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Frecuencia ComplejaAnlisis de Circuitos AC -201423UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA, UNAD

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Introduccinv(t) = Vmest cos (wt + q)v(t) = V0s = w = 0s = 0v(t) = Vm cos (wt + q)w = 0v(t) = Vmest

Funcin senoidal amortiguada

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Frecuencia Complejaf(t) = Kests = 0v(t) = V0v(t) = Vmests = s + j0s = s1 = jw, s = s2 = -jwK1 = VmejqK2 = K1* = Vme-jqv(t) = Vmcos (wt + q)s = 0

s = s + j ws = frecuencia neper, w = frecuencia realv(t) = Vmest cos (wt + q)s 0

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EjemploIdentificar las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes:a) (2e100 t + e200 t)sen 2000 t. (2e100 t + e200 t)sen 2000 t = 2e100 t sen 2000 t + e200 tsen 2000 t 2e100 t sen 2000 t 100 + 2000j, 100 2000je200 tsen 2000 t 200 + 2000j, 200 2000jb) (2 e10 t)cos(4t + f).(2 e10 t)cos(4t + f) = 2cos(4t + f) e10 tcos(4t + f)2cos(4t + f) 4j, 4j,e10 tcos(4t + f) 10 + 4j, 10 4jc) e10 tcos 10t sen 40 t e10 tcos 10t sen 40 t = e10 t(sen(40t 10 t) + sen(40t + 10 t))/2 e10 tsen(30t) 10 + 30j, 10 30j e10 tsen(50t) 10 + 50j, 10 50j

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Funcin senoidal amortiguadaUn voltaje senoidal amortiguado v(t) = Vmest cos (wt + q)Puede escribirse comov(t) = Re(Vmest ej(wt + q)) o v(t) = Re(Vmest ej(wtq))factorizando ejq.v(t) = Re(Vmeq je (s + wt)t)ov(t) = Re(Vmeq je st)

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EjemploSe aplica una funcin senoidal amortiguada v(t) = 60e2t cos(4t + 10) V a un circuito RLC serie R = 2 Ohms, L = 3H, y C = 0.1 F, encuentre la corriente en el dominio del tiempo.v(t) = 60e2t cos(4t + 10) = Re(60e2tej(4t+10))= Re(60ej10e(2+j4)t)ov(t) = Re(Ves t)con V = 6010 y s = 2 + 4jLa corriente debe ser de la forma Ies t con I = Imf.Sustituyendo en la ec. de Kirchhoff se obtiene6010es t = 2 Ies t + 3 s Ies t + 10/ s Ies tEliminando es t y despejandoI = 6010/(2 + 3 s + 10/ s)

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Ejemplo (cont.)Sustituyendo s = 2 + j4 nos daI = 5.37106.6La corriente en funcin del tiempo esi(t) = 5.37e2t cos(4t 106.6)

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ActividadExpresar cada una de las corrientes siguientes en el dominio de la frecuencia: a) 4 e-20t cos(1000t + 60) mA; b) 4 sen(800t + 60) mA; c) -4 e-5t sen(1000t 60) mA

Si V = 64@80 V, hallar v(0.001) si s = : a) -800 + j600; b) j600; c) -800 j600.

4@-30, 4@30, 4@60; -11.9, 20.1, 44.8

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Z(s) y Y(s)v(t) = Re(Vest)El voltaje y la corriente se representan comoi(t) = Re(Iest)Para una bobinaRe(Vest) = Re(sLIest) Eliminando estV = sLIImpedancia: Z(s) = I/V = sL Admitancia: Y(s) = V/I = 1/sL

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Z(s) y Y(s)RLCZ(s)RsL1/sCY(s)R1/sLsC

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Ejemplo

I = 60@10/(2 + (-6 + j12) +(-1 j2)) = 5.37@106.6

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La respuesta en frecuencia como funcin de s

Circuito RL

Polo en -R/LVm/R

%respuesta en funcin de sigma, circuito RLR = 1;L = 1;Vm = 1;sigma = -5:0.1:5;I = (Vm/L)./(sigma+R/L);plot(sigma,abs(I));axis([-5,5,0,2]);gridtitle('magnitud de I vs. sigma');

-

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Anlisis de la respuestaLa respuesta tiene un cero en y un polo en R/L.Al aplicar una seal finita a la frecuencia del polo se obtiene un respuesta infinita.Al aplicar una seal de magnitud cero en la frecuencia del polo se obtiene una respuesta finita, la respuesta natural del circuito RL.i(t) = ImeRt/L

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%respuesta en funcin de sigma, circuito RCsigma = -60:1:40;V0 = 10*(sigma + 20)./(sigma + 10);plot(sigma,abs(V0));axis([-60,40,0,40]);gridtitle('magnitud de V0 vs. sigma');

Cero en 20 Polo en 10

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%respuesta en funcin de sigma, circuito RLCsigma = -7:0.05:1;I = 100*sigma./((sigma + 1).*(sigma + 5));plot(sigma,abs(I));axis([-7,1,0,300]);gridtitle('magnitud de I vs. sigma');

-

mnimo relativo

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Ejercicio % +---R1---+---R2---+% | | |% Ven C1 C2 Vsal% | | |% +--------+--------+% Encontrar Vsal/Ven a) frecuencias criticas% b) evaluar en% sigma = -200, -80, -40, 0 Np/s c) graficar

% R1 = 20000;% R2 = 10000;% C1 = 2.5e-6;% C2 = 2e-6;

sigma = -120:1:20;%h = 1000./((sigma+100).*(sigma+10));plot(sigma,abs(h))grid

Frecuencias crticas:s = 10, 100, polos: 10, 100ceros:

h(-200)= 0.0526h(-80) = -0.7143h(-40) = -0.5556h(0) = 1.0000

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-

+

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Grficos de magnitud y faseImpedancia de una resistencia de 3 Ohms y una bobina de 4 H.Z(s) = 3 + 4sZ(s) = 3 + 4sZ(jw) = 3+4jw

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Magnitud en funcin de w

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Fase en funcin de w

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El plano de la frecuencia compleja

jwss>0s>0s