INFORME FINAL FONDECYT PROYECTO FONDECYT REGULAR

INFORME FINAL GOBIERNO DE CHILE

CONICYT FONDECYT PROYECTO FONDECYT REGULAR

- 1050889 3 años Tercero

NÚMERO PROYECTO DURACIÓN AÑO DE EJECUCIÓN

María Herminia Ochsenius AlarcónINVESTIGADOR(A) RESPONSABLE

RUT

Vicuña Mackenna 4860 354-4533

DIRECCION FONO

[email protected]

PERíODO QUE INFORMA / marzo / 2005 14 / marzo / 2008 DESDE HASTA

CONTENIDO (MARQUE CON UNA X EL CASILLERO QUE CORRESPONDA)

INCLUYE NO INCLUYE

Formulario de Informe Final

PublicacionesX

Resumen de Tesis Título/GradoX

Información acerca de inventos y patentesX

Otros (especificar)

Informe Incentivo Coop. Internacional (Si corresponde)X

Firma Coinvestigadores(aS) Firma Investigador(a) Responsable

Fecha: 14LL marzo / 2008 -

CONTENIDO DEL INFORME FINAL

I. CUMPLIMIENTO DE LOS OBJETIVOS PLANTEADOS EN EL PROYECTO. Marque con una X el casillero correspondiente.

Cumplimiento Fundamentar el cumplimiento Objetivos parcial o incumplimiento Total Parcial No

1 Operadores Caracterización matricial. Sí Operadores Fredholm Dimensión algebraica de un

espacio de Banach 2 Isometrías.

El grupo de isometrías y el Sí Algebra de Clifford

Cálculos explícitos de matrices ortogonales

Operadores indescomponibles

3

4

5

Otro(s) aspecto(s) que Ud. considere importante(s) en la evaluación del cumplimiento de los objetivos planteados en la propuesta original o en las modificaciones autorizadas por los Consejos.

II. RESULTADOS OBTENIDOS

1. Caracterización matricial de operadores. (Con W. Schikhof.) Aquí obtuvimos caracterizaciones de diversos conjuntos de operadores en términos de sus matrices infinitas. Dieron lugar a una publicación en revista ISI "Matrix charaeteriza,tions of Lipschitz operators un Baitacli spaces over Krull valued fields" ([5[). Resumimos los resultados principales. Sea X un G-módulo, E un espacio (le Banach normado con base ortogonal { C I, e2 .... }. Al operador A se le asocia, respecto a esa base, la matriz infinita (ajj ) y por otra parte el conjunto {a,,,,, P,,,, m. n E N} donde es el operador en E definido por Pmn(ek) = tknCm.

Se definen los operadores nucleares, o de clase traza, COO los elementos en la clausura en la norma Lipschitz estricta de los operadores de rango finito.E1 conjunto de ellos se denota por C(E). En tanto que la clausura en la norma Lipschitz (le los operadores de rango finito es el conjunto de operadores compactos C(E) (ver [5], Secciones 1 y 2)

Teorema 1 (Caracterización de operadores Lipschitz)

(i) Supongamos que A E Lip(E) tiene la matriz (a jj ), respecto a e l , e2 .....Entonces, para cada u,

lim.rn u71m P II = O y ¡¡ A l¡ = sup{ II a7flfl ',r,n : ni, 'II E N}. (u) Recíprocamente, sea (ajj ) una matriz con entradas en K, tal que para cada n, izni.lIam,i PninII =

O y tal que (m, n) : Ik'n,nrnnII es acotada superiormente. Entonces la matriz representa un operador

Lipschitz.

Teorema 2 (Caracterización de operadores estrictamente Lipschitz )

(i) Supongamos que A E Lip(E) tiene la matriz (aj j ) respecto a e l. e2_.. Entonces, para cada n,

liii _.IImn PmnIL = O Y ¡¡Al¡—= sup {I( um, Pmr,II TU, 71 E N}. (u) Recíprocamente, sea (ata) una matriz con entradas en K, tal que para cada n, limm .I[aflL , PTfl ,,Il =

O y tal que (in. u) -+ 11 am,es acotada superiormente. Entonces la matriz representa un operador

estrictamente Lzpschitz.

Teorema 3 Supongamos que A E Lip(E) tiene la matriz (a) con respecto a e 1 , e2, ....Entonces

(i)A E C(E) si y solo si oIIamP,,riII = O uniformemente en u E N. (ií)A E C(E) si y solo si hm IIaP,nnII = O uniformemente ¡ni¿ E N.

Teorema 4 Supongamos que A E C — (E) tiene la matriz (ajj ) con respecto a ci, e. Entonces

= O aud tr(A) = a.

Cuando E es un espacio de Flilhert según la norma (NHS) (ver [51) se tiene:

Teorema 5 Sea E un NHS. sea A E L(E) con matriz (a 700 ) respecto a e l, 6 2, Entonces son

equivalentes: () A E Lip(E).

(3) (m,n) 1.' [am,,P,nnII es acotada.

()(m, u) '- a,,,, Pmo es acatada. Para cada m E N, himw . ,m 1 a Pmo 1 = O. Para cada Ti E N.

hirnm _IIamn Pmn II = O. Análogamente SOfl equivalentes.

(n) A E Lip(E).

(fi) (m., 71) i— II a,07,P00II es acotada.

(y) (rnn) llamrPn,,jlI es acotada.

Para cada ro E N, hins,, ,[[a,i,,1P,,,,,l O. Para cada n E N, hzmr,,mI arnnPj,2,,I = O.

Corolario 6 Sea E un NHS, sea A E Lip(E) con matriz (amo) respecto a c i, C2, Entonces A E

C(E) sí y solo si hm + Hai,mP,nnII = O; y los P,,,, forman una base ortogonal de C(E). Del misma

modo A E C(E) si y solo si him m+n_.m I[am,,Pmn lI = O; y los P forman una base ortogonal de

C(E).

1

2. Operadores Fredholm (con W. Schikhof.)

Sea K un cuerpo, E y F son K-espacios vectoriales y T E —* F un operador acotado. Se dice que T es Ftedholm ssi ij(T)= dim Ker(T) y (T) = codiin Irri(T) son finitos. Se define el índice de T por

= (T) -

En los artículos <le Pérez García, Vega y Araujo se desarrolla esta teoría para el caso en que K es un cuerpo con valuación no-arquirnediana de rango 1. Resultados importantes dicen relación con la siguiente pregunta: Si T es Fredholm y A: E — F un operador acotado. ¿ qué condiciones aseguran que T+A es FedhoIm? Y en ese caso ¿, qué relación existe entre los índices (T+ A) y (T)? ([7] 6.1 y [8] 4.2). Nuestro trabajo este se centró en el estudio de estos operadores y las preguntas anteriores en el ci caso de espacios de Hilbcrt según la norma (N.H.S). En ellos ci cuerpo tiene una valuación de rango infinito, el espacio es Ba.nach y cada subespacio cerrado tiene uii complemento ortogonal en el sentido de la norma, (ver [5]).

Como resultado preliminar se estableció que espacios vectoriales sobre un cuerpo arbitrario K cumplen: Teorema 7 Sean V1 , V2 1/3 K-espacios vectoriales, T : V 1 — V2 y S : V3 operadores lineales continuos. Si dos de los siguientes: T, S, ST son Frcdlwlm, entonces también lo es el terrero, y '(S7') = x(S ) — X(T)

Teorema 8 Sean T y A operadores lineales continuos entre los K-espacios V y V2 . Si T es &edholrn y A es de rango finito, entonces T + A es Fredholm y x(T + A) = x(T). En lo que sigue, E es siempre un N.H.S. sobre un cuerpo K con valuación (le rango infinito con grupo (le valores G. L(E) denota los operadores lineales continuos, Lip(E) el conjunto de operadores Lipschitz y Lip(E) el conjunto de operadores Lipschitz estrictos. Entonces Lip(E) C Lip(E) C L(E), y en muchos casos importantes las inclusiones son estrictas. Definirnos además (E) = {T E L(E) : T es Fredholm}.

El resultado siguiente establece una diferencia fundamental tanto con la teoría clásica como con el caso de valuaciones de rango 1; la teoría respecto a preservación de índices se hace trivial. Teorema 9 Sea T E (E). Entonces x(T) = O.

Por su misma definición se consideran los operadores Fredholm como "casi invertibles'. Resulta ser que las seudoinversas de estos operadores tienen importancia. Recordamos: Definición Sea E 1111 K-espacio vectorial, T y S en L(E). Diremos que 5 es una seudoinversa de T ssi STS = 5 y TST = T.

Se estableció entre otros resultados que todo operador T E (E) tiene una seudoinversa S E (E). Y que si Si y S2 son seudoinversa.s de T en (E) se tiene que S 1 — 52 es de rango finito. Nos centramos ahora en el estudio del conjunto

'>L = { T E F(E) : T es Lipschitz y posee una seudoinversa Lipschitz }. Denotamos por P al conjunto de "perturbaciones" de P = {A E L(E) : L + A Ç 4L}. Nuestro resultado principal se refiere a la "ubicación" de P en Lip( E). Aquí aparecen los operadores estrictamente Lipschitz.

Teorema 10 Con la notación anterior (a) P C LipE. (b) P es un ideal bilateral cerrado en la topología de la norma

Teorema 11 C— (E) C P.

Se tienen entonces las cadenas de desigualdades: C— (E) CP C LijfE C Lip(E) y C — (E) C C(E). La pregunta es por condiciones necesarias y suficientes para que P = C(E), P = C(E) o P = Lijf(E). Este trabajo continuaráen el Proyecto Fondecyt N° 1080194. pero tenemos ya un teorema así:

Teorema 12 Si E es un t:ype separating space, o si Stab(e7 11) ' 00 COfl n entonces C(E) = P

3. La dimensión algebraica de espacios de Banach. (con W. Schikhof.)

Al comenzar nuestro estudio de operadores Fledholm surgió la pregunta por la dimensión algebraica de un espacio de Banach con base ortogonal numerable !, sobre un cuerpo K completo en la topología (le lilia valuación de rango infinito. Obtuvimos una respuesta completa.

Teorema 13 Sea E un espacio de Banach de dimensión infinita con base topológica e 1 , ...... .sobre un cuerpo K que no es metrzzable. Entonces la dimensión algebraica de E es 110 y las cardinalidades de E y K son iguales.

Para el caso en que K es metrizable, tenemos:

Teorema 14 Sea E un espacio de Banach de dimensión infinita con base topológico e 1 . C2, sobre, un cuerpo metrizable K . Entonces la dimensión algebraica de E es igual a su cardinalidad.

Teorema 15 Sea E un espacio de Banach de dimensión infinita con base topológica e, e2 ,... sobre un cuerpo metrizable NSj es la cardinalidad de K, y la cardinalidad de E entonces dimE =

= o.

Asumiendo el Axioiiia de Elección y la Hipótesis Generalizada del Continuo es sabido que esta expresión se calcula por las reglas siguientes: l° = 1 i; si K es un ordinal límite cuya cofinalidad es w0 , entonces

= t k+1 = 2, y en los demás caSos I°

Estos resultados fueron publicados en la revista Proyecciones ([61).

4. El grupo de isometrías y el Álgebra de Clifford normada (con H. Kellcr.)

Resumimos primero la notación. (ver [1] para detalles). Sea (G, .) la suma directa de numerables copias de grupos cíclicos infinitos y K = R((G)) el cuerpo de las series de potencias formales con exponentes en c, con la valuación usual y : K . G U {0}. El cuerpo residual de (K. y ) es isomorfo a R. Sea II : K -* IR la proyección canónica. Consideramos (, <, >) , el espacio ortomodular canónico sobre K. En contraste a los espacios de Hilbert, este espacio tiene una geometría extremadamente rígida, y la idea matriz de nuestro estudio fue que ello debía reflejarse en el grupo O de las isomnetrías.

Sea T: E - E una isometría y (j)j su matriz respecto a la base ortogonal estándar {e : i e No}. Para k E N 0 denotamos por T(k) a iI(k). El hecho crucial es que para todo k E N 0 o bien T(k) = 1 o bien T(k) = —1. En consecuencia, podemos (lehilir los siguientes subgrupos normales de O. (i)ls/k:={TEO:T(k)=1} para keNo. (u) ls/A = Aíj. para A CI N0 . En particular, M := flkEN 0 Jk y O = A'. Consideramos también el subgrupo J = {Id. —Id}, donde Id es la función identidad en E, el cual es normal en O pero no coincide con ningún JVA . Ponernos

(iii) Y,*,:= Js/,j y J = { T E O : Vm E A T(m) = 1} U {S E O : Vm E A S(m)

En el retículo £ de los subgrupos normales de O tenemos entonces los subretículos (iCj,r := {AíA : A ç No}. (u) £*, el subretículo de £ generado por {V : A CI N0}.

(¡¡¡)£o := {H E £: JVN () C H}

Obtuvimos que £,V es un subretículo conipleto de L, isomorfo al álgebra de Boole de los subconjuntos (le N0 , que C es modular pero no es distributivo, y que f-y c Lo C L = Co U {J} U {Id}.

Logramos también describir en forma explícita los supremos e ínfimos en L* y probamos que {Aí A C N0 } L. Se tiene la siguiente caracterización:

Teorema 16 Para ¡ E N0 sea = {1, —1} el grupo multiplicativo de orden dos y flEN() G el producto directo. Entonces 0/V0 RENO C.

Corolario 17 El retículo Lo es isoinofo al retículo de todos los subqrupos de ftEN() (], en particular, es completo.

Luego todo elemento T E 0 pertenece a una clase lateral de O módulo JVN, Más aún, se tiene una descomposición T = S o R, donde, S es la involución de E definida por S(rk) T(k) ek para cada k E N 0 y RE ATN(. En vista de lo ant erior, la descripción del grupo .N N0 resulta ser crucial. Puede considerarse, intuitiva-mente, como el grupo de perturbaciones infinitesimales de la identidad. Es aquí donde la investigación se conecta con el estudio del Álgebra de Clifford del espacio. Como es sabido, a un espacio cuadrático se busca asociar un álgebra. 6' = C(E) que contiene a E como subespacio y tal que las isometría.s de V correspondan automorfismos internos de C. Si dim V < 00 eso se consigue con la clásica construcción de.l álgebra de Clifford (ver [31). En dimensión infinita ésta deja de ser útil ya que los automorfismos captan sólo una parte reducida del grupo ortogonal. Por tanto se liare preciso complementar la con-strucción algebraica con umótodos topológicos.

La construcción puede ser resumida así,

a) Consideramos el espacio E0 generado algebraicamente por la base ortogonal {ej : i E No} de E. Utilizando recursivamente la construcción estándar de Algebras de Clifford para espacios vectoriales de dimensión finita se obtiene C(Eo), el álgebra de Clifford de E0.

h) Por las características de los tipos algebraicos de los vectores de la base de E0 , se puede extender la norma no.-arquirnediana del espacio a una norma de C(E0 ) que se convierte entonces en un álgebra normada.

c) Definimos el álgebra de Clifford normada de E por C(E), la comnpletación de C(E0). El resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 18 Toda isometría T E A/NO es inducida por un automorfisrno interno de C(E).

Para demostrarlo, se parte con una isometría cualquiere T E N0 . se (lefiule recursivaniente una sucesión (le Cauchy {t} (le elementos invertibles de C(E) y se prueba que para todo x E E se cumple que líin tnxÇm = T(x). Luego para 1 E C(E), 1 = límn se tiene que T(x) = Teorema 19 de tipo Cartan-Dieudonné Toda isoinetría en 0(E) se obtiene como el producto de una

involución por un atttoinorJmsmo interno de C(E) y por tanto es un 'producto infinito" de reflexiones en E

5. Operadores indescomponibles en espacios vectoriales de dimensión finita con producto interno arbitrario (con H. Keller).

Aquí el problema básico es el de la descomposición ortogonal de matrices auto-adjuntas. Este es mucho más ramificado que en el caso clásico de matrices reales, pues en mm espacio vectorial real hay

un sólo producto interno, el canónico, y una matriz es auto-adjunta si y solo si es siiiiétrica. El cuerpo

K = F((i,..., )), en cambio, tiene 2" clases de cuadrados positivas, y en cada dimensión hay una multitud de productos internos (formas cuadráticas positivas) no-equivalentes. La nieta principal fue encontrar y caracterizar los átomos, o sea los elementos indescomnponibles entre los operadores autoadjuntos. En nuestros trabajos previos habíamos encontrado una respuesta completa que abarca

todas las situaciones que pueden surgir. A saber:

Teorema Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = F((i,.. . , x)) provisto de alqún producto interno 4. Entonces todo operador antoadjunto A : E - E se decompone orto.qonalniente excepto

cuando la dimensión de E es una potencia de 2 y dini E < 2` y es un producto tensorial de formal

bilineates binarias inequivalentes (forma de Pfister especial). Durante este Proyecto se logró la redacción definitiva del artículo. Fue aceptado por Mathematica

Siovaca, para aparecer el segundo semestre del 2008.

6. Cálculo explícito de la descomposición ortogonal de matrices ortogonales (con H. Kelier.) Sea ¡' un cuerpo cualquiera (con característica 2) y K = F(t)) el cuerpo de las series formales en la

variable t.. El punto de partida de nuestros estudios sobre descomposición de matrices es la expresión

de una matriz A E Mat\ () como una serie A = t . (A 0 + A 1 . t + . .. + A . t' +...) donde los

coeficientes son matrices E Mat,1 (F) y E Z. Aplicando esta relación a una expresión (le la forma A . A tT 1 y usando fuertemente el hecho que K

es cuerpo hcnseliaiio se obtiene constructivamente el teorema y corolarios siguientes:

Teorema 20 Sea F un cuerpo con charF 2, K = F(t)), r < n E N. Sea M0 E Mat_(F) una

matriz ortogonal. Ponemos A(0) = [

donde 1 es la Identidad en Mat(.(F) . Entonces

existe una sucesión de matrices A l , A 2 .. . . E Mat7 (F) tal que ,4 = A b + A h t. + + A, . t + . . .

una matriz ortogonal en Mat7(K).

Corolario 21 Si rm es impar, la construcción del teorema genera (salvo multiplicación por —Id), todas

las matrices ortogonales en Mat71(K).

Corolario 22 Sea F un cuerpo cualquiera y A E Mat,1 (F) una matriz ortogonal, o sea A A' = J

donde 1 es la matriz identidad. Supongamos que 1 no es 'un valor propio de A. Entonces satisface la

siguiente relación. A (.4 - fl' = . 1 + S donde 5 es matriz antisirnetrica.

Sea ahora F = , de modo que K = R(t)), y consideramos una matriz ortogonal A E Mat,(K).

Reduciendo módulo infinitesimales obtenemos una matriz ortogonal A 0 = A con coeficientes en

De los resultados en ([2]) se desprende que A 0 se descompone ortogonalmente en bloques de tamaño

2 x 2 ó 1 x 1. Empezamos el estudio pensando que tal descomposición de A 0 se podía levantar, como

en el caso de ese artículo, (laudo lugar a una descomposición análoga de A. Sin embargo, logramos

construir explícitamente un interesante contraejemnplo lo que da lugar al siguiente:

Teorema 23 Existen matrices ortogonales de tamaño 4 x 4 con entradas en K = R((t)) que son

orto qonalmente indescomporiibles, en particular, el correspondiente operador lineal no admite ningún

subespacio invariante (no trivial).

ANEXO 1

Referencias

[1] H. Kelier and H. Ochseniiis, The orthogonal group of a Form Fli!bert Space. Bulletin of thc Belgian Matheinatical Society Sirnoii Stevin. Vol. 14 N° 5 (2007), 937-946 (Artículo correspondiente a este Proyecto. Se adjunta al Informe)

12] H. Kcllcr and U. Ochscnius. Se1fadjoint operators un inner product spaccs over fields of power series Por aparecer en Mathernatica Slovaca Vol 58, (2008). (Artículo correspondiente a este Proyecto. Se adjunta al Informe)

[3] T. O'Meara Introduction to quadratic forms. Springer, Berlin, (1973).

[4] U. Oc.hsenins and W. Schikhof, Lipschitz operators on Banach spaces over Krull valued fields. In Ultrarnetric Rmctional Analysis, Conteinporary Mathematics 384. A.M.S. (2005), 203-233.

[5] H. Ochsenius and W. Schikhof, Matrix characterization of Lipscliitz operators on Banach spaces over Krull valued flelds. Bulletin of the Belgian Mathemnat:ical Society Sinion Stevin. 2007 Vol. 14, N° 2 (2007), 193-212 (Artículo correspondiente a este Proyecto. Se adjunta al Informe)

[6] U. Ochsenius and W. Schikhof, On the algebraic dimension of Banach spaces over non-archimedean valued fields of arbitrary rank Proyecciones Vol. 26 N° 3 (2007). 237-244 (Artículo correspondiente a este Proyecto. Se adjunta al Informe)

[7] J. Araujo, C. Perez-Garcia and S. Vega Preservatioii of the mdcx of p-adic Linear operators under Compact Perturhations. Compositio Matheniatica 118 (1999), 291-303

[8] C. Perez-Garcia aiid S. Vega, Perturbation theory of p-adic Fredholm and semi-Fredholrn opera-tors. Indag. Mathem. NS., 15(1),(2004) 5 115-128.

III. PRODUCTOS GENERADOS POR EL PROYECTO

En esta sección debe incluir todo documento o material cuyo contenido corresponda substancialmente a los objetivos del proyecto que se informa y en los que se indique el N° del proyecto FONDECYT. Aténgase a los formatos que se incluyen para cada tipo de producto generado. Adjunte copia de los documentos no enviados previamente a FONDECYT. Utilice las hojas adicionales que sean necesarias.

Si Ud. tiene un proyecto de Incentivo a la Cooperación Internacional, destaque con (*) las publicaciones generadas como producto del mismo a continuación de las que corresponden al

gular

1. Artículos en revistas científicas nacionales o extranjeras con Comité Editorial.

Marque con una "X" lo que corresponda. Para trabajos En Prensa/ Aceptados/ Enviados adjunte copia de carta de aceptación o de envío.

1. Artículos en revistas científicas nacionales o extranjeras con Comité Editorial.

Autor(es)H. Ochsenius y W. Schlkhof

ZI Título del ArtículoMatrix characterization of Lipschitz operators on Banach spaces overvalued fields.

Nombre Completo de la Revista. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin. (Revista ISI) (*)

Ref. bibliográfica Año: 2007 Vol. 14 N° 2 Pág. 193-212

Estado de la publicación a Publicada Sí Aceptada Enviada D En preparación la fecha.* Otras fuentes de financiamiento, si las hay

Autor(es)H. KelIer y H. Ochsenius

Título del ArtículoThe orthogonal group of a Form Hilbert Space

Nombre Completo de la Revista. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin. (Revista ISI) (*)

Ref. bibliográfica Año: 2007 Vol. 14 N° 5 Pág. 937-946

Estado de la publicación a Publicada Sí U Aceptada Enviada U En preparación la fecha.* Otras fuentes de financiamiento, si las hay

Autor(es) - H. Ochsenius y W. Schikhof

Título del ArtículoOn the algebraic dimension of Banach spaces over non-archimedean valued fields of arbitrary rank

Nombre Completo de la Revista. Proyecciones (Revista Scielo) (*)

Ref. bibliográfica Año: 2007 Vol. 26 NO 3 Pág. 237-244

Estado de la publicación a Publicada Sí D Aceptada O Enviada En preparación la fecha.*Otras fuentes de financiamiento, si las hay

Autor(a)(es/as)H. Kelier y H. Ochsenius

Título (Idioma Original) Self-adjoint operators on inner product spaces over fields of power series

Nombre Completo de la Mathematica Slovaca (*) Revista.

Ref. bibliográfica Año: 2008 Vol. N° Pág.

Estado de la publicación a En Prensa Sí O Aceptada Cl Enviada O En preparación la fecha.* Otras fuentes de financiamiento, si las hay

2. Otras publicaciones /productos.

Autor(es) H. Ochsenius

Título El espacio ortomodular canónico de Hans Kelier

Tipo de publicación o E Monografía X Seminario ¡Taller /Curso producto E Libro E Informe Técnico

E Capítulo de Libro E Software Marque con una X" lo que E Mapa E Patente corresponda [XpOsic1ófl de Arte Editor(es) (Libros o Capítulos de Libros)

Nombre de la Editorial! Actas del Segundo Seminario de Análisis no-Arquimediano. Depto de Organización Matemáticas. UFRO.

Lugar y Fecha de Publicación País: Chile Ciudad: Temuco

Fecha: 11-12 de a gosto 2005

Autor(es) Hans Kelier (*)

Título Aspectos básicos de espacios vectoriales de dimensión infinita. (*)

Tipo de publicación o Fl Monografía X Seminario ¡Tallen Curso producto E Libro E Informe Técnico

E Capítulo de Libro E Software Marque con una "X- lo que E Mapa E Patente corresponda E Exposición de Arte Editor(es) (Libros o Capítulos de Libros)

Nombre de la la Editorial! Actas del Segundo Seminario de Análisis no-Arquimediano. Deptode Organización Matemáticas. UFRO.

Lugar y Fecha de Publicación País:Chile Ciudad: Temuco

Fecha: 11-12 de a g osto 2005

Autor(es) H. Ochsenius

Título El grupo ortogonal de un espacio con producto interno

Tipo de publicación o El Monografía x Seminario ¡Taller /Curso producto EJ Libro EJ Informe Técnico

EJ Capítulo de Libro E] Software Marque con una "X- lo que EJ Mapa EJ Patente corresponda EJ Exposición de Arte Editor(es) (Libros o Capítulos de Libros)

Nombre de la Editorial! Actas del Tercer Seminario de Análisis no-Arquimediano. Deptode Organización Matemáticas. IJFRO. (pgs. 75 - 83)


Fecha: 18-20de octubre de¡ 2006

Autor(es) W. Schikhof

Título La teoría de funciones p-áciicas (*)

Tipo de publicación o EJ Monografía /Taller/ Curso producto EJ Libro CO] écnico

Capítulo de LibroUInforme

Marque con una 'X"Io que EJ Mapa corresponda EJ_ Exposición deArte Editor(es) (Libros o Capítulos de Libros)

Nombre de la Editorial! Actas del Tercer Seminario de Análisis no-Arquimediano. Depto de Organización Matemáticas. UFRO. (Pgs. 1-14).


Fecha: 18 - 20de octubre de¡ 2006

3. Presentaciones a Congresos Nacionales e Internacionales. Adjunte copia del resumen o texto de la ponencia y de la tapa de/libro de Resúmenes, si no la ha enviado previamente.

Autor(a)(es/as) H. Ochsenius y W.H. Schihof

Título (Idioma Original)

Perturbaciones de operadores Fredholm en espacios de tipo Hilbert (NHS) sobre cuerpos con valuaciones de Krull.

Nombre del Congreso VII Simposio Chileno de Matemática

Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Punta de Tralca Fecha: Noviembre 2007

Autor(a)(es/as) H. Ochsenius


El Teorema de Gross y Künzi

Nombre del Congreso Cuarto Seminario de Análisis no-Arquimediano. Depto de Matemáticas. UFRO. Actas por aparecer

Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Temuco Fecha: Agosto 2007

Autor(a)(es/as) H. Kelier


Implicaciones de la ley ortomodular.

Nombre del Congreso Cuarto Seminario de Análisis no-Arquimediano. Depto de Matemáticas. UFRO. Actas por aparecer

Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Temuco Fecha: Agosto 2007

Autor(a)(es/as)


Nombre del Congreso

Lugar Fecha País: Ciudad: Fecha:

Autor(a)(es/as)


Nombre del Congreso

Lugar y Fecha País: Ciudad: Fecha:

4. Tesis y lo Memorias en ejecución y /0 terminadas en el marco del proyecto. Adjunte copia del resumen no informado anteriormente y certificación de aprobación, si corresponde.

Título de la Tesis Operadores iridescornponibles en espacios sobre cuerpos de series de potencias.

Nombre y Apellidos Alumno: Tonino Costa Araya. del /de los Alumno(s) Y Tutor Tutora: Herminia Ochsenius A.

Título! Grado Magister en Ciencias con mención en Matemáticas. alcanzado Institución, Facultad, Universidad de Chile. Facultad de Ciencias. Departamento

Lugar y Fecha País: Chile Ciudad: Santiago

Fecha de Inicio: Marzo 2004 Fecha de Término: Agosto 2005

Título de la Tesis Un teorema de invertibilidad de operadores en Type-separating spaces.

Nombre y Apellidos Alumno: Héctor Moreno Barrera. del /de los Alumno(s) Y Tutor Tutora: Herminia Ochsenius A.

Título/ Grado Magister en Ciencias Exactas con mención en Matemáticas. alcanzado Institución, Facultad, Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas. Departamento


Fecha de Inicio: Marzo 2005 Fecha de Término: Agosto 2006

Título de la Tesis Un teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos. (en ejecución).

Nombre y Apellidos Alumna: Carla Barrios Rodríguez. del/ de los Alumno(s) Y Tutor Tutora: Herminia Ochsenius A.

Título! Grado (Para optar al grado de ) Doctora en Ciencias Exactas, mención Matemáticas. alcanzado Institución, Facultad, Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas. Departamento


Fecha de Inicio: Agosto 2005 Fecha de Término: en ejecución

IV. DESTAQUE OTROS LOGROS DEL PROYECTO TALES COMO: • Estadías de investigación. • Formación de recursos humanos exceptuando tesistas ya informados. • Actividades de difusión y/o extensión en la temática del proyecto. • Cualquier otro logro no contemplado en los ítem anteriores y que Ud. quiera destacar.

Estadías de investigación: Enero- 2006: Universidad Radboud, Nijmegen, Holanda. ( Dr. W. Schikhof). Febrero-2006: Hochschule Technik und Architektur Luzern ( Dr. H. KelIer).

Julio-2007 Universidad Radboud, Níjmegen, Holanda. ( Dr. W. Schikhof). Profesores visitantes:

Dr. Hans Kelier. Investigación en el área de Isometrías Agosto 2005 (Financiamiento Fondecyt) . Miembro Comisión de Tesis de Tonino

Costa (Magister UCh). Miembro Comisión Exámenes orales de Doctorado de C. Barrios (PUC).

Agosto 2006. (Financiamiento propio) Miembro Comisión de Tesis de Héctor Moreno B. Participación en 2 0 Seminario de Análisis no-Arquimediano (UFRO).

Dr. W. Schikhof. Investigación en el área de Operadores Fredholm. Noviembre 2006. (Finaciamiento Fondecyt Regular 1050889. Autorizado)

Participación en el Tercer Seminario de Análisis no-Arquimediano (UFRO). Marzo 2008 (Financiamiento Fondecyt).

Formación de recursos humanos: - Seminarios con alumnos propios de Doctorado y Magister: C. Barrios, T. Costa,

H. Moreno. - Seminario: Operadores Fredholm en espacios sobre cuerpos con valuaciones

no arquimedianas de rango 1. Expositor: Tonino Costa Araya (U. de Cantabria, Santander, España). Asistentes: H. KelIer, H. Ochsenius, C. Barrios, H. Moreno. Agosto 2006.

- Dirección de la Estadía de Investigación de T. Costa (agosto-septiembre 2006). Tema: Algebras generadas por operadores indescomponibles.

- Colaboración con el grupo de Análisis no-Arquimediano de la Universidad de la Frontera. - Estadías de investigación de la Dra. Elena Olivos en la P.U.C. (En mayo, julio,

noviembre y diciembre 2005. Marzo, mayo, septiembre y diciembre 2006. Una semana por mes, en marzo, abril, mayo ,junio, octubre y diciembre 2007).

- Estadía de H. Ochsenius en la UFRO (octubre 2006 y enero 2007).

4. Lociros de Alumnos de Postarado: - Caria Barrios aprobó con nota máxima sus Exámenes Orales de Doctorado en la

Facultad de Matemáticas de la Universidad Católica de Chile. - Tonino Costa obtuvo el grado de Magister en Ciencias con mención en Matemáticas

en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile con nota máxima. - Tonino Costa presenta su Tesis de Magister en la Ninth Conference on p-adic

Functional Anatysis (Julio 2006). - Héctor Moreno obtuvo el grado de Magister en Ciencias Exactas, mención

Matemáticas en la Facultad de Matemáticas de la P.U.C. con nota máxima en agosto del 2006. Presenta su trabajo dos meses después en el Tercer Seminario de Análisis no-Arquimediano (UFRO).

V. RESUMEN

Describa en forma precisa y breve el tópico general del proyecto, sus metas y objetivos y los resultados alcanzados. Utilice un lenguaje apropiado para la comprensión del público no especialista en el tema. Esta información podrá ser difundida. (No debe exceder este espacio en fuente Verdana 9)

El objetivo central de este Proyecto fue el desarrollo de la teoría de operadores en espacios de tipo Banach sobre cuerpos con valuaciones de Krull de rango infinito. Aquí tenemos los espacios NHS definidos por el hecho que cada subespacio cerrado en la topología de la norma tiene un complemento norma-ortogonal, y los espacios FHS que son aquellos espacios NHS en que la norma es inducida por una forma cuadrática.

Con el Prof. Dr. W. Schikhof nos centramos en tres aspectos: - Caracterización de operadores Lipschitz, estrictamente Lipschitz, compactos y nucleares en términos de la matriz infinita que los representa con respecto a una base ortogonal numerable e 1 , e2 .....Esto se llevó a cabo en el marco de espacios de Banach en general, así como de espacios NHS.

- Estudiamos también operadores Fredholm en espacios NHS. Llamamos CD al subconjunto de ellos que son Lipschitz y tienen una pseudoinversa que también es Lipschitz. Sea P el conjunto de operadores A tales que A + CD ç CD, conjunto de perturbaciones de CD. Probamos que P contiene al conjunto de los operadores nucleares y que está contenido en de los operadores estrictamente Lipschitz. Señalamos también algunos casos en que estas inclusiones son una igualdad.

- A partir de este trabajo nos interesó también determinar la dimensión algebraica de de un espacio E que tiene una base ortogonal numerable. Sorprendentemente, si el cuerpo base K no es metrizable la dimensión es No. Pero si K es metrizable entonces la dimensión de E es igual a ?4K, la cardinalidad del cuerpo, elevada a No.

Con el Prof. Dr. Hans Ke$Ier nos centramos en el estudio de isometrías en espacios FHS. En la teoría general de espacios cuadráticos el grupo ortogonal es un objeto importante de estudio, pero poco se conoce sobre él cuando la dimensión del espacio es infinita. i) Describimos en detalle diversos subretículos del retículo de los subgrupos normales de este grupo ortogonal en un espacio FHS canónico E. u) Construimos, con un proceso diferente a los descritos en la literatura, el álgebra de Clífford normada del espacio E que llamamos C(E). iii) Obtuvimos con ello un teorema de tipo Cartan-Dieudonné: toda isometría de E es un producto infinito de reflexiones en E.

- Completamos la redacción final del artículo Self-adjoint operators on inner product spaces over fields of power series.

- Trabajando en las isometrías de los espacios residuales asociados a un espacio FHS logramos resultados interesantes respecto al cálculo explícito de la descomposición ortogonal de matrices ortogonales. En particular, una construcción de todas las matrices ortogonales de dimensión impar sobre un cuerpo de series formales generalizadas. Pudimos probar también que existen matrices ortogonales que son indescomponibles, es decir la isometría asociada no admite ningún subespacio invariante no trivial. -

VI.- INFORME DE PROYECTO DE INCENTIVO A LA COOPERACION INTERNACIONAL

70501051050889

NÚMERO DE PROYECTO DE INCENTIVO A LA NÚMERO DE PROYECTO FONDECYT REGULAR COOPERACION INTERNACIONAL

Herminia Ochsenius 14 marzo 2008

INVESTIGADOR(A) RESPONSABLE FIRMA FECHA PRESENTACIÓN

PERÍODO QUE SE INFORMA 15 delMarzo 2005 14 del marzo 2006

DESDE HASTA

Hans KelIer Hochschule fur Technik + Architektur Luzern

NOMBRE COLABORADOR(A) EXTRANJERO(A) AFILIACIÓN INSTITUCIONAL ACTUAL

FECHAS DE ESTADÍA 10 delAgostp 2005 30 d Agos(p 2005

DESDE HASTA

Describa las actividades realizadas y resultados obtenidos. Destaque su contribución al logro de los objetivos del proyecto Regular. Si es pertinente, indique las publicaciones conjuntas generadas, haciendo referencia a lo informado en el punto III del informe de avance/ final. Agregue los anexos necesarios.

Con los profesores H. Keller y W. Scliikhof formamos, desde hace ya bastantes años, un grupo estable de investigación cuyo centro de interés son los espacios de Hilbert construidos sobre CUCFPOS con valuación no arquimediana de rango infinito. Todos los resultados ohteiiidos son fruto del trabajo conjunto, y esIíii

detallados en la Sección II correspondiente. Nuestras publicaciones, también conjuntas, se encuentran en Productos Generados por el Proyecto.

INFORME FINAL FONDECYT PROYECTO FONDECYT REGULAR

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