TESIS-CLCULO INTEGRAL

Cálculo Integral

SEP SES DGEST

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO

“CÁLCULO INTEGRAL”

ELABORACION DE TEXTOS Y PROTOTIPOS DIDACTICOS

(OPCION II) LIBRO DE TEXTO

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO INDUSTRIAL E

INGENIERO ELECTROMECÁNICO

PRESENTAN: SASHA ALTAGRACIA CARMONA ROJAS Y

RAFAEL FLORES PEREZ

APIZACO, TLAX. JUNIO 2006

1

Cálculo Integral

PROLOGO

El presente texto está diseñado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel

licenciatura en las diferentes ingenierías del sistema de Institutos Tecnológicos. Se da por

hecho que se tienen conocimientos previos de álgebra y cálculo diferencial, por ende,

centramos nuestra atención en mostrar las técnicas del cálculo integral que se requerirán tanto

en cursos de especialidad, posgrado y con toda seguridad en su futuro ejercicio profesional.

En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta

útil al proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase más

eficazmente y así contribuir significativamente a la comprensión de los temas contenidos en el

programa de estudios.

Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un análisis

exhaustivo a través de muchos años de enseñar cálculo, es decir, no se trata de una hipótesis,

sino del resultado sistemático de un riguroso proceso de investigación.

CARACTERÍSTICAS DIDÁCTICAS.

1. Los contenidos han sido diseñados exclusivamente para cubrir el curso de cálculo

integral (matemáticas II) de las ingenierías que ofrecen los Institutos Tecnológicos

dependientes de la DGEST.

2. En cada unidad, los nuevos conceptos se presentan a través de ejercicios resueltos,

cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde básicos hasta avanzados.

2

Cálculo Integral

3. Al final de cada unidad se presenta una serie de ejercicios cuidadosamente

previstos para que el alumno vaya adquiriendo seguridad y dominio del tema.

4. En la parte final del texto aparecen las soluciones a los ejercicios de número par.

5. Conscientes de que ningún conocimiento vale la pena si no es empleado en la

obtención de un beneficio, se han seleccionado minuciosamente aplicaciones

variadas y realistas, y que requieren un mínimo de conocimientos en otras áreas.

6. No obstante, que el presente libro ha sido elaborado con la intención de contribuir

al enriquecimiento del proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario concluir

que la disposición, creatividad, tenacidad, voluntad, etc., tanto del profesor como

de los estudiantes es factor fundamental en el logro del mismo.

3

Cálculo Integral

JUSTIFICACIÓN

Para muchos estudiantes la matemática es un verdadero dolor de cabeza, ya que no

logran aprenderla, es preocupante que a nivel nacional es la materia que más se reprueba. A

pesar de que durante la educación básica (preescolar, primaria y secundaria) y la educación

media superior (bachillerato) se estudia, los alumnos no pueden superar su deficiente

aprendizaje.

¿Cuántos estudiantes truncan sus estudios por haber reprobado matemáticas? No se sabe el

número aproximado y menos el exacto, debido a que jamás se ha llevado estadística alguna. El

problema es serio, ¿a quién culpar? , ¿a los libros de texto?, ¿a los profesores?.

En una sociedad globalizada como la nuestra en la que imperan los criterios de eficiencia y

eficacia, de productividad y competitividad, de orientación a logros y resultados, es necesario

modificar algunas estrategias pedagógicas para hacer “menos complicado el aprendizaje de las

matemáticas”, particularmente del cálculo integral, en este sentido, es conveniente desde

nuestro particular punto de vista, trabajar en la elaboración de un libro de texto en el que

intervengan la inteligencia y la voluntad para hacer las cosas de manera lúdica, sin dejar de ser

profesional, que ofrezca a los profesores como a los alumnos una propuesta de trabajo que se

pueda desarrollar, sin dificultad, a partir de las indicaciones contenidas en el mismo.

Desde nuestra perspectiva, el papel de los profesores como promotores del desarrollo

individual y colectivo de las habilidades y destrezas de los estudiantes exige un gran esfuerzo,

que se duplica con la carga de trabajo administrativo que deben realizar a lo largo del curso.

4

Cálculo Integral

Conscientes de esta problemática, consideramos este texto como un conjunto de material de

apoyo que contribuya a hacer más accesible el conocimiento de esta importante y noble rama

de la matemática, el cálculo integral.

Es deseable que las sugerencias, incluidas en el libro, motiven la imaginación y creatividad de

los profesores y les sirvan como punto de arranque para diseñar procedimientos didácticos

más acordes con los intereses y las necesidades de los alumnos.

5

Cálculo Integral

INDICE

PROLOGO 2 JUSTIFICACIÓN 4

CAPITULO 1- Diferenciales.

1.1 Incrementos, su interpretación geométrica. 9 1.2 Diferenciales, su interpretación geométrica. 10 1.3 Teoremas típicos de diferenciales. 11 1.4 Cálculo de diferenciales. 12 1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 13

CAPITULO II.- Integrales indefinidas y métodos de integración. 2.1 Definición de función primitiva. 18 2.2 Definición de integral indefinida. 19

2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 20 2.3.1 Directas. 22 2.3.2 Por cambio de variable. 24 2.3.3 Por partes. 33 2.3.4 Trigonométricas. 40 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 47 2.3.6 Por fracciones parciales. 54

CAPITULO III.- Integral definida.

3.1 Definición de integral definida. 66 3.2 Propiedades de la integral definida. 67 3.3 Teorema fundamental del cálculo. 68 3.4 Cálculo de integrales definidas. 68

CAPITULO IV.- Aplicaciones de la integral.

4.1 Longitud de curvas. 73 4.2 Cálculo de áreas. 75 4.3 Áreas entre curvas. 76 4.4 Sólidos de revolución. 80 4.5 Cálculo de volúmenes por el método de los discos. 80 4.6 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo. 86

6

Cálculo Integral

CAPITULO V.- Integrales impropias. 5.1 Definición de integral impropia. 95 5.2 Integral impropia de 1ra clase. 95 5.3 Integral impropia de 2da clase. 97 APENDICE I. 100 APENDICE II. 102 APENDICE III. 104 APENDICE IV. 107 RESPUESTAS A PROBLEMAS PARES. 115 BIBLIOGRAFIA. 129

7

Cálculo Integral

Incremen

Definició

Teorema

Cálculo d

Cálculo d

D I F E R E N C I A L E S

DIFERENCIALES

tos, su interpretación geométrica.

n de diferencial.

s típicos de diferenciales.

e diferenciales.

e aproximaciones usando la diferencial.

8

Cálculo Integral

CAPITULO 1 CAPITULO 1

DIFERENCIALES

X

Y

Q

P

1.1 Incrementos, su interpretación geométrica. 1.1 Incrementos, su interpretación geométrica.

Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x

varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable

dependiente y. Si x cambia de x1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por ∆x

( se lee “delta x” ). Es decir, el incremento de x está dado por:

Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x

varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable

dependiente y. Si x cambia de x

∆x = x2 – x1 ∆x = x

Análogamente ∆y denotará la variación de la variable dependiente y, correspondiente al

cambio ∆x. Entonces, el incremento de y, está dado por:

Análogamente ∆y denotará la variación de la variable dependiente y, correspondiente al

cambio ∆x. Entonces, el incremento de y, está dado por:

∆y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1) ∆y = f(x

La representación geométrica de estos incrementos en términos de la gráfica de f se muestra

en la siguiente figura:

La representación geométrica de estos incrementos en términos de la gráfica de f se muestra

en la siguiente figura:

( )( )1 1,Q x x f x x+ ∆ + ∆

( )( )1 1,P x f x y∆

x∆

1x 2x

Cálculo Integral

9

DIFERENCIALES

1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por ∆x

( se lee “delta x” ). Es decir, el incremento de x está dado por:

2 – x1

2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1)

X

Y

Q

( )( )1 1,Q x x f x x+ ∆ + ∆

P( )( )1 1,P x f x y ∆

x∆

1x 2x

Fig. 1

9

Cálculo Integral

Ejemplo 1: Sea y = 2x2 – 3. Encuentre el incremento ∆y si el valor inicial de x es 3 y ∆x = 0.1

Solución: ∆y = f(3.1) – f(3) = f(x1 + ∆x) – f(x1)

∆y = [2(3.1)2 - 3] - [2(3)2 - 3]

∆y = 1.22

C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

S

Ejercicios tema 1.1

alcule ∆y para las funciones dadas, considerando los valores de x y ∆x indicados.

. y = x2 en x = 2 y ∆x = 0.3

. y = x en x = 16 y ∆x = 0.1

. y = x3 en x = 13 y ∆x = 0.2

. y = 3 x en x = 8 y ∆x = -0.1

. y = 3x2 + 2x – 5 en x = 1 y ∆x = -0.2

. y = x3 – 3x2 + x – 4 en x = 1 y ∆x = -0.1

. y = 1/x2 en x = 2 y ∆x = 0.2

. y = (x – 2)(x – 3) en x = 0 y ∆x = -0.02

. y = tan x en x = 4π y ∆x =

12π

0. y = sen x en x = 6

π y ∆x = 12

π−

.2 Definición de diferencial.

ea y = f(x) donde f es derivable y sea ∆x un incremento de x. Entonces:

(i) la diferencial dx de la variable independiente x está dada por dx = ∆x

(ii) la diferencial dy de la variable dependiente y está dada por dy = f’(x) ∆x.

Sustituyendo dx en lugar de ∆x obtenemos:

dy = f’(x) dx

10

Cálculo Integral

11

1 du−

2d s n =

1e u

u−

1

2

- dd cos = 1

uuu

−

−

12

dd tan = 1 +

uuu

−

12

- dd cot =u 1 +

uu

−

1

2

dd sec = 1

uuu u

−

−

1

2

- dd csc = 1

uuu u

−

−

du d - v u u

1.3 Teoremas típicos de diferenciales. Puesto que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la

variable independiente, las fórmulas para hallar las diferenciales son las usadas para obtener

las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por dx (diferencial de la variable

independiente).

d (c) = 0

d (x) = dx

d ( u + v – w) = du + dv – dw

d (cv) = c dv

d (xn) = n xn-1 dx

d ( un) = n un-1 du

d (uv) = u dv + v du

u

log e duu

2 dv

v

d ( cos u ) = - sen u du

d ( tan u ) = sec2 u du

d ( cot u ) = - csc2 u du

d ( sec u ) = sec u tan u du

d ( csc u ) = - csc u cot u du

d ( eu) = eu du

d ( au) = au ln a du

d ( sen u ) = cos u du

d (ln u) = d ( u ) =

v

d (log u) =

Cálculo Integral

1.4 Cálculo de diferenciales.

Ejemplo 2: Dada y = 2x3 + 3x2 – 4x +3.

Hallar: (a) dy

(b) el valor de dy para x = 2 y ∆x = 0.2

Solución:

a) dy = ( 6x2 + 6x - 4 ) dx

b) sustituyendo dx = ∆ x = 0.2 y x = 2

dy = [ 6(2)2 + 6(2) - 4] [0.2]

dy = 6.4

E

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

Ejercicios tema 1.4

ncuentra la diferencial dy para las funciones dadas, expresándolas en términos de x y dx.

1. y = 100 – 3x2

2. y = 7x2 – 11

3. y = 12

x2 - 14

x + 13

4. y = 2 5 x - 5

3x

5. y = xb

+ 2x a

6. y = 2 3x +

7. y = 3 1x +

8. y = x2 3 4x−

9 y = 1 sen2x−

0. y = sen3x2

21. y = cos2 2x

22. y = 12

cot2 (x2- a2)

23. y = 3 tan 3x

24. y = 12

x - 18sen (2 – 4x)

25. y = x2 sen-1 3x

26. y = cot-1 11

xx

−+

27. y = csc-1 ( x + 1x

)

28. y = ln 1 tan1 tan

xx

+−

29. y = log ( ex + e-x )

30. y = cos2 e3x

12

Cálculo Integral

1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. Cuando ∆x ≈ 0, las diferenciales nos facilitan una manera de “predecir” el valor de f(x1 + ∆x)

conociendo el valor de la función y su derivada en x.

f(x1 + ∆x) = f(x1) + ∆y ∴ f(x1 + ∆x) = f(x1) + dy

haciendo referencia al tema 1.2 obtenemos:

f(x1 + ∆x) = f(x1) + f’(x) dx

Ejemplo 3: Hallar una aproximación a 36.4

Solución: Identificamos la función f(x) = x . En donde deseamos calcular el valor

aproximado de f(x + ∆x) = x x+ ∆ cuando x = 36 y ∆x = dx = 0.4

dy = 12 x

dx

f(x1 + ∆x ) = f(x1) + f’(x) dx

x x+ ∆ ≈ x + 12 x

dx

36.4 ≈ 36 + 12 36

(0.4)

Valor real 6.03324 ≈ 6.03333 Valor aproximado

Considerando que:

Error absoluto = valor real – valor aproximado

Error relativo = error absolutovalor real

Error relativo (%) = error absolutovalor real

(100)

13

Cálculo Integral

Del ejemplo anterior se tiene:

Error absoluto = 6.03324 – 6.03333 = 0.00009

Error relativo = 0.000096.03324

= 0.0000014

Error relativo (%) = 0.00014 %

Ejemplo 4: Hallar una aproximación a 3 29

Solución: Identificamos la función f(x) = 3 x En donde deseamos calcular el valor

aproximado de f(x + ∆x) = 3 x x+ ∆ cuando x = 27 y ∆x = dx = 2

dy = 3 2

13 x

dx

f(x1 + ∆x) = f(x1) + f’(x )dx

3 27 2+ ≈ 3 27 + 3

13 729

(2)

3 29 ≈ 3 + 2

27

3.07231 ≈ 3.07407

Error absoluto = 3.07231 – 3.07407 = 0.00176

Error relativo = 0.001763.07231

= 0.00057

Error relativo (%) = 0.057%

Ejemplo 5: La medida efectuada al lado de un cubo es de 20 cm, con un error posible de

0.01 cm. ¿Cuál es el error máximo posible aproximado en el volumen del cubo? ±

Solución: El volumen de un cubo es V = x3, en donde x es la longitud del lado. Si ∆x

representa el error en la longitud del lado, entonces el error correspondiente en el volumen es:

14

Cálculo Integral

∆V = ( x + ∆x)3 – x3

Para simplificar, se utiliza la dV como una aproximación a ∆V. Por lo que, para x = 20 y

∆x = ± 0.01, el error máximo aproximado es:

dV = 3x2 dx

dV = 3( 20)2 ( ± 0.01) = ± 12 cm3

Error relativo (%) = 128000± (100) = ± 0.15%
Ejercicios tema 1.5
Utiliza el concepto de diferencial para encontrar una aproximación a la expresión dada.

31. 38

32. 190

33. (1.3)4

34. 9⅔

35. (1.1)3 + 6 (1.1)2

36. 3 30

37. cos (3

π - 0.2)

38. sen 33

39. tan ( 3

π - 0.2)

40. cos 60.01

41. Se determina que el diámetro de un disco es aproximadamente igual a 15 cm con un error

máximo en la medición de 0.04 cm. Usa diferenciales para estimar el máximo error obtenido

al calcular el área de una de las caras del disco. ¿Cuál es el error relativo y el error porcentual

obtenidos?

42. Se encontró que la arista de un cubo es de 20 cm, con un error máximo en la medición de

0.1 cm, utiliza diferenciales para estimar el error máximo calculando a) el volumen del cubo y

b) el área superficial del cubo.

15

Cálculo Integral

43. Usa diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cada uno de sus

lados aumenta de 12 a 12.1 cm. ¿Cuál es el valor exacto del incremento del volumen?

44. Aplica las diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una

mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un radio de 30 m.

45. La arena que chorrea de un recipiente, va formando un montículo cónico cuya altura es

siempre igual a su radio. Usa diferenciales para estimar el incremento del radio

correspondiente a un aumento de 5 cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 12

cm.

16

Cálculo Integral

INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE

INTEGRACIÓN

Definición de función primitiva.

Definición de integral indefinida.

Cálculo de integrales indefinidas.

• Cálculo de integrales indefinidas directas.

• Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

• Cálculo de integrales indefinidas por partes.

• Cálculo de integrales trigonométricas.

• Por sustitución trigonométrica.

• Por fracciones parciales.

17

Cálculo Integral

CAPITULO II

INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

2.1 Definición de función primitiva.

En el capitulo anterior mediante las técnicas del Cálculo diferencial hemos aprendido a

calcular la diferencial de una función, operación que se representa por:

d f(x) = f´(x) dx

El Cálculo integral se ocupa de la operación inversa, es decir: Hallar una función f(x) cuya

diferencial f´(x) dx es conocida.

La función f(x) que se obtiene se llama función primitiva o integral de la expresión diferencial

dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el

signo integral delante de la expresión diferencial dada: ∫

∫ f´(x) dx = f(x)

El signo se lee integral o integral de. ∫La función antes mencionada se lee la integral de f´(x) dx es igual a f(x).

Donde la diferencial dx indica que x es la variable de integración. P r ejemplo:

Función Diferencial Función primiti

f(x) = x4 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4

f(x) = sen x f’(x) = cos x dx ∫ cos x dx = s

f(x) = ln x f’(x) = dxx

∫ dxx

= ln x

18

o

va o integral

en x

Cálculo Integral

2.2 Definición de integral indefinida.

En base al tema anterior podemos señalar que:

Función Diferencial Función primitiva o integral

f(x) = x4 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4

f(x) = x4 + 3 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 + 3

f(x) = x4 - 2 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 - 2

f(x) = x4 + C f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 + C

En general, podemos decir que 4x∫ 3dx = x4 + C. La constante arbitraria C se llama constante

de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Como la

constante C puede tomar un número indeterminado de valores, podemos deducir que si una

expresión diferencial dada tiene una integral, también tiene una infinidad de integrales que

solo difieren entre si por una constante C,

∫ f´(x) dx = f(x) + C

y como C es desconocida e indefinida, a la expresión f(x) + C se le llama: integral indefinida

de f´(x) dx .

El valor de C puede determinarse cuando se conozca el valor de la integral para algún valor de

la variable, como se verá en el siguiente capitulo. Por ahora aprenderemos a hallar las

integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas, dando por hecho que toda función

continua tiene una integral indefinida, proposición cuya demostración queda fuera del

propósito del presente texto.

19

Cálculo Integral

En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los

resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expresión diferencial dada.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas. La integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se

utilizan tablas de integrales, llamadas tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una

integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas, si se

encuentra registrada en ellas, se sabe la integral; si no está registrada, buscaremos por varios

métodos reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de

artificios que solo la práctica nos puede mostrar, en este libro nos ocuparemos de explicar

detalladamente los métodos para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la

resolución de problemas prácticos.

Para verificar el cálculo de una integral

∫ f´(x) dx = f(x) + C

se deriva

f(x) + C

Si la derivada es igual a f´(x), el cálculo es correcto, pero si es diferente de f´(x),

evidentemente se ha cometido un error. Esta relación entre la derivación y la integración

permite utilizar las siguientes formulas en la obtención de las integrales indefinidas directas:

20

Cálculo Integral

Formulas fundamentales de integración indefinida.

i d = x x C+∫

ii c d C d u u=∫ ∫

iii ( )d d d d d du v w u v w+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫

iv

n + 1

d = + n + 1

n uu u C∫

v d

ln u

u Cu

= +∫

vi ∫ eu du = eu + C

vii ∫ au du =

+ ln a

u

Ca

viii sen u du = - cos u + C ∫

ix ∫ cos u du = sen u + C

x ∫ tan u du = - ln cos u + C

xi ∫ cot u du = ln sen u + C

xii ∫ sec u du = ln (sec u + tan u) + C

2

xiii ∫ csc u du = ln (csc u - cot u) + C

xiv ∫ sec u tan u du = sec u + C

xv ∫ csc u cot u du = - csc u + C

xvi

∫ sec2 u du = tan u + C

xvii ∫ csc2 u du = - cot u +C

xviii 2 2

d u1 1= tan + + a a a

u Cu

−∫

xix 2 2

12a

d - a= ln +

+ a - a u u

Cuu∫

xx 2 2

12a

d a + = ln +

a - a - u

u uC

u∫

xxi 2 2 a

d 1= s n +

a

uue C

u

−

−∫

xxii ( )2 2

2 2

d= ln + a +

a u

u u Cu

±±∫

xxiii2

2 2 2 2 a2 2

1a u d = a u s n + u u

u e−

− − + a C∫

2

2 2 2 2 2 2au

xxiv ( ) 2 2a d = a ln + a + u u u u u±± ± ± C∫

1

Cálculo Integral

2.3.1 Cálculo de integrales indefinidas directas.

Ejemplos ilustrativos:

1. Hallar la integral: ( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx

Solución: aplicando la formula iii:

∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = ∫ 6x2 dx - ∫ 5x dx + 2 dx. ∫ Aplicando la formula ii:

∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 6∫ x2 dx - 5∫ x dx + 2 dx. ∫Aplicando la formula iv en el primer y segundo términos, la formula i en el tercer

término y simplificando:

∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 2 16 C

2 + 1x +

+ - 1 15 C

1 1x +

++

+ 2x + C

( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx = 36 C

3x

+ - 25 C

2x

+ + 2x + C

52 ( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx = 2 x3 - x2 + 2x + C

Nota.- Cada integración requiere una constante arbitraria, no obstante, escribiremos al final sólo una constante

que representa la suma algebraica de ellas.

2.- Hallar la integral: 22

32 + dx xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Solución: subiendo el denominador en el segundo término y aplicando la formula iii:

22

32 + dx xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = ∫ 2 x2 dx + ∫ 3 x -2 dx

22

32 + dx xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ =

2 12 2 1

x +

+ + C +

2 13 2 1x− +

− + + C

22

Cálculo Integral

22

32 + dx xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 2

3 x3 – 3 x -1 + C

22

32 + dx xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 2

3x3 – 3

x + C

3. Hallar la integral: 3 23 + 2 1 x x dx

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Solución: Dividiendo las expresiones y resolviendo siguiendo la secuencia de los

ejemplos anteriores:

3 23 + 2 1 dx x x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = ∫ 3 x2 dx + ∫ 2 x dx - ∫ dx

x

empleando la formula v en el tercer término:

3 23 + 2 1 x x dx

x⎛ ⎞−⎜⎝ ⎠∫ ⎟ = x3 + x2 – ln x + C

4. Hallar la integral de: ( ) + dxe x∫ x

( ) + dxe x∫ x = dxe x∫ + dx x∫

( ) + dxe x∫ x = dxe x∫ + ∫ x½ dx

usando las formulas vi y iv respectivamente:

( ) + dxe x∫ x = + xe+ 1

+ 1x½

½ + C

( ) + dxe x∫ x = + xe 23 x 3 2 + C

5. Hallar la integral de: ( )aa + dx x x∫

( )aa + d x x x∫ = + dxa x∫ dax x∫

23

Cálculo Integral

empleando las formulas vii y iv respectivamente:

( )aa + dx x x∫ = aln a

x

+ a + 1

+ Ca + 1x

C

1

2

3

4

5

6

7

8

2

E

s

o

f

e

Ejercicios tema 2.3.1

alcula las integrales siguientes:

. ( )4 3 3 d x x x−∫

. 2 32 2 d

yy y⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

. ( )( ) 1 3 2 d x x x+ −∫

. ( )2 9 3 d θ θ θ−∫ + 4

. 3 d x x x∫

. 2 3 d x x xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

. ( )32 9 d y y−∫ y

. ( )3 332 2 dx a x−∫ x

9. 3

3

3 d3x x

x⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

10. 2 32 3 3 d x x x

x⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫

11. ( )33 2 dt t−∫

12. ( )3 12 2 dx x x

− −+∫

13. ( )2 23 3a b dx x x

−+∫

14. 1 1

2 2a dx xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

15. ( )2 1

dx

xx

−∫

.3.2 Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

n los siguientes casos las integrales no se ajustan directamente a las fórmulas fundamentales,

iendo necesario cambiar variables mediante una cuidadosa elección de u, misma que al

btener su diferencial du nos permita adaptarlas a las correspondientes fórmulas

undamentales. Para lo anterior la mejor forma de exponerlo es mediante los siguientes

jemplos ilustrativos:

24

Cálculo Integral

6. Hallar la integral de: ∫ ( 3x2 – 2)3 6x dx

Solución: Tomando u = 3x2 – 2 , du = 6x dx, comparando estos parámetros en la

integral original vemos que se puede adaptar a la fórmula iv, se dice entonces que la

integral esta completa:

∫ (3x2 – 2)3 6x dx = ∫ u3 du = 3 + 1

3 1u C+

+ = ¼ u4 + C

reemplazando u por 3x2 – 2

∫ (3x2 – 2)3 6x dx = 14

( 3x2 – 2 )4 + C

7. Hallar la integral de: 2 d

3 - 2x xx∫

Solución: Tomando u = 3x2 – 2 , du = 6x dx, comparando estos parámetros en la

integral original vemos que nos falta el factor 6 en du, se dice entonces que la integral

esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede

completar adecuándose a la fórmula v de la siguiente manera:

2 d

3 - 2x xx∫ = 1

6 2

6 d3 - 2

x xx∫ = 1

6 du

u∫ = 16 ln + u C

reemplazando u por 3x2 – 2

2 d

3 - 2x xx∫ = 1

6 ln 23 - 2 x C+

8. Hallar la integral de: ∫ 3sen dx xπ

xπSolución: Tomando u = , du=π dx, comparando estos parámetros en la integral

original vemos que nos falta el factor π en du y nos sobra el 3, se dice entonces que la

integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se

puede completar adecuándose a la fórmula viii de la siguiente manera:

25

Cálculo Integral

∫ 3sen dx xπ = 3π ∫ sen π x π dx = 3

π ∫ sen u du

xπaplicando la formula y reemplazando u por

∫ 3sen dx xπ = - 3π cos xπ + C

9. Hallar la integral de: 2

sen d

cos + 16

x x

x∫

Solución: Es necesario señalar que es básico dominar con fluidez el cálculo de

diferenciales para una mejor interpretación de las fórmulas fundamentales de

integración, en el presente ejemplo, tomando u = cos x, du = - sen x; a = 4,

completando el signo – en du se adapta la fórmula xxii como se ilustra a continuación:

2

sen d

cos + 16

x x

x∫ = 2 2

- sen d

cos + 4

x x

x−∫ =

2 2

d

a

u

u +∫

aplicando la formula y reemplazando u por cos x

2

sen d

cos + 16

x x

x∫ = – ln ( )2cos + cos 16 + x x C+

10. Hallar la integral de: ∫ tan2 x sec2 x dx

Solución: Tomando u = tan x , du = sec2 x dx ; por medio de la fórmula iv, tenemos:

∫ tan2 x sec2 x dx = ∫ u2 du = ⅓ u3 + C

aplicando la formula y reemplazando u por tg x

∫ tan2 x sec2 x dx = ⅓ tan3 x + C


4 d

25 +

x

xe x

e∫

Solución: Tomando a = 5 , u = , du = 2 dx ; y mediante la fórmula xviii: 2xe 2xe

26

Cálculo Integral

2

4 d

25 +

x

xe x

e∫ = 2

2 42d1

5 + 2

x

xe x

e∫ = 12 2 2

da

uu+∫

aplicando la formula y reemplazando u por 2xe

2

4 d

25 +

x

xe x

e∫ = 1 12 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

tan-1 u + C = 110

tan-1 + C 2xe


2tan 2 d

1 4x xx

−

+∫

Solución: Tomando u = 1tan 2x− , du = 2

2 d1 + 4

xx

, completando el factor faltante 2 en du

y mediante la fórmula iv, tenemos:

1

2tan 2 d

1 4x xx

−

+∫ = 12

12

2 dtan 21 4

xxx

−

+∫ = 12

du u∫

1

2tan 2 d

1 4x xx

−

+∫ = 14 ( tan-1 2x)2 + C

13. Hallar la integral de: 2d4 3x

x x+ +∫

Solución: Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador, la integral

toma la forma de la fórmula xix de la siguiente manera:

2d4 3x

x x+ +∫ = ( ) ( )2 2

d2 1

xx + −∫ = 2 2

da

uu −∫ =

( )1

2 1 ln 2 1

2 1x Cx

+ −+

+ + = 1

2 ln 1

3x Cx

++

+

14. Hallar la integral de: ( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫

Solución: Haciendo u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2, es preciso descomponer el numerador

en tres términos, ya que, 5 = 2 + 3 para formar dos integrales, de la siguiente manera:

( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ = ( )

2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ + 2

3d2 5

xx x+ +∫

27

Cálculo Integral

( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ = ( )

2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ +

( ) ( )2 2d3

1 2x

x + +∫

Para la primera integral se mantiene u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2 y se aplica la fórmula

v; y para la segunda integral u = x + 1, du = dx, a = 2 y aplicando la fórmula xviii,

tenemos:

( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ = du

u∫ + ( ) ( )2

du3u a+∫ 2

( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫ = ln ( )2 132 5 + tan 1

2x x x− C+ + + +

C

1

2

3

4

5

6

7

8


t

y


. ( )2a + b d t t∫

. ( )22 2 d t t−∫

. ( ) 22a+b dy y−

∫. ( )

238 - dx x∫

. ( )3

2 3 23 - 2 d x x x∫

. 1 2 d x x−∫

. 3 a b d x x+∫

. 22 d

6 9 x

x x− +∫

9. ( )2 2

d2 1

x xx −∫

10. ( )2

2x+3 d

3

x

x x+∫

11. ( )2

x+3 d

6

x

x x+∫

12. d+1x

x∫

13. d2 +1

xx∫

14. 2 d

+ 1x x

x∫

15. ( )2

1+2 d + x x

x x∫

28

Cálculo Integral

16. ( )2

1- d -2

x xx x∫

17. ( )2

5-2 d -5

x xx x∫

18. 3 d xe x−∫19. b d xe x−∫

20. d xe xx∫

21. 1

2 d xe x

x∫

22. cos s e n d xe x∫ x

x

x

23. sen cos d xe x∫24. tan 2 26 sec 2 d xe x∫

25. ln

d xe x

x∫

26. d 1

xx

e +∫

27. 2d

2 x

xe− −∫

28. d x xx

e e− −∫

29. d 9 4

x xx

e e−+∫

30. 210 dx x∫

31. 3

5 dx

x−

∫

32. 10 dx

xx∫

33. 1

2a d

x

xx∫

34. ( ) 23 1

d3

x

x x+

∫

35. 2 d2 4

x

xx

+∫

36. sen 3 dx x∫

37. 5sen dx xπ∫

38. ( )sen 2-3 dx x∫

39. ( )cos b+a d x x∫

40. 3 4cos 5x dx x∫

41. cos 1-sen d θ θ θ∫

42. 3cos s e n d θ θ θ∫

43. tan dx xx∫

29

Cálculo Integral

44. tg d x xe e x− −∫45. 2 2tan s ec d x x x∫

46. 5 2tan 2 s ec 2 d x x x∫

47. cot d3

θ θ∫

48. 2 cot d θ θ θ∫

49. 2cot csc d3 3

θ θ θ∫

50. ( )cot ln sen d θ θ θ∫

51. 3sec d4

x x∫

52. 3 3s ec d x xe e− −∫ x

53. 2sec tan d θ θ θ∫

54. 3

2sec tan d θ θ θ∫

55. sec tan d3 3

θ θ θ∫

56. ( ) ( )sec 2 tan 2 d φ φ φ− −∫

57. 2sec d α απ∫

58. ( )2sec 1-2 d x x∫

59. csc 5 d5

πθ θ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

60. 2csc dx x x∫

61. ( )2cs c a-b d x x∫

62. cs c 2 cot 2 d θ θ θ∫

63. 2 2cs c 2 cot 2 d θ θ θ∫

64. ( )2cs c a-b d θ θ∫

65. 2d

4 9x

x +∫

66. 2d

9 4x

x +∫

67. 2d

5 12x

x +∫

68. 2d2 5x

x x+ +∫

69. 2d

4 4 5x

x x+ +∫

70. 2d

2 2 1x

x x− +∫

71. ( )2

2 5 d2 5

x xx x

++ +∫

72. ( )2

3 5 d1

x xx x

++ +∫

73. 2d

9 1x

x −∫

30

Cálculo Integral

74. 2d

25 4 x

x −∫

75. 2d

3 5 x

x −∫

76. 2 2 2b d

a c x

x −∫

77. 2d4 3

xx x+ +∫

78. 2d2 3

xx x+ −∫

79. 2d

11 30 x

x x+ +∫

80. 2d

3 4 1 x

x x+ +∫

81. ( )2

8 1 d4 4 3

x xx x

−− −∫

82. ( )2

1 d4 4 3

x xx x

−− −∫

83. 2d

4 9 x

x−∫

84. 2d

9 4 x

x−∫

85. 2d

5 3 x

x−∫

86. 2d

3 5 x

x−∫

87. ( ) 2

d4 2 1

xx− −∫

88. 2d

4x

x x−∫

89. 2d

6x

x x−∫

90. ( )2

x+3 d6

xx x−∫

91. 2

d

4 9

x

x +∫

92. 2

d

9 4

x

x +∫

93. 2

d

5 12

x

x +∫

94. 2

d

2 5

x

x x+ +∫

95. 2

d

4 4 5

x

x x+ +∫

96. 2

d

2 2 1

x

x x− +∫

97. ( )2

2 5 d

2 5

x x

x x

+

+ +∫

98. ( )2

3 5 d

1

x x

x x

+

+ +∫

99. 2

d

9 1

x

x −∫

100. 2

d

25 4

x

x −∫

101. 2

d

3 5

x

x −∫

31

Cálculo Integral

102. 2 2 2

b d

a c x

x −∫

103. 2

d

4 3 x

x x+ +∫

104. 2

d

2 3 x

x x+ −∫

105. 2

d

11 30 x

x x+ +∫

106. 2

d

3 4 1 x

x x+ +∫

107. ( )2

8 1 d

4 4 3 x x

x x

−

− −∫

108. ( )2

1 d

4 4 3 x x

x x

−

− −∫

109. 2

d

4 9 x

x−∫

110. 2

d

9 4 x

x−∫

111. 2

d

5 3 x

x−∫

112. 2

d

3 5 x

x−∫

113. ( ) 2

d

4 2 1 x

x− −∫

114. 2

d

4 x

x x−∫

115. 2

d

6

x

x x−∫

116. ( )2

x+3 d

6

x

x x−∫

117. 24 9 dx x+∫

118. 29 4 dx x+∫

119. 25 12 dx x+∫

120. 2 2 5 d x x x+ +∫

121. 24 4 5 d x x x+ +∫

122. 22 2 1 d x x x− +∫

123. 29 1 dx x−∫

124. 225 4 d x x−∫

125. 23 5 dx x−∫

126. 2 2 2a c b d x x−∫

127. 2 4 3 d x x x+ +∫

128. 2 2 3 d x x x+ −∫

129. 2 11 30 d x x x+ +∫

32

Cálculo Integral

141. 2sen d

cos 16x xx +∫ 130. 23 4 1 d x x x+ +∫

131. 24 4 3 d x x x− −∫ 142. 2sen d4 cos

θ θθ−∫

132. 24 9 d x x−∫ 143. 2cos d4 sen

θ θθ−∫

133. 29 4 d x x−∫ 144. 2

2sec dtan 1

θ θθ +∫

134. 25 3 d x x−∫ 145.

x

2

2 d

4 x

e x

e−∫

135. 23 5 d x x−∫ 146.

x

2d

1 xe x

e−∫

136. ( ) 24 2 1 d x x− −∫ 147. 216 d x xe e+ x∫

137. 24 d x x x−∫ 148. 2 9 4 dx x x−∫

138. 26 d x x x−∫

149. x

2 d1 xe x

e−∫

139. 2

sen d

4 cos θ θ

θ−∫

150. ( )2

dln 9

xx x +∫

140. 2

sen d

cos 16 x x

x +∫

2.3.3 Cálculo de integrales indefinidas por partes.

La integración por partes, es uno de los denominados métodos de integración, y consiste en

hallar la integral de funciones que por alguna razón no pueden resolverse por medio de las

fórmulas fundamentales de integración.

33

Cálculo Integral

La integración por partes tiene por objeto hallar la integral de la diferencial de un producto; el

de una función u por la diferencial de otra función dv de la misma variable, quedando

representadas en la siguiente fórmula:

d = du v uv v u−∫ ∫

Para aplicar la fórmula a una integral dada, representamos por u a una parte del integrando y

por dv al resto ( incluyendo dx). No puede darse una regla general que nos permita saber con

facilidad el factor que deba ser u y dv respectivamente, no obstante es importante que la

diferencial dv sea fácilmente integrable. Al sustituir los parámetros u, du, v, y dv, en la

fórmula de integración por partes, se debe comparar la integral que resulta en el segundo

miembro de la igualdad, ya que si ésta es más complicada que la integral original, entonces, la

elección que hicimos de u y dv al inicio no es la correcta y nos veremos en la necesidad de

probar otras opciones.

Mediante la práctica podremos reconocer que tipo de integrales es preciso hallar por este

método, sin embargo, podemos adelantar que generalmente la integración por partes tiene

aplicación en productos indicados, funciones trigonométricas inversas, funciones logarítmicas,

como veremos en los siguientes:


15. Hallar: sen dx x x∫

Solución: u = x, entonces du = dx

si dv = sen x dx , entonces v = sen dx x∫ = − cos x

sen dx x x∫ = (x) ( - cos x ) − ( )cos dx x−∫ ,

sen dx x x∫ = - x cos x + sen x + C

34

Cálculo Integral

16. Hallar: ∫ x2 cos x dx

Solución: Si u = x2; entonces du = 2x dx

si dv = cos x dx, entonces v = cos dx x∫ = sen x, sustituyendo en la fórmula:

∫ x2 cos x d x = ( x2) (sen x) − 2 ∫ x sen x dx

comparamos la integral que resulta en el segundo miembro, ∫ x sen x dx, y como

podemos ver, es más simple que la integral original, ∫ x2 cos x dx, por lo que la

elección de u y dv ha sido correcta, sin embargo, dicha integral aún no puede

resolverse mediante fórmulas fundamentales, siendo necesario aplicar nuevamente el

método de integral por partes en ∫ x sen x dx, y como ya ha sido mostrado en el

ejemplo 15 queda de la siguiente manera:

x∫ 2 cos x dx = x2 sen x – 2 [ ] - x cos x + sen x C+

x∫ 2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x – 2 sen x + C

17. Hallar: sen dxe x∫ x

Solución: si u = , entonces du = dx xe xe

y dv = sen x dx, entonces v = sen dx x∫ = – cos x, sustituyendo en la fórmula:

= – cos x + sen dxe x∫ x xxe cos dxe x∫

comparando la integral del segundo miembro, cos dxe x x∫ , es de igual grado de

dificultad que la integral original, sen dxe x x∫ , validando con esto la elección de u y

35

Cálculo Integral

dv, siendo necesario aplicar nuevamente el método de integración por partes de la

siguiente manera:

= – cos x + sen dxe x∫ x xxe cos dxe x∫

si u = , entonces du = dx xe xe

si dv = cos x dx, entonces v = cos dx x∫ = sen x, sustituyendo en la fórmula:

= – cos x + sen x – sen dxe x∫ x xxe xe sen dxe x∫

la integral que se forma en el segundo miembro de la igualdad, es igual a la integral

original, por tanto, mediante la transposición de términos, como está restando, pasa

sumando al primer miembro:

sen dxe x∫ x x + sen dxe x∫ = – cos x + sen x xe xe

2 = sen x – cos x sen dxe x∫ x

x

xe xe

sen dxe x∫ = 12

( sen x – cos x ) + C xe

18. Hallar: ∫ x2 dx xe

Solución: supongamos que; u = entonces du = dx xe xe

si dv = x2 dx , v = ∫ x2 dx = 13 x 3, sustituyendo en la fórmula:

∫ x2 dx = xe 13 x 3 – xe 1

3 ∫ x3 dx xe

al comparar la integral del segundo miembro con la integral inicial del primer miembro

de la igualdad, podemos constatar que es de mayor grado de dificultad, por lo que en

esta ocasión, invalidamos la elección de u y dv, y nos disponemos a elegir otra opción:

36

Cálculo Integral

supongamos ahora que; u = x2, entonces du = 2x dx

si dv = dx , v = ∫ dx = , sustituyendo en la fórmula: xe xe xe

∫ x2 dx = xxe 2 xe − 2 ∫ x dx xe

en esta ocasión la integral de la derecha es de menor grado de dificultad que la de la

izquierda, validando la elección de u y dv, sin embargo, es necesario aplicar

nuevamente el método de integración por partes:

u = x, du = dx

dv = dx , v = xe ∫ xe dx = , sustituyendo en la fórmula: xe

∫ x2 dx = xxe 2 – 2 xe ∫ x dx xe

∫ x2 dx = xxe 2 – 2 xe dx xxe e x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∫

∫ x2 dx = xxe 2 – 2 x + 2 + C = ( xxe xe xe xe 2 – 2x + 2 ) + C

19. Hallar: 2 ln dx x x∫

Solución: u = ln x, du = dxx

dv = x2 , v = ∫ x2 dx = 13x3

2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – ∫ 1

3 x3 dx

x

2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – 1

3 ∫ x2 dx

2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – 1

9 x3 + C

37

Cálculo Integral

20. Hallar: 2 1 s n dx e x−∫ x

e x−

Solución: u = s n , du = 1

2

d

1

x

x−

dv = x2 dx, v = ∫ x2 dx = 13 x3, sustituyendo en la fórmula:

2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 – 1s ne − x 1

3

3

2

d

1

x x

x−∫

integrando nuevamente por partes:

u = x2, du = 2x dx

dv = 2

d

1

x x

x−∫ , v = 2

d

1

x x

x−∫ = - 21 2 1 x−

2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 – 1s ne − x 1

3

2 2 21 2 x 1 + 1 dx x x x⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 + 1s ne − x 1

6 2 2 21

31 1 dx x x x x− − −∫

2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 + 1s ne x− 1

62 2 1

61 + x x− ( )3

21 x−

C

1

2

3

4



. s n 2 dx e x∫ x

. s n 3 dx e x x∫

. 2 sen dx x x∫

. cos 2 dx x x∫

5. cos 4 dθ θ θ∫

6. se n a sen b dx x x∫

7. se n sen 3 dx x x∫

8. 2 sen 2 dθ θ θ∫

38

Cálculo Integral

9. 2 cos 3 dθ θ θ∫

10. 2 cos dx x x∫

11. 2 cos 2 dx x x∫

12. 2 sen 3 dx x x∫

13. 2 sec 2 dx x x∫

14. 2 tan dx x x∫

15. s e n d2

x xe x∫

16. 5 s e n π dt

e t∫ t

t

17. cos dte t−∫18. 4 cos π d

te t∫ t

19. 10 dxx x∫

20. 2 dxx x∫

21. 2 e dxx x∫

22. 3 e dxx x∫

23. 2 2 e dxx x∫

24. 2 e dxx x−∫

25. ( )ln +2 dx x∫

26. ln 3 dx x∫

27. ln 3 dx x x∫

28. 3 ln dx x x∫

29. 2ln 2 dx x∫

30. 3ln dx x x∫

31. 2 ln dx x x∫

32. 3 ln dx x x∫

33. ( )sen ln dx x∫

34. ( )cos ln dx x∫

35. ( )ln cos sen dx x x∫

36. ( )2 2ln a dx x x+ +∫

37. ( )2ln d

1x x

x +∫

38. ( )ln 1 d

1x xx+

+∫

39

Cálculo Integral

39. 3ln dt t

t∫ 47. 1tan a dθ θ−∫

48. 2 1tan dθ θ θ−∫ 40. 2 2 ln dx x x∫

49. 1cot dx x x−∫ 41. 1s e n 2 dθ θ−∫

50. 2 1cot dx x x−∫ 42. 1s e n dθ θ−∫

51. 1 dx x x+∫ 43. 2 1s e n 2 dθ θ θ−∫

52. 3 2 1 dx x x+∫ 44. 1cos d2θ θ−∫

53. 2 1 dx x x+∫ 45. 1 2cos dθθ

−∫

54. ( )

5

23

d

8

t t

t +∫ 46. 2 1cos d2θθ θ−∫

2.3.4 Cálculo de integrales trigonométricas.

Se presentan con frecuencia algunas diferenciales trigonométricas, que a simple vista no se

adaptan a las fórmulas fundamentales, no obstante, se pueden integrar fácilmente por medio de

reducciones trigonométricas sencillas.

Caso I. integrales de la forma: s n cos dm ne u u u∫

Si m o n es entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, la integral puede resolverse,

transformando la expresión por medio de la identidad: mediante la

fórmula iv:

2 2s n + cos = 1e θ θ

n + 1

d = + n + 1

n uu u C∫ . Si m es impar, escribiremos 1s n s n me eθ θ− y podremos

40

Cálculo Integral

sustituir 1s n me θ− por su equivalente 2s n 1 cose 2θ θ= − , hasta convertir la expresión a la

siguiente forma:

( )suma de términos que contienen cos sen du u∫ u

Si n es impar, escribiremos 1cos cos n θ θ− y sustituyendo 1s nme θ− por su equivalente

2cos = 1 s ne 2θ θ− , y convertir la expresión a la forma:

( )suma de términos que contienen sen cos du u∫ u


21. Hallar: 4 3cos s n dx e x∫ x

Solución: = 3 2s n s n s ne x e x e x= ( )2 1 cos sen x x−

4 3cos s n dx e x x∫ = ( )4 2 cos 1 cos sen dx x x− x∫

4 3cos s n dx e x x∫ = 4 6cos sen d cos sen dx x x x x x−∫ ∫

haciendo u = cos x, du = sen x dx; −

4 3cos s n dx e x∫ x = 15− 5 71

7

cos + cosx x C+

22. Hallar: 5 2cos s n dx e x∫ x

Solución:

( ) ( )25 4 2 2 4cos cos cos 1 s n cos = 1 2s n s n cosx x x e x x e x e x= = − − + x

5 2cos s n dx e x∫ x = ( )2 4 21 2s n s n s n cos dxe x e x e x x− +

5 2cos s n dx e x∫ x = 2 4 6s n cos d 2 s n cos d + s n cos de x x x e x x x e x x x−∫ ∫ ∫

41

Cálculo Integral

haciendo u = s n , d = cos de x u x x

5 2cos s n dx e x∫ x = 3 5 71 2 13 5 7

s n s n + s n + e x e x e x C−

23. Hallar: 7s n de x∫ x

Solución: ( ) ( )7 6 2 3 2 3s n s n s n = s n s n = 1 cos s ne x e x e x e x e x x e= − x

7s ne x ( )2 4 6= 1 3cos 3cos cos s nx x x e− + − x

x

x

7s n de x∫ = 2 4 6s n d 3 cos s n d + 3 cos s n d cos s n de x x x e x x x e x x x e x x− −∫ ∫ ∫ ∫

= 7s n de x∫ − 3 5 73 15 7

cos + cos cos + cos + x x x x− C

Cuando m y n son ambos pares, enteros y positivos, la expresión diferencial dada puede

transformarse por sustituciones trigonométricas, empleando las siguientes identidades

trigonométricas:

12

s n cos = s n 2e eθ θ θ

2 1 12 2

s n = - cos 2e θ θ

2 1 12 2

cos = + cos 2θ θ

24. Hallar: 2cos dx x∫

Solución: 2cos dx x∫ = 1 12 2

+ cos 2 dx x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 1 1

2 4 + s n 2 + x e x C

42

Cálculo Integral

25. Hallar: 4 4s n cos de x x x∫

Solución: ( ) ( ) (44 24 4 21 1

2 16s n cos = s n cos = s n 2 = s n 2e x x e x x e x e x)

( ) ( )24 4 21 1 1 1 1 1 1

16 2 2 16 4 2 4

s n cos = cos 4 = cos 4 cos 4 e x x x x x− − +

( )4 4 1 1 1 1 3 1 11 1 + 16 4 2 4 128 32 1282 2

s n cos = cos 4 cos 8 cos 4 + cos 8e x x x x x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− + = −

4 4 3 1 1

128 32 128 s n cos d = d cos 4 d + cos 8 de x x x x x x x x−∫ ∫ ∫ ∫

= 4 4s n cos de x x x∫ 3 1 1128 128 1024

s n 4 + s n 8x e x e x C− +

Caso II. integrales de la forma: tan dn u u∫ o cot dn u u∫

Si n es un entero par o impar, las identidades trigonométricas pitagóricas siguientes son de

gran ayuda:

2 2 2 2sec tan = 1 y csc cot = 1θ θ θ θ− −

descomponiendo las expresiones diferenciales dadas como a continuación se indica:

( )2 2 2 2tan = tan tan = tan sec 1n n nu u u u u− − −

( )2 2 2 2cot = cot cot = cot sc 1n n nu u u u c u− − −

26. Hallar: 5tan dx x∫

Solución:

( ) ( )5 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2tan tan tan = tan sec 1 tan sec - tan = tan sec tan sec 1x x x x x x x x x x x x= − = − −

5tan dx x∫ = 3 2 2tan sec tan sec tan x x dx x x dx x dx− +∫ ∫ ∫

haciendo u = tan x, du = 2sec dx x

5tan dx x∫ = 4 21 14 2

tan - tan + ln sec + x x x C

43

Cálculo Integral

27. Hallar: 3cot dx x∫

Solución:

3 2 2 2cot cot cot x = cot x (csc 1) = cot x csc cot xx x x x= − −

3cot dx x∫ = 2cot csc d cot dx x x x x−∫ ∫

haciendo en la primera integral para aplicar las

formulas iv y xi respectivamente:

2cot ; d csc du x u x= = − x

3cot dx x∫ = 212

cot lnx sen x C− − +

Caso III. integrales de la forma: sec dn u u∫ o csc dn u u∫

Cuando n es número entero positivo par, las expresiones diferenciales dadas se descomponen

como a continuación se indica:

( )2

2 2 2 22sec sec sec tan 1 secn

n nu u u u−

−= = + u

( )2

2 2 2 22csc sc csc cot 1 scn

n nu c u u u c u−

−= = +

28. Hallar:

6 dsec x x∫Solución:

( )26 4 2 2 2 4 2 2 2 tan 1 sec tan sec 2 tan sec secsec x sec x sec x x x x x x x x= = + = + + 2

= 6 dsec x x∫ 4 2 2 2 2tan sec d 2 tan sec d sec dx x x x x x x x+ +∫ ∫ ∫

haciendo en la primera y segunda integral, empleando las 2tan ; d sec du x u x= = x

formulas iv y xvi:

= 6 dsec x x∫ 5 31 25 3

tan tan tanx x x C+ + +

44

Cálculo Integral

29. Hallar: 4 dcsc x x∫Solución: ( )4 2 2 2 2 2 2 cot 1 cot csc x csc x csc x x csc x x csc x csc x= = + = + 2

= 4 dcsc x x∫ 2 2 2cot csc d + dx x x csc x x∫ ∫ ;

haciendo para emplear las formulas iv en la primera

integral y xvii en la segunda:

2 ; d du ctg x u csc x x= = −

= 4 dcsc x x∫ 313

cot cotx x C− − +

Caso IV. integrales de la forma: tan d o cot c d m n m nu sec u u u sc u u∫ ∫

Si n es un número entero positivo par, se procede similarmente al caso III.

30. Hallar: 4 4tan sec dx x∫

Solución:

( )4 4 4 2 2 4 2 2 6 2tan x tan x tan x tan x+1 tan x sec x sec x sec x sec x sec x sec x= = = 2+

4 4tan sec dx x∫ = 6 2 2tan d + dx sec x x sec x x∫ ∫ = 717

tan tan x x C+ +

31. Hallar: 4 6cot dx csc x x∫

Solución:

( )24 6 4 2 2 8 2 6 2 4cot csc cot cot 1 csc cot 2cot cot 2x x x x x x csc x x csc x x csc x= + = + +

4 6 8 2 6 2 4 2cot d cot d 2 cot d cot dx csc x x x csc x x x csc x x x csc x x= + +∫ ∫ ∫ ∫

4 6 9 7 51 2 19 7 5

cot d - cot cot cotx csc x x x x x C= − −∫ +

45

Cálculo Integral

Si m es impar, se deben descomponer como se ilustra en el siguiente ejemplo:

32. Hallar: 5 4tan sec x x dx∫

Solución: ( )25 4 4 3 2 3tan sec tan sec tan sec sec 1 sec sec tan x x x x x x x x x= = − x

5 4 7 5 3tan sec sec sec tan - 2 sec sec tan sec sec tan x x dx x x x dx x x x dx x x x dx= +∫∫ ∫ ∫

haciendo u = sec x ; du = sec x tg x dx y empleando la formula iv:

5 4 8 6 41 1 18 3 4

tan sec sec - sec secx x dx x x x C= + +∫

C

1

2

3

4

5

6

7



. 2sen dx x∫

. 2sen a dx x∫

. 2cos dx x∫

. 2cos a dx x∫

. 3sen dx x∫

. 3sen 2 dθ θ∫

. 3cos dx x∫

8. 3cos 2 dθ θ∫

9. 4sen dx x∫

10. 4sen a dx x∫

11. 4cos dx x∫

12. 4cos a dx x∫

13. 5sen dx x∫

14. 5sen b dx x∫

46

Cálculo Integral

26. 2 3sen cos d2 2θ θ θ∫ 15. 6cos dx x∫

16. 6cos b dx x∫ 27. 3 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫

17. 2 2sen a cos a dx x x∫ 28. 3tan dθ θ∫

18. 2 2 2 2 sen cos dx x x∫ x 29. 5tan 3 dθ θ∫

19. 3 3sen cos dx x x∫ 30. 3 3tan sec d3 3θ θ θ∫

20. 3 3sen m cos m dt t∫ t 31. 6tan dθ θ∫

21. 4 4sen cos d2 2θ θ θ∫ 32. 4 4tan sec dπθ πθ θ∫

22. 4 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫ 33. ( )2tan + ctg dθ θ θ∫

23. 2 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫ 34. ( )2tan sec dθ θ θ+∫

24. 3 2sen cos dπθ πθ∫ θ

25. 4 2sen cos d2 2θ θ θ∫

2.3.5 Cálculo de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica.

El método de integrar por sustitución consiste en reemplazar la variable de integración, o una

expresión que la contenga, por otra variable o una función de otra variable. Mediante esta

sustitución se transforma el integrando propuesto en otro de más fácil realización.

En este capitulo trataremos particularmente tres sustituciones trigonométricas importantes:

47

Cálculo Integral

I. Cuando aparece 2a 2x− en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo

rectángulo:

a x

θ

2 2a x−

Y se sustituirá de la manera siguiente:

x = a sen θ

dx = a cos θ dθ

2a 2x− = a cos θ

Ejemplo: Hallar: 2

2

dx

4 - x

x∫

Solución: Tomando a = 2, tenemos:

x = 2 sen θ

dx = 2 cos θ dθ

24 x− = 2 cos θ

2

2

dx

4 - x

x∫

= ( )22s e n 2 cos d2 cos θ θ θ

θ∫ = 4 2s e n dθ θ∫ = 4 ( )1 1

2 4 sen 2θ θ−

2

2

dx

4 - x

x∫ = 2θ - sen 2θ ;

48

Cálculo Integral

Por medio de identidades trigonométricas, tenemos que sen 2θ = 2 sen θ cos θ , y en el

triángulo rectángulo se toma: 2

1 ,

2 24s e n = s e n , cos =

2x x xθ θ θ− −

= , quedando de la

manera siguiente:

2

2

dx

4 - x

x∫ = 2θ - 2 senθ cosθ = 2

1 42 - 2

2 22s e n

x xx− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

dx

4 - x

x∫ =2

1 4 2 -

2 2s e n x x x

C− −

+

II. Cuando aparece 2a 2x+ en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo

rectángulo:

2 2a x+ x

θ

a

Y se sustituirá de la manera siguiente:

x = a tan θ

dx = a s e 2c θ dθ

2 2a x+ = a sec θ

Ejemplo: Hallar: 2 2

d

16

x

x x+∫


x = 4 tan θ

dx = 4 2s ec θ dθ

49

Cálculo Integral

216 x+ = 4 sec θ

2 2

d

16

x

x x+∫

= 2

24 sec

(4 tan ) 4secdθ θ

θ θ∫ = 2sec 16 tan

dθ θθ∫

2 2

d

16

x

x x+∫ = 1 1 116 16 16

cos = = cot csc tan sen tan sen cos

d

d dθ

θθ θ θ θθ θ θ θθ

∫ ∫ ∫

2 2

d

16

x

x x+∫ = 1

16csc θ− ; del triángulo rectángulo, se tiene que: csc θ =

216 xx+

2 2

d

16

x

x x+∫ = ( )2

116

16 x Cx+

− +

III. Cuando aparece 2 ax − 2 en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo

rectángulo:

x 2 2ax −

θ

a

Se sustituye:

x = a sec θ

dx = a sec θ tan θ dθ

2 ax − 2 = a tan θ

Ejemplo: Hallar: 3

2

d

25

x x

x −∫


x = 5 sec θ

dx = 5 s ec tan θ θ dθ

50

Cálculo Integral

2 25 5 tan x θ− =

( )333

2

5 sec 5 sec tan dd 125 s ec sec d5 tg 25

x x

x

θ θ θ θθ θ θ

θ−= =∫ ∫ ∫

( )3

2 2 2 2 2

2

d 125 s ec 1+ tan d = 125 s ec d + 125 tan s ec d 25

x x

xθ θ θ θ θ θ θ θ

−=∫ ∫ ∫ ∫

33

2

d 125125 tan tan325

x x Cx

θ θ+ +−

=∫ , pero 2 25tan = 5

xθ − ;

33 2 2

2

d 25 125 25125 5 3 525

x x x x

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=∫

( )3 32 2

2

13

d 25 25 2525

x x x x Cx

− + − +−

=∫

C

1

2

3

4

5

6



. 2 21 dx x x−∫

. 2 29 dx x x−∫

. 3 24 dx x x−∫

. 3 25 2 dx x x−∫

. 3 24 25 dx x x−∫

. 3 2 16 dx x x−∫

7. 3 24 dx x x+∫

8. 3 216 5 dx x x+∫

9. 23 dx x

x−∫

10. 25 dx x

x−∫

11. 24 9 dx xx−∫

51

Cálculo Integral

12. 2 25 dx x

x−∫

13. 2 16 dx x

x+∫

14. 2 5 dx x

x+∫

15. 2

216 dx x

x−∫

16. 2

24 9 dx x

x−∫

17. 2

24 9 dx x

x−∫

18. 2

22 5 dx x

x−∫

19. 2

29 dx x

x+∫

20. 2

23 5 dx x

x+∫

21. 2

d

16

x

x x−∫

22. 2

d

25

x

x x−∫

23. 2

d

3

x

x x+∫

24. 2

d

4 9

x

x x −∫

25. 2

2

d

25

x x

x−∫

26. 2

2

d

16 3

x x

x−∫

27. 2

2

d

6

x x

x −∫

28. 2

2

d

9 4

x x

x −∫

29. 2

2

d

5

x x

x+∫

30. 2

2

d

9

x x

x +∫

31. 2 2

d

5

x

x x−∫

32. 2 2

d

7 4

x

x x−∫

33. 2 2

d

4

x

x x −∫

34. 2 2

d

4 9

x

x x −∫

35. 2 2

d

9 2

x

x x + 5∫

36. 2 2

d

25 16

x

x x +∫

37. 3

2

d

4

x x

x−∫

52

Cálculo Integral

38. 3

2

d

9 4

x x

x−∫

39. 3

2

d

4 7

x x

x −∫

40. 3

2

d

9

x x

x −∫

41. 3

2

d

4 1

x x

x +∫

42. 3

2 2

d

a

x x

x +∫

43. 3 2

d

5

x

x x−∫

44. 3 2

d

7 4

x

x x−∫

45. 3 2

d

4

x

x x −∫

46. 3 2

d

4 9

x

x x −∫

47. 3 2

d

9 2

x

x x +∫ 5

48. 3 2

d

25 16

x

x x +∫

49. ( )3

2 2 2a dx x−∫

50. ( )3

2 24 dx x+∫

51. ( )3

3 2 29 4 dx x x−∫

52. ( )3

3 2 28 dx x x+∫

53. ( )

32 2

d

5

x

x−∫

54. ( )

32 2

d

25

x

x−∫

55. ( )

32 2

d

1

x

x −∫

56. ( )

32 2

d

3

x

x −∫

57. ( )

32 2

d

3

x

x +∫

58. ( )

32 2

d

2

x

x +∫

59. ( )

2

32 2

d

3

x x

x−∫

60. ( )

2

32 2

d

4

x x

x−∫

61. ( )

2

32 2

d

8

x x

x +∫

62. ( )

2

32 2

d

2

x x

x +∫

53

Cálculo Integral

63. ( )

2

32 2

d

1

x x

x −∫ 67.

( )2

52 2

d

8

x x

x +∫

64. ( )

2

32 2

d

3

x x

x −∫ 68.

( )2

52 2

d

2

x x

x +∫

65. ( )

2

52 2

d

3

x x

x−∫ 69.

( )2

52 2

d

1

x x

x −∫

66. ( )

2

52 2

d

4

x x

x−∫ 70.

( )2

52 2

d

3

x x

x −∫

2.3.6 Cálculo de integrales indefinidas por fracciones parciales.

Es posible escribir cualquier expresión racional ( )( )

fg

xx

como una suma de fracciones cuyos

denominadores son potencias de polinomios de grado no mayor que dos;

( )( )

fg

xx

= F1 + F2 + …+ Fk

donde a cada Fi se le denomina fracción parcial de ( )( )

fg

xx

, y tiene una de las dos formas

siguientes:

( ) ( )m n2

A C o p q a b c

xx x x+ + +

+ D

donde m y n son enteros positivos y ax2 + bx + c es una expresión cuadrática sin raíces reales,

es decir, b2 – 4ac < 0.

Para descomponer una expresión racional ( )( )

fg

xx

en fracciones parciales es necesario que f(x)

tenga grado menor que g(x). Si no es así, se deberán dividir algebraicamente las expresiones

hasta conseguir tal situación, después se representa el denominador g(x) como un producto de

54

Cálculo Integral

factores de la forma px + q ó expresiones cuadráticas irreducibles de la forma ax2 + bx + c;

después agrupamos los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un

producto de factores distintos de la forma ( px + q )m ó ( ax2 + bx + c )n donde m y n son

enteros positivos, y aplicamos lo siguiente:

Caso I. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite.

Para cada factor de la forma ( Ax B)+ , la expresión racional ( )( )

fg

xx

se descompone de la

siguiente manera:

( )( ) 1 1 2 2

. . .n n

f x A B CA x B A x B A x Bg x +

= + + ++ +

Ejemplo: Hallar: ( )3 2

3 d6 5

x xx x x

+− +∫

Solución: ( ) ( )( )( )3 2

3 d 3 d5 16 5

x x xx x xx x x

+ +=

x− −− +∫ ∫

( )( )( )

3 A B C 5 1 5

x1x x x x x x

+= + +

− − − −, donde A, B y C son constantes por determinar:

Multiplicando por , obtenemos: ( )(5x x x− − )1

x + 3 = A ( x – 5 )(x – 1 ) + B x ( x – 1 ) + C x ( x – 5)

x + 3 = ( A + B + C) x2 + ( -6A – B – 5C) x + 5A

igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,

obtenemos tres ecuaciones simultáneas:

A + B + C = 0 -6A – B – 5C = 1

5A = 3 resolviendo el sistema, obtenemos:

A = 35

, B = 25

, C = - 1

55

Cálculo Integral

Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:

( ) ( )( )( )3 2

3 25 53 d 3 d A B C -1d d

5 1 5 1 5 16 5 x x x x

x xx x x x x x x x xx x x

+ + ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − − −− + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=∫ ∫ ∫ ∫ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2

5 5

3 23 25 5

3 d 5 ln ln 5 ln 1 ln

16 5 x x x x

x x x Cx

Cx x x

+ −= + − − − + = +

−− +∫

Caso II. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.

Para cada factor de la forma ( px + q )m donde m 1, la expresión racional ≥ ( )( )

fg

xx

se

descompone de la siguiente manera:

( )( ) ( ) ( )

1 2m 1

f A A . . .g pp q p q m

xx xx x −= + + +

mAq++ +

donde cada Ai es un número real.

Ejemplo: Hallar: ( )

2

3( 1 )d

2x xx

+

−∫

Solución: ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3 2( 1 ) A B C

22 2 2x

xx x x+

= + +−− − −

multiplicando por ( )32x −

obtenemos: x2 + 1 = A + B ( x – 2 ) + C ( x – 2 )2

x2 + 1 = C x2 + ( B - 4C ) x +A-2B + 4C



C = 1 B – 4C = 0

A -2B + 4C = 1

Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5, B = 4, C = 1

56

Cálculo Integral


( ) ( ) ( ) ( )2

3 3 2( 1 ) d A B C

22 2 2 x x dx

xx x x

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟

⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2

3 3 2( 1 ) d 5 4 1 d

22 2 2 x x x

xx x x

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟

⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2

3 2( 1 ) d -5 4 ln 2

22 2 2 x x x C

xx x+

= − + −−− −∫ +

Caso III. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y ninguno se repite.

Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c ), la expresión racional ( )( )

fg

xx

se descompone de la

siguiente manera:

( )( )

1 1 2 + 2 n n2 2 2

1 1 1 2 2 2 n n. . .

f A x+B A x B A x+Ba b c a b c a b cg

xx x x x x xx

= + + ++ + + n+ + +

donde cada i, Ai y B i son números reales

Ejemplo: Hallar: 3d

1x

x +∫

Solución: ( )( )3 22

1 1 A B x+11 11 1

x Cx x xx x x

+= = +

+ −+ − + +

( )( )2multiplicando por 1 1x x x+ − +

1 = A ( 2 1x x− + ) + ( Bx + C )( x + 1)

1 = ( A + B ) 2x + ( B – A + C ) x + ( A + C )



57

Cálculo Integral

A + B = 0 -A + B + C = 0 A + C = 1 resolviendo el sistema, obtenemos: A = 1

3, B = 1

3

− , C = 23


3 2

-1 21 3 33 dd dx+11 1

x xx xx x x

+= +

+ −∫ ∫ ∫ +

( ) ( )2 13

1 1 1 l l

3 6 2 3d 2 n x+1 n 1 tan

1 3 x x 1x x C

x− −

= − − + ++∫ +

( )

( )

13

13 1

2 6

12 3

x+1d 2 ln tan 1 31 x x C

x x x

− −= +

+ − +∫ 1

+

Caso IV. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten.

Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c )n donde n 1 y ax≥ 2 + bx + c es una expresión

cuadrática irreducible, la expresión racional ( )( )

fg

xx

se descompone de la siguiente manera:

( )( ) ( ) ( )

1 1 2 + 2 n nn 1 22 2

. . .f A x+B A x B A x+B

a b cg a b c a b cn

xx xx x x x x

−= + + +++ + ++ +

donde cada i, Ai y B i son números reales.

Ejemplo: Hallar: ( )

( )

3

22

3 d

1

x x x

x

+

+∫

Solución: ( )( ) ( ) ( )

3

2 2 22 2

3 A B C D 11 1

x x x xxx x

+ + += +

++ +, multiplicando por: ( )

22 1x +

3 3x x+ = ( )A Bx + + ( )( )2C D 1x x+ +

3 3x x+ = Cx3 + Dx2 + ( A + C )x + ( B + D )

58

Cálculo Integral


obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas:

C = 1 D = 0

A + C = 3 B + D = 0

Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3, B = 0, C = 1, D = 0


( )

( )

3

22

3 d

1

x x x

x

+

+∫ = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2

A B C D 3 d d 1 11 1

x x x xx xx x

x x+ ++ = +

+ ++ +∫ ∫ ∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )3

2 22 2 22

3 d 3 1 3 ln 1 ln 1 22 1 2 11

x x xx x C

x xx

+ −+ + = + − +

+ ++=∫

C

1

2

3

4

5

6



. 2d2 3x

x x+ −∫

. 2d2 15x

x x+ −∫

. 2d6 5x

x x− +∫

. 2d

4 12x

5x x− +∫

. 2d

2 5x

4x x+ +∫

. 2d

4 6 1x

0x x+ +∫

7. 2d

6 9 15x

x x− +∫

8. 2d

21 4xx x− −∫

9. 2d

3x

x x+∫

10. 2d

2 6x

x x−∫

11. 3d

4x

x x−∫

12. ( )2

d4

xx x −∫

59

Cálculo Integral

13. ( )( )

2

2

d2 3 4 1

x xx x+ −∫

14. 3

2 d4 3

x xx x− +∫

15. 4

2 d

1x xx −∫

16. ( )( )( )

1 d3 2

x xx x

−− +∫

17. ( )2

1 d2 6 9

x xx x

++ +∫

18. ( )2

5 d6

x xx x

++ −∫

19. ( )2

7 d2 8

x xx x

++ −∫

20. ( )3 2

3 d6 8

x xx x x

−+ +∫

21. ( )2

2 3 d30

x xx x

++ −∫

22. ( )2

3 2 dx xx x+

+∫

23. ( )( )( )( )

3 7 d1 2

x xx x x

++ + +∫ 3

24. ( )

( )2

4 2 d

2 1

x x

x x

+⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

25. ( )

( )2

2

1 d

4

x x

x x

+

−∫

26. ( )

( )

2 1 d

2 5

x x

x x

+

−∫

27. ( )2

3

1 dx x

x x

+

−∫

28. ( )2

3

5 3 dx x

x x

−

−∫

29. ( )2

3

5 9 d

9

x x

x x

−

−∫

30. ( )

( )4

2

1 d

1

x x

x x

+

−∫

31. ( )( )( )

4 3

2

3 d

2 1

x x x

x x

−

− −∫

32. ( )2

3

6 8 d

4

x x x

x x

+ −

−∫

33. ( )2

2

3 d

6

x x x

x x

+ −

+ −∫

34. ( )2 1 d

2 7 10

x x x

x x

+ +

− +∫

35. ( )2

3 2

2 d

2 3

x x x

x x x

+ +

+ −∫

36. ( )

( )( )( )

2 1 d

1 2 3

x x x

x x x

+ +

− − −∫

37. ( )

( )( )( )

2 2 3 d

1 2 3

x x x

x x x

− +

+ − −∫

60

Cálculo Integral

38. ( )

( )( )( )

2 17 22 d

1 2 3

x x x

x x x

− +

− + −∫

39. ( )

( )( )( )

3 1 d

1 2 3

x x x

x x x x

+ +

− − −∫

40. ( )

( )( )2

2

3 11 2 d

3 1

x x x

x x

+ +

+ −∫

41. ( )2

d1

xx x −∫

42. ( )2d

1x

x x +∫

43. ( )2

d2 1x

x x x+ +∫

44. ( )2 2

d2 1

xx x x− +∫

45. ( )2 2

d4

xx x −∫

46. ( )( )2

d2 1

xx x− +∫

47. ( )

2

3 d1

x xx −∫

48. ( )

3

2 d3

x xx +∫

49. ( )

3

4 d1

x xx +∫

50. ( )( )22

+1 d1

x xx x −∫

51. 3 4dx

x x+∫

52. 2

2

3 d4 5

x xx x

+⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫

53. ( )4 3

2 d2 2

x xx x x

++ +∫

54. ( )3 2

8 d4 4

x xx x x

−− +∫

55. ( )( )( )2

3 +4 d6 2x x

x x− +∫

56. ( )( )2

3 +4 d4

x xx x −∫

57. ( )( )

2

2

+1 d

2

x x

x +∫

58. ( )

( )

2

3

4 d

1

x x

x

−

+∫

59. ( )

( )

2

3

2 1 d

2

x x

x

+

−∫

60. ( )

( )

2

2

3 6 d

2 1

x x x

x

+

+∫

61. ( )( )( )

2

2

3 5 d

1 1

x x x

x x

+

− +∫

61

Cálculo Integral

62. ( )

( )

2

3

3 2 d

2

x x

x

−

+∫

63. ( )

( )

3

3

1 d

1

x x

x x

+

−∫

64. ( )5

4 3

2 d

2

x x

x x

−

−∫

65. ( )( )( )

2

2

1 2 d

3 1

x x x

x x

− −

− −∫

66. ( )( )( )

2

2

3 3 5 d

3 3

x x x

x x

− +

+ −∫

67. ( )

( )( )

2

2

5 14 10 d

2 1

x x x

x x

+ +

+ +∫

68. ( )( )( )

2

2

24 10 5 d

2 1 2 1

x x x

x x

+ +

− +∫

69. ( )3

4 3

2 4 d

2

x x x

x x

− −

+∫

70. ( )

( )( )

3 2

3

4 2 1 d

2 1

x x x x

x x

− + +

− +∫

71. 3d

1x

x −∫

72. 3d

8x

x +∫

73. 3d

8x

x −∫

74. 4d

1x

x −∫

75. 4d

16x

x −∫

76. 4 2dx

x x+∫

77. 4 2d

9x

x x+∫

78. ( )( )2

d1 1

xx x− +∫

79. ( )2

d1

xx x +∫

80. ( )( )2

d1 1

xx x+ +∫

81. ( )( )2 2

d1

xx x x+ +∫

82. ( )( )2

d4 1x x

x x+ −∫

83. 4 2 d3 4

x xx x+ −∫

84. ( )( )

2

2

d2 3 9

x xx x+ +∫

85. 3

2d

1x x

x x+ +∫

86. ( )( )( )2

+3 d1 1

x xx x+ +∫

62

Cálculo Integral

87. ( )2

+4 d

4

x x

x x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

88. ( )3

18 d4 9x x

x x−

+∫

89. ( )( )2

2 1 d1

x xx x

+

+∫

90. ( )( )2

5 12 d4

x xx x

+

+∫

91. ( )

( )( )2

2

d

1 1

x x x

x x

+

− +∫

92. ( )

( )( )2

2

4 3 d

2 2

x x

x x x

−

− + +∫ 5

93. ( )2

3

4 6 d

3

x x

x x

+

+∫

94. ( )

( ) ( )3

2 2

1 d

1 1

x x

x x

+

− +∫

95. ( )3

3

1 dx x

x x

−

+∫

96. ( )4

3

1 dx x

x x

+

+∫

97. ( )

( )( )4

2

3 d

1 1

x x

x x

+

+ +∫

98. ( )

( )( )2

2

8 d

2 3 2 2

x x x

x x x

− −

− + +∫

99. ( )

( )( )2

2

9 29 d

4 2 3

x x x

x x x

+ +

− + +∫

100. ( )( )( )

2

2

2 8 8 d

2 4

x x x

x x

− −

− +∫

101. ( )

( )( )2

2

2 3 2 d

2 2 2

x x x

x x x

+ +

+ + +∫

102. ( )3 2

4 2

2 2 2

3 2

dx x x x

x x

+ + +

+ +∫

103. ( )

( )2 3

2 2

15 5 10 d

5

x x x x

x x

− + −

+∫

104. ( )3 2

2

2 8 3

4

dx x x x

x

− + −

+∫

105. ( )( )( )

3

3

3 3 6 d

1 1

x x x

x x

+ −

+ +∫

106. ( )3

4 2

3 3 1 d

3

x x x

x x

+ +

+∫

107. ( )22

d

1

x

x x +∫

108. ( )2 2

d1

xx x +∫

109. ( )( )22

d1 1

xx x+ +∫

110. ( )

5

22

d

4

x x

x +∫

63

Cálculo Integral

111. ( )

( )

3

22

3 d

1

x x x

x

+

+∫ 114. ( )( )

3

22

d

2

x x x

x

+

+∫

112. ( )

( )

5 3

32

4 d

2

x x x

x

+

+∫ 115. ( )

( )

3 2

22

4 3 18 12 d

4

x x x

x

+ + +

+∫x

113. ( )

( )

2

22

4 2 8 d

2

x x x

x x

+ +

+∫

64

Cálculo Integral

INTEGRAL DEFINIDA

Definición de integral definida.

Propiedades de la integral definida.

Teorema fundamental del cálculo.

Cálculo de integrales definidas.

65

Cálculo Integral

66

CAPITULO III

INTEGRAL DEFINIDA

3.1 Definición de integral definida.

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ ],a b . La integral definida de f desde a

hasta b denotada por ( ) db

af x x∫ , está dada por:

( ) ( )0

d lim i iP i

b

af x x f w x

→= ∆∑∫

siempre que el límite exista.

La expresión ( )' db

af x x∫ se conoce como la integral definida de f desde a hasta b, el proceso

de hallar c en la expresión anterior, se llama calcular la integral definida, el símbolo ∫ se llama

signo integral y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y las sumas de

Riemann1. A los números a y b se les llama límites de integración; a es el límite inferior y b el

límite superior, en estos casos la palabra límite se refiere a los números mínimo y máximo del

intervalo [ ],a b y no tiene relación con los límites en cálculo diferencial, la expresión ( )f x se

llama integrando y el signo dx, únicamente indica la variable, no debe confundirse con la

diferencial de x definida en el capitulo 1.

( ) ( )' d = - ' db a

a bf x x f x x∫ ∫

Siempre que se use un intervalo [ ],a b se considera que < , pero en aquellos casos en los

que se tenga que b > , es decir, cuando el límite inferior es mayor que el límite superior,

entonces:

a b

a

Cálculo Integral

1.- Si el alumno desea profundizar el estudio de las sumas de Riemann, se sugiere consultar SWOKOWSKI, Earl

W. Calculo con geometría analítica. Páginas 227-230.

( )' d = 0b

af x x∫

Asimismo, cuando se tenga que , es decir, cuando el límite inferior sea igual al límite

superior, tendremos:

= a b

3.2 Propiedades de la integral definida

A continuación se presentan las propiedades de la integral definida únicamente de manera

informativa, es decir, sin ocuparnos de la demostración de las mismas por considerar que éstas

se encuentran fuera de los propósitos del presente.

1. Si k es cualquier constante, entonces:

( ) d b

ak x k b a= −∫

2. Si f es integrable en [ ],a b y si k es cualquier constante, entonces:

( ) ( ) d dbb

a ak f x x k f x x=∫ ∫

3. Si f y g son integrables en [ ],a b , entonces f ± g en [ ],a b .

( ) ( ) ( ) ( ) d = d db b

a a

b

af x g x x f x x g x+⎡ ⎤⎣ ⎦ x+∫ ∫ ∫

4. Si f es integrable en [ ] [ ] [ ], , , , ,a b a c y c b donde < c < a b

( ) ( ) ( ) d = d db c b

a a cf x x f x x f x x+∫ ∫ ∫

5. Si f y g son integrables en [ ],a b y si ( )f x ≥ ( )g x para toda x en [ ],a b , entonces:

( ) db

af x x∫ ≥ ( ) d

b

ag x x∫

67

Cálculo Integral

6. Si f es continua en [ ],a b . Si m y M son, respectivamente, los valores mínimo absoluto y

máximo absoluto de f en [ ],a b de tal forma que: ( ) para ,m f x M a x b≤ ≤ ≤ ≤ entonces:

( ) ( ) ( )b

a d m b a f x x M b a− ≤ ≤ −∫

3.3 Teorema fundamental del cálculo.

Históricamente, los conceptos básicos de la integral definida fueron empleados por los

antiguos griegos, principalmente por Arquímedes (287-212 a. C.), hace más de 2000 años, es

decir, mucho antes de que se descubriera el cálculo diferencial.

En el siglo XVII, casi simultáneamente, pero trabajando en forma independiente, en

Inglaterra; Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en Alemania,

descubrieron el Teorema Fundamental del Cálculo, denominado así por su importancia en la

evaluación de integrales definidas y sobre todo por mostrar la conexión entre el cálculo

diferencial y el cálculo integral. Es principalmente por este descubrimiento que se les atribuye

a estos sobresalientes matemáticos la invención del cálculo.

Así, el Teorema Fundamental del Cálculo se define de la siguiente manera:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ ],a b , entonces:

( ) ( ) ( ) ' db

af x x f b f a= −∫

siendo f la integral de la expresión diferencial ( )' df x x

3.4 Cálculo de integrales definidas

Para el cálculo de integrales definidas se puede proceder de la siguiente manera:

a) Se integra la expresión diferencial dada.

b) Se reemplaza la variable en esta integral indefinida primero por el límite superior,

después por el límite inferior y se resta el segundo resultado del primero.

Es decir:

68

Cálculo Integral

( ) ( ) ( ) ( ) ' d = b b

aaf x x f x f b f a= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫


1. Hallar: ( ) ( )3 3 32 31 1

3 31

3

1

8 d = 3 1 3

x x x ⎡ ⎤⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

2. Hallar: [ ]1 1 1 2 2 200

sen 2 d = cos 2 cos 2 cos 0 2 = 1x x xππ

π ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− = − − = − −⎣ ⎦∫

3. Hallar: 31 1 11 1

2 3 3 30

3

0

d = tan tan 1 tan 0 129

xxx

π− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+∫ =

4. Hallar: 21 1 1

-1

1

1

1 d = x x ee x e e ee

−

−

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1. 2

12 d x x∫

2. ( )3

23 +1 d x x∫

3. ( )2

11 d x x−∫

4. 28

04 d

16x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

5. ( )25

17 5 d x x x− −∫

6. ( )2 2 d a

aa x x

−−∫

7. ( )23

26 d x x x

−+ −∫

8. ( )24

08 d x x x−∫

9. ( )26

33 d x x−∫

10. 32

0d x x∫

11.6

2

dxx∫

12.4

2

d1

xx −∫

13. 22

1

d2

x xx− +∫

14. 32

0

d1

x xx +∫

69

Cálculo Integral

15. -

1

23

d 1

x

x+∫

16. 2

3

2

2 d 1

x xx+∫

17. 2 2

40

d 64

x xx+∫

18. 1

22

d 4 13x

x x− + +∫

19. 22

5 d2 3

xx x− −∫

20. ( )

3

240

2 d

16

x x

x +∫

21. ( )2

0

4

2 d x x x+∫

22. 2

0

1

25-16x d x∫

23. 2

0

3

x 16 d x+∫

24. 0

16 4

x dxx −∫

25. 2

sen dx xπ

π−∫

26. 0

2-3sen d2x x

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

27. 4 2

0se n 2 d

π

θ θ∫

28. 2 3

6

se n dπ

πθ θ∫

29. 2

2

cos dπ

πθ θ

−∫

30. 0

2 cos dπ θ θ

θ∫

31. 22

0cos d

π

θ θ∫

32. 34

0cos 2 d

π

θ θ∫

33. 3

0tan d

π

θ θ∫

34. 24

4

tan dπ

πθ θ

−∫

35. 32

4

cot dπ

πθ θ∫

36. 24

4

sec dπ

πθ θ

−∫

37. 2

0se n cos d

π

θ θ θ∫

38. 22 20

se n cos dθ θπ

θ∫

39. 1

4 -1

0se n 2 dx x∫

40. 1

2 -1

12

se n dx x x−∫

41. 2

0se n dx x x

π

∫

42. 2 2

0se n dx x x

π

∫

70

Cálculo Integral

49. 1

0 dxx e x∫ 43.

4 2

0 se n 2 dx x x

π

∫

50. 6

0cos 2 dxe x

π− x∫ 44.

4 2

4

cos 1+sen dπ

πθ θ θ

−∫

51. 4

1ln dx x∫ 45.

4 2

0sec 3 + tg d

π

θ θ θ∫

52, 1

ln de x xx∫ 46.

13

0 dxe x−∫

53. 1

1 ln de x xx

+∫ 47. 3ln2

0

d

1

x

x

e x

e+∫

54. ( )2

6

ln sen cos dx x xπ

π∫ 48.

ln3

0

d1

x

xe xe +∫

71

Cálculo Integral

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Longitud de curvas.

Cálculo de áreas.

Áreas entre curvas.

Sólidos de revolución.

Cálculo de volúmenes por el método de los discos.

Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.

72

Cálculo Integral

CAPITULO IV

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

4.1 Longitud de curvas.

Para determinar la longitud de una recta, basta con determinar el número de veces que cabe en

ella una unidad de longitud tomada como medida. Sin embargo, para determinar la longitud de

una curva es imposible hacer que sobre ella coincida una unidad de longitud tomada como

medida; es decir, no podemos medir las líneas curvas de la misma manera que las rectas.

Para determinar la longitud de una curva, se divide el arco de la curva en cualquier número de

partes y unimos los puntos sucesivos de división formando una poligonal. Así, definimos la

longitud de un arco de curva como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el

número de los puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados

tiende a cero. Hallar la longitud de una curva se le llama también “rectificar la curva”.

Para obtener la longitud de una curva ( )y f x= , comprendida entre dos puntos de abscisas

y x a y= b= , se aplicará la siguiente fórmula:

( ) 21 ' db

a

b

af x xL = + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva 26y x= ; en el intervalo [ ]0, 4

Solución: ( ) 216

f x x=

( ) 13

' f x x=

2 24 4 4 42 24 9

0 93 90 0 0 0

11 d 1 d = d 9 d3

xx xx x xL +⎡ ⎤= + = + = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ x x

73

Cálculo Integral

( )4

2 240

0

1 x 9

3 2 220 + 9 ln 3 9 ln 9 4.98

6x x xL ⎡ ⎤= + + + + = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo 2: Hallar la longitud de la circunferencia 2 2 25x y+ =

Solución: Despejando ( ) 225f x x= − ;

( )2

'25

xf xx

−=

−;

Tomando el arco correspondiente a un cuarto de la circunferencia,

2 25 5 550 2 22 20 0 0

25 5d1 d = 1 d = d = 25 2525 25

5

0

x x xx x xLx xx x

⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥

− −− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

1 1 150

5

5 0

55 se n 5 se n 1 5 se n 0 = 2

xL

π− − −⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

5Longitud de la circunferencia 4 = 102π π⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠
1. Hallar la longitud de la curva 2y x= ; en el intervalo [ ]0, 2

2. Hallar la longitud de la curva 22y x= ; en el intervalo [ ]0,1

3. Hallar la longitud del arco de la parábola 24y x= ; del vértice a un extremo del lado recto

4. Hallar la longitud de la curva 2 2 2x y 0+ + = ; entre los puntos ( ) ( )2, 2 ; 0,1− −

x

5. Hallar la longitud de la curva 2 4y = ; en el intervalo [ ]0,3

6. Hallar la longitud del arco de circunferencia 2 2 25x y+ = ; en el intervalo [ ]3, 4

7. Hallar la longitud de la curva ( 223y x x )1= − ; en el intervalo [ ]0,1

74

Cálculo Integral

75

8. Hallar la longitud de la curva 18 ; en el intervalo ( 22 )6y x x= − [ ]0,6

9. Hallar la longitud de la curva 3

2y x= ; en el intervalo [ ]0, 4

10. Hallar la longitud de la curva 2y x3= ; en el intervalo [ ]0,8

11. Hallar la longitud de la curva 2ay x3= ; en el intervalo [ ]0,5a

12. Hallar la longitud de la curva ; del punto 29 4y = 3x ( )0,0 al punto ( )3,2 3

)

13. Hallar la longitud de la curva ; en el intervalo ( 32 2y x= − [ ]2,6

14. Hallar la longitud de la curva ( 32 2 1y x )= − ; en el intervalo [ ]0,5

4.2 Cálculo de áreas.

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [ ],a b y ( ) 0f x ≥ para todo x en [ ],a b ,

entonces el área limitada por el eje x, la grafica de f y las abscisas y x a y= b= , viene dada

por: ( )a

A = b

f x dx∫

Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje de las x y las ordenadas

. 2 y 3x x= − =

Solución: En la figura se muestra el área a determinar;

x=-2 x=3

5

X

Y

2y x=

Cálculo Integral

( )33 2 31 27 8

3 3 32 2A= dx x x

− −⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∫ 35

3=

Algunas veces es necesario encontrar el área de una región acotada por las gráficas de

y la de una ecuación de la forma c y dy y= = ( )x f y= , donde f es continua para todo y en [ ]c,d .

En este caso, por la forma de la grafica es necesario cambiar la variable de integración de la

siguiente manera:

( )A = d

cf y dy∫

Ejemplo 2: Hallar el área limitada por la parábola 2x y= , el eje de las y y las abscisas

. 3 y 1y x= − =

Solución:

y=-3

y=1

5 X

Y 2x y=

( )1 1

2 31 1 27 283 3 333

A= y dy x−−

⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∫ 3=

4.3 Áreas entre curvas.

Si f y g son continuas en [ ]a,b y ( ) ( )f x g x≥ para todo x en [ ]a,b . Entonces el área A de la

región acotada por las gráficas de f, g, a y bx x= = , está dado por:

76

Cálculo Integral

( ) ( )b

aA f x g x= − dx⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Ejemplo 3. Hallar el área limitada por la parábola 21y x= − y la recta . 1y x= −

(1,0)

X

Y

(-2,-3)

1y x= −

21y x= −

Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de

intersección son: ( ) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. (2, 3 1,0y− − )

( ) ( )1 1 12 2 21 1

2 3 22 2

9 1 ( 1) 2 2 2A x x dx x x dx x x x−− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤3∴ = − − − = − − = − − =⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

Ejemplo 4. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 ; 16y x y x= = .

774

5

X

Y(4,8)

2 16y x=

22y x=

Cálculo Integral

Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de

intersección son: ( ) siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. ( )0,0 4,8 ,y

( )4 2

0

32 16 ( ) 2 3xA x dx⎡ ⎤∴ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ =

Se sugiere como ejercicio para el alumno, realizar este mismo problema cambiando la variable de

integración, ( )A = d

cf y dy∫ usando como límites para la integral las ordenadas de los puntos de

intersección.

1

2

3

4

5

6

7

8

9


. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje X y las rectas 1; 4.x x= =

. Hallar el área limitada por la parábola 2 4y x x= + , el eje X y las rectas 4; 2.x x= − = −

. Hallar el área limitada por la parábola 1 22y x x= + , el eje X y las rectas 1; 4.x x= =

. Hallar el área limitada por la parábola 29y x= − , el eje X y las rectas 0; 3.x x= =

. Hallar el área limitada por la parábola 24y x x= − , el eje X y las rectas 1; 3.x x= =

. Hallar el área limitada por la parábola 25y x x= − , el eje X y las rectas 0; 4.x x= =

. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje Y y las rectas 1; y 4.y = =

. Hallar el área limitada por la parábola 24y x= − , el eje Y y las rectas 0; y 3.y = =

. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje Y y las rectas 1; y 4.y = =

78

Cálculo Integral

10. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje Y y las rectas 1; y 8.y = =

11. Hallar el área limitada por la parábola 2 1y x x= + + , el eje X y las rectas 2; x 3.x = =

12. Hallar el área limitada por la parábola 2 2y x x 2= − + , el eje X y las rectas 1; x 3.x = − =

13. Hallar el área limitada por la parábola 2 8 1y x x 5= − + , el eje X y las rectas 2; x 5.x = =

14. Hallar el área limitada por la parábola 22 4y x x 7= − + , el eje X y las rectas 1; x 2.x = − =

15. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje Y y la recta y 8.=

16. Hallar el área limitada por la curva 33y x= , el eje X y las rectas 2; x 3.x = − =

17. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje X y las rectas 0; x 4.x = =

18. Hallar el área limitada por la curva 3 8y x x= − , el eje X y las rectas 0; x 2.x = =

19. Hallar el área limitada por la curva 39y x x= − , el eje X y las rectas 3; x 3.x = − =

20. Hallar el área limitada por la curva 3 23 2y x x x= + + , el eje X y las rectas 3; x 3.x = − =

21. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= y la recta 2 3 0.x y− + =

22. Hallar el área limitada por la parábola y la recta 232 5y x= 4 5 80.y x= +

23. Hallar el área limitada por la parábola y la recta 16232 5y x= 5 20.y x− =

24. Hallar el área limitada por la parábola 2

4xy = y la recta 3 2 4 0.x y− − =

25. Hallar el área limitada por la parábola 2 2x y= + y y la recta 2 0.x y+ =

26. Hallar el área limitada por la parábola 2 4x y= − y la recta 0.x =

27. Hallar el área limitada por la parábola 2 3x y y= + y la recta 3 .x y= +

28. Hallar el área limitada por la parábola 2 1y x= + y la recta 1.x y+ =

29. Hallar el área limitada por la parábola 24y x= − y la recta 4 4 .y x= −

30. Hallar el área limitada por la hipérbola 2 24x y 4− = y la recta 6.x =

79

Cálculo Integral

31. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva 3y x= y la recta 4 .y x=

32. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva 3 3y x x= − y la recta .y x=

33. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 1 ; y x y x 5= + = + .

34. Hallar el área limitada por las parábolas 2 29 ; y x y x= − = .

35. Hallar el área limitada por las parábolas 2 25 ; 2 5y x x y x x= − = − .

36. Hallar el área limitada por las curvas . ( ) ( 224 5 - x ; y x y x= = )2−

37. Hallar el área limitada por las curvas ( )2 24 - y ; x 4x y y y= = − .

38. Hallar el área limitada por las curvas 2 216 ; y x y 3x= = .

39. Hallar el área limitada por las curvas 2 2 23 16 ; x 2y x y 5= + = .

40. Hallar el área limitada por las circunferencias 2 2 2 225; x 16 39 0x y y x+ = + − + =

0

.

41. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 3 0; x 6 3x x y x y− − − = − + + = .

42. Hallar el área limitada por las parábolas ( ) ( )2 24 1 ; 2 2y x y x= − − − − .

43. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las curvas 2 2 25; 12.x y xy+ = =

44. Hallar el área limitada por las curvas 2 26 ; x 4y x y= + = − .

4.4 Sólidos de revolución.

Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido

de revolución y se dice que el sólido está generado por la región. La recta alrededor de la cual gira

la región, se llama eje de revolución.

4.5 Cálculo de volúmenes por el método de los discos.

80

Cálculo Integral

81

Si la región acotada por la grafica (i) de ,x y= por el eje Y y 9y = , gira alrededor del eje Y,

genera un sólido como se muestra en la figura (ii), y el volumen del sólido de revolución generado

se obtiene mediante: ( ) 2V = dy

b

af yπ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

X

Y

4

Y

5

X

x y=

(i) (ii)

Si la región acotada por la grafica (iii) de por el eje X y 2 ,y x= 3x = , gira alrededor del eje X,

genera un sólido como se muestra en la figura (iv) y el volumen del sólido de revolución generado

se obtiene mediante: ( )2

V = dxb

af xπ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

X

Y

4

Y

5

X

2y x=

Cálculo Integral

(iii) (iv)

Por ejemplo, si f es una función constante, entonces la región es un rectángulo y el sólido

generado es un cilindro circular recto. Si la grafica de f es un semicírculo tal que ( ) ( ),0 y ,0a b

con b>a son los extremos de uno de sus diámetros, entonces el sólido de revolución es una esfera

de diámetro b-a.

Ejemplo1. Sea ( ) 12.2f x x= + Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la

grafica de f entre

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la

grafica de f entre 0 y 1

+

0 y 1x x= = alrededor del eje X.

X

Y

Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera:

( ) ( )2 21 1

2 4 21 12 40 0

47V = d = d = d = 60b

af x x x x x x xπ π π⎡ ⎤+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π

Ejemplo 2. Sea ( ) 12.2f x x= + Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la

grafica de f entre 12 y y 2y = = alrededor del eje Y.

82

Cálculo Integral

Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera:

( ) ( )2 22 2

1 12 21 1

2 2

9V = 8b

af y dy y dy y dyπ π π⎡ ⎤= − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π

X

Y

Ejemplo 3. La región acotada por el eje Y y las gráficas de 3, 1 y 8y x y y= = = gira alrededor del

eje Y. Calcula el volumen del sólido resultante.

( )2 28 8 2

33

1 1

93V = 5

b

af y dy y dy y dyπ π π⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π=

83X

Y

Cálculo Integral

1

v 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g 1v 1s 1i 1g


. La superficie limitada por 1 , 1, 2, 0,y x x yx= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el

olumen generado.

. La superficie limitada por 2 6 , 0,y x x y= − = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por 32 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por 2 , 9, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por 2 , 9, 3y x x y= = ,=

0,

gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

25 32 , 1y x x= =

. La superficie limitada por 2 24 , 8 4,y x y x= = − gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por 2 24 , 5 ,y x y x= = − gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

. La superficie limitada por 2 3, 4, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

0. La superficie limitada por ( )32 2 , 0, 1, 0,y x x x y= − = = = gira alrededor del eje X. Hallar el olumen generado.

1. Hallar el volumen del elipsoide generado cuando la superficie limitada por el eje X y la mitad uperior de la elipse gira alrededor del eje X. 2 29 25 225x y+ =

2. La superficie en el primer cuadrante limitada por la derecha por y por la zquierda por 16

2 2 25x y+ =23 ,x y=

8

gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.

3. La superficie limitada por la elipse 2 23 4 4x y+ = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.

84

Cálculo Integral

14. La superficie limitada por la elipse gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.

2 29 16 144x y+ =

15. La superficie limitada por 2 24 9 36, x y x 5,− = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 16. La superficie limitada en el primer cuadrante por la curva

gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 2 2 29 12 0, 0, 0, x y y y x x+ − = = = = 3, 17. La superficie limitada por 1, 1, 3, 0,xy x x y= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 18. La superficie limitada por 5, 6,xy x y= + = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 19. La superficie limitada por ( )1 2, 2, 5, 0,x y x x y− = = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 20. La superficie limitada por ( )24 8, 0, 2, 0,x y x x y+ = = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 21. La superficie limitada por ( )2 216 2, 4,x y x x+ = − = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 22. La superficie limitada por ( )2 2 29 9 ,x y+ = − x gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 23. La superficie limitada por , 0, 2, 0,xy e x x y= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 24. La superficie limitada por , 0, 5, 0,xy e x x y−= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 25. La superficie limitada por , 0, 0,xy e x y−= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 26. La superficie limitada por 2 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 27. La superficie limitada por 28 , yy x 2,= = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.

85

Cálculo Integral

28. La superficie limitada por 216 , 0,y x y− = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 29. La superficie limitada por 3, 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 30. La superficie limitada por 32 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 31. La superficie limitada por 34 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 32. La superficie limitada por 2 24 ; y 5 ,y x x= = − gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.

33. La superficie limitada por 2 2 4, 0y x x ,= + = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 34. La superficie limitada por 2 9 , 0y x x ,= − = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 35. La superficie limitada por 2 32 , y 0, y x x 2,= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 36. La superficie limitada por 2 3, y 0, 4,y x x= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 37. La superficie limitada por gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.

2 29 16 144,x y+ =

38. La superficie limitada por gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.

2 23 4 4x y+ = 8,

4.6 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.

Deseamos encontrar el centro de masa de una lámina delgada de cierto material con densidad

constante y forma irregular. El centro de masa de un sistema de partículas es el punto en el que

podría concentrarse toda la masa sin alterar los momentos del sistema con respecto a los ejes

coordenados.

86

Cálculo Integral

Consideremos una lámina que tiene la forma de una región ilustrada en la figura, donde f es

continua en [ ], .a b

X

Y

y = f(x)

x=a x=b

Si la densidad es ρ , la masa de la lámina se define por medio de:

( )m db

af x xρ= ∫

El momento Mx de la lámina con respecto al eje X se define por medio de:

( ) 212 d .

b

xa

M f x xρ= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Análogamente, El momento My de la lámina con respecto al eje Y se define por medio de:

( ) d .b

ya

M x f x xρ= ∫

Las coordenadas x y y del centro de masa de la lámina se definen mediante:

x y y .y xm M m M= =

Si sustituimos las formas integrales de y despejando , y xm M M y y x y , obtenemos:

( )

( )

d

d

b

ab

a

x f x xx

f x x= ∫

∫

( )

( )

212 d

d

b

ab

a

f x xy

f x x

⎡ ⎤⎣ ⎦= ∫

∫

Por tanto, el centro de masa será el punto ( ), .P x y

87

Cálculo Integral

88

Ejemplo1. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:

3 4 24.x y+ =

X

Y

3x + 4y = 24

5

5

( )

( )

( )( )

8 81 240 0

8814

00

24 3 d d 24 84 24 3 3 d 2

4

b

ab

a

xx xx f x x x x xx

xf x x x xdx

−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= = =−⎛ ⎞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫∫ ∫∫ ∫∫

3 d

4 3 d=

( )

( )

( )

( )

22 8 81 21 1

202 32 088 1

40 0

24 3 d d 244 24 3 d 2 d

4

b

ab

a

x xf x x x xy

xf x x x xx

−⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠= = =

−⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫∫ ∫

∫ ∫3 d

24 3 d

=

( )83 El centro de masa es el punto P ,2∴

Ejemplo 2. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y las rectas:

2;y x=

6, 0, 3.x y y x+ = = = 2;y x=

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 32

380 2 3

372 32 6

0 2

d x d 6 - d 76 37 d x d 6 - d

b

ab

a

x f x x x x x x xx

f x x x x x

+= = =

+

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

=

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22 3 21 1 12281

2 2 20 2 30372 3

2 60 2

6 - 281 185 6 -

b

ab

a

f x dx x dx x dxy

f x dx x dx x dx

+⎡ ⎤⎣ ⎦= = =

+

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

=

Cálculo Integral

( )76 28137 185 El centro de masa es el punto P ,∴

X

Y

x + y = 6

5

5x=3

Trabajo. En mecánica, el trabajo realizado por una fuerza constante F que causa un

desplazamiento d es el producto Fd . Cuando F es variable, esta definición conduce a una

integral. En esta ocasión vamos a considerar dos casos:

Trabajo de bombeo. Supongamos que deseamos saber el trabajo que se realiza al vaciar un aljibe

cuya forma es la de un sólido de revolución con eje vertical. Consideremos que el eje X de la

curva que gira sea vertical y que el eje Y esté en el plano de la parte superior del aljibe.

X

Y

a

b

89

Cálculo Integral

El trabajo realizado al vaciar un aljibe en forma de un sólido de revolución, de manera que la

superficie del líquido pase desde la profundidad hasta la profundidad b siendo W el peso de la

unidad cúbica del líquido viene dado por la fórmula:

a ,

Tr 2abajo d ,b

aW y x xπ= ∫

donde el valor de y debe sustituirse en términos de x obtenido de la ecuación de la curva que gira.

Ejemplo 1. Calcular el trabajo que se realiza bombeando el agua que llena un aljibe hemisférico

de 5m de hondo.

X

Y

Solución. La ecuación del círculo es: 2 2 5, 1000, los límites son: 0 y 5.x y W x x+ = = = =

252 2

0Trabajo d 1000 25 d 156250 Kgm.

b

aW d y x x x x xπ π ⎡ ⎤ π∴ = = − =⎣ ⎦∫ ∫

1

2


. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:

4 5 20.x y− =

. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo cuyos vértices son:

( ) ( ) ( )A 0,0 , B 4,0 y C 6,3 .

90

Cálculo Integral

3. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo rectángulo formado por las

rectas ; 1; 0.y x x y= = =

4. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta 2;y x= 2 3.x y− = −

5. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta

24y x x= − ;

.

;

2 3x y− =

6. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta 26y x x= − .y x=

7. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola 2 4 16 0 y el eje X.x y+ − =

8. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola

24 , el eje X y la recta 2.y x x= =

9. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por las

circunferencias 2 2 2 24 y 4.x y x x y+ = + =

10. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola y la

circunferencia

2 8x y− = 0

2 2 128.x y+ =

11. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y las rectas

3;y x=

2, 0.x y= =

12. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva

y la recta

3;y x=

.y x=

13. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva 13x

y =

y hacia la derecha de la recta 1.x =

14. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva

y la recta 3 3y x x= − .x y=

15. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva 34y x x= − y el eje X.

91

Cálculo Integral

16. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el lazo de la curva 2 24 .y x x= − 3

3x17. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva 2 24y x= − arriba del eje X.

18. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas sen ,y = x

.20, 0, y x x π= = =

19. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el primer arco de la curva

y el eje X.

2sen ,y x=

20. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas cos ,y = x

.20, 0, y x x π= = =

21. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas

,xy e=

.0, 0, 1y x x= = =

22. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas

,xy e−=

.0, 0, 1y x x= = =

23. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva ln ,y x= y el eje X.

24. Una cisterna cilíndrica vertical de 6 m de diámetro y 5 m de profundidad está llena de agua.

Calcular el trabajo al bombear el agua hasta el borde de la cisterna.

25. Una cisterna cónica que tiene 5 m de diámetro superior y 5 m de profundidad está llena de

agua. Calcular el trabajo de subir el agua 3 m más alto que el borde.

26. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 3Kg

m. Calcular

el trabajo de subir el petróleo hasta el borde del tanque.

27. Calcular el trabajo que se hace al vaciar un aljibe semielipsoidal lleno de agua. La parte

superior es un círculo de 3 m de diámetro y 2 m de profundidad.

92

Cálculo Integral

28. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 3Kg

m. El

petróleo se bombea, hasta un nivel 2 m más alto que el borde del tanque, mediante un motor de

1 2 h p . ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?

29. Un aljibe cónico que tiene 2.5 m de diámetro superior y 2 m de profundidad está lleno de un

líquido que pesa 1280 3Kg

m. Calcular el trabajo de subir el líquido hasta el borde del tanque.

30. Un tanque para agua tiene la forma de un hemisferio de 6 m de diámetro coronado de un

cilindro del mismo diámetro y 2 m de altura. Calcular el trabajo que se hace al vaciarlo con una

bomba cuando está lleno hasta 0.5 m debajo del borde.

93

Cálculo Integral

INTEGRALES IMPROPIAS

Definición de integral impropia.

Integral impropia de 1ra clase.

Integral impropia de 2da clase.

94

Cálculo Integral

CAPITULO V

INTEGRALES IMPROPIAS

5.1 Definición de integral impropia.

En el capitulo III, al referirnos a la integral definida ( ) d ,b

af x x∫ supusimos que el intervalo [ ],a b

tenía longitud finita y que f era continua, no obstante, en algunos casos encontramos integrales que

no poseen estas características. En este capitulo final, trataremos una clase de integrales llamadas

impropias.

Nos referiremos como integrales impropias de primera clase, a las integrales definidas en las que

uno o ambos límites de integración es infinito, y como integrales impropias de segunda clase,

cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en los límites de integración.

5.2 Integrales impropias de primera clase.

Si quisiéramos hallar el área de la región limitada por: 11 , 2, 0.xy x y−= = =

X

Y

y = 1/(x-1)

a c

Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ],a ,+∞ el área bajo la gráfica de f

entre está dada por: y a + ∞

( ) ( )0

Área d lim dc

c af x x f x x

+∞

→+∞= =∫ ∫

95

Cálculo Integral

Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ], b ,−∞ + el área bajo la gráfica de

f entre está dada por: y b−∞

( ) ( )Área d lim db b

c cf x x f x x

→−∞−∞= =∫ ∫

X

Y

y=-1/x

b

Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ], ,−∞ +∞ el área bajo la gráfica de

f entre está dada por: y +−∞ ∞

( ) ( ) ( )Área d lim d lim db c

c cc af x x f x x f x x

+∞

→−∞ →+∞∞= = +∫ ∫ ∫

Cuando los límites existen, se dice que la integral impropia es convergente, en caso de que los

límites no existan la integral es divergente.

Ejemplo 1. Evaluar: 1

2 dx x

+∞

∫

Solución: [ ] ( )1 122

d lim d lim ln lim ln ln 2c c

x xc c ccx x x c

+∞

→+∞ →+∞ →+∞= = = −∫ ∫ = +∞


1

2 d

xx

+∞

∫

Solución: ( )2 2

1 1 1 12 222 2

d lim d lim limc c

x cx xc c cx x

+∞

−→+∞ →+∞ →+∞

⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫ ∫ 1 1=

96

Cálculo Integral

Si esta integral representa el área de la superficie limitada por 2

1 , 2, el eje X,x

y x= = entonces, una

región infinita, es decir, que no está acotada, puede tener un área finita.


2 dxe x−∞∫

Solución: ( )0 0 01 1 12 2 2

2 2 2 d lim d lim limx x x

cc c cce x e x e e

→−∞ →−∞ →−∞−∞⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∫ ∫ 12

2c =

Ejemplo 4. Evaluar: 2 dx x+∞

−∞∫

Solución: ( ) ( )0

2 2

0 2 d lim 2 d lim 2 d lim lim 0

c

c c c ccx x x x x x c c

+∞

→−∞ →+∞ →−∞ →+∞−∞= + = − +∫ ∫ ∫ =

5.3 Integrales impropias de segunda clase.

Existe otro tipo de integrales impropias, cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en

los límites de integración. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar el área de la región limitada por:

11 , 1, 2, 0.xy x x y−= = = =

X

Y

y = 1/(x-1)

1 2

Como la gráfica tiene una asíntota vertical en 1,x = la región mencionada no esta acotada, es decir,

se prolonga al infinito en dirección vertical.

97

Cálculo Integral

( ) ( ) d lim db b

u aa uf x x f x x

+→=∫ ∫

Si f es una función continua no negativa en un intervalo ( ], el área bajo la gráfica de f está dada

por:

,a b

( ) ( ) d lim db u

u ba af x x f x x

−→=∫ ∫

Si f es una función continua no negativa en un intervalo [ ), el área bajo la gráfica de f está dada

por:

,a b

Si f es una función continua no negativa en un intervalo [ ], excepto en un punto en ,a b c ( ),a b ,el

área bajo la gráfica de f está dada por:

( ) ( ) ( ) d lim d lim db u b

u c u ca a uf x x f x x f x x

− +→ →= +∫ ∫ ∫


21

x0 dx∫

El integrando es discontinuo en 0, entonces:x =

( )2 2

2 2 21 1 1 1 120 0 00

d lim d lim limx ux x uu u uux x

+ + +− −

→ → →⎡ ⎤= = =⎣ ⎦∫ ∫ = +∞


20

d 4

xx−∫

El integrando es discontinuo en 2, entonces:x =

( ) ( )2

1 12 222 22 2 200 0

d d lim lim s n lim s n s n 14 4

u uux

u u u

x x e e ex x

1 π− − −

− −

→ → →⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦− −∫ ∫ − =

Ejemplo 7. Evaluar: ( )

4

20

d 2x

x −∫

El integrando es discontinuo en el cual está dentro de 2,x = ( )0, 4 , entonces:

( ) ( ) ( )

4 4 41 1

2 2 2 2 202 2 2 20 0

d d dlim lim lim lim2 2 2

u u

x x uu u u uu

x x xx x x− + − +

− −− −→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − −∫ ∫ ∫ = +∞

98

Cálculo Integral

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1


valuar las siguientes integrales:

. 2

d

2 x

x

+∞

∫

. 2

d xe x+∞ −∫

. 2

0 d xx e x

+∞ −∫

. 20

d x

e x+∞ −

∫

. 0

2 d xx x+∞ −∫

. 2

12 d x x

+∞ −∫

. d15

xx

+∞

−∫

. 3 2

d

45 x x

x

+∞

−∫

. 2

2 d43

xx

+∞

+∫

0. d ln x

x xe

+∞

∫

11. 0 d

1

x

xe x

e+−∞∫

12. ( )2

5 d2

xx−−∞∫

13. 0

dxx e x−∞∫

14. 0 2 dxx e x−∞∫

15. 1 2 dxe x−∞∫

16. dxe x+∞ −

−∞∫

17. ( )3

2

2 d

3 1

x x

x

+∞

−∞+

∫

18. 2

dxx e x+∞ −

−∞∫

19. 2d

9xx

+∞

+−∞∫

20. 2d

1 9xx

+∞

+−∞∫

21. ( )2

5d

2 2x

x− +∫

22. 3

3

1

d 1

xx− +∫

23. 2

2 d

5 4

x x

x

−

− −∫

24. 2

5 d

2 4

x x

x −∫

25. 2

d 20

xx−∫

26. ( )2

0d

4 3x

x− +∫

27. 2d

0x

x

+∞

∫

28. 2

3

1 1

x dx

x −∫

29. 3

d 11

xx−−∫

30.0

ln dx x+∞

∫

99

Cálculo Integral

APENDICE I

Requerimientos algebraicos

Por todos es sabido que el álgebra constituye un elemento básico para el estudio del Cálculo y es

ahí, justamente, donde el alumno presenta generalmente los mayores obstáculos para la

comprensión del Cálculo.

Por ello, hemos creído conveniente incluir esta sección, donde el alumno encontrará algunos

elementos más representativos del álgebra que le pueden ser útiles al momento de realizar los

ejercicios sugeridos en el presente texto.

1. Productos notables:

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± +

• ( )3 3 2 23 3a b a a b ab b± = ± + ± 3

• ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

• ( )( ) ( ) ( )( )2x a x b x a b x a b± ± = + ± ± + ± ±

2. Teoría de los exponentes:

• ( ) ( ) ( )n m nx x x += m

m

m

• ( ) ( ) ( )n m nx x x −÷ =

• ( ) ( )( )( )mn nx x⎡ ⎤ =⎣ ⎦

• ( ) ( )nnm mx x=

• ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n n m m

m n

a x a x y a y abb y b x b x y

− −

− −= = = n m

100

Cálculo Integral

• 0 1n

n nn

x x xx

−= = =

3. Descomposición en factores.

• ( )3 2 2ax bx cx x ax bx c+ + = + +

• ( ) ( ) ( )( )a x y b x y x y a b+ + + = + +

• ( )(2 2 )x y x y x y− = + −

• ( )( )3 3 2 2x y x y x xy y± = ± +m

• ( )22 22x xy y x y± + = ±

• ( )33 2 2 33 3x x y xy y x y± + ± = ±

• ( )(2 .)x bx c x d x e± ± = ± ± El signo del segundo término del trinomio será el signo

del primer binomio; el producto de los signos del segundo y tercer término del

trinomio será el signo del segundo binomio; si los signos en los binomios son iguales,

entonces: ( )( ) y ;d e b d e c+ = = si los signos en los binomios son diferentes,

entonces: ( )( ) y .d e b d e c− = =

• Después se resuelve como el caso anterior,

dividiendo al final entre

( ) ( ) ( )( )22 .ax bx c ax b ax a c± ± = ± ±

.b

101

Cálculo Integral

APENDICE II

Formulario de trigonometría

1. Funciones trigonométricas de los ángulos agudos en triángulos rectángulos.

• . sen cat opuesto

hipotenusa=

• . adyacentecos cat

hipotenusa=

• . tan

. cat opuesto

cat adyacente=

2. Identidades trigonométricas fundamentales.

• Recíprocas: csc 1; cos sec 1; tan cot 1.senθ θ θ θ θ θ= = =

• Pitagóricas: 2 2 2 2 2 2cos 1; sec tan 1; csc cot 1.sen θ θ θ θ θ θ+ = − = − =

• Cocientes: costan ; cot .cossen

senθ θθ θθ θ

= =

3. Fórmulas para el ángulo negativo.

• ( ) ( ) ( ); cos - cos ; tan - tan .sen senθ θ θ θ θ− = − = = − θ

4. Fórmulas para la mitad de un ángulo.

• 2 2 2

1 cos 1 cos 1 cos; cos ; tan .2 2

sen θ θ θ

1 cosθ θ θ

θ− +

= = =+−

5. Fórmulas para el doble de un ángulo.

• 2 22

2 tan2 2 cos ; cos 2 cos ; tan 2 = .1- tan

sen sen sen θθ θ θ θ θ θ θθ

= = −

6. Fórmulas para la suma de dos ángulos.

• ( ) cos cos .sen sen senθ φ θ φ θ± = ± φ

102

Cálculo Integral

• ( )cos cos cos .sen senθ φ θ φ θ± = m φ

• ( ) tan tantan .1 tan tan

θ φθ φθ φ±

± =m

7. Fórmulas para productos.

• ( ) ( )12cos .sen sen senθ φ θ φ θ= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦φ

• ( ) ( )12 cos cos .sen senθ φ θ φ θ= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦φ

• ( ) ( )12cos cos cos cos .θ φ θ φ θ= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦φ

8. Fórmulas de factorización.

• 2 22cos cos .sen sen θ φ θ φθ φ ±± = m

• 2 2cos 2cos cos .cos θ φ θ φθ φ + −+ =

• 2 2cos 2s s .cos en enθ φ φθ φ + −− = θ

9. Ley de senos.

• .a b csenA senB senC

= =

10. Ley de cosenos.

• 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − .

.

.

• 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −

• 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −

11. Propiedades logarítmicas.

• ( )ln ln ln .φθ φ= + θ

• ( )ln ln ln .φθ

φ θ= −

• ln ln .uu θ θ=

103

Cálculo Integral

• ( ) ( )lnln ; .u ue u e= = u

APENDICE III

1. Coordenadas rectangula

• ( )21 2d x x= − +

• ( )1 2 1 2,2 2

x x y ymP + +

• 1 2

1 2

y ymx x

−=

−

2. Ecuación de la recta.

• Conociendo dos p

• Conociendo un pu

• Forma simétrica:

• Forma pendiente-

• Forma general: Ax

• Forma normal: cx

• Condición de para

• Condición de perp

• Ángulo entre dos

3. Ecuación de la circunfer

• Con centro en el o

Resumen de Geometría Analítica

res.

( )21 2y y−

untos: ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 1y y x x y y x x− − = − −

nto y su pendiente: ( ) ( )1 1y y m x x− = −

1x ya b

+ =

intercepción: y mx b= +

0.By C+ + =

os 0y sen pθ θ+ − =

lelismo: 1 2 1Si // , entonces: l l m m2=

endicularidad: Si 1 2 1 2 , entonces: 1l l m m⊥ = −

rectas: 2 1

1 2

tan1m m

m mθ −

=+

encia.

rigen y radio r: 2 2 2x y r+ =

104

Cálculo Integral

• Con centro en ( ) : ,h k ( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

• Forma general: 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =

4. Ecuación de la parábola.

• Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje X: 2 4x py= ±

• Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y: 2 4y p= ± x

) )• Con vértice en ( y eje paralelo al eje X: ,h k ( ) (2 4x h p y k− = ± −

• Con vértice en ( y eje paralelo al eje Y: ) ),h k ( ) (2 4y k p x h− = ± −

• Forma general y eje paralelo al eje X: 2 0Ax Dx Ey F+ + + =

• Forma general y eje paralelo al eje Y: 2 0Cy Dx Ey F+ + + =

5. Ecuación de la elipse.

• Constantes: eje mayor 2 ;a= eje menor 2 ;b= distancia entre focos 2 ;c= cae = < 1;

longitud del lado recto2

2 22 y .b c a ba

2= = −

• Centro en ( y eje principal horizontal:)0,02 2

2 2 1x ya b

+ =

• Centro en ( y eje principal vertical:)0,02 2

2 2 1x yb a

+ =

• Centro en ( y eje principal horizontal:),h k ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ =

• Centro en ( y eje principal vertical:),h k ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

+ =

• Forma general: > 0. 2 2 0; Ax Cy Dx Ey F AC+ + + + =

6. Ecuación de la hipérbola.

105

Cálculo Integral

• Constantes: eje transverso 2 ;a= eje conjugado 2 ;b= distancia entre focos 2 ;c= cae = > 1;

longitud del lado recto2

2 22 y .b c a ba

2= = +

• Centro en ( y eje principal horizontal:)0,02 2

2 2 1x ya b

− =

• Centro en ( y eje principal vertical:)0,02 2

2 2 1x yb a

− =

• Centro en ( y eje principal horizontal:),h k ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

− =

• Centro en ( y eje principal vertical:),h k ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

− =

• Forma general: < 0. 2 2 0; ACAx Cy Dx Ey F+ + + + =

7. Ecuación general de segundo grado con dos variables.

• Forma general: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =

• Es una parábola si 0.AC =

• Es una elipse si AC> 0.

• Es una hipérbola si AC<0.

106

Cálculo Integral

APENDICE IV

Tablas de integrales

I. Formas racionales que contienen .a bu+

1. 2

d 1 lnu u a bu a a bu Ca bu b

= ⎡ + − + ⎤ +⎣ ⎦+∫

2. ( ) ( )2

2 23

d 1 1 2 ln2

u u a bu a a bu a a bu Ca bu b

⎡ ⎤= + − + + +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦∫ +

3. ( )2 2

d 1 lnu u a a bu Cb a bua bu

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+∫ +

4. ( )

2 2

2 3

d 1 2 lnu u aa bu a a bu Cb a bua bu

⎡ ⎤= + − − + +⎢ ⎥++ ⎣ ⎦

∫

5. ( ) ( )3 22

d 1 12

u u a Cb a ba bu a bu

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

++ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ u

+

6. ( )

d 1 lnu u Cu a bu a a bu

= ++ +∫

7. ( )2 2

d 1 lnu b a b Cu a bu au a u

+= − + +

+∫a

8. ( ) ( )2 2

d 1 1 lnu u Ca a bu a a buu a bu

= ++ ++∫ +

II. Formas que contienen a bu+

9. ( )( )3

23

2 d 3 215

u a bu u bu a a bu Cb

+ = − + +∫

10. ( )( )32 2 2 2 2

3

2 d 15 12 8105

u a bu u b u abu a a bu Cb

+ = − + + +∫

107

Cálculo Integral

11. ( )( ) ( )

32

12 2 d d2 3 2 3

nn nu a bu anu a bu u u a bu u

b n b n−+

+ = − ++ +∫ ∫

12. ( )2

d 2 23

u u bu a a bu Cba bu

= − ++∫ +

13. ( )2

2 2 23

d 2 3 4 815

u u b u abu a a bu Cba bu

= − + ++∫ +

14. ( ) ( )

1 d 2 2 d2 1 2 1

n n nu u u a bu an u ub n b na bu a bu

−+= −

+ ++ +∫ ∫

15. d 1 lnu a bu Cu a bu a a bu a

+ −= +

+ + +∫a si a > 0

16. 1d 2 tanu a Cau a bu a

− +=

−+ −∫bu

+ si a < 0

17. ( )

( )( )1 1

2 3d d1 2 1nn n

b nu a bu u Ca n u a nu a bu u a bu− −

−+= − − +

− −+ +∫ ∫

18. d d2a bu u ua bu a Cu u a bu

+= + + +

+∫ ∫

19. ( )( )

( )( )

32

1 1

2 5 d d1 2 1n n

a bu b na bu u a bu uu a n u a n u− −

+ −+ += − −

− −∫ ∫ n

III. Formas que contienen 2 2u a±

20. ( )4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 2 ln8 8u au u a u u a u a u u a C± = ± ± − + ± +∫

21. 2 2 2 2

2 2 d lnu a u a u au a a Cu u

+ += + − +∫

+

22. 2 2

2 2 1 d secu a u uu a a Cu a

−−= − − +∫

108

Cálculo Integral

23. 2 2 2 2

2 22

d lnu a u u a u u a Cu u± ±

= − + + ± +∫

24. 2 2

2 2 2 2

2 2

d ln2 2

u u u au a u u a Cu a

±= ± − + + ± +

±∫

25. 2 2

2 2

d 1 lnu a u Ca uu u a

+ += − + +

+∫

a

26. 1

2 2

d 1 secu u Ca au u a

−= +−

∫

27. 2 2

22 2 2

d u u a Ca uu u a±

= − +±±

∫

28. ( ) ( )43

2 2 2 2 2 2 2 22 3 d 2 5 ln8 8u au a u u a u a u u a C± = ± ± + + ±∫ +

29. ( )

3 2 2 22 2 2

d u u Ca u au a

= − +± ±±

∫

IV. Formas que contienen 2 2a u−

30. 2 2 2 2

2 2 d lna u u a a ua u a Cu u

− += − − +∫

−

31. 2 2 2 2

2

d a u u a u usen Cu u− −

= −∫ a+

32. 2

2 2

2 2

u d u + 2

u ua u sen Caa u

= − − +−

∫

33. 2 2 2

2 2

u d 1 lnu a a u Ca uu a u

+ −= − + +

−∫ = 11 cosh a C

a u−− +

34. 2 2 2

22 2

u d + u a u Ca uu a u

−= −

−∫

109

Cálculo Integral

35. ( ) ( )43

2 2 2 2 2 2 12 3 d 2 58 8u aa u u u a a u sen C

a−− = − ± − +∫

u+

V. Formas que contienen 2au – u2

37. 2

2 2 12 d 2 cos 1 2 2

u a a uau u u au u Ca

−− ⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

38. 2 2 3

2 2 12 32 d 2 cos 1 6 2

u au a a uu au u u au u Ca

−− − ⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

39. 2

2 12 d 2 cos 1 au u u uau u a Cu a

−− ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

40. 2 2

12

2 d 2 2 cos 1 au u u au u u Cu u

−− − ⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ a

41. 1

2

d cos 1 2

u u Caau u

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫ +

42. 2 1

2

u d 2 cos 1 2

u uau u a Caau u

− ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫

43. ( )2 22 1

2

3u d 3d 2 cos 1 2 22

u au au au uaau u

−+ ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫u C

44. 2

2

d 2 d2

u au uu Cauu au u

−= +

−∫

45. ( )

3 22 2

u d 22

u u Ca au uau u

= +−−

∫

VI. Formas que contienen funciones trigonométricas

46. 1 21 1 cos n n nsen u du sen u u sen u dun n

− −n−= − +∫ ∫

47. 1 21 1 cos cos n n ncos u du u sen u u dun n

− −n−= − +∫ ∫

110

Cálculo Integral

48. 1 21 tan tan 1

n ntan u du u u dun

− −= −−∫ ∫ n

49. 1 21cot cot cot 1

n n nu du u u dun

− −= − −−∫ ∫

50. 2 21 2 sec tan sec 1 1

n n nsec u du u u u dun n

− −n−= +

− −∫ ∫

51. 2 21 2 csc cot csc 1 1

n n ncsc u du u u u dun n

− −n−= − +

− −∫ ∫

52. ( )( )

( )( )

2 2sen m n u sen m n u

sen mu sen nu du Cm n m n

+ −= − + +

+ −∫

53. ( )( )

( )( )

cos cos

2 2sen m n u sen m n u

mu nu du Cm n m n

+ −= +

+ −∫ +

54. ( )( )

( )( )

cos cos cos

2 2m n u m n u

sen mu nu du Cm n m n

+ −= − − +

+ −∫

55. - cos u sen u du sen u u u C= +∫

56. cos cos u u du u u sen u= + +∫ C

57. ( )2 2 2 2 cos u sen u du u sen u u u C= + −∫ +

58. ( )2 2 cos 2 cos 2 u u du u u u sen u= + −∫ C+

u

du

59. 1 sen cos + cos n n nu u du u u n u u d−= −∫ ∫

60. 1 cos n n nu u du u sen u n u sen u−= −∫ ∫

61. 1 1

2 cos cos cos

m nm n m nsen u u m nsen u u du sen u u C

m n m n

− +−−

= ++ +∫ ∫ +

1 1

2 cos 1 cos

m nm nsen u u n sen u u C

m n m n

+ −−−

= ++ + ∫ +

111

Cálculo Integral

VII. Formas que contienen funciones trigonométricas inversas

62. -1 -1 2 1- sen u du u sen u u C= +∫ +

63. 1 1 cos cos 1 u du u u u C− −= − −∫ 2 +

64. 1 1 tan tan ln 1 u du u u u C− −= − +∫ 2 +

65. 1 1 cot cot ln 1 u du u u u C− −= + +∫ 2 +

66. -1 -1 2 sec sec - ln -1 u du u u u u C= + +∫ 1 1 sec cosh u u u C − −= − +

67. 1 1 2 csc csc ln 1 u du u u u u C− −= − + − +∫ 1 1 csc cosh u u u C− − = + +

VIII. Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas

68. ( ) 1 u uue du e u C= − +∫

69. 1 n u n u n uu e du u e n u e du C−= − +∫ ∫

70. 1 ln ln

n un u n uu a nu a du u a du C

a a−= − +∫ ∫

71. ( ) 1 1

1 1 1

u u

n n

e du e e duu n u n u− −= − +

− −∫ ∫ u

n

72. ( ) -1 -1

ln - -1 -1

u u

n n

a du a a a duu n u n u

= +∫ ∫

u

n

73. ln ln u du u u C= +∫

74. ( )

( )1

2ln 1 ln 1 1

nn uu u du n u u

n

+

= + −+∫ C+

112

Cálculo Integral

75. ln ln lndu u C

u u= +∫

76. ( )2 2 cos

auau ee sen nu du a sen nu n nu C

a n= −

+∫ +

77. ( )2 2 cos cos

auau ee nu du a nu n sen nu C

a n= +

+∫ +

IX. Formas que contienen funciones hiperbólicas

78. cosh + senh u du u C=∫

79. cos + h u du senh u C=∫

80. tan ln cosh + h u du u C=∫

81. cot ln + h u du senh u C=∫

82. ( )1 tan sech u du senh u C−= +∫

83. 1

2 ln tanh csch u du u C= +∫

84. 2 tanh sech u du u C= +∫

85. 2csc coth h u du u C= − +∫

86. tanh sec sech u u du h u C= − +∫

87. coth csc csch u u du h u C= − +∫

88. 2 1 1

4 2 sech u du senh u u C= −∫ +

89. 2 1 1

4 2csc + h u du senh u u C= +∫

90. 2tan tanh h u du u u C= − +∫

113

Cálculo Integral

91. 2cot coth h u du u u C= − +∫

92. cosh u senh u du u u senh u C= −∫ +

+93. cos senh cos u h u du u u h u C= −∫

94. ( )2 2 sen cosh

auau ee h nu du a senh nu n nu C

a n= −

−∫ +

95. ( )2 2 cos cosh

auau ee h nu du a nu n senh nu C

a n= −

−∫ +

114

Cálculo Integral

( ) ( )2 2 2 2 22 cot csc x x a x a dx−− −

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PARES

CAPITULO I

Ejercicios tema 1.1

2. ∆y = 0.0124

4. ∆y = - 0.0083

6. ∆y = 0.1990

8. ∆y = - 0.9600

10. ∆y = - 0.0045

Ejercicios tema 1.4

12. dy = 14 x dx

14. dy = 64 5 52 3

5 5 x x d− −⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠x

16. dy = 2 3dxx +

18. dy = ( )26 10

3 4

x x dx

x

−

−

20. dy = 6 2 2 2cos x sen x x dx

1 2

22. dy =

24. dy = cos ( )2 x dx−

26. dy = ( )2

1

dxx

−+

28. dy = ( )

2

2

sec 1 tan

x dxx−

30. dy = 3 3 3 2 x xe sen e dx−

Ejercicios tema 1.5

32. 0.1049

34. 4.3333

36. 3.1111

38. 0.5529

40. 0.4913

42. a) V = 8120 cm3 , b) A = 404 cm2

44. 62.8300 lts

115

Cálculo Integral

CAPITULO II


2. 32

3

3+ y Cy

+

4. 3 23

23 4 + Cθ θ θ− +

6. 5 1

2 26

5 4 x x C− +

8. 317 4

26 3

6 3

17 4 x a x C− +

10. 1

3

2 + 9 3 ln x x x+ + C

12. 22 x Cx

− +

14. 1 1

2 2 ln + 2 a x x + C


2. ( )32 2

6

tC

−+

4. ( )5

33

5 8 x C− − +

6. ( )3

2

1 2

3 x

C−

− +

8. ( )

2 3

Cx

−

− +

10. ( )1

222 3 + x x C+

12. ( )ln 1 + x C+

14. 2ln 1+ x C+

16. ( )21

2 ln 2 + x x C− −

18. 31

3 + xe C−−

20. 2 + xe C

22. cos + xe C−

24. 3 + tan 2 xe C

26. ( ) ln 1 + xe C−− +

28. ln + x

x

a e Ca e

+−

30. 210

2 ln10

x

C+

32. 102 ln10

x

C+

34. 3 3 2 ln 3 ln 3

x x

x C−

+ − +

116

Cálculo Integral

( )3

2 12 7 3

2 + 1ln

36. 1

3 cos3 x C− +

38. ( )1

3 cos 2 3 x C− +

1 tan 3 3

xx x C−+ + + +

( ) ( )1 116 2 8

2 3ln ln 4 4 32 + 1x x x Cx

− − − − +

40. 41

20 5 sen x C+

42. 4cos +

4Cθ

−

44. ln cos xe C− +

46. 6tan 2

12x C+

48. 2ln sen Cθ +

50. 2ln sen Cθ +

52. ( )3 31

3 ln sec tan x xe e− −+ + C

54. 3

22

3sec Cθ +

56. ( ) sec 2 Cθ− − +

58. ( )1

2 tan 1 2x C− − +

60. 2 2ln csc cot x x C− +

62. 1

2 csc 2 Cθ− +

64. ( )1 cot

ba b Cθ− +

66. 11 3

4 2 tan x C− ⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

68. 11

2

1tan2

x C− +⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

70. 2 2ln 2

x Cx−

+

72.

74. ( )1

20

5 1ln 5 + 1x Cx

− +

76. c ln + c2b ax Caxac

− +

78. ( )1

4 1ln + 3x Cx

− +

80. 3 + 1ln 3 + 3x Cx +

82.

84. ( )1123 2 ln 3 2

x Cx+ +−

86. 1

2 15

3 5 ln3 5

x Cx

+ +−

88. ( )1

4ln 4 x Cx +−

90. ( ) 2

ln6 6

x Cx x x

+− −

92. ( )1

32ln 3 9 4x x C+ + +

94. ( )2ln 1 2 5x x x C+ + + + +

96. ( )22

2 ln 2 1 2 2 1x x x C− + − + +

117

Cálculo Integral

72

2 21

43 1 l n 1x x x x x⎛ ⎞+ + + + + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠C

118

( )1

42 1 24 4 34

ln

98.

100. ( )1

52ln 5 25 4x x C+ − +

102. ( )2 2 2 ln b

aax a x c C+ − +

104. ( )( )2ln 1 2 3x x x+ + + − + C

2 1 4 4 3 x xx x x C− −− + − − − +

106. ( )( )23

3 ln 3 2 9 12 3x x x+ + + + + C

108.

110. 11 2

2 3 sen x C− +

112. 15 5

5 3 se n x− + C

114. 1 2 2

xsen C− −+

116. 1 2 3 6 6

3xsen x x C− −

− − +

( )2 21 2

2 3 9 4 + ln 3 9 4 x x x x+ + + C+118.

( )( )2

2 2

2

1 2 5 + ln 1 2 5 x x x x x x−− + − + − + +120. C

( )( )2 21

4 2 2 1 2 2 1 + ln 2 1 2 2 1 x x x x x x⎡ ⎤− − + − + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

C122.

( )

252 2

2 25 4 ln 5 25 4 x x x x− − + − +124. C

( )

22 2 2 2 2 2

2 ln

2ax ca x c ax a x c C− − + − +126.

( )( )22 21 2 3 ln 1 2 3 2

x x x x x x C+ + − − + + + − +

Cálculo Integral

119

2 15

2

3

3 55 3 + 2

x x sen x C− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 1

2 1 2 14 2 1 + 4 2x xx sen C−− −− − +

( )2 1

92

3 36 + 2 3x xx x sen−− −− + C

11 22 9 4 9 2 ln 2 3

xx x sen C−⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )16 3

2 23 2 9 12 3 3 2 9 12 3ln x x x x x x C⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

+

( )2 2 cos a cos bb abb a

ax sen bx sen x x C−

− +

21

4

cos 2 + 2 cos 22 2

sen Cθ θθ θ θ−

128.

130.

132. 2 12 3

3 24 9 + 2

x x sen x C− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

134.

136.

138.

140. ( )2ln cos cos 16 x x C− + + +

142. 1

42 cosln 2 cos

Cθθ

−+⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

144. ( )1tan tan Cθ− +

146. 1ln 1

x

x

e Ce

++

−

148.

150. 11

3

lntan 3x C− +


2. 1 1

9 3 3 cos 3 sen x x x C− +

+ +

2 2 cos 2 x sen x x x sen x C+ − +

4. 1

2 4 2 cos 2 x sen x x C+ +

6.

8.

Cálculo Integral

21 1 1

4 12 72 6 cos 6 x x sen x x C+ + +

( )11 2 14

1

22 1sen sen Cθ θ θ θ θ− −+ − − − +

3 21 2 13 2 3 2

1

2cos 4 sen Cθ θ θθ− −+ − + +

( )3 1

1 2 6 1

6tan ln 1

3Cθ θ θ θ− 2+ + − +

1 132 4

3

10.

12.

8 4 2 a ax sen ax sen ax C+ − +

1 132 4

3

8 4 + 2 a ax sen ax sen ax C+ +

21

2 tan ln cos x x x x+ + C+14.

[ ]

5

2 5 25 cos25 1

te sen t t Cπ π ππ

− ++

16.

[ ]

4

2 16 4 cos16 1

te sen t t Cπ π ππ

+ +−

18.

20. [ ]2

2 ln 2 1ln 2

x

x C− +

22. [ ]3 1xe x C− +

24. 2 2 2xe x x C− ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

26. ln 3 x x x− + C

2 3 21

42 ln 3ln 3ln 1x x x x C⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦

( )3 1

1 2 26 1

6 cot ln 1

3x x x x− C+ + − +

28. [ ]23

42 ln 1x x C− +

30.

32. [ ]41

164 ln 1x x C− +

34. ( ) ( )cos ln ln2x x sen x C+ +⎡ ⎤⎣ ⎦

36. ( )2 2 2 2ln x x x a x a C+ + − + +

38. ( )2 1 ln 1 2x x C+ + − +⎡ ⎤⎣ ⎦

40. 3

2 96 ln 4 ln96x x x x x C⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

42.

44. ( )1 2

2cos 4 Cθθ θ− + − +

46.

48.

50.

52. ( ) ( )3

2 221

5 1 3 2x x C+ − +

54. ( ) ( )3

33

1

3 ln 8

3 8tt C

t+ − +

+


2. 1 22 4x sen ax C

a− +

4. 1 + 22 4x sen ax C

a+

6. 3

1

2

co

8. 1 1

2 6

3 2 2 sen sen Cθ θ− +

10.

12. s 2 cos 2

6Cθ θ− +

120

Cálculo Integral

1 3 5

2 1

3 5 cos bx cos cos b bx bx C⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

+

35 3 1 1

16 64 4 48

1 sen 4bx + sen 2bx sen 2bxx Cb

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦+

[ ]1

2048 16 8 cos 8 48 sen Cθ θ θ− + +

( )3 31 23 81 81

98 + 9 9x x xsen x x C−⎡ ⎤− − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

2

( ) ( )5 32 21 16

125 75 16 5 + 16 5x x C+ + +

2 2 2 5 2 52 ln x x x Cx x

⎛ ⎞+ − −− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠2 23 3 5 3 53 ln

5x x x C

x

⎛ ⎞+ + +− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

222 1

27 8

3 9 4 ln 9 42

x x x x C⎛ ⎞+ −

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

( ) ( )5 32 21 5

20 12 5 2 5 2x x C− − − +

( ) ( )5 32 21 16

5 3 16 + 16x x C− − +

22 5 55 ln + 5x x C

x

⎛ ⎞− −− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 1

525 5 sec xx C−− − +

28 31

43

16 3 2

x x xsen C− −− +

14.

16.

18. 2 21 1

16 64 sen 4xx C+ +

20. 1 3

48

1cos 2 cos 216

mt mt Cm

− +

22.

24. 5 35

3

1 cos cos 5

Cπθ πθπ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

26. ( ) ( )3 41 4

2 22 3 sen sen Cθ θ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

28. 1 2

2 tan ln sec Cθ θ− +

30. ( ) ( )33 53 35

sec sec Cθ θ− +

32. 7 57

5

1 tan tan 7

Cπθ πθπ

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

34. 2 tan 2sec Cθ θ θ+ − +


2.

4.

6.

8.

10.

12.

14. 2

25 5ln + 5x x Cx

⎛ ⎞+ −+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

16. 2

312

4 93 x xsen Cx

− −− +

18.

20.

22. 2

1

5

5 25 ln x Cx

⎛ ⎞+ −+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

24. 2

1

3

2 ln4 9

x Cx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

−⎝ ⎠

26.

121

Cálculo Integral

221 9

2 2

9 9 ln3

x xx x C⎛ ⎞+ +

+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2

2

7 7

7 7 4 7 4ln 2 14

x x Cx x

⎛ ⎞− − −− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

225 4

128 25

25 16 4 25 16ln + 5

x x Cx x

⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 33 1 32 2

38 304 152 4 ln

28.

30.

32. 2 4 4

x Cx−

+

34. 2

2

9

4 9 xx

−+ C

36. 29 25 5

x Cx+

− +

38. ( )32 21

3 4 4 4x x C− − − +

4 + 42

x x x x x x C⎛ ⎞+ +

+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )32 2 2 2 21

3 x a a x a+ − + + C

22 21

227 3

4 9 sec 18

x x Cx

− −+ +

2

2

2ln 2 2

x x x Cx

⎛ ⎞+ +− +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠

40. ( )32 21

3 9 + 9 9x x C− − +

42. 2

2

3ln 3 3

x x x Cx

⎛ ⎞+ −− +⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠

44.

46.

48.

50.

52. ( ) ( )7 52 21 8

7 5 8 8x x C+ − + +

54. 2

25 25

x Cx

+−

56. 2

3 3

x Cx

+−

58. 2

2 2

x Cx

++

60. 122

4

xx sen Cx

−− +−

62.

64.

66.( )

3

32

3 4

x Cx

+−

68.( )

3

32

6 2

x Cx

++

70.2

9 3

x Cx

− +−

122

Cálculo Integral

( ) ( ) ( )3 122 2ln


2. 1

8

3ln + 5

x Cx

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

4. 1

1 + ln 1 ln 3 + x x x C+ − − +

( ) ( )2

27 27ln 3 6 3 2

xx x Cx

+ + + − ++

( )12

1tan 2 4 5

x Cx x

− + − ++ +

8

2 5ln + 2 1x Cx

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

6. 1

14

4 10ln + 1

x Cx

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

8. 1

10

3ln + 7x C

x−⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠

10. 1

6

3ln + x Cx−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

12. ( )

12 8

14

4ln +

xC

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

14. ( )27 23ln 4

1 2x x x Cx−

+ + +−

16. ( ) ( )( )2 31

5 ln 3 2 + x x C− +

18. ( )( )

7

21

5

2ln +

3x

Cx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

20. ( ) ( )( )735 1

4 8 4ln 2 ln + x xx C++ −

22. ( )3 2ln + x x C+

24. ( )( )

2

2

1ln +

2

xC

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

26. ( )29 1 1

20 2 2 ln 2 5 ln x x x− + − + C

28. ( )5 3ln x x C− +

30. 2 2

1ln

2x x C

x−

+ +

32. ( )( )

2

2

2ln

2x x

Cx

−+

+

34. ( )( )

31

71

3

5ln

2x

Cx

−+

−

36. ( ) ( )( )

3 132 2

7

1 3ln

2x x

Cx

− −+

−

38. ( )( ) ( )

4

2

2ln

3 1x

Cx x

++

− −

40.

42. 1 1ln x Cx x+

− +

44. ( )

21 1 3ln 1

x x Cx x x+ +⎛ ⎞ − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠

46. ( )

192 1ln +

1 3 1x Cx x

−⎛ ⎞ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

48.

50. ( )

3 3 1ln 1 1

x x Cx x x

−⎛ ⎞ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

52.

123

Cálculo Integral

( )( )

4 2 2

1 22 4

2 1 4 1ln + + 2 22

x x x Cx xx x

− − −+

−

( ) ( )41 671

36

23ln 3 3 6 18

x x Cx

+ − − +−

( ) ( )2

12

1

8

2ln 4 tan 1

2 4x

x Cx x

−+− +

− ++

( )2

1 112 2

1 tan 1 ln 1

xx Cx

− ++ − +

+

( )4 1110 2 5tan ln 1 4 x x x C−− − + + +

( ) 12 15 3

1

5ln 2 3 4 tan xx x C−+ + − +

( )2

1 1 2

2 2ln + tan 1 2 3

x x x Cx

−+ ++ +

−

( )3 11

3 3 3

1ln 3 tan 3

xx x Cx

−+ − − +

( ) ( )2

22

8 4 ln 4 2 4x x C

x− − + +

+

( )1

2 32

1

2ln + 12 tan

4 9xx C

x− +

+

( ) 3 12 12 2

1ln 2 + ln t an 2

xx x C− +− + +

( ) ( )3

4 3

4

9ln

54. 22 3ln

2 1 + + 8 2 1

x x Cx

+ ++

2

x Cx x−⎛ ⎞ − +⎜ ⎟ −⎝ ⎠

56. 1

4 4ln 4 4

x Cx x

⎛ ⎞ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

58. ( )24 7ln 1 +

2 1xx Cx

++ +

+

60.

62. ( )( )

32

12 19ln 2 + 2

xx Cx

++

++

64.

66.

68. ( )( )2 3ln 2 1 2 1 + 4 2

x x Cx

+ − ++

70. ( )( )( )

32

5 4ln 2 1 + 1

xx x Cx

+− + +

+

72.

74. 1 14

12

1ln tan 1

x x Cx

−−− +

+

76. 11 tan x Cx

−− − +

78. ( )21

2

1

4

-1 ln tan

2x

x Cx

−+ ++

80.

82.

84.

86. ( )211

2

1ln 2 tan

1x

x Cx

−+− +

+

88.

90. 5 12 22

3ln + tan 4

xx Cx

− ++

92.

94. ( ) 1 3ln 1 2 tan 1

x x Cx

−− − −−

+

96.

2 212

1ln + 2

x x Cx+

+

98.

100. 22 4ln

2x Cx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

102. ( )2 1ln 2 + tan x x C−+ +

104. 1 2

22 tan + x x x C− − +

106.

108. 1 1 tan x Cx

−− − +

110.

124

Cálculo Integral

112. ( ) ( )2

2

1

2

1 ln 2 2

x Cx

+ − ++

114. ( ) ( )2

2

1

2

1ln 2 + 2 2

x Cx

+ ++

CAPITULO III


2. 1

28

4. 64 3

6. 32 a

8. 2

342

10. 4

12. ln 3

14. 8

3 ln 3−

16. ln 2

18. 15

20. 1128

22. 170.53

24. ∞

26. 2 6 π −

28. 3 38

30. 0

32. 13

34. 42

π−

36. 2

38. 23

40. 3 158−

42. 2π −

44. ∞

46. 0.3167

48. ln 2

50. ( )6 3 1 2

6

eπ−

− +

52. 12

54. 0.1534−

125

Cálculo Integral

CAPITULO IV


2. 1.14

4. 1.79

6. 1.41

8. 6.92

10. 24.24

12. 143

14. 26.33


2. 163

4. 18

6. 563

8. 143

10. 454

12. 24

14. 21

16. 1912

18. 12

20. 59

22. 360

24 13

26. 323

28. 16

30. 13.45

32. 74

34. 18 2

36. 14324

38. 25615

40. 8.20

42. 83

44. 29.81

126

Cálculo Integral


2. 1296 5

π

4. 126 π

6. 320 π

8. 20 π

10. 15 4

π

12. 124 3

π

14. 48 π

16. 2π

18. 64 3

π

20. ( )2π π +

22. ( )3 2π π −

24. ( )101 12

e−−

26. 8 π

28. 128 π

30. 485

π

32. 0.56 π

34. 3

5129 π

36. 64 π

38. 32 π


2. 10 , 13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4. 171 , 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6. 5 , 52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8. 3 3 , 2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10. ( ) 0 , 4.56

12. 8 8 , 15 21

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

14. ( )1.25 , 0.75

16. 16 , 07

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18. ( )1 , 0.39

20. ( )0.57 , 0.39

22. ( )0.41 , 0.34

127

Cálculo Integral

24. 93750 .kg mπ

26. 1

311458 .kg mπ

28. 26325 .373

kg mw

π

30. 57600 .kg mπ

CAPITULO V


2. 2e−

4. 2

6. 18 ln 2

8. − ∝

10. + ∝

12. 1 3

−

14. − ∝

16. 0

18. 0

20. 0

22. + ∝

24. 21

26. + ∝

28. 8

30. + ∝

128

Cálculo Integral

BIBLIOGRAFÍA

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Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 23 Zill Dennis G.

Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica

130

TESIS-CLCULO INTEGRAL

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