Cálculo operacional Teoría de la estabilidad
Editorial MIR Moscú
Traducido del ruso por T. l. Shapovalova
impreso en la ·URSS © MaAaTeJIMTBO «liayKa» ,. 1981 @ Traducci6n al español. Eiliiorial Mir. 1983
Prefacio Capítulo I
Funciones de variable comp.leja
i § . i. Números complejos y operaciones con ellos -i . § 2. Funciones de variable compleja · , § 3. Límite. de sucesión de los números complejos. Límite
: y continuidad de· una función de variable compleja i . § 4. Diferenciación de funciones de variable compleja. Con- 1 . dicioncs de Cauchy-Riemann · ' } :§ 5. Integración de. funciones de variable compleja . . ·• ''§ ·6. -Fórmula integral de· Cauchy ·
·· ¡:· -§ -7. Series -en el. dominio complejo §:. 8. Ceros . de una función. Los puntos singula,res aislados §. 9. Re5iduos de funciones § 10. Teorema de Cauchy de los residuos. Aplicación de resi-
. duos al cálculo de las integrales definidas. Sumación de , _ cierta,s series mediante residuos ! § 11. Residuo logarítmico. Principio de argumento. Teorema
de Rouchet § 12. Aplicaciones conformes
·' :§ ·13 Potencial complejo. Su sentido hidrodinámico ·
Capítulo JI
' . . Cálculo operacional .
93
. 155'
161
; :j . .14. ·Obtención de representaciones y ol'iginales 1.61 .. '. · .§ 15 .. S?luCió~ ... ·del problema ~e qauchy pan~ _las ecuaciones ' :; . diferenciales lineales ordmarias de coeficientes constan- . ·· · ···tes 189' ''_' j46.'Jntegral de Duhamel 202 <§::-::f7'>-S~luci6n de sistemas. de ecuaciones diferenciales lineales l'J:::' :p(?r el . método operacional / . 205
. 't .. '• . . .
,~~:;·Jª: ~~~~11ción de las ecuaciones integrales de Volterra con ;;:z ... 0Jcnncleos de la forma .especial 209 •r '. ~,q:.· . ¡J ,· .. · .. ~·· · . . ·. ·- .
'~i~i~'i;~9j~'/:,~.:
•····• ,,,
§ 19. Ecuaciones diferenciales con el argumento de retardo 216 § 20. Solución de ciertos problemas de la física matemática 219 § 21. Transformación discr-eta de Laplace 222
Capítulo III
Teoría de la estabilidad
§. 22. Concepto a~rca de la estabilidad de solución de un sistema de ecuaciones .diferenciales. Los más simples tipos de puntos de reposo
§ 23. Segundo método de Liapunov § 24. Examinación de la estabilidad por la primera aproxi­
mación § 25. Estabilidad asintótica en total. Estabilidad según La-
grange § .26. Criterio _de Rauss-Hurwitz § _27. Criterio geométrico de estabilidad (criterio de Mijailov) § . 28. D-particiones § .. 29. Estabilidad de soluciones de las ecuaciones en diferencias
Respuestas
Suplemento
;Bibliografía
237
282
330
333
. .'· . ' ,,. : ·· ~. · •. : -.. ·: ;;- . . :. J. •
Prefacio
En la presente edición todo el texto está redactado de nuevo y están incluidos ciertos complementarios. Está ampliada fa parte consagrada a la teoría de los residuos y a sus aplica­ ciones (en particular, está introducido el concepto del resi- duo respecto a un punto infinitamente alejado, aplicación
. de los residuos a la sumación de ciertas series). Se ampHa el númer.o de problemas para la aplicación del cálculo opera­ cional al estudio de ciertas funciones (de función gamma, función de Bessel y otr.), está aumentado también el número de problemas para la representación de funciones dadas grá­ ficamente. Está reelaborado el párrafo dedicado a las aplica­ ciones conformes. Está incrementada la cantidad de- ejem­ plos que se analizan rn el texto. Están eliminadas unas erratas e inexactitudes; algunos problemas que tenían soluciones muy complicadas están sustituidos por más sim­ ples .
M.L. Krasnov A .l. Kiseliov q.. I . M akanrnk'!
Introducción
En el presente :volumen están reunidos más de 1 000 problemas y ejercicios· de las más importantes partes de las matemáticas superiores: funciones de una variable compleja, .cálculo operacional y teoría de la estabilidad, los cuales el lector tiene que resolver por sí mismo, particu­ larmente. Dichos problemas están cogidos de la actividad práctfoa. de los especialistas técnicos, con los cuales chocan los ·estudiantes después de haber cursado los estudios .
Este manual puede ser útil también para los lectores que desean estudiar individualmente dichos materiales es­ peciales del curso de matemáticas superiores.
- De las selecciones ·de problemas conocidas, dedicadas a las materias indicadas este libro se distingue por las ca­ raQterísticas fundamentales siguientes: por sí mismo repre­ se~tá :un manual-guía de metodología que contiene breves conodmientos teóricos acerca de cada punto de empalme; ejercicios y prohlAmas con resoluciones y explicaciones de­ talladas como ejemplos, gran cantidad de problemas y ejercicios para resolverlos individualmente. Casi todos de ellos poseen respuestas, y en algunos casos están dotados por explicaciones para su resolución, o con breves solu­ ciones. Todos los problemas y ejercicios se disponen según determinada sucesión: de lo simple a lo complejo.
El libro presupone que el lector trabaje sistemática­ mente con el material elegido. De acuerdo con ésto, el nú­ mero de problemas y ejercicios está restringido de modo que él podrá por lo menos resolver la mayoría ele ellos. En lo que se refiere al contenido de ejercicios, los autores in­ tentaron evitar según la posibilidad los ejemplos de ele­ vada dificultad técnica. Sin duda, ésto no significa, que en el libro no haya problemas complejos.
Los autores prestaron principal atención al aspecto ma­ temático del tema, únicamente, en pocas palabras expo­ niendo el sentido geométrico y físico de ciertos problemas A examinar.
Autore.s
§ 1. Números complejos y operaciones con ellos
E l númer(I complejo z se llama la expresión del tipo
Z =X + iy
(la forma algebraica del númer o complejo), donde x y y son los nú­ mer os r eales cualesquiera y i es la unidad imaginaria que satisface la condic,ión i 2 = -1. Los números x y y se llaman correspondiente­ mente las partes reales e imaginarías del numero complefo z y .se deno- ' minan
x = Re z, y= Im z.
El número com.Plejo z = :e - - iy se llama conjiigado al número
.complejo z = x + iy. Los· númer os complejos z1 =
=Xi + iy1 YcZz = x 2 + íy2 se con­ sider an ser iguales cuando y sólo cuando x~ = x2, Y1 = Y2·
y M
y .X
Fig. 1 El numer o complejo z = x +
iy se r epresenta en el plano X OY por el punto M con las coordena­ das (x, y) o por el vector, el origen del · cual se encuentra en el punto O (O, 0) y su extremo se encuentr a en el punto M (x, y) (fig. 1). La longitud p del vector OM se llama el 1n6dulo del número complejo y se denomina 1 z ¡ , así que p = 1 z 1 = = 1! x2 + ¡¡2. El ángulo <p formado . por el vector O M con el eje O X se ll ama el argumento del número complejo z y se denomina <p = = A'rg z; el se determina no un1vocamente, sino con exact itud hasta el sumando que es múltiple a 2n:
Arg z = arg z + 2kn (k = o, ±1, ±2, . .. ),
. donde arg z es el valor principal Arg z que determinan las eondiciones . . ' .. · . .
-.n: < argz~· n,
con todo esto
n+arctg JL., si x< O, y >O, X
arg z= { y
n/2, six=O,y>O,
Tienen lugar las relacfones siguientes:
tg (Arg z)=JL, X
sen (Arg z)
y
(1)
Dos números complejos z1 y z2 son iguales en el caso y sólo en el caso, cuando sus módulos son iguales y sus argumentos son iguales o se distinguen en la magnitud que es múltiple a 2:rt;
l Z11 = l z2 ! , Arg z1 = Arg z2 + 2:rtn (n = O, ±1, ±2, ... ).
Sean dados dos números complejos Z1 = X1 + iy1, Z2 = X2 + ÍY2· 1. La suma z1 + z2 de los números complejos z1 y z2 se llama
el número complejo
Z:i + Z2 = (x¡ + X2) + i (y¡ + Y2)·
2. La diferencia z1 - z2 de los números complejos z1 y z 2 se llama el número complejo
Jr¡ - Z2 = (x1 - X2) + i (Y1 ·- Y2).
3. El producto z1 z2 de los números complejos z1 y z2 se llama el número complejo .
Z¡Zg = (x1x2 -· Y1Y2) + i (x1Y2 + a;2Y1)·
De la definición del producto de los números com1Jlejos sigue en particular que
z; = x2 + y2 = 1 z ! 2.
4. El cociente ::. de la división del número complejo z1 en el nú,.
; __
... .. .,'
· _·· Aquí fué utilizada la fórmula z21 = 1~ 2
1 ·9 •
Z1 . X1X2 + Y1Yll +. a:2Y1 - X1Y2
z;= xª+Y~ 1
x~ + Y~ .. . ·. · La parte real Re z y la parte imaginaria Im z del número comple­
jo .z · se expresan a través de los números complejos conjugados del modo siguiente: _ ·
;+z Rez=~2 -, ,. ____ , ..... .. .. ·--~···~·--·
Demostraci6n. Según la definición tenemos
z1 + z2 = (x1 + x2) - i (y1 + y2) = ·(x1 - ty1) + + (x2 - - iy2) = z1 + Z2.
i. Demostrar las relacionas siguientes:
a) Z1 - Za= Z1 - za; b) -;1z2 = Z1;2;
e) ( -1.)--- .3.L· d) -z + -z - z + z - - ' 1 2- 1 . a· Z2 •. Za
· Ejemplo 2. Hallar las soluciones reales de la ecuación
(4 + 2í) X + (5 - 3t) y = 13 + t.
. Solución . Separemos en el miembro primero de la ecuación la parte real e imaginaria: (4x + 5y) + i (2x - 3y) = 13 + i. De aquí según la definición de la igualdad de dos números complejos obtenemos
{ 4x + 5y = 13, 2x - 3y = 1.
Resolviendo este sistema, hallamos
X = 2, y = 1.
Hallar las soluciones reales de las ecuaciones: 2. (3x - i) (2 + i ) + (x - iy) (1 + -2i) = 5 + 6i.
·· 3. (x - iy) (a - ib) = t6, donde a, b son los números reales dados 1 a 1 =!= 1 b 1·
1 2+i ,¡-- 4. z_,,_i + i+i = v 2, donde z=x+ iy.
1 1 5. Presentar el número complejo +----- (a +~b)2 (a-fb)2
\ ·. ,r
12 Función de variable compleja [Cap. 1
v1+x2+ix . 6. Demostrar que = i (x es real) . x-i lf 1+x2
7. E . t , d . . 1 . 1 "' •
1 xpresar x y y a raves e u y v s1 --+--. = ' x + iY .u+iv
= 1 (x, y, u , v son los números reales). 8. Hallar todos los números complejos que satisfacen
la condición z- = z2•
Ejemplo !J. Hallar .el módulo y argumento del número complejo
:rt :rt z= -sen 8 -i cos S.
Solución . Tenemos 1t
y= - COS 3<0.
El valor principal del argumento según (1) será
argz = - :rt +arctg ( ctg;) =-n+arctg [ tg ( ~ - ~) J= (
3 ) ' 3 5 =-n+arctg tg 8 :rt =-n + 8 n=-8 :rt.
Por consiguiente, 5
,z, = v sen2 ~ +cos2 ~ = 1.
9. En los problemas siguientes hallar el módulo y el valor principal del argumento de los números complejos:
a) z=:4+3i; b) z = -2+2V3i ; e) z = - 7 - i ; d) z = - cos ~ + i sen ~ ;
e) z = 4-3i; f) z = coscx-isena(n < cx< ~ n) .
Cualquier número complejo z = x + ty (z =fo O) se puede escribirlo .en l a forma trigonométrica
. z .= p (cos qi + i sen q>) , donde p = 1 z 1 , <p = Arg z .
- .-- . .:. : .. ~
Soluci6n. Tenemos
1z1=V<- 1)2 + <- 1f3)2 =2; tg q> -\ 3=-vs, <p=-: n.
Por consiguiente,
-· 1- t lf 3 = 2 [_ cos ( - ; n) + i sen { - ~ n} J . Ejemplo 5. Hallar raíces reales de la ecuación
+. 1 + 3. cos x i sen :i=2 ¡¡ i .
Soluci6n. La ecuación dada no tiene raíces~ En efecto, esta ecua- ,• ción es equivalente a las siguientes: cos2 x = 1/2, sen x = 3/4. Las
últimas ecuaciones son incompatibles, porque cosll x + sen2 x = = 13/16, que es imposible para ningunos valores x . ·
Cualquier número complejo z =f= O se. puede escribirlo en la for- , ma exponencial ·
z·= peicp, dondep=l z !, cp =Arg z. <
Ejemplo 6. Hallar todos los números complejos z "fa O que satisfa- cen Ja condición zn-1 = Z.
Solucí6n. Sea z = petfP. Entonces z-= pe-fcp. Según la condición
p n -tei(n-1)cp = pe- iq¡ 0 · pn~2eincp = 1,
de donde p11- 2 =i , es decir, p=1 y tnq>=2kni , es decir cp= 2 kn n
(k=O, i, 2, . .. , n-1). Por consiguiente,
i~ ZJ¡; = e n (k=O, 1, 2, .. ., n- 1) .
10. Expresar los siguientes números complejos en · la forma t rigonométrica:.
a) -2; b) 2i; e) -V2+ i V2; d) 1-sena+icosa(ü<a< ~) e) 1 + cos et+ i. sen a (O < a< ~ ) . .
1 + cos et - i sen a 2 ' en la forina exponencial:
f) -2; g) i; h) - i; i) -1 ... - iY3 ; j) sen a- i cosa ( ~ <a< ;ri: ) ; k) 5 + 3i. ·
Sean los números complejos z1 y z2 dados en la .forma trigono­ mótrica z1 = p1 (cos cp1 + t sen <1>1), z2 = p8 (cos 1P2 + t sen <1>2)·
l ri,\\t,:;;
Z1Z2 = P1P2 [cos (cr1 + cr2) + i sen (epi + (jl2)l ,
es decir, durante la multiplicación ele los números complejos sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman:
Arg (z1z2) = Arg z1 + Arg z2•
El cociente de dos numeros complejos z1 y z2 =f=. O se halla por la fórmula
es decir, ·
La elevación del número complejo
z = p (cos q:i + i sen qi)
a la potencia natural n se realiza por la fórmula
l zn l = pn (cos mp + i sen ncp),
es decir,
l zn l = 1 z l n , Arg· zn = n Arg z + 2nk (k = O, ±1, • .. ).
De aquí se obtiene la fórmula de l\foivre
(cos cp + i sen qipi = cos ncp + i sen ncp.
Las propiedades del módulo de los números complejos
1. ¡;¡ = ¡z¡; 2. zz= fz\ 2; 3. lz1z2I = [z1 l lz2 [; 4. lzn ¡ = ¡z¡n;
lzi! _ lzd . 5. ~--¡z;¡- , z2 ,;fr. O, 6. [Re z l ~ l z l, !Imz[~ l z [ ;
7. [z1 +z2 l< J zil + lz2I; 8. !l z1 1- lz2 l l~ l z1 - z2 I ·
E jemplo 7 . Calcular (-1 + i 1f3}6o. So lución . Presentemos el número z = -1 + í tf 3 en la forma
t rigonométrica
la fórmula de la 'elevación a potencia citada arriba, obten-
(-1+q/3)6º=26º[cos (60. ~ :rt)+isen(60· ~ n)]= = 2so (cos 40:n+ i sen 40l't) = 260 •
Ejemplo 8. Demostrar que el polinomio
f (x) = (cos a+ x sen a.)n - cos na. - x sen na
se divide en x2 + 1. Solución. Tenemos xn + 1 = (x + i) (x - i). De acuerdo con
la fórmula de Moivre
f (i) = (cosa+ i sen cz)n - cos ~a - i sen na=
= cos no:+ i sen na - cos na - i sen na=O.
Por analogía f (-i) = O. Es decir, f (x) se divide en x 3 + 1.
H. Demostrar que el polinomio j (x) = xn sen a - A,n-l x sen na+ ¡.n sen (n - 1) a se divide en x 11
- 2A.x cosa + A.2 • •
( 1- í )ª
d) 1+ i ' '
13. Demostrar que
1-!-i tg na 1-i tg na •
(cos a + i s·en ar = 1, entonces (cos a - i sen a)n ' 1. 15. Utilizando lá fórmula de Moivre, expresar mediante
· l as potencias sen cp y cos qi las funciones siguientes de los ángulos múltiples:
a) sen 3qi; h) cos 3qi; c) sen 4<p; d) cos 4qi; e) sen 5cp; f) cos 5qi.
La wíz de la potencia n del número complejo z tiene n valores diferentes que se hallan mediante la fórmula
ry- nri lf'"='I ( cp + 2kn t i cp + 2kn ) - y z = -y ¡ z 1 cos n - sen . n ,
k = O, 1, 2, . . . , n - 1, <p = arg z .
. Los puntos que cor responden a los valor es ~íZ, son los vértices n-polígono regular inscrito en la circunferencia del r adio R = Vrzl
con el centro en el origen de coor denadas.
16 Función de variable compleja. . [Cap . .
La raíz de potencia n del numero real a también tiene n d~stinto valores; entre estos valores tenemos dos valores reales, uno o niugun· depende de la paridad o impa"ridad de n y del signo del número a.
Ejemplo 9. Hallar todos los valores vr::::-¡. Solución. Reducimos el número complejo 1 ,--- i a la forma tri
gonométrica
Suponiendo k = O, 1, 2, 3, hall.amos
(k=O) fíi-t=V2 ( cos ~ -i sen ; 6 ),
~r- y-( 7 7 ) (k =1) y 1-i= r 2 cos 16 n+i sin 16 n ,
En los problemas siguientes hallar todos los valores d~ raíz:
16. a) Y -1;
t7. a) iYI; b)
r - 1+ i; e) V 2 - 2V 3i.
18. V Y2 ( cos ~ + i sen ~ ) .
Ejemplo JO. ¿Qué conjunto de puntos en el plano de la variable compleja z se determina por la condición
Im z2 > 2?
Solución. Sea z = x + iy. Entonces
z2 = (x + iy)B = (x2 - y2 ) + i2xy.
Por consiguiente, Im z2 = 2xy. Según la condición 2xy > 2 o xy > 1. Esta desigualdad determi­
;
§ 1] Números complejos y operaciones con ellos 17
Ejemplo 11. ¿Que conjunto de puntos en el plano complejo se determina por la conrlic.ión
1t 3 -2~ arg(z+1-i) ~4 n?
Solución. El número complejo
z + 1 - i = z - (-1 + i) se representa por el vector, el origen del cual es el punto - 1 + t, y el extremo del cual es .. el punto z. E~ ángulo entre este vector y el eje- OX es arg (z + 1 - i) y él se cambia en
los límites de - ] hasta~ n . Por -. y consiguiente, la desigualdad d¡¡da de­ termina el ángulo entre las rectas que salen del punto -1 + t y que forman con el eje OX los ángulos
de - ~y ~ n de radianes (fig. 2).
Ejemplo 12. ¿Qué dominio se de­ termina por la condición 1 z 1 + Re z < 1?
Solución. Sea z = p (cos cp + + i sen <p). Entonces 1 z 1 = p, Re z= = p cos <p. Según la condición p + X +P cos cp < 1, de donde
- 1 1 P< 1+cosq> ·
Esta condición la satisfacen todos los puntos que se encuentran en el domi­ nio limitado por la curva
1 p= 1 -j- cos <p
(ecuación de parábola en coordenadas polares).
Fig.-j2 i
En los problemas siguientes hallar conjuntos de puntos en el plano de la variable comp1eja z que se _determinan por las condiciones dadas:
19. a) /zj~ 2; b) R~1, z=;60; e) 1+1~2, z*O.
20. a) lz-5i !=8; b) lz--1 -i !~4.
21. a) 1<1z+i1<2, ~ < arg z < ~
h) 2<1·z 1<3, ~ <argz< i re.
22. a) j :+~ j.~1; b) O~Imz~ 1.
2-0662
1:8 Funci6n ·de variable compleja [Cap. 1
23¡ a) 1 < ! z + 2 + i 1 < 2; b) 1 z - 1 1 < 1 z - i [; e) 1<Rez<2.
24. 1 z - a 1 < 11 - az-1 (a es real , 1 a 1<1), 25. a) 1 z t > 2 + Im z; b) 1 z 1 - Re z <O. 26. Im ;-2 < 1. 27. 4 < 1 z -1 1 + 1 z + 1 1 < 8.
'(1) '1 1 (1) 28. a) Im _-;: <- 2 ; b) 4 < Re 7'· + + Im ( _.;..) < ! .
. . z. ·.·
Ejemplo 13. ¿Quó curva se da por la ecuac1on 1 z +e 1 + + 1 z,~ e 1 = 2a, donde e y a son los números reales positivos, al mismo tiempo a> e?
Solución,. 1 z + e 1 es la distancia entre los ¡mntos z y -e; 1 z - e 1 es:lá distanda entre los punto,s z y c. Según la condición la suma ·de distancias del punto .z hasta los dos puntos dados z1 = -e y z2 = e es cOi:ls.tante. En ese caso el punto z se encuentra en elipse. La ecuadon :de· esta elipse ~iene la forma
donde b2 :=:,' é ~ c2 •
~;;in.plo . 14.·:¿Qué curva se define por la ecuación Re(!)=!?
Solución. Sea z = x + iy. Tenemos
!: + .! Re ( !. ) . z 2 z
Esto es la circunferencia (x '--- 2)2 + y2 = 4.
29. ¿Qué IÍriea forma el conjunto de todos· 1os puntos z = -2 + ty, si y _obtiene valores reaJes cualesquiera?
~···· .. ·· . ,.
~~n: :::.~ - :_ . Indicar qué líneas se determinan por las ecuaciones si•
~{~f:<: riientes: Re z2 = 1 ·, ( 1 ) 1 ~:jj?fi:J · 31. a) Im z2 = 2; b) e) Im 7 =2·
~-·p~·r 32. a) Re(~ )=1; h) Im(z2-z)=2-Imz.
rr:-.c,· 33. z2 + z2 = 1.
':=··.'
34. 2zi + (2 + i) z + (2 - i) i = 2 . . 35. a) ]z-il+ lz+il=4; b) l-zl-ilz + iJ=2. 36~ a) 1 z 1- 3 Im z = 6; b) 3 1 z 1 .:.._ Re z = 12. 37. a) j Z - 2 J = j 1 - 2z j; b) j Z - Z¡ J = J Z- Z2 J;
e) Re-(z2 - z) = O; d} Re (1 + z) = 1 z ¡. Ejemplo 15, Escribir en la forma compleja la ecuación de la
rec_ta Ax+ By+ C = O. (3)
i+z · Solución. Sea z = x + iy, z = x - ty. Entonces x = - 2- , -
. y = z 2
z i. Sustituyendo en la ecuación (3) las expresiones para
x y y, obtendremos
A (z + z) -1- Bi (;' - z) -1- 2C = O o
. (A + tB) z + (A - iB) z + 2C = O. (4)
Introduzcamos la denominación
A+ iB =a. ··Entonce¡¡ la ecuación (4) toma la forma
az + az + 2C = O.
. E.templo 16. Escribir en la forma compleja la ecuación de la : ciréunferencia" . .
~ + y2 + 2x + 2y = o. · S oiución. Teñemos
, . XS + y2 .__ 1 ~ 12 = zZ: 2x = z + z, 2y = t (z - z).
Slistituyendo en la ecuación (5) obtendremos
zz + z-+ z + ¡. (i-:- z) = O
zz.-+ (i - .t) z. + (i + t) r.-= º'.
. (
. 20 Funci6n de variable compleja [Cap. 1
Ejemplo 17. ¿Qué línea en el plano XOY se determina por la ecuación
o
sz -!- i (z - Z) - 2 = O?
Soluci6n. Sea z = x + iy. Tenemos z-= x - iy, zi'= z2 +y~. La ecuación (6) obtiene la forma
x2 + y2 - 2y .:.... 2 = o
:i;2 + (y - 1)2 = 3.
(6)
Esto es la circunferencia del radio R -V3 con el centro en el punto (O, 1).
Escribir en la forma compleja las ecuaciones de las líneas siguientes:
38. a) De los ejes de coordenadas OX y OY; b) de la recta y = x; c) de la recta y = kx + b, donde k, b son
. reale,s. · 39. a) De la hipérbola equilátera x2 - y2 = a2; b) de la
circunferencia x2 + y2 + 2x =O.
Problemas diferentes
ltesolver las ecuacione::i: 40. z3 + 3z3 + 3z + 3 = O. 41. z' - 4z3 + 6z2
- 4z - 15 = O. 42. Hallar el número complejo z, la representación del
cual es el punto del segmento z1z2 que se encuentra de z2 en dos veces más lejos que de z1 .
43. ¿A qué vector se convierte el vector a + ib siendo especulativo su reflejo en la bisectriz del primer cuarto?
44. ¿A qué vector se convierte el vector - V3 + 3i al girarlo en el ángulo de 90º? .
45. ¿A qué vector se convierte el vector - V 3 - i al girarlo en el ángulo de 120º?
46. Hallar el ángulo en el cual es necesario girar el vector 4 - 3t para recibir el vector - J
2 + ~2 t.
47. Hallar el ángulo, en el cual es necesario girar el vector 3 V2 + i2 V2 para recibir el vector -5 + to
Resolver las ecuaciones: 48. (x + ir - (x - ir = O (x es real) • 49. cos x + i sen x = sen x + i cos x.
Funciones de variable comple;a 21 .
;.- ·
. 5t. El centro del cuadrado se encuentra en el punto z0 = 1 + i, y uno de los vértices se encuentra en el punto z1 = 1 - i . ¿En qué puntos se encuentran los demás vértices del cuadrado? , 52. Sea que z1 , z2, ••• , Zn son las raíces de la~ecuación
zn - 1 = O (n > 1). · Demostrar que z1 + z2 + ... + Zn =O. Hallar las sumas siguientes: 53. a) sen x + sen 2x + . . . + sen nx;
b) cos x + cos 2x + ... + cos nx. 54. a) sen x + sen 3x + . . . + sen (2n - 1) x; ·
h) cos x + cos 3x + ... + cos (2n -:- 1) x.
§ 2. Funciones de variable compleja ·b-''' i::~ :·· · . . Didcen que en el dominio D está determinada la función w = f (z), ., · si: a ca a punto z E D está asignado uno (función uniforme) o varios :v, , · (íiní:ción multiforme) valores de w. E_.~,:.·.::·' ..• · .. · .. . : ·.. · Dedes
1 a
1 = f (z) realiza la aplicaciódn de los
. : · . puntos e p ano complejo z sobre os puntos correspondientes el plano ' ' . . complejo w. ~'=-·: '.:; : Sea z = x + iy y w = u + iv. Entonces la dependencia w = ~:· == f (z) entre la función compleja w y la variable. compleja z puede ..... ser trazada mediante las · dos funciones reales u y v de variables rea-
t%;, les x y y u= u (x" y), v = v (x, y) .
<'.V··- ..
t> .. ,· :i~~~f:n~~ s:~ ~ + ~8y:-~z: u+ tv obtendremos
t> · . . u + tv = (x + iy)8 - i (x - íy) = · ~;;.'. = (x3 - 3xy2 - y)+ i (3x~y - y8 - x) .
¡;tf¡'/;; '. Por consiguiente, la igualdad w = z3 - tz es equivalente a dos igual-
~g.{>·; . d~des . zt = xs - 3xy2 - y" ~?:,; :· • { V= 3x2y - X - yS.
J.1%-~</.:· !>Hallar para las siguientes funciones la parte real e ima- f~~~~,·¡'.1)'.: ~f!laria: _
1 · · 55. w = z - iz2 ; b) w = z2 + i ; c) w = i - zª; w = -=- ;
;~¡~J/, io= ~:¡i ; f) W = = . '
-~ ·:-·> .
22 Función de variable compleja [Cap. 1
En los problemas siguientes hallar las imágenes de los puntos dados para las aplicaciones señaladas:
56. a) z0 = - i; w = z2 ; b) z0 =1- i, w = (z - i)2 ;
e) z0 = 1, 1 w=--.; z-i
- d) Zo=2+3i, W=..:._,
t
{
U=U (x, y), v=v(x, y), F(x, y)=O.
Si la curva está prefijada mediante las ecuaciones paramétricas:
x=x(t},} ( ( ) Y=Y (t). o z=.z t}=x t)+ty (t,
entonces las ecuaciones paramétricas de su imágen para la aplicación w = f (z) = u + tv serán
ii~u[x(t), y{t)]=U(t),} v= v [x (t), y (t)] =V (t}.
Ejemplo 2. ¿En qué curva se transforma la circunferencia unidad 1 z 1 = 1 mediante la función w = z2?
Soluct6n. Puesto que según la condición 1 z 1 = 1, entonces
l w 1 = 1 z 12 = 1.
De esta forma, la imagen de la circunferencia 1 z l = 1 en el plano z es la circunferencia 1 w l = i que pasa dos veces en el plano w. Esto se desprende de lo que si w = z2, entonces Arg w = 2 Arg z + + 2lm y cuando el punto z traza la circunferencia completa ! z. I = 1 su imágen ·traza la circunferencia 1 w l = 1 dos veces.
E.jemplo B. Hallar la imágen de circunferencia
z = R cos t + iR sen t (O ~ t < 2n)
1 l . . , z
para a ap icac1on w= = · z
Solución. Sea z = x + iy. La ecuación dada de la circunferencia se puede escribirla en la forma
X= R cos t, (O ~ t < 2n).
Separemos la parte real e imaginaria de la función w = u + tv. Tene­ mos
"i,
Funciones de variable c<Jmpfoja
1~1~;aqui u-::+::' v z•~y•. h-t:• '~::·· sustituyendo x = R cos t y y = R sen t en u y v obtenemos J:.'<'::: ./::~ ~cuaciones paramétricas de imágen de la circunferencia
jiW:p~; ···. . {u- cos2 t-sen2 t· cos 2t,
l f¡;··" .. + ~ _.. • -:r;~z::.:: ~···· · . i~ft 2.:. :. · Pues, l.a imágen es la circunferencia de unidad que pasan ~T·'i /·veces que s_1gue de lo que O~ t < 2:rt, y 4e l_as fórmulas {:to). :~.' ~·· '
23
las
dos
~;~,::·~ ~ .: 57. Determinar en que líneas <;lel plano w se aplican ';./:' · mediante la función w· = ! las líneas siguientes del plano ·z: ·- z -
1 3 · n a) lzl = z- ; b) Rez=O; c)argz = ¡n;d) a.rgz~=-y;
.~) Rez= Imz; f) Jz l = .z. · 58. Hallar las imágenes de los ejes . de· coordenadas O X
· Y. -OY para las siguientes aplicaciones: · · z+1 1
a) w:..__z-i; b) w=1+-z.
Principales funciones elementales de variable compleja
1. La funcf.6n racional fraccional
- aozn+a1zn-1+ ... +an . w- b m+b m 1+ +b· ' 0z 1z . . • m
. en particular, la función racional es el polinomio .w = a0 zn + a1zn-l + ... + ª n'
~· / :< pote!~i~a ~~~::;e::t°ab:ol~f a e:ns~o~~i~i ;la1!~ ~~~~~j0 de la sede
:~:~::·~~:·.~ ·._:'°_ '
24 Función de variable compleja [Cap. 1
3. Las funciones trigonométricas sen z y cos z se determinan por las series potenciales:
zS z2n+l
cosz= 1-21+ 41- .. ,+ (-1)n (2n)l + ... ,
convergentes absolutamente para cualquier valor complejo z. Las funciones sen t y cos z son periódicas con el período real 2:t y tienen solo los ceros reales z = kn y z = n /2 + kn correspondientemente, donde k = O, ±i, ±2, ...
Para las funci ones e2 , sen z y cos z tienen lugar las fórmulas de Euler
efz = cos z + t sen z, e-tz= cos z - i sen z,
de donde elz+e-t z
cosz = 2
, eiz - e-tz
sen z= 2i
Las func.iones tg z y ctg z se determinan por las igualdades
t z -~ g - cosz ' cos z
ctgz=--, · sen z
Para las funciones t).'.igonométricas actúan todas las fói:mulas de tri­ gonometria.
4. Las funciones hiperbólicas sh z, ch z, th z, cth z se determinan por las igualdades ,..
sh z ez-e-z ez+e-z
(4) 2
chz=--2-- ,
sh z chz (5) thz=-h-' cth z= b:""""' e z s z
5. Las funciones trigonométrtcas e hiperbólicas se unen entre si por las relaciones siguientes:
sen z = -i sh iz, cos z = ch iz,
tg z = -i th iz,
ctg z = i cth iz,
sh z = - i sen iz, ch z = cos iz,
th z = - i tg tz, cth z = i ctg tz.
6. La función logarCtmica Ln z, donde z =I= O, se determina como función inversa a la exponencial, al mismo tiempo
Ln z = ln 1 z 1 + i Arg z = ln 1 z 1 + t arg z + 2kni
(k = o, ±1, ±2, ... ). (6)
'·. '
~_;...
( .. :
§ 2] Funciones de variable compleja 25
Esta f\tnci6n es multiforme: El valor principal Ln z se llama aquel valor que reciben para k = O; el se denomina In z:
In z = ln 1 z 1 + i arg z.
Es evidente que
Las relaciones siguientes son váli<las:
Ln (z1z2) = Ln z1 + Ln z2 ,
Ln ( :~) =Lnz1-Lnz2 •
7. Las funciones trigonométricas inversas Arcsen . z, Arceas z, . .Arctg z, Arcctg z se definen como funciones inversas correspondientes
a las funciones sen w, cos w, tg w, ctg·w. Por ejemplo, si z = sen w, entonces w se llama arco seno del
número z y se designa w = Arcsen z. Todas estas funciones son multi­ formes y se expresan a través de las funciones logarítmicas
Arcsen z= -i Ln (íz+ lf 1-z2); (7)
Arecas .z = - i Ln (z+ lf z2 - 1); (8)
- t 1+ tz Arctgz= -- Ln --· 2 f.....: iz '
(9)
· .· :::.
: . ·.__ Si tomemos los valores principales de las funciones logarítmicas ,;; · · -- correspondientes, recibimos los valores principales de las funciones ,...~\ ,. . t_rigoilométricas inversas arcsen z, arccos z, arctg z, arcctg z. :'> · 8. La funct6n general potencial w = zª, donde a= o;+ iP . es el ;i;: · j-¡úmero complejo cualq1liera, se determina por la igualdad -
i,:?:'~~eión, ~~ne<~, ~ ::::~:.~filtif~e; ru volo• p•indpal ~Plli~;,/. · ~ · .La fzmci~n general expo:iencial w = az (a =fa O es el numero ~~. ~t;i~º~~p~eJO cualqmera) se det.ermma por la igualdad "~··· .. :.>.:·:·;~;_. ~~ .¡:~ ~
aZ=ezLna.
~áloi· principal de esta función multiforme es az = ezln ª. :'f,~ §~parar la parte real e imaginaria de las funciones "g\Hentes: k:.)59. a} w = 2z - 1; h) w = z + z2; e) w = z-1. (j!-,. 'f • _,,
· :6,0; a) w = e-z; b) w = ez·; e) w =sen z; d) w - ·~p(z - t) .
~·1 , ..
26 Función de variable compleja [Cap. 1
61. a) w = 222 ; b). w = sh z; c) w = tg z.
Ejemplo 4. Hallar el valor del módulo de la función w = sen z en el punto
; z=tt+ t In (2+ lf5) .
· Soluci6n. Sea z = x + ty. Entonces
w = sen x ch y + t sh y cos x.
El módulo de la función sen z es igual a
1senz1 =lf sen2 x ch2 y+shª y cos2 x=
• =1f sen2 x ch2 y+sh2 y (1 - sen2 x)=V sen2 :z:+sh2 y .
Suponie~do. z=tt+iln(2+lf5), hallamos
2.
Este ejemplo muestra que la función trigonométrica sen z en la región compleja puede obtener los valores por mó~ulo más que unidad .
. En los problemas siguientes hallar el valor del módulo y · el valor principal del argumento de funciones dadas en los puntos indicados:
•62. w = cos z, a) Z1 = ~ + i In 2; b) Z2 = :ri + i In 2.
63. w = sh z, z0 = 1 + i ; . ·
64. W = ze2 , Zo = ni.
65. w = ch2 z, z0 = i In 3. 66. Hallar logaritmos de los números siguientes: a) e; b) -i; e) i; d) -1 - i ; e) 3 - 2i; f) ii . 67. Hallar:
1
a) ii; b) i i ; e) 1 i; d) ( -1) v 2 ; e) ( Jzi ) 2i ;
!J f) ( ~3 ++ r+í ; g) (1 - i)3-Si.
j .. , l '!
68. -H allar el módulo p y el argt~mento cp de l os números complejos: a) th ni; b) 1oi; e) 32 - t. . · ·
Funciones de var~able compleja
5. Escribir en la f6rma algebraica Arcsen § i. Solución. Suponiendo en la fórmula (7) z = ; i, obtenemos
aquí
) +ni+ 2kni J =
=(2k+1) n-~ In (~+V 1+ ~2 ) (k=O, ± 1, ± 2, ... )
Arcsen ~ i=-iLn(¡/1+ ~2
- ~ + 2kni J.=
=2kn-tln (V 1+ ~ 2
- ~) (k=O, ± 1, ± 2, ... ) .
Ejemplo 6. Escribir en la forma algebraica Arctg (1 + i). Solución. Suponiendo en la fórmula (9) z = 1 + i, obtenemos
A (i ') t L i+i (1+t) _.!. Ln _í _= rctg +i =·-2 n 1-i(1+t) 2 2-i ·
= - ~ Ln ( ·- ! + : i)
( 1 2 ) . -Ln - 5 +5t =-ln l/5+(2k+ 1)ni-tarctg2.
1 n i 11- Arct g (1 + i) = - 2 arctg 2 + (2k+1) 2 +2 1n 5
(k = O, ± 1, ± 2, ... ).
. .. ..... .
~i 69. a} e 4 b) In (1-t).
70. a) sen :n:i ; b) cos :rti; e)
71. a) ctg ni ; b) Arcsen i ;
72. a) Arccos i; b) sh ~t ; e) th ni.
Ejemplo 7. Resolver la ecuación sen z = 3. Soluci6n. El problema se reduce al hallazgo del valor
z = Arcsen 3.
z=Arcsen 3= --i Ln (3i+lf -8)
o, teniendo en cuenta que
obtendremos
z= -i [Ln (3-l(S) i],
arg[(3+lf8)i]=arg[(3-l/S)i]= ~,
1 (3+ lf8) i 1=3+ vs, 1 (3-lf8) i 1=3- lf 8, entonces
Ln 1(3 ± lf8) i] = ln (3± lf8}+ ~ t+ 2kni ,
donde k=O, ± 1, ± 2, ... Por consiguiente,
z= ~ +2ktt-tln(3±lfS) (k=O; ±1, ±2, ... ) .
Resolver las ecuaciones siguientes: 73. e-z + 1 =O. 74. ez + i =O. 75. 4 cos z + 5 = O. 76. sh iz = - i .
[Cap. 1
,_, ·
§ 9] L!mtte de sucest6n de los números complejos 29
§ 3. JLímite de sucesión de los números complejos. Límite y continuidad de una función
de variable compleja 1. Sea dada una sucesión. {zn} de los números complejos
ZJ , z2, • • . , Zn, • • •
Definición 1. El número complejo a se llama el lí mtte de una 1ucesi6n {zn}, si para f<Ualquíer número positivo e se puede indicar tal
. número N = N (e), empezando del cual, todos los elementos zn de .esta sucesión satisfacen la desigualdad
1 Zn - a 1 < 8 para n ;;;;,.. N, (1::) •
. La sucesión {zn} que tiene el límite a se llama convergente en el núme- . ro a que se anota en forma lím z,i = a. · .
fl-+00 .
A cada sucesión de los números complejos {zn} le corresponden dos sucesiones de los números reales {xn} y {yn}, donde z,.. =xn + iyn, n = 1, 2, . ..
Teorema 1. La sucesión {zn = Xn + iyn} converge en el número a = <X + i!) cuando y sólo cuando
lím Xn=a, lím Yn=~. n.+oo n, .... oo
... •. Definición 2. La sucesión {zn} se llama acotada, si existe tal número positivo M que para todos los elementos zn de esta sucesión · se cumpla la desigualdad 1 zn 1 ~ M.
Teornma 2. Cada sucest6n convergente es acotada.
Propiedades de las sucesiones convergentés de números complejos
Si lím zn =a y lírn 'tn =b, entonces n-+oo
1. lím (zn±'tn)=a±b; . n-+co
2. lím (zn't'n) = ab ; n ..... ao
3, lím .!!L= ba ('tn =fa O, b =fa O). n->oo 'tn .
:d:: Ejemplo 1. Demostrar que la sucesión >'.'.'., n-t ;¡'.':>\:).'.;··• Zn = n+:I. 9 n = 1, 2, ... ,
?.': ,~ffÚenefoomo el límite el número a = 1. --· '.·if :- Soluct6n. · Sea prefijado el número arbitrario e> O. Mostremos
·~~e;· existe tal número N que 1 zn - 1 1 < s cuando n ;;;:;. N. Puesto
'. .. :·:,·.· ·. .. c~~1 ::~
Función de variable compleja [C•p. 1 l :~~
lzn-1.1= 1 :+:-11=1 !!~ I= n~~ , por consiguiente, la dssígualdad lzn-11 <e ~21 <e, es decir, para n > ~2' -1. Que
calidad .de N se puede tomar
N=N(e).=[ ~'2 -1]+ ~.
1 J ~
Aquí el símbolo [x] significa la parte entera del número real x. Ejemplo 2. Dado que la sucesión {zn} tiene el límite a. Demostrar
que ,la sucesión { 1 Zn j.} tiene el límite igual ! a ¡ . Efectivamente, debido a que lím Zn = a, entonces
11.-+00
lím lzn- a l =0. -n-
De otra -parte, para los dos números complejos cualesquiera zn tiene lugar la desigualdad (véase la · página 14)
11 Zn l ~I a ll~ lzn- al. pe (1) y (2) obtenemos que -lim 1 zn 1 = 1 a 1 •
. 'n*~
' ¡
Condición suficiente de la · convergencia de sucesión de los números complejos
(1)
:;t
.Li Sea zn = Pneicpn, donde Pn = l·Zn 1, <Pn = arg Zn. Con eso, si _ -:; lím . Pn = p0, lím <fln = qi0, entonces lím zn = p0eill'o . n -+oo n-+-~ n ->oo
Ejemplo 9. Demostrar que
lím (t+_:..)n =ez, donde z=x+iy . n-+oo n
Demostract6n. Designemos
Zn=( t+ ~ r. Por consiguient'e,
lím lznl = lím 1 (1+.!... )nl-= fl,-t- 00 n~oo n
n n ·
... :.:·; ..
Limite de sucesión de los números complejos 31
<Pn = arg '( 1 + z 1 , · ) = arctg _ n __ = arctg--y-, • t+...=.. n+x
n
~/.._:"::~: '
lím <pn= lím narctg-+Y = y. 11-+oO 11-+oo n X
,;·. ' . . . . . . Utilizando la condición suficiente ·de la convergencia· de sucesión de
. los números complejos, obtenemos
lím (1+_:._)n =exeiY=eX+iY=ez. tt. -+oo n
que queda completamente demostrado .. . Ejeml!.lo 4. Demost~ar que .la sucesión
(-1)~ . in=arg--n-' n=1, i·;
Puesto que
... •.
Sea
tiene la forma n1 O, n , O,
~1::':;, 'don,de O< P.< 1, n = i, 2, .•. Hallar lím xn.
i~tf . Solu'":~ ~u:•,:m;~ p' ~ 2a + .. ~: p• ''"'na
~;t¡;'.)(\:y '~;x:aminemos el límite de sucesión de los números complejos t~}.\~: .. ~~~:~·:~~\.'_" ' ·. . F~f~ :;>'.z~~xn:+iyn=i+p (cos et+i sen et)+p2 (cos Zet+ t sen 2a) + ...
y
t:~i;·:~:<~~ .. :: .·~··.: ~ ;.-:_·· . ~~;¡Y<.::ik'r> .·· .. · ••• + pn· (cos not + i sen nrx). ,;·1!:l fll' '· ... ~. •.·· .·• . . •
11J'.L~'t:.§J;IPOngamos ~ ., .. ... . .•··~"J.. . .
. . t = ·p (cos c:t + i sen a;), 1 t 1 =p < 1.
32 Funci6n de variable compleja [Cap. 1
Utilizando la fórmula de Moivre y la fórmula de la suma de progresión geométrica, obtenemos
y puesto que 1 t 1 < 1, entonces
l . 1- 1 lm zn,- -1--.
n ..... oo -t
1 n->oo 1-t 1-p (cos a+i sen a)
1-pcosa 1-pcosa - - ----'----......,..- (1- p cos a.)2 +p2 sen2 a 1-2pcosa+p2
Suponemos que tenemos la sucesión {zn} de los números complejos
Si para cualquier número grande M > O existe tal número natu­ ral N que todos los términos z11 de sucesión con los números n > N satisfacen la desigualdad 1 z~ 1 > M, entonces se dice que la sucesión f~n} converge en punto infinito o más simple, en el infinito y escriben hm Zn = oo.
n-+oo Completando el plano de la variable compleja con tal introducido
punto infinitamente alejado z = oo, obtenemos el plano extendido de la variable compleja.
El entorno del punto infinito se llama el conjunto de todos los puntos z que satisfacen la desigualdad 1 z 1 > R (adjunto con un punto infinitamente alejado),· es decir, conjunto de todos los puntos z que se encuentran fuera del círculo con el centro en el origen de coordena­ das del radio R suficientemente grande.
Hallar los límites de sucesiones siguientes;
1 ~ ¡¡
84. zn=(1+3ir.
i 88. Zn ~~ n sen-;;- •
89 nn • nn • Zn = n cos - 2- + m se:ti - 2- •
83.
85.
87.
90.
l l
§ 8) Límite de sucesi6n de los números compl ejos 33
91 . Se sabe que límzn=oo, Zn=Xn+iYn• n-oo
¿Qué se puede decir de la existencia de los límites de sucesi.o­ nes {xn} y {Yn} para n-+ oo?
2. Defin ici6n 1. El entorno del punto z0 del plano de la variahlf! compleja z se llama cada región que contiene este pun to; o-entorno <lel punto zQ se llama el conjunto de t odos los puntos z que se encu entran dentro del círculo del radio o con el centro en el punto z0 , es decir, ·el conjunto de todos los puntos z que satisfacen la desigualdad 1 z-zo 1 < < o.
Sea la función f (z) determinada en cierto entorno Q del punto z0,
menos puede ser, el mismo punto z0 •
D efinici6n 2. El número A se llama el límite de la funci6n f (z) en el punto z0 , si para ·cualquier número e > O se puede indicar t al .núnrnro o = o (e) > O que para todos los punt os z E Q que satisfacen l a condición O < 1 z - z0 1 < 6 se cumple la desiguald ad
J f (z) - A J < B. ·.f.'.· · En este caso escriben
:l¡I] · Se •upono aquí que ' • }7~~·:: ;~'º' lin'1" del plano wm- -~ plejo. ·
'.;_,! Citamos una definición más del límite de una función en el punto. f:\ Sea la función f (z) determinada en ciert o en torno Q del punto z0 ,
:~~.-: : salvo puede ser el mismo punto z0 •
·lí:-t: Definici6n 3. Sí p ara cualquiera sucesión {zn}, Zn i= zQ que x~':;. COnVerge en el punto Zo, la SUCeSiÓll COl'l'eSpondíente de Valores de Ulla
·1· ·~ .. \·'.· .. '. .. ·.·.·_º··.·· función {! (z11)} converge en el mismo número complejo A,. este número ; ;;;:;,,_A se llaman el límite de la función f (z) en el punt o z0 : ·
:~~-.• ·• Iírof(z)=A. ~ ~~V· :,_ · . z-+zo · ·,:::; Aquí no se presupone el finito de z0 y A. · '. \{ La existen cia del lím f (z), donde
'. t~~-- . f (z) = uz;,z 0
y) + iv (x , y) , zo = .?:o + iyo .
es equivalente a l a existencia de dos límites lím u (x, y) y lím v (x, y) ;
X -+ Xo X-+ X o
l/""llo lJ-+lJo
eso lím f (z) = lím u (x, y) + i lím v (x, y) . z-.. zo x-.. XO !t -toXo
'·' : ' •'·'. · . .. .. . .. .: ., ~- ., ,., .. ,,, .•. · . . . '-¡-..
[Cap. 1:~
lím [f (z):g~(z)] = AB z-+-zo
ll'm f (z) =~ B O () B ' =f=-. Z-+ZO g z
·i\ .'i
Definici6h 4. Función f (z) prefijada en el dominio D se llama , continua en el punto z0 E D, si ·
lím f (z) = f (zo). z...- zo
En otras ;palabras: la función f (z) es continua en el punto Zo , si para cada numero 8 > O se puede indicar tal número ll = 6 {e) >O · que para todos los puntos z E D que satisfacen a la condición :_ 1 z ·- z0 1 < 8, tiene lugar la desigualdad 1 j (z) - f (z0) 1 < e. •·. · Para la continuidad de función de variable compleja
f (z) = u (x, y) + tv (~, y)
en el punto z0 = x0 + ty0 es ·necesario y suficiente que sus partes .'~ real e imaginaria, es decir las funciones u (x, y) y v (x , y) , sean conti- : nuas en elpunto (x0 , y0) por el conjunto de variables x y y. :'
Definición 5. La función f (z) de variable compleja se llama : continua en el dominio D, si ella es continua en cada punto de este ·:. dominio. '
La suma, diferencia y el producto de dos funciones _de variable _ compleja f (z) y g (z) que son continuas en el dominio D también son '
funciones continuas en este dominio, y la función~~;) es continua en ·:
aquellos puntos del dominio D, donde g (z) -4' O. - Si la función f (y) es continua en el punto z0, y la función F ('i')
es continua en el punto -r0 = f (.zo), entonces la función compuesta . F [f (z)l es continua en el punto zo·
Ejemplo 6 . Sea dada l a función lineal
w = f (z) = az + b,
donde a y b son las constantes complejas. Demostrar que en el punto : z0 esta función tiene límite igual a w0 = az0 + b, a -4' O. ·
Demostraci6n. En realidad, tomemos un número arbitrario e > O. Puesto que
1 j (z) - w 0 1 = 1 (az + b) - (azo + b) 1 = 1 az -- azo 1 --
. =l a l·l z -zol,
, ,
obtendremos 1 f (z) - w0 1 < e para O < 1 z - z0 1 < 6. Esto signi- :• fica que w 0 = az0 + b es el límite de l a función f (z) = az + b en < el punto z0 •
Por lo que lím f (z) =:= az0 + b = f (z0) ,
Lfmtte de :nicest6n de los números complejos 35
;,,\'entonces queda demostrado que en cada punto z0 la función lineal es ~:c.' continua. i?;¿:· :.: :, Ejempla 7. Mostrar que la función w = z2 es continua para cual-
·~:,, . qµier valor z. · .;; .. )>·.: · . Solnción. Tomemos un punto arbitrario z0 y un número arhitra­
~¡t.r'.(:l\j rio .s > O. Puesto que el valor de la función f (z) = .zª en el pu!lto z0 ~
1 ~?;¡,~.;:"·:.:,.}_:'; es · ·1gual a f (Zo) = zg, entonces mostremos que extste el numero . '{J ;'?, 6 (e)> O tal que 1 z2 - z3 I < s para 1 z·- z0 l < 6. 'r.;1;\~'.~>·- Si z -+ z0 , entonces se halla t al número · M > O que l z l < M
f.1'M:;::J:\Y 1 zo 1 < M. Entonces ~::·~~~::~\ :·~ ..... · i . ~;:'; · ;: Jz -z~I = 1 (z + z0) (z - zo) 1
~[~J1f::-° > = 1 z + Zo 1 • I z - Zo 1 < (1 z 1 + 1 Zo 1) 1 z - Zo 1 < < 2M I z-zo [.
8 suponemos a = 2M ' entonces de la desigualdad 1 z - Zo 1 < 6
sigue que 1 zª - z~ 1 < 2M 6 ~ e,
·. • es decir , para cualquier Zo la función W ·= z2 eS Continua.
Utilizando la definición del límite, .mostrar que
92. lím 2z++ 2 1
= 1. 93. lím lz 1 = 5. z->1 Z Z->3-U
· . Calcular los límites siguientes:
. 94. lím z2 + 3iz- 2 95 l' cos 2z z-..-t z+i •
11!! ehiz+ tshiz ~ z...,.T
;:~; , ,· ·· .. 96. lím~ 97 lím eªz+f ~}: ,, ... :z->O sh tz • n ez+i •
itx~: ~ z~-21 ~\\./ .- Demostrar que las funciones siguientes son cont inuas en ~~,,:~~~:;:todo el plano complejo: [~-t · ;'_ . 98. f (z) = z. 99. f (z) = Re z. 100. f (z) = Im z. ''"·;::<L< > 101. P n (z) = a0zn + a1zn -1 + ... + an, donde ak (k =
>i\' • .. O, 1, .. . , n) son las constantes complejas.
;;;;~SF:' 102. Demostrar que la función racional R (z) = ~~:~ , f¡;::';-dpnde P (z) y Q (z) son polinomios, es continua en todos los S~li_puntos del plano complejo z, en los cuales Q (z) ;;;fo O.
·;~ ;: •: 103. Mostrar que fa función w = ez es continua en todos l()s :.Plintos del plano complejo.
.• º ' •" '•-••~ • . ..,, .. , '• M" '·~"'-' ''I '• " " ... • · '' "'"· '· ' ' ••.•••~
36 .Fnnci6n de variable compleja [Cap. 1
§ 4. Diferenciación de funciones de va:D.'iahle compleja. .
Condiciones de Cauchy-Riemann Sea la función u; = f (z) determinada en cierto donünio D de la
variable compleja z. Sea que los puntos z y z + t!:.z IJertenecen al do­ minio D. Designemos
t!:.w = f (z + tiz) - f (z), tiz = tix + itiy.
Definición 1. Función w = f (z) se llama diferenciable en el
punto z E D, si la relació11 t.w tiene el limite finito para L'.z que t iende tiz
al cero de un modo arbitrario . Este límite se llama la derivada de la función f (z) en el punto dado z y se designa por el símbolo f' (z)
· (o w' o ~;) , entonces según la definición
/ f / ( ) . l ' tiw w = z = lfil -- . ti.z-o tiz
(1)
Si z = x + iy, w = f (z) = u (x , y) + iv (x, y), entonces en cada punto de diferenciabilidad de función f (z) se cumplen las rela­ ciones
íJ¡¿ ov a;-=a¡¡, (2)
·~ ~1
:t. -:,t t l r i r ! r.
•í 't: t .~
rf que se llaman condiciones de Cauchy-Riemann. . 1'
A la razón inversa, si en cierto punto (:r, y) las funciones u (:r, y) ·.'..~:-~,;:··· y v (x, y) son diferenciables como las funciones de las var iables r eales , x y y y, además, satisfacen las r elaciones (2), entonces la función ·· j (z) = n + iv es diferenciahle en el punto z = x + iy como la función ·t ele la variable compleja z. 'i
Definici6n 2. Función w = f (z) se l lama analítica en el punto '\~ dado z E D , si ella es cliferenciable tanto en el mismo punto z, como . . ;t en su cierto entorno. La fullción f (z) se llama analítica en el dominio D, .~~ si es diferenciable en cada punto de este dominio. Para cualquier a {.! función analítica f (z) tenemos '[~
I éhi QI) QI) , OU OU , OU QI) . fJv (3) ¡ (z) = ax+i Di=a¡¡-i a¡¡=o;:- i ay=a¡¡+i Tx.
Ejemplo .1 . Mostrar que la función w = ez es analítica en todo el plano complejo.
Soluci6n. Tenemos ez = ex cos y + i sen y), entonces
u. (x, y) = ex cos y, v (x, y) = ex sen y.
',¡".
.. ·. ;·· =
;·· .- .
. § '4] Condiciones Cauchy-Riemann 37
Por .consiguiente, la función w = ez· es analítica por doquier. En virtud de la fórmula (3) obtenemos P,ara f (z) = e:r.
(ez)' = (ex cos y):{,,+ i (ex sen y)~ = ex (cos y + i sen y) = ez.
Pues ( ez)' = eZ.
Ejemplo. 2. Si es la función w = zz analítica por lo menos en un pli.nto. · · · · · ·
Soluci6n . Tenemos z'Z = ,,2 + y~ así que u (x, y) = x~ + y~, v (x, y) l"!':! O .
Las condiciones de Cauchy-Riemann en este caso tienen Ja forma
2x=0} 2y=0
y satisfacen sólo e.n el punto (O, O). Por consiguiente, la función w = zz es diferenciable únicamente
en él punto z = O y no es analítica en ninguna parte. Mo:;tremos, utilizando l a definición 1, que la función · f (z) = zz
es diferenciable en el punto z = O. Al mismo tiempo f (O) = O, l)Or eso
M = f (O + 6.z) - f (O) = 6.z • 6.z y
M · 6.z·i'i lím -= lím ti.z-+O bz ti.z ..... o !:,.z
lím .6.~= lím (bx-Ay)=O. Ll.z-o Lix-+-O
Ll.y-+-0
De tal modo, la· derivada j' (O) existe y es igual a cero. Ejemplo. S. ¿La función w = z =- x - i y es analítica o no?
· Soluci6n. Aquí u (x, y) = x , v (x, y) = - y en todas partes son . .. las funciones d:iferenci.ables de variables :e y y, Más
fJu -1 fJu =0, ~=O, ~=-1. Jx · - ' fJy · ax ay
. . fiu av . . . . . Por cons1gmente, ;;- =!= :;- , es decir, la primera de las cond1c1ones
. u X uy · · '. ! . · .de Cauchy-Riemann no se cumple en ningún punto del plano complejo . . ~/; .. Lo que significa que . la función w = z no es diferenciable en ;'b ninguna parte y, por consiguiente, no es analítica. %: .. ::-'.< ' ~~~, : '.?. .. / Utilizando las condiciones de Cauchy- Riemann, acla­ ~ ''iZ:i::r.ar ~uáles funciones de las siguientes son analíticas por lo
;
\·w: .:_ ¡ z 1 Re z; f) w = sen 3z - i. ~'.~t05. a) w = z Re z; b) w = z Im z; e) w = 1 z ! Im z; · ·}!ti . . ch .z. . · -~h' Mostrar que en el dominio Re z > O w = ln z es ·
'rtción analítica.
. · '~1..,~. ,.:-~
i07. Mostrar, utilizando el cálculo directo que para n natural
(zn)' = nzn-1, 108. Mostrar que si las funciones analíticas f (z) y cp (z)
satisfacen l a condición · f' (z) = (j)' (z} , entonces f (z) -= = cp (z) + const.
109. Mostrar que pasando de l as coordenadas cartesianas ' (x, y a coordenadas~polares (p, cp) las condiciones de Cauchy­ Riemann (2) obtienen la forma
(4)
110. Mostrar que si la función analítica w = j (z) en cierto dominio es real, entonces esta función es const ante.
H 1. Mostrar que si la función f (z) = u (x, y) + iv (x, y) es analítica· en el dominio D , entonces en este dominio se cumple la igualdad
ou J.!!_ .J_ .2!::_ ~ = o ox Ox 1 ay ay ·
112. Sea f (z) = u (x, y) + iv (x , y) la función analítica en el dominio D. Mostrar que las familias de líneas u (x , y) =
· = const y v (x, y) = const son ortogonales. 113. Mostrar que el módulo y el Argumento de la función
analítica f (z) = R (x, y) ei~C:.:, 11>
se conectan por las relaciones
:~ ··~ .,
• !•
parte ima~naria v (x, y) (véase [17]). . Ademas, la función analitica f (z) en el entorno del punto z0 se ,
puede reconstruirla a partir de una de las fórmulas siguientes ' (véase · '' [10]):
f (z) =2u ( ztzo ' z-zo) -_2_i _ ·-Co. (5)
f (z) =2tv ( ztzo , -z-zo) - (6) _2_t_ +co,
donde e es el número conjugado para Co = f (z) y z es el número CQU- jugado para z0 • · · ·
Condiciones Cauchy-Riemann 39
( . ·Ejemflo 4. Hallar la función analítica w = f (z) a partir de su .'Párte rea cónocida u (x, y) = 2ex cos y y con la condición comple­ T:)nentaria t (O) = 2.
.... . . . Soluci6n.. Primer procedimiento. Tenemos~: = 2ex cos y. A partir
~{;: .· '. -de las condiciones de Cauchy-Riemann debe ser :~ = =~ , entonces,
~:~;. :·:~ = 2ex cos y. De aquí v (x , y) = J 2ex cos y dy = 2e" sen y + i';(( + qi (x) , donde la función cp (x) no es conocida por ahora. Diferen­ ¡t; ,-. , ~ ~iando v (x, y) a partir de x y utilizando la segunda condición de las !?·'· ·' condiciones de ;cauchy-Riemann, obtendremos
{}u, 2e:JCseny+cp'(.x)=- i)y =2eXseny,
;:;> . de donde q/ (x) = o y, por consiguiente, cp (x) = e, donde e = ~~.:.:;:· . i.= .Const .
. ·.Pues, V (x , y) = 2eX sen y + e, y por consiguiente,
f (z) = 2ex cos y + i (2ex sen y + C) = 2ez + iC.
Hallamos la constante C de la condición f (O) = 2, es decir, .2eº + iC = 2; de aquí e = o. Respuesta : f (z) = 2eZ.
~- · Segundo procedimiento. Utilizemos la fó1•mula (5). En nuestro !;;': : · ejemplo u (x , y) = 2ex cos y , z0 = O, C0 = 2. Por consiguiente, en ;;:.; .. , . . . . z ~;. , virtud de la fórmula (5) obtendremos f (z) = 2 ·2eZ/2 cos 2i - 2.
f~~· /?tilizando que cos 2~ = cos ( - ~) = :ch i , obtenemos definitiva­
i$\\: mente f (z) = 2ez. !']¡/ , ' Ejemplo 5. Hallar la función analítica w = f (z) por su parte i~i" . >imaginaria conocida u (x, y) = 3~: + 2xy para la condición que t~:-V< I (-t) = 2. ¡<~u: / Soluctón . Utilizemos la fórmula (6). En nuestro ejemplo v (x, y)= t~.<< = 3x + 2xy, z0 = - i, C0 = 2, por consiguiente,
!~~· \ f (z) = 2t ( 3 z t ! + 2 z t t . z 2t t ) + 2 = 3iz + z2.
i'~¡•i'.': . R econstruir la función analítica f (z) en el entorno del ~h/ punto z0 a part ir de l a par te real u (x , y) o de la parte ima­ ~W,,)_ giilari a v (x , y) y del valor f (z0) :
\\:(,' · . X 1 t;;'> ' .1f4. a) U= 2+ 2 , /(rt) = -; ~': '. X • y :rt 0~::6; ·; ·-·.
h) v "= arctgL (x> O), / (1) = 0. X
e) u = x2 - y2 + 2x, f (i) = 2i - 1.
115. a) v = 2 (ch x sen y - xy), f (O) = O; b) u = 2 sen x ch y - x, f (O) = O;
40 F unción de variable compleja
e) v = 2 (2 sh x sen y + xy), f (O) = 3 . . 116. a) v = ......:2 sen 2x sh 2y + y, f (0) - 2;
b) v = 2 cos x ch y - x2 + y2, f (O) = 2.
[Cap. 1
Definición 3. La función cp (x, y) se Barna armónica en el domi­ nio D, si tiene en este dominio las derivadas parciales continuas hasta el segundo orden in'clusive y si satisface en este dominio la ecuación de Laplace
a2cp a2cp ox2 + ay2 = 0.
Si la Iunción f (z) = u + tu es analít ica en cierto dominio D, entonces su parte real u (x, y) y la parte imaginaria v (x, y) son las funciones armónicas en este dominio.
Sin embargo, 'si u1 (x, y) y u1 (x, y) son dos .funciones armónicas cualesquiera, entonces la función /1 (z) = ¡¿1 (x , y) + irJ1 (x, y) no es obligatoriamente analítica: para la analiticidad de f 1 (z) es necesario que las funciones u1 y v1 11atisfagan complementariamente las condi- ciones de Cauchy-Riemann. ·
Dos funciones armónicas que satisfacen las condiciones (2) se llaman un par conjugado de las funciones armónicas (es importante el orden de las funciones en el par).
117. Mostrar que l as funciones siguientes son armónicas:
a) U=x2+2x ....:.y2· b) u = 2excosy· . e) u = x • ' • x2+y2 '
<lY U = - x~ ~ yi ; e) u =e1rctg ~; f) u = ln (x2+ y2).
118. ¿Pueden ser las partes real o imaginaria de una función analítica f (z) = u (x, y) + iv (x, y) las funciones siguientes?
a) u = x2 - y2 + 2xy; h) u = x2 ; e) v = ln (x2 + y2 );
x2 +1 d) V= - 2- y 2.
119. ¿P ara. qué condiciones el trinomio u= ax2 + 2bxy -1'­ + cy2 es l a función armóniCa?
En los ejemplos siguientes se dan los pares u (x, y), v (x, y) de funciones armónicas . Hallar entre ellos los pares conjugados de las funciones armónicas .
120. a) u = 3 (x2 - y 2
) , v = 3x2y - y3 ;
b) U = x V = ___ Y_· x2+y2 ' .cª+v2 '
e) l/, = x, v = -y; d) .u =e"' cos y + 1, v = = 1 + ex sen y.
§ 4] Condiciones Cauchy-Riemann 41
121. Sea la función u (x:, y) armónica en el dominio D; donde esta función tiene las derivadas parciales continuas di) cualquier orden. Mostrar que las últimas serán también · funciones armónicas en el dominio D.
122. Sea la función u = u (x, y) es armónica en el domi­ nio D. H allar todas las funciones f, para las cuales la función f (u) será también armónica en el dominio D.
í23. Sea analítica la función w = f (z) en el dominio D. ¿Qué funciones de las siguientes
a) 1 w I; b) arg w; c) In 1 w 1 serán armónicas en el dominio D?
i 24. Demostrar que el producto de las funciones conjuga­ das armónfoas en el dominio D u (x, y), v (x, y) será la fun­ ción armónica en el dominio D.
125. Sea u = u (x, y), v = v (x, y) un par conjugado de las funciones armónicas en el dominio D. ¿Cuáles de Jos pares siguientes de funciones
a) Au - Bv, Bu +Av, A, B - const; b) u2
- v2 , uv;
c) eu cos v, eu sen v serán las funciones armónicas en el dominio D?
Ejemplo 6. Hallar todas las funciones armónicas del tipo u= =. f (x2 + y2) que se diferencian de la constante.
Soluci ón. Puesto que las funciones buscadas deben ser armónicas, estas funciones deben satisfacer la ecuación de Laplace
(7)
Sustituimos la función dada en la ecuación (7). Para eso hallemos sus derivadas del segundo orden. Supongamos t = x 2 + y2• Entonces obtendremos u = f (t), donde t = t (x , y). A partir de la regla de difer enciación de la función compuest a hallamos
~=!' (t) !.!... !.!!:.=t' (t) !!_; ax f);¡; ' ay ay
a2u = f" (t) (!!. )2 +t' (t) a2t . 8x 2 EJx fJx2 '
(72¡¿ =f" (t) (!.!.. )2 + f ' (t) ()Z t • f)y2 f)y f)y2
dos últimas igualdades , obtenemos
[ ( ~)·2 -1 (!!..)2 ] f" ( t)+(~+~)W (t) = O . ax r a y 8x2 f) y2 •
tf" (t ) + t' (t) = o.
42 Función de variable compleja
Para hallar la función f recibimos la ecuación de Euler t2j" (t) + t/' (t) = o,
la resolución general de la cual es la función f (t) = C1 In t + C2 , C¡, C2 son const.
·Pues, las funciones armónicas buscadas tienen la forma
u= f (x2 + y2) = C1 In (x2 + y2) + C2 •
[Cap. 1
En los problemas siguientes hallar!todas las funciones armónicas del tipo indicado:
126. x = f (ax + by); a, b son constantes.
127, U=f (xy). 128. U=f ( ! ) . 129. u= f (x2-y2) . 130. u= f (x+ V x 2 +y2).
131. U=f ( x2~y2) •
Sentido geométrico del módulo y argumento de la derivada
Sea la función f (z) analítica en el punto z0 y!' {z0 ) =/= O. Enton­ . ces 1 f' (z0) 1 es igual al coeficiente del estiramiento en el punto z 0 para la aplicación w = f (z) del plano z en el plano w; más exactamen­ te: para ! f' (z0 ) l > 1 tiene lugar el estiramiento y para 1 .f' (z0 ) ! < 1 existe la contracción. ·.
El argumento de la derivada t' {z0) geométricamente es igual al ángulo en que es necesario girar la tangente en el punto z0 , a la. cual­ quiera curva lisa en el plano z que pasa por el punto z0 para recibir la dirección de la tangente en el punto w0 = f (z0) a la imagen de esta curva en el plano w para la aplicación w ·= f (a). Es comprensible que si cp = arg /' (z) > O, entonces el giro se realiza de derecha a la iz­ quierda y para cp < O, en sentido horario.
Ejemplo 7. Hallar el coeficiente ele estiramiento y el ángulo del giro para la aplicación W = z2 en el punto Zo = -V2 + i 11:r:
Solución. Tenemos w' (z) = 2z, por consiguiente,
w' 1 = . ,/ñ:....2.1/2+ t2 lf2. Z= ]'2+i r 2
Pasando de la forma algebraica del número complejo 2 1/2 + + i21f 2 a la forma trigonométrica, obtenemos
2 1(2+ t21f2=4(~2 +t ~2 )=4(cos ~+ t sen :).
Por consiguiente,
:n; arg f' (z)J =-. . i=l~+i~ 4'
Condiciones Cauchy-Riemann 43
el coeficiente de estiramiento r = 4 y el ángulo del giro :n;
4· Hallar el coeficiente de estiramiento r y el ángu lo del
<p para las aplicaciones prefijadas w = f (z) en los dados:
en los puntos z1=In2 + i ~ y z2 =
- 1 - i ~· 2 '
b) w =sen z en los puntos z1 =O y z2 = 1 + i; c) w = z3 en los puntos z1 = 2 - i y z2 = 1 + i ~. Aclarar que parte del plano complejo se estira y
contracciona si las aplicaciones son siguientes: 1
a) w=¿:; b) w=lnz; e) W=-; d) w=zª. :a:
Si la función w = f (z) es analítica en ci~to dominio D, aplica
biunívocamente este dominio en el dominio D, entonces la curva L
.que se encuentra en.el dominio D aplica en cierta curva L en el .pla­ •uo w, la longitud de la cual es igual a
lw=) lf' (z)l !dzl . (8) L
El dominio D en el plano z pal'a la aplicación w = f (z) pasa en el
. dominio D en el plano w, al mismo tiempo el área del dominio D se expresa por la fórmula
S~= H 11' (z)! 2 dxdy. (9) D D
De t al moclo, ¡ !' (z) l 2 es igual al coeficiente de la desfiguración área para la aplicación w = f (z). Ejemp lo 8 . El pun to z = x + iy traza el segment o
:r = 1, -1 ~ y ~ 1. (10) ¿Cuál es la long·itud de la línea que se recibe para la apli cación de este
. segmento mediante la función w = z2? Soluct6n . Primer p rocedim,iento. Tenemos w = z2 o ._,,-~-.,, .
u + iv = x2 - y2 + i2:i:y ,
{ u = x2-y2, V= 2Xy ,
evidente que en la línea (1. 0) vamos a tener
{ U= i-y2,
44 Firnct6n de va1'iable compleja [Cap. 1
al mismo tiempo para el cambio y de -1 a + 1 v se cambia de -2 hasta +2. De (11) obtenemos la ecuación de parábola
v2 U:od-4 (fig. 3) (12)
La longitud del arco A I B' C' de la parábola (12)" 2 --- 2 ......
lw=2 j' V 1+ ~ 2
dv= J V4+v2 dv=2V2+ln (3+:q/2) .
11
o
lw= ~ lf' (z)l l dz [ = L
j2z l j azJ =.:. 1 ·
= J J V 1 + yz ay= L -i
i .
=4} V 1+if2 dy=2}/ 2+In(3+2 l/2). o E jemp lo 9. Calcular el área del do­
minio en el cual se transforma para la aplicación w = ez el cuadrado
a - e~ x ~a+ e,
- e ~ y .:;-;;; e (fig. 4)
(a es real, O < e < n,
z =x + t¡¡).
·calcular el límite de la relación de las áreas de estos dominios :>
cuando e-+- O. Soluci61i. El prtmer p1'ocedimiento. Tenemos w = ez = ex+ty = ,;
= e"'eLlJ o w = petc¡¡ , donde p = ex, cp = y . De tal modo, en el caso _::': de la aplicación w = ez en el _plano w obtenemos el dominio limitado <_; por dos rayos arg w = - e y · arg w ·= s y por los ar cos de las dos cir- " cunferencias p = ea-e y p = ean (fig. 5). El área del dominio aplicado será igual a ·
e é +e
-e a-e e
Segundo procedimiento . Utilizando la fórmula (9), tenemos
S w = J J ¡ f' (z) ¡ 2 dx dy = J J e2x dx dy = ·· · D D
a+e e
. !/
/:-- ---------------
w e i-- - - - - - _ _ .__ ______ _.
Fig. 4
Es evidente que el área S z del dominio D es igual a S.,, = 4e2 ,
por eso
"'.: . ; ···
~ ~t:· ·: '134. Hallar el área de imagen del cuadrado D {O ~ x ~ 1, ¡, .?r~'.;, · .O ~ y~ 1} para l a aplicación w = z2 y l a longitud de su ~ .. . ;·;:: frontera.
C;t 135. Hallar el área de imagen del rectángulo
P{O<x1~x~x2< ~ ,O<Y1~Y~Y2< ~} T:J>ill'a. la aplicación w = cos z. t '~>; '136. Sea z que circunscribe el dominio definido por l as ','~ondiciones
.. ~ 1~izl~2,
<Hallar el área del dominio recibido al aplicar w = z2 •
.. )3'.7. Hallar la longitud L de l a espiral en que mediante '.é)únción w = ez se aplica el segmento y = x , O ~ x ~ 2n . . .... f
46 Fiznción de ·variable compleja
138. Hallar el dominio P w en el cual la función w = ez aplica el rectángulo P {1 < x < 2, O< y< 8}. Calcular el área del dominio P w mediante la fórmula (9) y explicar, porque esta fórmula da un resultado falso .
u.
Fig. 5
139. Hallar el área de una figura que se obtiene aplicando triángulo limitado por las líneas x = O, y = O, x + y = 1 mediante la función w = 1 + iz.
§ 5. Integración de funciones de varialble compleja Sea una función unívoca f (z) determinada y continua en el domi­
nio D y C, una orientada curva suave a trozo::<, cerrada o no que se encuentra en D.
Sea z = x + iy, f (z) = u+ iv,
donde u= u (x, y), v = v (x, y) son las funciones reales de las va­ riables x y y.
El cálculo de la integral de la función f (z) de la variable compleja z reduce al cálculo de las integrales curvilíneas, es decir,
~ f (z)dz= i udx-vdy -t- t j vdx-t-udy. {i)
e e e
La integral J f (z) dx, en r asgos generales, depende del modo de e
integración C.
Integración de funciones 47
Si f'(z) es la función•analítiCa"en el .dominio $implemente conexo 1J; entonces la integral no depende del !nodo de integración. En este
) f(z)dz= O. L
, donde L es un contorno cerrado suave a trozos en el dominio D. Si la curva C está prefijada por las ecuaciones paramétr icas
X = X (t) 1 y = ¡¡ (t) . y los puntos inicial y final' del arco C corresponden a los ...:·al ores ·del parámetro t = t 0 , t = t1 , entonces
ti
) f (z) dz= J [z (t)] z' (t) dt, (2) e to
~: .. -.. Z (t) = X (t) + ly (t).
:>: , ·. · Si la función f (z) es analítica en el dominio simplemente conexo D V , _ c¡ue contiene los puntos z0 y .z¡, entonces tiene lugar la fórmula de i{' Neuton-Leihniz :: : • . Zi
) f (z) dz = <I> (z1) - cD {z0) = <I> (z) 1 ~~, (3)
zo :::: ·· .donde <I> (z) es alguna primitiva para la función f (z) , es decir, ~~~ .. ~;:
~ ~
J f (z) cp' (z) dz ==; (f (z) cp (z)] 1 ~~ - J cp (z) f ' (z) dz. ~L2:;'_·;~ .. <)'i , zo zo ~(> . La sustitución de variable¡¡ en integrales a partir de las funciones ~): ,, de variable compleja se reali7 a análogamente al caso de la función l Lf: -~.· -d~ la variable real. Sea la f1 nción analític.a z = cp (w) que aplica ~'~< .:biunívocamente el contorno C1 en w-plano en el contorno G en z-rt. :.~lano. Entono"' í t (>) d• ~ í f[ ~ (w )j ~ • (w) dw.
E>·· o C1 ~;f> S! el modo ~le integración. es semirrecta que sale del pun~o. zQ o es la ·· _- circunferencia con el centro en el punto z0 , entonces es ut1l llacer la
;~ ,' sustitución de la variable del tipo '"~'~/~-~- .
z -- z0 = peiq>.
(-g<En primer caso <p = const, y p es la variable real de integración, - :~,eµ segundo caso p = const y <p es la variable real de integración.
48 Función de variable compleja
Ejemplo 1. Calcular la integral
) (1+ t-2z) dz e
[Cap. 1
por líneas que conectan los puntos z1 = O, y z2 = 1 + i , 1) por la recta; 2) por la parábola y = x2 ;
3) por la quebrada z1z3z2 , donde z3 = 1. Solución. Reescribiremos la fu~1ci6n subintegnl en forma
.1 + i - 2z= (i - 2x) + i (1 + 2y) .
Aquí u = 1 - 2x, v = 1 + 2y. Utilizando la fórmula (1 ), obtenemos
J<1 + i-2z) az= )(1-2:r.) d:r-(1+2y) ay+ e o
+i J (1+2y)dx+(1;-2x)dy. e
1) La ecuación de la recta que pasa por los puntos z1 = O y z2 = = 1 + i es y = x, O~ x,.,:;;; 1, y por consiguiente , dy = dx. Por. eso
1
e o i
-\-i J [(1 + 2x) + (i 2-r)] dx = 2 (i-1). o
2) Para la parábola y = x2 tenemos dy = 2x dx (O,.,:;;; x,.,:;;; i) Por consiguiente,
1
) (1+ t-2z) dz= )l1-2x- (1+2x2) Ú] dx+ e o
1
-t--i J [1+2x2 +(1-2x)2x] dx = -2+ ; t. o .
3) En el segmento z1z3: y = O, dy = O, O ~ x,.,:;;; i. En el seo-­ mento z2z3 : x = 1, dx = O, O ~ y < 1. Utilizando la propiedad de · linealidad de las integrales curvilíneas, obtenemos ·
j (1+i-2z)dz = j (1+t-2z)dz+ f (i+i-2z)dz= o ~~ ~~
1 . 1 1 1
· ... ¡· ···:.::·
:¡·· :;...
§ 5] Integración de funciones 49
Este ejemplo muestra que la integral de la función continua pero no analítica depende, en general, de la forma del modo de integra­ ción.
Ejemplo 2. Calcular la integral
) (z2 +zz)dz, e
donde C es el arco de circunferencia 1 z 1 = 1 (O ~ arg z ~ .n:) . Soluci6n. Supongamos que 'z = eifP, entonces dz = iei'P d<p y
n n
~ (z2 + zz) dz = ) teirp (é2fP + 1) d<p = iJ (é3C!' + ei<P) d<p = e o o
= ( ! ei3rp+eiq¡ )j; = _ ~ .
Ejemplo 3. Calcular la integral J e; dz, donde C es el segmento
e de la recta y = - x que conecta los puntos z1 = O y z2 = .n; - i:rr.
Solución. Las ecuaciones paramétricas de la línea C son
o en la forma compleja X = t, y= -t
z = t - it,
donde la variable real t se cambia de O hasta :n:. Empleando la fórmula (2) obtenemos
¡¡,. n n
~·; J ez dz = J et+it (1- !) dt= (1-i) J eCl+iJ t dt=
~~t;--.,:: e =º¡+! ect+i¡t¡~= (en+ i) 0
i. l~: . Ej,mplo 4. C•lcnla< l::;teg'al
Ít . ,L cs,·+2')d ..
i;V;:i:/ ... S bluci6n. ~uesto que la función subintegral f (z) = 3z' + 2z ' ·~,es.analizable en todas partes, entonces utilizando la fórmula de Newton­
:,\teihbniz, hallamos ,, . 2+i .
. J: (3z2 + 2z) .dz = (zS + z2) 1 tti = i ~i .
= (2+ i)8+(2+ i)2-(1- i)ª - (1 - i)2=7+19i
~¡ .. !'.
Ejemplo 5 . .. Calcular la .. integral . i . .·;
~ z cos.z dz. o
Soluci6n. Las Iuncion~ : / (i).= z y cp (z) = cos z son analizables en todas partes. Empleando la fórmula ele integración por pintes, obtenemos
i ... i. . i
J z cos z dz~ .\' ~(sen z),. dz= (z sen z) Jj-J se~ z dz=
o o.- o · ' · : · · · · · 1-e
=i sen t+cos zli=-sh i+ch 1-1=--. o e
Ram~s unívo~as de una función multiforme. Puntos de ramfücac~ón
Sea que la función w = f (z) es analítica en el dominio D y aplica D .en el dominio G y es tal que l a:"funC:ión inversa z = q) (w) es multifor­ me en el dominio· G. Si existen funciones uniformes, analíticas z = = rp1 (w), z = <p2 (w), ... , en el dominio .G, para las cuales la función dada w = f (z) es inversa, entonces fas funciones cr1 (u.'), (j!z (w), . " . se llaman ramas unívocas de la. funci6n 11!. (w} determinadas en el domi- n~ G. . .
Por ejemplo, la función w = ~n a cada punto z0 le asigna;_ en co­ uespondencía el único· punto w0 , pero a crada u.n pu ato .-.100 . (w =/:= O, w =f:. oo} la función z = jíiv le asigna en correspondencia n puntos diferentes del plano z; al mismo tiempo, si w = peiO, entonces estos n valores de z se hallan mediante_ las _fó~·tnulas .. z11 = ret<flh; donde .·· ~,
nr;: El Zkn . r=l' p, cp11=-+-- ( -n <B~n; ~.=0, 1, 2, ... ,n-i). . n n
Sea que el do minió simpléinente' ~oi1eio ·a contiene el punto Wo, pero 11:<? contiene los puntos w = O y w = :xi· Ento~ces a vaz:ios valor~s .. .:i ÍlJOS de k (k = ü, 1, 2, ... , n :- ·1) ·para. la, misma .elección del nu- . ·· mero 00 (por ejemplo, 00 = arg w0) le corresponden las ramas dife- . -~ n - . _., rentes de la función z = V w.
El punto que tiene tql' ,p~:op:ieda~ que el recorrido alrededor de .:¡ éste en un entorno suficientemente pe,ql1eño proporciona el paso de " una rama de la Iµnción multiforme a · 1a otra, se llama el pimto de · ?,
, m_mtficación de la fonción multiforme que consideramos~. Los puntos · ! ~ de· i·amificación deJa · fon.Pión. o/W son los puntos w = ~O . y .rv = oo.
Después de recorrer n veces alrededor del punto:.w.= ,O nos.volve- · ;~ mos a la rama inicial de la función }fw; los puntos de ramificación ~ que tienen esta propiedad se llaman; los .. punt.os alge~raica~ .<)e i·amifi- . :~ cación del orden n - 1. En cada uno :de"'estos ¡)tiritas la función tiene :·:¿ un sólo valor: lfo = o, y;; = oo, es decir, eil dichos pUutos las :~ ram:a;a ,diferentes :de la ,función: .coiu<:id;en'.' .; ." . . ~ . . - . . .• -·. ';. . ; .. ' • ' .- .ti
.:·.·' .J :~. - ~- ~
Integración de /unc iones 51
:J". · Para la función logarítmica w = Ln z los puntos de ramificación '~' ~ son z = O y z = oc, al mismó tiempo, Ln O = oc y Ln oc = oc .
.. )'. ,·lJn cualquier número finito de recorridos (en la misma dirección) ><;-\1,f\: alrededor del punto z = O no conduce ·a la rama inicial de función ~\.f'i"? · Ln .z. Tales puntos de ramificación se llaman logarítmicos. Al integrar ~¡iiV<: ;·_; es necesario separar una rama de la función mul tiforme. Esto se logra ¡¡~;L<. ':.. prefijando el valor de ia runcióu multiforme en cierto punto del con- f;;p'.·°' ' torno,.de integración. . . , , r¡;;:.. . . Sl el co.ntomo de mtegrac10n C esta cerrado, entoncE'_s el Junto ~U;< inícial z0 de la integrac~~n se e:onsidera aquel punto, en.el cua está ~f.; <lado e~ valor de la func1on ~uhrntegral. ~~';., E¡emplo 6. Calcular la mtegral ft . ¡ ;, , ¡¡// donde C es el · arco su1)erior ele la circunferencia 1 z 1 = 1. Para ·v· w:.::. :· se toma aquella rama, para la cual lf I = - 1. i<'.· Solución. Primer procedimiiúito . La función V; tiene dos valores: :f~:-: . .
f~'.~ ·=:
!J~~-:-·· ~~~;-....... .
~'?: V ~=-VTZT[ cos ( i +n )+i sen ( i +n) ]= ' ' = --'- 1 z 1 ( cos i + t sen -f) ,
Í:t ::~~.~?t1~ f:¡~, ;~¡;~~ :.:.~f,i~o'." fa cfrcunf•~noia do nnidad, t~/::::·
1:< ~:=e•:.: ; '. ~n,.: ~ . 1: · El sogundo ,.]o, '""''"" h e-0udicion V 1 ~ -1
I~::: · 1/ ~ = - cos i - i sen -f .. (4)
Al mismo tiempo, sea z = 1, eutonces arg z = O y · . ~-1 . •
V 1 = - cos0- i sen O= -1. la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos
- 1 r dz r dz ' ¡- ( - ,/-) J --~--= .1 ---- =2 \ z 111=2 l/ -1-" 1 . e V z ·1 V .z . .
52 Función de variable co mpleja [Cap. 1
Suponiendo en la fórmula (4) z = - 1, hallamos
11 - [ arg(-1) arg(- 1) J=--1 = - cos ? + t sen --"'-"'--'- .. ... 2
( n +. :n:) . =- cos 2 i s_en 2 =-i.
De acuerdo con la elección de la rama tenemos V 1 :..__ - ·1 y, definiti- vamente, obtenemos ·
r dz J - ·--=- 2 (1-i). e V z
Segundo procedimiento. Suponemos que z=peicp, donde p =1, mientras que cp so cambia de O a :rt. De la condición lfI = -1 se
desprende que V ei'P = / (-1--+n). Ahora tenemos
¡ ~= r iei'P dcp = f ieicp dcp V z J Veicp J i (~+:n:) o O e 2
r i <~-n:) J ie 2 dcp =
o
= 2 (e 2 - e - in:) = 2 ( 1 - i).
. i
Ejemplo 7. Calcular la integral I = )ln: z dz a partir del arco 1 .
de la circunferencia 1 z 1 = 1 (ln z es el valor principal del logaritmo, ln 1 = 0).
Solución. P rimer procedimiento. Utilizando l a fórmula de Newton­ Leinbniz, obtenemos
i i r ln3z r ln~z li 1= J - .-z- dz = J lnS.zd(lnz) =-4-· - 1
= 1 1
_ ln4 i -ln4 1 In• t _.!_ (~) 4 -~ 4 4 - 4 2 - 64 .
Segundo procedimiento. Hacemos la sustitución de la variable ·
In z = w, dz
dw=-z . ·-.:
El . arco de la circunferencia 1 z 1 = 1 pasa al segmento del eje imagi:-_:
nario comprendido entre los puntos (O, O) y ( O, i) :
§ 5] Integración de funciones 53
La integral obtiene la forma
Tercer procedimiento. Suponemos que z = ei<P {aquí p = 1 z 1 = 1). Entonces
ln z =' ilp, dz = tei(IJ d(f>. La variable real rp se cambia en los límites O ,,;;; {fl ~ :rc.12. En este
caso obtenemos n
140. J zlmz11 dz, C: !zl =1(--n~argz~O). e
141. ~ elzl2 Re z dz , C es la recta que conecta los pun­ e
tos z1 =O, z2 =1 + i. 142 .. \ln z dz (In z es el valor principal del logaritmo),
e C: ) z / = 1, a) el punto inicial del proceso de integración
.· • 1; b) z0 = -1. El recorrido se efectúa contra el senti­ liorario.
f43. J z Re z dz, C: 1 z l = 1. El recorrido so realiza con- ., e ~1 sentido horario.
;i)Í44. \ zz dz, C: !zl = 1. El recorrido se efectúa contra
·• . º >s~litido horario. i
i-45. \ ze" dz. '1
J Re z dz, C: a) z = (2 + i) t (O~· t ~ 1); b) que-
···• e . 'a que se compone del segmento [O, 2) del eje real y del ;o:nto que conecta los puntos z1 = 2 y z2 = 2 + i.
,·;· :r
54
147.
148.
i+í .
149. ) (3z"'- 2z3) dz. 1
150. _\' ez dz, C: a) es el arco de parábola y = x2 que a.
conecta los puntos z1 = O y z2 = 1 + i; b) es el segmento de la recta que conecta estos puntos.
151. ' cos z dz, e : es el segmento ele la recta que co­ é
necta z1 = ~ y z2 = :rt + i. ·¡
152. I ~; . e, •) º'· la mitad superior de la circun- j ·;:I
ferencia l z l = 1; se elige aquella rama de la función J Vi para la cual VI= 1; :¡
¡ - ) b) lz l = 1, Re z:>O, V-=t = i
2 2 (1- i) . 11
153. \ 4 ~:_ ' . e: es la mitad superior de la cir- J 0 }' z S , ·i
cunfer encia 1 z J = 1; se toma aquella rama de la función :1
w = Vz3, 2~ara la cuz:l V I = 1. i ·") 1 154. \ (z3 - z ) eZ dz. 155. _\ z coszclz. ,:\
1°+ i o '1
157. J (z - i) e- z dz . o
i
158 . . r l n {z + 1) d . e l . • ) z -f-i z por arco do la circunferencia
1
l . .(~
~1 .. , .' "'·~·
'l ·.~
los puntos z1 = ·1 y z2 = i. i+i .
, ·160. ·. J sen:z co~ z dz . .. o i
-~ . '
. •.
161. J ·' 1c!s!gz~ dz .wr ll;l. recta~ quo ~onec_ta los puntos 1
Zi = 1 y z2 = i . i
J cos z dz 162. vsenz
- 1 .
por la ·recta·. que conecta l os puntos
. z:1 = - 1 y z2 = . i; eligirrios aquella rama de -la VSei.tZ, para la cual V sen (-1) = i -V sen 1.
función
f•· 163. JRe(senz)ccyszc_lz, ,C: ! I:tllz !~L Rez ·. :. ~;. e i. :::: L~~:')dz, C: !lm*~1, Rez=1.
~L . -í