[Les matemtiques de les bombolles ] Autora: Sara El Yaacoubi Curs: 2n Batxillerat

Tutor: Antonio Relao Institut: IES Eugeni dOrs

Departament: Matemtiques 2014

1

ndex

1.Introducci .............................................................................................. 2

2. Objectiu .................................................................................................. 5

3. Metodologia ........................................................................................... 6

4. Bombolla de sab, primeres preguntes i primeres observacions. .......... 7

5. Superfcie mnima ................................................................................. 10

5.1.Qu s una superfcie ? ................................................................... 10

5.2.Qu vol dir superfcie mnima? .................................................... 10

5.3.Experiments i observacions ................................................................ 12

6.Les lleis de Plateau ................................................................................ 17

6.1.Biografia de Plateau ........................................................................ 17

6.2.Les lleis de Plateau .......................................................................... 18

6.3.Experiments i observacions ............................................................. 23

7.Problema de Steiner .............................................................................. 26

7.1.Biografia de Steiner ......................................................................... 26

7.2.Qu s el problema de Steiner i en qu consisteix? ........................ 27

7.3.Experiments i observacions ............................................................. 30

8.Figures geomtriques que formen les pellcules de sab. Experiments i

observacions ............................................................................................ 35

9. Conclusi .............................................................................................. 67

10. Biografia ............................................................................................. 69

2

1.Introducci El meu treball tracta essencialment sobre les bombolles de sab,

concretament des dun punt de vista matemtic . Lany passat, al final de

de curs, ens van donar una llista de temes per escollir el nostre treball de

recerca. Jo no tenia ni idea qu escollir i com que magraden i sem donen

bastant b les matemtiques, volia fer alguna cosa que hi tingus a veure.

Llavors vaig anar a parlar amb el professor de matemtiques, lAntonio, i

aquest em va proposar a mi i a una altre companya aquest tema. Al

comenament em va estranyar molt, em semblava una tonteria que no

tenia res a veure amb les matemtiques, tot i que tamb, em semblava un

tema molt curis i interessant. Al principi ens va proposar dos tipus de

treballs diferents sobre el mateix tema, un tractava destudiar la fsica que

hi apareixen en les bombolles de sab, i laltre sobre la part matemtica,

que es la que vaig escollir jo.

Un cop escollit aquest tema, tot seguit, vaig comenar a buscar

informaci, a mida que anava llegint i sabent ms del tema, minteressava

ms. Em va semblar impressionant la quantitat de matemtiques que

intervenen en les bombolles de sab: la superfcie mnima, les lleis de

Plateau, el problema de Steiner,...

Al comenament mha costat molt encaminar el treball, no sabia per on

comenar. Llavors, el tutor del meu treball mhavia recomanat que

comences pels experiments, ja que era la part ms llarga i difcil. I

efectivament, fer els experiments es el que em va costar ms. Em va

costar trobar el material, i qual el vaig trobar havia de fer les dissolucions i

provar la que manava millor, fer les estructures, que al principi semblava

molt fcil per ho he agut dintentar moltes vegades. B, quan finalment

em van sortir les estructures vaig comenar els experiments al laboratori

de linstitut i amb lajuda del tutor. Alguns experiments hem van sortir a la

primera i daltres vaig haver de repetir-los moltes vegades.

Quan vaig buscar informaci sobre aquest tema em va sortir un concepte

anomenat superfcie mnima, aquest concepte s un apartat extens, no en

el sentit teric sin en el prctic, ja que apareix en tots els experiments.

Aquest apartat es fonamental perqu s el qu passa amb qualsevol

3

pellcula o bombolla de sab, que s del que tracta el meu treball. En

matemtiques es una superfcie que tendeix a disminuir al mnim l'rea

total de la seva superfcie i aix saplica a les bombolles de sab. Les

bombolles de sab poden ajudar a resoldre problemes matemtics molt

complexos sobre lespai amb aquesta propietat (superfcie mnima) , ja

que sempre busquen la menor rea possible de superfcie amb un contorn

determinat.

Les pellcules de sab ,com he dit abans, sempre minimitzen la seva rea

de la superfcie, s a dir, minimitzen la seva energia de la superfcie. La

esfera s la millor manera de dur a terme aquest procs quan no est

sotmesa a cap contorn.

Dintre de la superfcie mnima hi apareix una altre propietat matemtica,

les lleis de Plateau, que tracten dunes investigacions que va dur a terme

Joseph-Antoine Ferdinand Plateau, un fsic belga, amb pellcules i

bombolles de sab on va proposar tres lleis experimentals. La primera diu

que tres superfcies de pellcules de sab que suneixen en un mateix

punt sempre formen angles de 120, la segona dona a conixer que

quatre de les lnies, formades per lencreuament de tres superfcies, que

es creuen en un punt, l'angle que formen per cada parell d'elles s de 109

graus i 28 minuts. La tercera i ultima llei anomena que una superfcie de

sab que es pot moure lliurement sobre una superfcie que es creua,

forma un angle de 90 graus.

En aquest tema, tamb hi apareix el problema de Steiner que consisteix en

trobar l'arbre mnim, es a dir la mnima distancia on es poden unir tres o

ms punts. Aquest problema va ser proposat per Jacob Steiner, un

matemtic alemany que es centrava en la geometria, linteressant es que

les pellcules de sab sense saber matemtiques resolen perfectament

aquest problema. Com veurem ms endavant en el transcurs dels

experiments vaig anar comprovant tots aquests fets.

Els lquids tenen una propietat anomenada tensi superficial , que s la

tendncia que tenen les molcules a ajuntar-se al centre de la superfcie .

Aquesta propietat es pot observar, per exemple, amb lexperiment de la

mitja lluna. Aquest experiment suposa que quan en un lquid com l'aigua

4

barrejat amb sab hi submergim una estructura de filferro amb una

determinada geometria i amb un fil que penja a la part inferior, s'obt una

imatge en la qual el fil tendeix a ascendir , fent que la superfcie de la

bombolla de sab produda sigui la mnima possible i si intentem

augmentar la superfcie baixant el fil , aquest tendeix a tornar a la seva

posici inicial . La tensi superficial s la que tira del fil cap amunt .

Hi ha ms experiments que explicar en lapartat de la part prctica,

tamb hi veureu les fotos que vaig fer en el laboratori, ja que tot el

material que hi ha en el treball es original (les fotos, els vdeos...).

Jugant amb el sab i experimentant, a part de passar-mho molt b, com

podeu veure, vaig aprendre moltes coses.

5

2. Objectiu Objectiu principal:

El meu objectiu principal era estudiar els aspectes matemtics relacionats

amb les bombolles i pellcules o superfcies de sab des dun punt de vista

teric i prctic.

Objectius ms especfics:

- Contestar les primeres preguntes sobre les bombolles de sab i observar-

les.

- Estudiar la superfcie mnima

- Investigar les lleis de Plateau

- Estudiar el problema de Steiner

- Investigar factors i propietats de laigua i el sab que intervenen en les

bombolles de sab

- Construir figures geomtriques per observar les teories (superfcie

mnima, lleis de Plateau, problema de Steiner...)

- Experimentar, gravar i fotografiar per confirmar les teories, lleis,...

- Utilitzar diversos mtodes per calcular la catenria,...

6

3. Metodologia

Primer vaig comenar a buscar tota la informaci possible de diferents

fonts i vaig comparar-les. Tot seguit vaig fer una selecci de tota la

informaci que vaig creure que era important. A continuaci vaig intentar

entendre tota la informaci i escriure-la amb les meves prpies paraules.

En la part experimental he buscat informaci sobre la superfcie mnima i

els experiments que podria fer. Tamb vaig buscar el material i el

procediment que havia de fer per poder-los dur a terme. Tamb vaig

haver dinvestigar els elements que intervenen en les bombolles de sab,

perqu tinguessin ms resistncia i millor consistncia per poder fer b els

experiments. Al comenament em va costar perqu es un tema poc

conegut i no es fcil trobar informaci, per poc a poc vaig anar trobant

bastant informaci interessant amb lajuda del professor.

El que em va costar ms va ser fer les estructures de filferro i les figures

geomtriques fetes amb palletes. Els primers assaigs no van sortir gaire

b perqu les figures no em sortien per amb ms practica vaig anar

millorant i finalment em van sortir, encara que em port molt de temps

en fer-les. Desprs daquest procs vaig comenar a filmar i fotografiar els

experiments.

7

4. Bombolla de sab, primeres preguntes i

primeres observacions.

Les preguntes inicials que havia de respondre, sn les que estan ms

relacionades amb la meva experincia amb les bombolles de sab:

- Qu s una bombolla?

- Per qu fem servir sab, i altres productes?

- Quines formes adquireix?

o Per que s esfrica si est a laire?

o Perqu adquireix altres formes el sab si obtenim una

pellcula ?

Una bombolla de sab s una proporci daire envoltat per una pellcula

daigua i un element tensioactiu, en aquest cas el sab, en forma

desfera . El volum de la bombolla de sab es determina a partir de la

quantitat daire emmagatzemada al seu interior. La esfera s la superfcie

que emmagatzema menys energia, es a dir, es la que ocupa menys

superfcie. Qui provoca aquest efecte s la tensi superficial.

La tensi superficial s lefecte fsic que tenen els lquids, i aix causa que

la superfcie posseeixi propietats elstiques. Laigua, quan reposa en un

receptacle, forma una superfcie quasi plana que pot deformar-se sense

trencar-se, a ms a ms, pot aguantar petites tensions i diminuts pesos.

Totes les molcules de les que est feta la substancia, satreuen les unes a

les altres, per amb una petita fora, ja que laigua i tots els lquids tenen

la propietat de contenir una capa elstica. Com acabo de dir, les molcules

satreuen entre si en totes les direccions, per les molcules que estan a

la superfcie noms reben la fora de les de sota i les laterals perqu no

tenen altres molcules que les atreguin.

8

En altres paraules, es forma una fina capa que s atreta fortament cap al lquid, aquest esdeveniment fa que sigui ms difcil travessar aquesta fina capa.

Les bombolles aparentment sn transparents si les mires b tenen colors,

aquests colors sn producte de la " interferncia " de les ones de la llum

que reboten en les dues cares de la bombolla de sab ( l'externa i interna

) , com que la bombolla no t un gruix constant les ones es creuen entre si

en diferents fases i aix genera que es cancellin les ones i es formin

diferents colors (fenomen d'interferncia en la llum ).

Fem servir el sab i altres productes per poder formar bombolles de sab

ms duradores i ms grans. Per entendre per qu es formen les bombolles

cal analitzar el que passa quan utilitzem la frmula que fem servir, s a dir,

laigua i el sab, tamb podem afegir glicerina.

El que passa realment perqu es formin les bombolles es que les

molcules d'aigua en barrejar-se amb les del sab, es fan ms elstiques,

ja que el sab dona elasticitat per la combinaci de la tensi superficial i

l'efecte marangoni, quest efecte que fa que es distribueix la concentraci

de sab perqu la tensi superficial sigui la mateixa en tots els punts de la

pellcula de sab. La glicerina s'afegeix per disminuir l'evaporaci i fer mes

duradores les bombolles i permet que no es trenquin rpidament, tamb

fa que la substncia sigui ms flexible i fcil d'estirar. s a dir, la fora que

s'uneix a una molcula amb una altra disminueix i aix permet que

puguem veure com les bombolles s'eleven i esclaten.

Les bombolles en el fons i en termes fsics sn un contenidor de gas i la

llei de gasos diu que tot gas exerceix una pressi constant i igual en

qualsevol part de l'interior del cos que el cont. s a dir la pressi s igual

en qualsevol punt dins del contenidor , el que passa s que aquest

contenidor no s " slid ", sin que s dinmic i flexible, i normalment

arriba a un punt d'equilibri entre la fora que el gas (aire ) exerceix sobre

les parets interiors de la bombolla en tractar d'expandir-se i la fora de la

bombolla en mantenir-se tancada (tensi superficial).

9

Llavors, s esfrica perqu la fora de contracci de la bombolla s igual

en qualsevol fragment de la paret interna de la bombolla , i la fora

d'expansi de l'aire tamb s igual en qualsevol fragment de la paret

interna, ambdues sn dinmiques. Llavors si tenim un cos que exerceix

una fora d'empenta igual en totes direccions i un altre que el cont

exercint una fora de contracci igual a tot direccions ... l'nica manera

que pot complir amb aquestes condicions s la esfrica.

En altres paraules, no hi ha motius pels quals una bombolla tingui ms

fora en un costat que en un altre (si est flotant), tampoc pot ser que

l'aire dins d'aquesta pressioni ms d'un costat que d'un altre. La fora es

reparteix per igual. En aquest cas la forma esfrica s la ms lgica.

Com a exemple a un altre nivell per les mateixes raons s el sol. El sol s

esfric perqu l'energia d'expansi s com d'un gas i la fora que ell cont

s la gravetat.

Vaig obtenir diversos tipus de pellcules de sab utilitzant diferents

filferros que van actuar com a suport.

En introduir un filferro a la dissoluci de sab i extreure'l amb molta cura

perqu no esclati, obtenim una pellcula de sab que s'agafa al contorn

del filferro. Per exemple, si introdum un filferro amb forma de

circumferncia obtindrem una superfcie plana en forma de cercle .

Una de les propietats que comparteixen les bombolles de sab s la

superfcie mnima. La pellcula de sab, per la fora de cohesi interna

de les molcules que la formen, tendeix a tenir lrea mnima possible

(tensi superficial) . s a dir , si els seves molcules es poden acostar ms

les unes a les altres fent disminuir lrea, ho faran.

Si fem servir una estructura de filferro que no sigui plana , tamb

obtindrem superfcies mnimes , per seran superfcies corbades. s a dir,

depn de la forma del filferro podem obtindr una superfcie o una altre,

per totes mnimes.

El meu objectiu com he explicat abans s estudiar els aspectes matemtics

que hi apareixen, per aix a continuaci desenvolupar per apartats

aquets aspectes.

10

5. Superfcie mnima Una de les propietats ms importants matemtiques relacionades amb les

pellcules de sab s el concepte de superfcie mnima. Ens haurem de

respondre unes quantes preguntes per poder dur a terme aquest treball.

5.1.Qu s una superfcie ?

Aquesta seria la primera pregunta que ens vendria al cap.

Jo crec que intutivament tots tenim una idea del qu s una superfcie. En

matemtiques una superfcie s una porci o subconjunt de naturalesa

bidimensional dins de l'espai ambient en qu vivim. Per aclarir lidea,

lespai en que vivim t naturalesa tridimensional, com nosaltres mateixos,

en el que distingim tres dimensions: lalada, lallargada i lamplada.

Tanmateix, dintre del mon tridimensional existeixen altres objectes

geomtrics de dimensions inferiors. La ms senzilla es la corba, una corba

s unidimensional perqu nomes ens podem desplaar sobre ella en una

direcci. Aix doncs, hi ha altres objectes geomtrics que son

bidimensionals que els anomenem superfcies, s a dir, proporcions de

lespai tridimensional que tenen naturalesa bidimensional. Una superfcie

t naturalesa bidimensional perqu en aquesta mateixa noms ens podem

desplaar en dos dimensions.

5.2.Qu vol dir superfcie mnima?

En matemtiques sentn per superfcie mnima a la superfcie que t

lrea mnima amb una corba tancada com a contorn.

En el cas que hem treballat nosaltres el contorn depn de la forma que li

donem al filferro. Aquesta propietat matemtica es deriva de l'efecte de la

tensi superficial que tenim en la barreja d'aigua i sab.

La tensi superficial s una fora en lrea(superfcie) que sencamina cap

a l'interior del lquid. En fer-ho el lquid es comporta com si estigus

envoltat per una membrana invisible.

11

Illustraci 1: Esquema de superfcie mnima (Esquema fet per mi)

Aix s exactament el que passa amb les bombolles i pellcules de sab.

Que quan es formen comencen a contraures fins al mxim per tenir la

mnima superfcie possible.

Quan vaig fer els experiments mitjanant la immersi d'un marc de filferro

en una soluci de sab, es va formar una pellcula de sab amb un lmit,

que en aquest cas va ser el marc de filferro, aquesta pellcula era

totalment llisa i tesa, perqu? Perqu s la superfcie amb la mnima rea

de totes les possibles que tenen com a contorn el filferro. Poden haver

diverses superfcies mnimes amb diferents rees, tot depn del lmit que

li posis, ja sigui filferro, palletes, etc. Tamb poden ser planes, corbades,

etc.

A continuaci hi ha exemples de superfcie mnima .

12

5.3.Experiments i observacions

Experiment de la mitja lluna

MATERIAL :

- Fil

- Filferro

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

PROCEDIMENTS :

1. Elaborem un cercle incomplet de filferro i el completem amb un fil

sense tibar. Deixem un extrem per poder-la agafar.

2. Dissolem en un receptacle laigua, el sab i la glicerina.

3. Fiquem el semi cercle en la dissoluci i observem, tamb podem

moure el fil per veure com es contrau i intenta ocupar el mnim

espai.

OBSERVACINS:

En aquest experiment observem que encara que el sab tingui molt espai

per expedir-se , sempre intentar ocupar lespai ms redut possible. Les

molcules tendeixen a apropar-se unes a les altres, en el cas del contorn

del filferro no tenen prou fora per modificar-lo, per si en el cas del fil.

13

Illustraci 2: Estat inicial.

Illustraci 3: Al introduir-la en la dissoluci. Podem contemplar com el sab redueix la superfcie,

exemple de superfcie mnima.

14

Tamb podem comprovar el mateix:

1. Elaborant un cercle complet de filferro i el completem amb un fil

sense tibar. Deixem un extrem per poder-la agafar.

2. Dissolent en un receptacle laigua, el sab i la glicerina.

3. Ficant el cercle complet en la dissoluci

4. Petem lexterior del fil, tot seguit apropem els dos fils lligats al

filferro formant un cercle.

5. Observar

OBSERVACINS:

Quan movem el fil podem observar com es contrau i intenta ocupar el

mnim espai (superfcie mnima) i com es va adaptant a cada situaci nova

(en apropar els dos extrems del fil fent-los lliscar sobre el filferro).

Podeu veure els dos experiments en la nostre pagina web :

http://bombdesabo.blogspot.com.es/ (els vdeos 14 i 15).

15

.

illustraci 4.

16

illustraci 5.

17

6.Les lleis de Plateau Tal i com he comentat en la introducci en Plateau va experimentar

molt amb bombolles i pellcules de sab i va poder enunciar tres lleis

experimentals.

6.1.Biografia de Plateau

Joseph-Antoine Ferdinand Plateau va nixer a Brusselles, Blgica , el 14

doctubre del 1801 i va morir a Gant, Blgica, el 15 de setembre del 1883.

Va ser un fsic belga. En 1832 va inventar el fenaquistoscopi, un dels

recursos de la cinematografia.

Va dur a terme investigacions amb bombolles i pellcules de sab sobre

la capillaritat entre lmines primes lquides i en 1861 va demostrar que

les superfcies resultants sn mnimes. La realitzaci d'aquests resultats els

va enunciar mitjanant les lleis de Plateau.

Desprs de quedar-se cec, va dur a terme el seu estudi de les bombolles

de sab. Dissenyava els filferros i, amb la collaboraci de la seva dona i els

seus fills, que li explicaven les formes de les bombolles obtingudes, va

arribar a conclusions experimentals que va deixar recollides en una

coneguda monografia sobre el tema.

La resoluci matemtica del problema va trigar molt de temps en arribar i

no va ser fins a mitjans dels anys 70 on es van demostrar les tesis de

Plateau. Les lleis de Plateau expliquen l'estructura de les bombolles de

sab en les escumes i controlen amb quin angle es poden trobar les

pellcules de sab.

18

Ilustracin 6: Joseph-Antoine Ferdinand Plateau. Font: Google images

6.2.Les lleis de Plateau

Primera llei: "Tres superfcies de sab es creuen al llarg d'una lnia.

L'angle format pels plans tangents* a dues superfcies que es creuen , en

qualsevol punt al llarg de la lnia dencreuament de les tres superfcies, s

de 120 graus ".

A aquest tipus dangles que formen diversos plans en l'espai, se'ls dona el

nom dangles diedres. I efectivament, els angles que es formen sn

exactament de 120.

19

Ilustracin 7: Triple bombolla (Aqu vaig superposar angles de 120)

Plateau va descobrir qu passa quan diverses lamines de sab es troben

en un punt :

Segona llei: "Quatre de les lnies, totes formades per lencreuament de

tres superfcies, que es travessen en un punt i l'angle format per cada

parell d'elles s de 109 graus i 28 minuts".

Els angles triedres sn els angles tridimensionals, i sn els que es formen

en el vrtex d'un prisma (regular o irregular).

20

Ilustracin 8

Tot i que s molt difcil mesurar els angles amb lajut del programa

Geobebra he pogut mesurar aproximadament aquests angles:

21

illustraci 9

Amb valors raonables de 109,33 i 105,84 (pensem es molt difcil

aconseguir els angles perfectament en el pla de la foto).

22

Tercera llei: "Una pellcula de sab que es pot moure lliurement sobre

una superfcie creuada formant un angle de 90 graus".

Ilustracin 10: Semi esfera.

Tamb va treure la conclusi de que les pellcules de sab sn fetes de

superfcies senceres i llises.

Jean Taylor va demostrar, utilitzant la teoria de la mesura per estudiar

lrea de minimitzaci, que les diferents configuracions de les lleis de

Plateau sn inestables i l'escuma rpidament tendeixen a reordenar-se

perqu s'ajustin a aquestes normes.

23

6.3.Experiments i observacions

Volem visualitzar la forma que adquireix una pellcula sabonosa en una

estructura de un cub fet amb palletes de refresc. Les superfcies formades

sn "superfcies mnimes.

MATERIAL :

- Aigua

- Sab (Fairy)

- Glicerina

- 12 palletes de refresc

PROCEDIMENT :

1. Primer fem lestructura del cub amb les palletes i fil

2. Desprs fem la dissoluci de sab; fiquem en un recipient gran:

aigua, sab (millor fairy), una mica de glicerina, ja que dona ms

estabilitat a la dissoluci i fa mes resistents les pellcules de sab.

3. Introdum cada estructura de filferro i observem.

OBSERVACIONS:

En el cub podem observar amb claredat la segona llei de Plateau. "Quatre

de les lnies, totes formades per lencreuament de tres superfcies, que es

travessen en un punt i l'angle format per cada parell d'elles s de 109

graus i 28 minuts". Tamb s una superfcie mnima.

Tamb podem observar que les pellcules formades formen angles de

120.

Per visualitzar la tercera llei de Plateu vaig haurem de fer lexperiment

de diferents bombolles en contacte.

24

MATERIALS:

- Una Palleta de refresc

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

- Plat

PROCEDIMENT:

1. Dissoluci: aboquem en un receptacle laigua, el sab i la

glicerina.

2. Agafem el plat i li posem una mica de la dissoluci.

3. Xuclem amb una palleta una mica de la dissoluci i bufem en el

plat.

4. Ens sortir una bombolla semicircular, la primera la fem una

mica gran. Tornem a xuclar una mica de la dissoluci amb la

palleta i bufem al costat de la primera bombolla, fent aix una

segona bombolla una miqueta ms petita. Repetim aquest

procediment fent una tercera bombolla de la mateixa mida de la

segona.

5. Observem.

OBSERVACINS:

Observem que ens surt la tercera llei de plateau : "Una pellcula de sab

que es pot moure lliurement sobre una superfcie creuada formant un

angle de 90 graus", un altre clar exemple de superfcie mnima.

I finalment per veure la tercera llei de Plateau haurem de fer al mateix

procediment que en lanterior experiment, noms que en comptes de fer

25

una semi bombolla dintre duna altre, haurem de fer tres semi bombolles

unides.

Primera llei de Plateau

Segona llei de Plateau

Tercera llei de Plateau

26

7.Problema de Steiner

7.1.Biografia de Steiner

Jakob Steiner va nixer a la vila de Utzenstorf, Cant de Berna el 18

de mar de 1796 i va morir l1 dabril de 1863 a Berna. Va ser un

matemtic sus.

Desprs de la publicaci al 1832 del seu Systematische

Entwickelungen va rebre un grau honorfic de la Universitat de

Knigsberg, grcies a la influncia de Jacobi (Carl Gustav Jacob Jacobi

1804-1851), que va promoure el 1834 la creaci d'una nova ctedra de

geometria a Berln amb el suport dels germans Alexander i Wilhelm

von Humboldt. Steiner va ocupar aquesta ctedra.

L'obra matemtica de Steiner es va centrar en la geometria, que va

desenvolupar. En el seu camp, va sobrepassar a tots els seus

contemporanis. Les seves investigacions es distingeixen per la seva

generalitzaci, la riquesa de les seves fonts i per les seves

demostracions. Ha estat considerat el major geni de la geometria pura.

27

7.2.Qu s el problema de Steiner i en qu consisteix?

El problema de Steiner consisteix en trobar l'arbre mnim que

interconnecta diversos punts d'una xarxa . Va ser proposat pel matemtic

alemany Jacob Steiner a principis del segle XIX .

Com que s un problema genric , engloba un ampli ventall de situacions i

problemes de telecomunicacions , transport...

D'aqu prov la seva importncia i l'inters que durant anys s'ha mostrat

en trobar una soluci vlida . I dic vlida perqu s'ha de valorar el

comproms entre el temps de resoluci , que pot arribar a dies per a casos

complexos, i els errors que es poden cometre en l'aproximaci. La soluci

ptima no s fcil de trobar en un temps raonable.

El problema de Steiner no es pot resoldre en poc temps. Pel que s'han

utilitzat mtodes heurstics, s a dir, un procs per poder resoldrel amb

ms detall. Aquest procs rep el nom d IDEAL que consisteix en

identificar el problema, definir i presentar-lo; explorar les estratgies

viables; avanar en les estratgies, aconseguir la soluci i tornar per

avaluar els efectes de les activitats. Tamb han fet una selecci del millor

mtode per fer servir i poder resoldre el problema. Era un problema molt

complex, per amb una mica d'aigua i sab es pot trobar la soluci.

En les solucions de Steiner les lnies segueixen angles de 120 com passa

amb el sab, en els experiments es veu millor.

Grcies a Steiner es poden trobar els punts que uneixen 4 punts amb la

distancia ms curta.

Per aclarir-ho ms he dibuixat diferents connexions que hi poden haver

entre quatre punts i he mesurat cada un dels cassos per comparar i veure

que la teoria quadra amb els clculs :

Per unir 4 punts :

He dibuixat un rectangle amb lalada de 10 cm i amb la longitud de 8 cm.

28

Illustraci 11: Aquesta seria la connexi entre quatre punts ms simple i amb ms distancia entre els

punts, de 36 cm per ser concrets. No hi ha un punt on es trobin els quatre sin que es connecten entre

s. La

Illustraci 12: La distancia dels punts on es troben s de 26 cm.

Illustraci 13: El punt on s troben els quatre punts t una distancia de 20 cm.

Illustraci 14: Arbre de Steiner. No hi ha connexi directa entre els punts (A,B,C i D), sin que els uneixen els punts de Steiner: S1 i S2 . Que sn per disminuir la longitud total dels lligams.

29

Illustraci 15: La distancia que uneix els quatre punts s de 18 cm.

Aix doncs, podem veure qu laportaci de Steiner permet unir diversos

punts amb la mnima distncia.

Poden haver diferents arbres de Steiner per a un conjunt donat de vrtexs

inicials, com per exemple el de tres punts.

Illustraci 16: Arbre de Steiner de tres punts.

Experimentant amb sab i aigua veurem ms endavant ms exemples.

30

7.3.Experiments i observacions

Per fer els experiments he utilitzat diferents estructures amb diferents

punts.

Per tots he utilitzat el mateix procediment i material noms canvia el

nombre de forats, femelles i cargols que es necessiten. En aquest apartat

he fet tres experiments. El primer per unir tres punts, el segon per unir

quatre i el tercer per unir sis punts.

MATERIAL :

- 2 Placas planes i transparents de plstic o de metacrilat, que siguin

iguals (placa 1 i placa 2)

- 4 Cargols de 3cm

- 12 Femelles

- Una broca i un trepant

- Aigua

- Sab (fairy)

- Glicerina

PROCEDIMENT :

1. Agafem les dos plaques planes i les fem un forat, als quatre extrems

amb una broca que sadapti als cargols mitjanant un trepant. Ens

quedaria 4 forats en cada placa. Desprs, agafem la placa 1 li posem

els 4 cargols en els forats, tot seguit situem la placa 2 a sobre de la

primera i les unim amb les femelles deixant un espai entre elles de 2

o 3 cm.

2. Preparem la dissoluci : dipositem en un recipient laigua, el sab i la

glicerina.

3. Fiquem lestructura en la dissoluci i bufem amb una palleta de

refresc, prviament introduda en una dissoluci de sab, en un dels

segments que uneix dos astes.

31

4. Observem.

En el de tres punts he necessitat 3 cargols de 3cm i 9 femelles, en el

de sis punts he necessitat 6 cargols de 3 cm i 18 femelles.

OBSERVACIONS:

En aquests casos podem observar que depn si bufem o xuclem es formen

diferents formes, aix doncs podem comprovar que totes les formes

intenten ocupar la mnima superfcie possible. I el ms important que

sempre es creen pellcules de sab amb la mnima distancia entre elles.

A continuaci he posat unes fotos que vaig fer al laboratori i a casa per veure els experiments .

illustraci 17: Arbre de Steiner, tres punts.

32

illustraci 18: Arbre de Steiner, quatre punts

33

illustraci 19: Arbre de Steiner, sis punts.

34

illustraci 20: Amb el Geogebra hem obtingut angles de 120 ....

-El problema de Steiner es til per dissenyar una circuit, carretera,

conducci amb el mnim de recorregut que uneix els punts que vulguem.

Tamb t aplicacions en el disseny de circuits elctrics i xarxes de

telecomunicacions.

35

8.Figures geomtriques que formen les

pellcules de sab. Experiments i

observacions

Abans de veure les figures geomtriques, hi ha una pregunta qu ens hem

de fer sobre totes aquestes que hi apareixen:

- Perqu s creen les pellcules de sab quan endinsem les

estructures en la soluci?

Doncs b, aquestes s formen perqu lrea d'un lquid es comporta com

una membrana estirada a causa de la tensi superficial. La tensi

superficial s causa per les forces que es comporten sobre les molcules

de la superfcie d'un lquid. Dins d'un lquid , una molcula es troba tota

envoltada per molcules i a conseqncia daix s atreta cap a dins del

lquid per les molcules que l'envolten. Aquesta fora d'atracci tendeix a

arrossegar les molcules de la superfcie cap a l'interior del lquid. Llavors

el sab t l'efecte de disminuir la tensi superficial de l'aigua per permet

que les pellcules de sab siguin ms estables. Les pellcules de sab fan

mnima l'rea de la superfcie i mnima la seva energia potencial, i aix les

fa ms estables. La formaci d'una pellcula de sab necessita energia i

aix doncs la superfcie tendeix a contreures per minimitzar aquesta

energia. Fenomen conegut com superfcie mnima.

Aix saplica a totes les figures que hi ha a continuaci.

Desprs de fer els experiments amb les pellcules de sab he pogut trobar les

segents figures geomtriques:

36

Pellcules de sab que s formen amb el tetraedre :

Qu s un tetraedre?

Per entendre com es formen les pellcules de sab, primer hem de saber

qu s un tetraedre. Un tetraedre s un poliedre de quatre cares (convex),

i les seves cares triangulars, trobant-se tres d'elles en cada vrtex. Si les

quatre cares del tetraedre sn triangles equilters, iguals entre si, es

denomina tetraedre regular. El tetraedre s el smplex tridimensional.

EXPERIMENT:

s un experiment sobre superfcie mnima , energia i tensi superficial

realitzat amb palletes en forma de tetraedre i una barreja sabonosa.

MATERIALS:

- 6 palletes de refresc de 8 cm

- Sab (Fairy)

- Aigua

- Glicerina

PROCEDIMENT:

1. Primer agafem les palletes de refresc i construm un tetraedre

deixant un extrem per poder subjectar-lo

2. Tot seguit preparem la dissoluci de sab : agafem un recipient

amb aigua (la que necessitem) , li afegim sab (fairy

preferiblement) i glicerina per donar estabilitat a les pellcules

de sab. Podem posar la quantitat que veiem necessria.

3. Introdum el tetraedre en la dissoluci.

4. Observem el qu passa i traiem conclusions.

37

OBSERVACINS:

Desprs de submergir l'estructura explicada anteriorment en la dissoluci

sabonosa i treure-la, he pogut veure com es formen unes lmines planes

de sab i vaig veure que hi ha un punt on es troben les 3 pellcules de

sab, aquest punt era el centre del tetraedre, i shan format sense trencar-

se.

En aquest cas, del tetraedre, es formen sis lmines o pellcules de sab

que es sostenen en les vores de les palletes de la figura . Aquestes lmines

es tallen en quatre arestes i les arestes es troben en un punt en el centre

del tetraedre.

En aquesta figura tamb hi apareix la segona llei de Plateau:"Tres

superfcies de sab es creuen al llarg d'una lnia. L'angle format pels plans

tangents a dues superfcies que es creuen , en qualsevol punt al llarg de la

lnia dencreuament de les tres superfcies, s de 120 graus ".

Illustraci 21: pellcules de sab que es creen en un tetraedre.

38

Illustraci 22: Aqu podeu contemplar els tres angles de 120.

triangle curvilini:

Qu s?

El triangles curvilini es un triangle que t tots els seus costats formats per

arcs.

EXPERIMENTS:

MATERIAL :

- 2 Placas planes i transparents de plstic o de metacrilat, que siguin

iguals (placa 1 i placa 2)

- 3 Cargols de 3cm

- 9 Femelles

- Una broca que i un trepant

- Aigua

- Sab (fairy)

39

- Glicerina

PROCEDIMENT :

1. Fem la estructura : agafem les dos plaques planes i les fem un forat, a

dos extrems i un en mig amb una broca que sadapti als cargols

mitjanant un trepant. Ens quedaria 3 forats en cada placa. Desprs,

agafem la placa 1 li posem els 3 cargols en els forats, tot seguit

situem la placa 2 a sobre de la primera i les unim amb les femelles

deixant un espai entre elles de 2 o 3 cm.

2. Preparem la dissoluci : dipositem en un recipient laigua, el sab i la

glicerina.

3. Endinsem lestructura en la dissoluci i bufem amb una palleta de

refresc, prviament introduda en una dissoluci de sab, en el

segment que uneix les tres astes, aix es forma el triangle curvilini.

4. Observem.

Tamb ho podem fer daquesta manera :

MATERIALS:

- 10 Palletes de refresc

- Tisores

- Fil

- Agulla

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

- Filferro

40

PROCEDIMENT:

1. Agafem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a

cada una 8 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de les

9 palletes per introduir un fil i unir-la amb una altre, seguim aix

successivament fins fer un triangle 3D. Desprs enganxem un

tros de fil ferro per poder subjectar el tub.

2. Fiquem el triangle en la dissoluci de sab, aigua i glicerina.

3. Quan triem la estructura de la dissoluci bufem amb una

palleta de refresc, prviament introduda en una dissoluci de

sab, en el segment que uneix les tres.

4. Observem.

Podem observar el mateix que lanterior experiment.

OBSERVACIONS:

En submergir el tetraedre obtinc el mateix que vaig obtenir anteriorment,

per quan agafo la palleta, prviament introduda en una dissoluci, i bufo

en el punt on es troben les lamines de sab, s crea un triangles curvilini.

Aix passa perqu quan introdueixo aire sexerceix una pressi constant a

linterior i arriba a un punt dequilibri entre la fora que laire actua sobre

les parets interiors del triangle quan vol expandir-se i la fora del triangles

que vol mantenir-se tancat. Llavors, com que les lamines que es formen

principalment en el tetraedre no es trenquen i continuen tibant per la

tensi superficial, al introduir aire es creen arcs, que ve a ser el triangle

curvilini.

41

Illustraci 23: Triangle curvilini en un tetraedre.

Illustraci 24: Triangles curvilini en les plaques planes.

42

La cinta de mbius ( cinta de mebius):

Qu s?

Una Cinta de Mbius o Banda de Mbius (Mebius) s una superfcie amb

una sola cara i una sola vora. Es tracta d'una superfcie de dues

dimensions no orientable amb noms un costat quan est submergit en

l'espai tridimensional. Va ser descoberta de forma independent pels

matemtics alemanys August Ferdinand Mbius 1 i Johann Benedict

Listing2 al 1858.

La cinta de Mebius t tres propietats:

- Superfcie duna sola cara.

-Superfcie duna sola vora: Es pot comprovar fcilment seguint la vora amb el dit i veient que arribem on havem comenat per havent recorregut tota la vora de la superfcie. -superfcie no orientable: s a dir, en un mateix punt tenim dues orientacions diferents.

1 August Ferdinand Mbius: va nixer el 17 de novembre de 1790, a Schulpforta, Saxnia,

Alemanya i va morir al 26 setembre de 1868, a Leipzig. Va ser un matemtic alemany i

astrnom teric. s molt conegut pel seu descobriment de la Cinta de Mbius, al costat del

matemtic alemany Johann Benedict Listing. Era descendent de Mart Luter.

2 Johann Benedict Listing: va nixer el 25 de juliol de 1808, a Frankfurt, i va morir el 24 de

desembre de 1882, a Gttingen. Va ser un matemtic aleman . El 1847 public Vorstudien zur

Topologie . En 1858 descobreix les propietats topolgiques del que actualment es coneix amb

el nom de Cinta de Mbius

43

EXPERIMENT:

MATERIAL :

- Filferro

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

PROCEDIMENT :

1. Agafem un tros de filferro recte, subjectem el filferro pels

extrems, girem un dels extrems i lunim amb laltre que no esta

girat fent un cercle, aquesta seria la cinta de Moebius. Deixant

sempre un extrem per poder subjectar-lo.

2. Preparem la barreja daigua, sab i glicerina en un vas gran, a

continuaci introdum la cinta de Moebius en aquesta i quan

la traiem fem esclatar el segment de sab del mig.

3. Observem el que passa.

OBSERVACINS:

Quan introdueixo la cinta, tota la superfcie queda coberta per lamines de

sab. Quan petem la lamina del mig veiem com es crea automticament la

cinta de Mebius. Comprovem que la superfcie s duna sola cara i una

sola vora, tamb que s una superfcie no orientable. s un exemple de

superfcie mnima i tensi superficial.

Podeu veure el vdeo en la nostre pagina web : http://bombdesabo.blogspot.com.es/ (vdeo

13).

44

Illustraci 25: Cinta de Mebius. Es veu clarament la pellcula de sab.

45

Illustraci 26: Cinta de Mebius.

46

La catenoide

Qu s?

La catenoide s la superfcie que s'obt per rotaci d'una catenria al

voltant d'un eix coplanar, perpendicular a l'eix de simetria i que no la talli.

s una superfcie mnima, ja que la pellcula de sab esta sotmesa a la

tensi superficial.

Illustraci 27: Esquema catenoide.

La catenria en matemtiques s la corba que adopta forma duna

cadena, corda o cable perfectament flexible, amb massa distribuda

uniformement per unitat de longitud.

Lequaci de la catenria t la funci estndard que s : y=a*cosh(x/a),

on: y s la coordenada cartesiana y, x s la coordenada cartesiana

x, cosh s la funci del cosinus hiperblic i a s el factor descala.

Podeu observar lefecte del factor descala en forma de catenria. Aquest

factor podria estar pensat com el quocient entre la tensi horitzontal en el

cable i el seu pes per unitat de longitud. s a dir, un equilibri entre les

forces verticals i les forces horitzontals, sense la variaci de la longitud de

cada tram encara que estigui sotmesa a forces.

47

Els primers matemtics que van plantejar el problema van suposar que la

corba era una parbola. Huygens, als 17 anys, va demostrar que no ho era,

per no va trobar l'equaci de la catenria.

L'equaci va ser donada per Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens i

Johann Bernoulli en 1691.

EXPERIMENT:

MATERIALS:

- Aigua

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Filferro

PROCEDIMENT:

1. Primer agafem dos trossos de filferro, tot seguit subjectem per

cada un dels extrems del 1r tros de filferro i lunim fent un cercle ,

llavors fem el mateix amb laltre tros. Ens quedar 2 cercles.

2. Preparem la dissoluci daigua, sab i glicerina.

3. Aguantem els dos cercles de filferro de la mateixa mida que hem

fet avan i subjectem un a cada m i posem un sobre laltre

deixant uns centmetres despai, i els introdum en la dissoluci de

sab unides com si fossin un sol cercle.

4. Observem.

OBSERVACINS:

Quan les vaig treure de la dissoluci, vaig petar la lamina del mig i a

mida que anava separant les anelles de filferro sanaven creant la

catenoide i les catenries , on la h i la a variaven. Com ms gran era la

h ms petita s feia la a fins que arribava a un punt on es separaven i

desapareixia la catenoide.

Ho vaig provar amb diferents mides de cercle de filferro.

48

Illustraci 28: Catenoide (h,a)

49

I per observar les variacions que es feien vaig fer una taula de valors de h i

a :

N a(cm) h(cm)

1 65 1

2 59 25

3 55 35

4 5 4

5 42 42

6 32 42

7 2 38

50

Com podem comprovar amb les segents imatges (cada quadrat s 1cm) :

Illustraci 29: Catenoide (mesures 1,2)

51

Illustraci 30: Catenoide (mesures 3,4)

52

Illustraci 31: Catenoide (mesures 5,6,7)

53

Tot seguit vaig utilitzar el programa Geogebra per veure si la taula que

vaig preparar prviament observant les imatges que vaig obtenir al

laboratori quadra amb la formula de la catenria [f(x)= x*arcosh(R/x)]

Primer vaig introduir les dades:

R(radi) = 6.5 + ENTER

Tot seguit la formula : [f(x)= x*arcosh(R/x)] +ENTER

Desprs vaig identificar cada punt per A1,A2...A7 amb les seves dades de

la taula de valors:

[Ax=(a,h)]

A1=(6.5, 1) + ENTER

A2=(5.9,2.5) + ENTER

I aix successivament fins a completar tots els punts...

A7=(2,3.8) + ENTER

I podem veure com tot quadra :

Illustraci 32: Catenria. Aqu podem observar que la teoria s demostrable en la practica.

54

Per assegurar-me del tot vaig fer una funci duna catenria i vaig

comprovar que s igual que les imatges de la segent manera :

Primer introdum el radi :

R=6.5 + ENTER

Tot seguit li donem un nombre a la a que sigui del 0 al 6.5, i desprs li

donem a clic dret i seleccionem propiedades del objeto. A continuaci

cliquem en deslizador i introdum en la casella de Min: 0 , i en la

casella de Mx : 6.5

aix

Llavors ens sortir com una mena de recta amb un punt que hi posa a,

aquest punt ens servir per poder observar el comportament de la

catenria. Aix mateix introdum la funci : [f(x)= a*cosh(x/a)] + ENTER

La formula inicial era [R=a*cosh(h/a)] i la que necessitem s la formula de

la h, llavors, per aconseguir-la allem la h de la formula inicial. Quan ho

fem introdum la formula de la h, que seria [h=a*arcosh(R/a)] + ENTER

Desprs daix ens sortir la catenria de dalt .

Tot seguit fiquem [x=h] perqu ens pugui dibuixar el lmit dret de la

catenria. A continuaci fiquem la segona funci que s la mateixa que la

f(x) anterior per negativa perqu ens surti la segona catenria en la part

de baix, s a dir : [g(x)= -f(x)] + ENTER

55

I finalment introdum [x= -h] perqu ens dibuixi el lmit esquerra que

representaria el filferro.

Ara a mida que anem movent la a de la recta la catenoide canviar. Aqu

us deixo uns exemples :

Illustraci 33: Catenoide Geogebra.

56

Illustraci 34: Aix doncs, s veu clarament que com ms petita s fa la a ms gran es torna la h.

I per finalitzar he agafat unes quantes imatges que vaig fer al laboratori i

les he comparat amb la funci que surt i aquests van ser els resultats:

57

illustraci 35.

58

OBSERVACINS: la teoria quadra raonablement amb els experiments.

59

Superfcie de scherk

Qu s?

La superfcie de Scherk s un exemple d'una superfcie mnima.

Scherk 3 descriu dues superfcies mnimes al 1834, la seva primera

superfcie s una superfcie doblement peridica, la seva segona superfcie

s individualment peridica. Les dues superfcies sn parell luna de laltre.

Quan dic parell, hem refereixo a que sn d'un sol parmetre de

superfcies mnimes que comparteixen les mateixes dades de Weierstrass

data (una pea fonamental de disciplina que utilitza les tcniques del

clcul diferencial i el clcul integral, per estudiar els problemes de la

geometria).

3 Heinrich Scherk: Heinrich Scherk: Heinrich Ferdinand Scherk va nixer el 27 doctubre de 1798

i va morir el 4 doctubre de 1885. Va ser un matemtic alemany destacat pel seu treball en

superfcies mnimes i la distribuci dels nombres primers. Tamb va ser el director de la tesi

d'Ernst Kummer. Al 1825 va publicar els seus quatre tractats matemtics a Berln.

60

EXPERIMENT:

MATERIALS:

- 10 Palletes de refresc

- Tisores

- Fil

- Agulla

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

- Filferro

PROCEDIMENT:

1. Agarrem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a cada

una 6,7 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de cada

palleta per introduir un fil i unir-la amb una altre, repetim aquest

procediment fins fer un cub de 3D sense acabar.

2. Desprs enganxem un tros de fil ferro per poder subjectar el tub.

3. Finalment introdum lestructura en la dissoluci de sab, aigua i

glicerina, i fem esclatar una de les parts del cub.

4. Observem.

OBSERVACINS:

Quan vaig treure lestructura no hem sortia la superfcie de scherk

directament sin que vaig haver danar provant i trencant lmines fins que

em va sortir.

Es forma com una mena de superfcie tridimensional que la miris per on la

miris t forma de catenria. Exemple de superfcie mnima.

61

Illustraci 36: Superfcie de Scherk.

62

Paraboloide hiperblic

Qu s?

Una paraboloide s una qudrica. s una s una superfcie tridimensional i

doblement reglada, s a dir que t dues rectes, anomenades generatriu, i

quan es desplacen sobre una o ms corbes, sanomenen directrius.

Aquesta superfcie es pot construir a partir de rectes. Per la seva

aparena, tamb li donen el nom superfcie de cadira de muntar.

MATERIALS:

- 10 Palletes de refresc

- Tisores

- Fil

- Agulla

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

PROCEDIMENT:

1. Agafem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a

cada una 6,7 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de

les 9 palletes per introduir un fil i unir-la amb una altre, seguim

aix successivament fins fer un triangle 3D.

2. Fiquem el triangle en la dissoluci de sab, aigua i glicerina.

3. Quan triem la estructura de la dissoluci trenquem amb una

agulla una de les parets.

4. Observem.

OBSERVACIONS:

63

Al treure el tetraedre, vaig comenar a provar esclatant lmines fins que

em va sortir. Vaig observar que era una superfcie tridimensional amb

forma de cadira de muntar. s una superfcie mnima.

Illustraci 37: Paraboloide hiperblic.

64

Octaedre (Rosa dels vents)

Qu s?

Loctaedre s un poliedre de vuit cares . Amb aquest nombre de cares pot

ser un poliedre convex 4 o un poliedre cncau5.

MATERIALS:

- 12 Palletes de refresc de 8 cm

- Tisores

- Fil

- Agulla

- Sab (fairy)

- Glicerina

- Aigua

PROCEDIMENT:

1. Agafem les palletes de refresc fem un forat a cada extrem de cada

palleta per introduir un fil i unir-la amb una altre, repetim aquest

procediment fins fer un octaedre.

2. Introdum lestructura en la dissoluci de sab.

3. Observem

4 Poliedre convex: s un cos geomtric que les seves cares sn planes i tanquen una grandria

limitada que t una zona que s'assembla a l'exterior d'una circumferncia.

5 Poliedre cncau: s un cos geomtric que les seves cares sn planes i tanquen una magnitud

finita que t una part que s'assembla a la zona interior d'una esfera.

65

OBSERVACINS:

En introduir aquesta figura en la dissoluci quan la movem dun costat a

laltre podem comprovar que al centre es forma com una mena de

brixola o tamb anomenada rosa dels vents.

Tamb es pot veure que s com una fusi duna forma de brixola i un

octaedre.

66

Illustraci 38: Rosa dels vents.

67

9. Conclusi

Finalment he pogut aconseguir els meus objectius i per cada objectiu he

arribat a les conclusions que hi ha a continuaci :

- Estudiar la superfcie mnima:

1. Aquesta propietat matemtica es deriva de l'efecte de la tensi

superficial que es troba en la barreja d'aigua i sab.

2. El sab t lefecte de disminuir la tensi superficial dels lquids

permetent la creaci de pellcules de sab amb la tendncia de

situar-se en superfcies mnimes, s a dir, minimitzant al mxim la

seva rea.

3. Les bombolles de sab poden ajudar a resoldre problemes

matemtics molt complexos sobre lespai amb aquesta propietat

(superfcie mnima) , ja que sempre busquen la menor rea possible

de superfcie entre dos punts.

- Investigar factors i propietats de laigua i el sab que intervenen en

les bombolles de sab:

1. Laigua i el sab sn els principals factors que intervenen en les

bombolles de sab.

2. Les molcules d'aigua en barrejar-se amb les del sab, per la

combinaci de la tensi superficial i l'efecte marangoni, es fan

ms elstiques, i permet que en fer les bombolles no es

trenquin rpidament i que la substncia sigui ms flexible i fcil

d'estirar.

3. La superfcie duna bombolla esta composta per ions de sab

separats per molcules d'aigua. L'amplada de la pellcula de

sab decreix fins a aconseguir una superfcie equilibrada. I

cadascuna de les superfcies mnimes t una tensi superficial

associada que s la causa de que la bombolla sigui esfrica.

68

- Construir figures geomtriques per observar les teories (lleis de

Plateau, problema de Steiner, doble bombolla...):

1. Vaig construir diferents estructures de filferro i algunes de

palletes.

2. Vaig preparar diferents dissolucions daigua i sab.

3. Al laboratori amb les estructures i les barreges he pogut

observar les lleis de Plateau, trobar larbre de Steiner amb

diferents punts, contemplar les superfcies mnimes i lefecte de

la tensi superficial.

4. He conegut noves superfcies, com la de Scherk, la cinta de

Mebius i el paraboloide hiperblic.

- Experimentar, gravar i fotografiar per confirmar les teories, lleis,...:

1. He pogut fer tots els experiments que hem vaig plantejar al

comenament .

2. Vaig poder gravar els experiments posant en prctica la

teoria i vaig fotografiar els resultats importants.

- Utilitzar diversos mtodes per calcular la catenria,...:

1. Primer vaig agafar totes les fotos de la catenoide que vaig fer

en els meus experiments i desprs he calculat la a i la h i vaig

fer una taula de valors.

2. Desprs vaig fer els clculs a un programa anomenat

Geogebra i vaig posar una foto per comparar si la teoria

coincidia amb la practica.

69

10. Biografia

- www.Wikipedia.com

- http://verso.mat.uam.es/web/index.php?option=com_docman&task=doc_download&

gid=99&Itemid=78%E3%80%88%3Des&lang=es

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=31&cad=rja&ved

=0CC8QFjAAOB4&url=http%3A%2F%2Falbertofest.matcuer.unam.mx%2FMisc39%2F

Galaz_f.pdf&ei=35TUUqSRIoWe0QWjpYCgBQ&usg=AFQjCNHBSkZrrVpiehOxYiv9i98V

CllQKA&sig2=XTDtg2uNorCRi2WVNhaGXw

- http://topologia.wordpress.com/2013/02/24/superficies-de-scherk/

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=

0CDAQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.ub.edu%2Ffuturs_ub%2Factivitats%2FM

atefest%2F2012%2Ftriptics%2FG14_Bombollessab%25C3%25B3.pdf&ei=IZXUUqOyD

qS50QW0rIHgCA&usg=AFQjCNHjv-

bJvgFEQETjQCZWaHv0RlHTnw&sig2=ORJjHzfsE5d88Gj4znMNBQ

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&cad=rja&ved

=0CHAQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.xena.ad%2Flcf%2Fmars2012%2Fbulles%2Fpl

ateau-c.doc&ei=IZXUUqOyDqS50QW0rIHgCA&usg=AFQjCNGem6DsfRtTQUiM1c_ulI-

3UiaRjw&sig2=Xr10Wqb54v-v33fjhiIilw

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=

0CDgQFjAB&url=http%3A%2F%2Fneo.lcc.uma.es%2Fpdf-

charlas%2Fgsp.pdf&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA&usg=AFQjCNFhADiZ8u_JEHtiwnC

_aYMnyGBeYw&sig2=LU5wf1xi-HkVKBI8hnT8Iw

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&ved=

0CEsQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.fing.edu.uy%2Finco%2Fgrupos%2Fcecal%2Fh

pc%2Fproyectos%2Famstp%2Fdocs%2FAMSTP.pdf.gz&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA

&usg=AFQjCNHPBha8DJ4ADaWgyKmPbljbtXEvZg&sig2=xudD6_9VJj6YLU6fF9dyRw

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&ved=

0CFwQFjAF&url=http%3A%2F%2Fbibing.us.es%2Fproyectos%2Fabreproy%2F11542%

2Ffichero%2FCap%25C3%25ADtulo%2B2%25252Fel%2BProblema%2Bde%2BSteiner.

pdf&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA&usg=AFQjCNETp3s8Rply6tuAseP52vIQIwWdqw&

sig2=iNI9jzCeFcHXJTDipFX2vA

- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&ved=

0CEcQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.ricardpeiro.es%2Fpoliedres%2Fcatenoide.ht

m&ei=tZXUUra5Mcin0AXyiYDoCg&usg=AFQjCNHKGc_c86YtXJ0mim1bxpvbZhV4Yg&si

g2=pKiI0xjVrSfK4wWxW2C-lQ