1.21b)

limt

t =0

21 exp[ ( ) ] ( ) (1.21c)


14

lim j tf df j tf df tB B

B

= = exp( ) exp( ) ( )2 2 (1.21d)

5. Derivada del Impulso Unitario

Es posible definir una funcin que se puede interpretar como la derivada de un impulso, aunque en un sentido estricto la derivada no existe. Esta derivada, comnmente denominada doblete, se puede definir axiomticamente especificando un conjunto de condiciones las cuales debe satisfacer. Si el doblete se designa como (t), las condiciones que debe satisfacer son:

(a) ' ( )t t o = 0 t 0

(b) ' ( )t t dt t to ott = <


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2T,

2T

, con m y n eneros distintos de cero, nm y .f1To

= Estas seales las encontraremos ms adelante al estudiar las Series de Fourier.

1.3. EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Las seales elctricas utilizadas en los sistemas de comunicacin estn representadas generalmente en el dominio del tiempo donde la variable independiente es t. Pero en el anlisis de sistemas de comunicacin es imperativo describir las seales en el dominio de la frecuencia donde la variable independiente es f. Esto quiere decir que una seal temporal se puede considerar como constituida por un nmero de componentes de frecuencia, generalmente seales sinusoidales, con una amplitud, fase y frecuencia dadas. Por consiguiente, aunque una seal existe fsicamente en el dominio del tiempo, puede decirse que ella est formada por un conjunto de componentes en el dominio de la frecuencia, denominado el espectro de la seal.

1.3.1. Representacin Espectral

Para introducir la nocin de dominio de la frecuencia o espectro, consideremos la seal sinusoidal x t A f to( ) cos( )= +2 , que se puede escribir en la forma { } { }x t A j( t A j j t fo o o( ) Re exp[ )] Re exp( )exp( )= + = = donde o 2 (1.24) Esta es la representacin fasorial porque el trmino dentro de las llaves se puede ver como un vector rotatorio (fasor) en un plano complejo cuyos ejes son las partes real e imaginaria, como se muestra en la Fig. 1.14(a).

A tocos( ) +

( ) o t +

fo

fo

fo

0

0

f

f

Amplitud AImag

Real0

Fase

(a) Fasor

A

(b) Espectro de Lneas Unilateral

Fig. 1.14. Fasor y Espectro de Lneas Unilateral.

El fasor de longitud A gira en el sentido contrario a las agujas del reloj a una velocidad de fo revoluciones por segundo. Asimismo, oo f2= es la velocidad angular en radianes por segundo. El ngulo es la fase o desfase con respecto al eje real o con respecto a t = 0 en el eje t. Los tres parmetros necesarios para especificar un fasor son entonces la amplitud A, la fase y la frecuencia rotacional o cclica fo. En el dominio de la frecuencia el fasor est definido para un valor particular de la frecuencia, por ejemplo, para f fo= . En consecuencia, se puede asociar tanto la amplitud A como la fase con este valor particular de f en la forma mostrada en la Fig. 1.14(b), que se denomina espectro de lneas. Este espectro consta de dos grficos: uno de Amplitud vs


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Frecuencia y el otro de Fase vs Frecuencia, siendo ambos necesarios para representar sin ambigedades en el dominio de la frecuencia un fasor definido en el dominio del tiempo.

El espectro de lneas de la Fig. 1.14(b) est definido solamente para frecuencias positivas y por ello se le llama espectro de lneas unilateral. Pero esta representacin se puede extender a todo el eje f de la manera siguiente.

A partir de la ecuacin de Euler, [ ]cos( ) exp( ) exp( ) = + 12

j j , se puede escribir

x t A tA

j j tA

j j to o o( ) cos( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )= + = + 2 2 (1.25) que es la representacin en fasores conjugados puesto que los dos trminos de x(t) son conjugados entre s. La representacin correspondiente se muestra en la Fig. 1.15(a): dos fasores de amplitud A/2 que giran en sentidos opuestos a velocidades de fo revoluciones por segundo.

A / 2

A / 2

A / 2 A / 2

( ) o t +

+( ) o tA tocos( ) +

fofo

fo

fo

fo

fo

00

0f

f

Amplitud

Fase

Ima

Real

(a) Fasores Conjugados(b) Espectro de Lneas Bilateral

Fig. 1.15.

El correspondiente espectro de lneas bilateral, puesto que incluye frecuencias negativas, se muestra en la Fig. 1.15(b). Ntese que la Amplitud tiene simetra par, mientras que la Fase tiene simetra impar. Esto es consecuencia directa de la representacin en fasores conjugados, Fig. 1.15(a).

El espectro bilateral, como se ver al avanzar en el texto, tiene muchas ventajas respecto al espectro unilateral y por ello lo utilizaremos exclusivamente, excepto en el caso particular al analizar los sistemas de modulacin angular, que veremos en el Captulo VI.

En la representacin espectral de seales se utilizarn algunas convenciones y notacin que se pueden resumir en lo siguiente:

(a) Los ngulos de fase se medirn respecto al coseno, es decir, respecto al eje real positivo del diagrama fasorial. Las seales seno debern convertirse en cosenos mediante la identidad sen( ) cos( / ) t t= 2 .

(b) Los ngulos de fase se expresarn en radianes o en grados, segn la aplicacin. En este texto la tendencia ser la de expresar los ngulos siempre en radianes.


17

(c) La amplitud de las componentes de frecuencia o de las lneas espectrales se considerar siempre como una magnitud positiva; cuando aparezcan signos negativos, stos debern ser absorbidos en la fase, Por ejemplo, = A t A tcos( ) cos( ); es indiferente que se tome el signo (+) o el signo ( ) , pues el coseno es una funcin par.

(d) En general, el mdulo del espectro de una seal x(t) ser una funcin par y positiva de f, mientras que la fase ser una funcin impar de f. Esto lo justificaremos posteriormente.

Una componente continua puede describirse tambin en el dominio de la frecuencia. En efecto, sea x t A to( ) cos( )= ; si fo = 0, entonces x(t) = A. Esto significa que cuando f 0, las lneas del espectro se acercan al origen, formando una lnea con el doble de amplitud. En consecuencia, una componente continua A se representa en el dominio de la frecuencia como una lnea de amplitud A a la frecuencia f = 0 (en el origen). La fase de una componente continua ser entonces, por definicin, cero.

En general, los grficos de Amplitud y Fase son necesarios para describir completamente una seal sinusoidal, aunque podemos decir que el grfico Amplitud vs Frecuencia, que en lo sucesivo llamaremos espectro de amplitudes, es ms importante que el espectro de fase. El espectro de amplitudes no solamente muestra qu componentes de frecuencia estn presentes, sino tambin en qu proporcin. El espectro de amplitudes muestra el contenido espectral o frecuencial de una seal; en este aspecto se puede considerar como una funcin de distribucin en el dominio de la frecuencia.

El lector est familiarizado con el concepto de filtro, que es un dispositivo que deja pasar solamente aquellas seales cuyo contenido espectral est dentro de su banda de paso. Esta es una descripcin en el dominio de la frecuencia y por lo tanto se puede asociar con la nocin de espectro. En efecto, en el dominio de la frecuencia un filtro se puede representar mediante un grfico Ganancia vs Frecuencia, como se muestra en la Fig. 1.16(a) para un filtro pasabajo de ganancia (o atenuacin) k en la gama de frecuencias | |f B . La cantidad B es la llamada frecuencia de corte o ancho de banda de este filtro ideal.

A12

A12

A 22

A 22

A 32

A 32

A 42

A 42

A o

kA12

kA12

kA 22

kA 22

kA o

f4 f3 f2

f2

f1

f1

f1

f1

f2

f2

f3 f4

B-B 0

0

0

f

f

f

(a) Filtro Pasabajo

(c) Espectro a la salida del filtro

(b) Espectro a la entrada del filtro

Amplitud

Amplitud

Ganancia

k

Fig. 1.16

Filtro


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Ejemplo 1.6 A la entrada del filtro de la Fig. 1.16(a) se aplica una combinacin lineal de

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