“Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 1

INTRODUCCIÓN: “MRUV”: Consideremos las siguientes situaciones:

1. Un automóvil que se mueve a lo largo de una pista

rectilínea de gran longitud; pasa por un punto A con

5m/s y luego pasa por B con 15m/s tal como se

muestra:

5m/s 15m/s

A B

Nos damos cuenta que el módulo de la velocidad

está cambiando; pero no su dirección.

2. Un automóvil que se desplaza por la carretera

mostrada; pasa por P y Q con 25m/s.

25m/sP

Q

25m/s

Nos damos cuenta que es la dirección de la

velocidad está cambiando; pero no el módulo.

3. Un automóvil que se desplaza por la carretera

mostrada; pasa por M con 8m/s y luego por N con 12

m/s.

M

N

8m/s

12m/s

Nos percatamos que tanto el módulo como la

dirección de la velocidad está cambiando.

Examinando las situaciones anteriores; nos damos

cuenta que la velocidad está cambiando; ya sea en su:

módulo; en su dirección o ambos a la vez; y esto es lo

que ocurre o que se presenta en la naturaleza. Para

caracterizar estos cambios en la velocidad, usaremos

una magnitud vectorial denominada Aceleración Media:

m(a ) ; la cual nos mide la rapidez con que un cuerpo

cambia su velocidad; su unidad de medida en el S.I. es

el: m/s2.

Ahora analizaremos el movimiento de un cuerpo en

los siguientes casos:

PRIMER CASO:

1s 3s 6s 2s

3 m/s 8 m/s 20 m/s 26 m/s14 m/s

A B C D E

Características

La trayectoria descrita por el cuerpo es una línea

recta; por tanto describe un Movimiento Rectilíneo.

El cuerpo experimenta los mismos cambios o

para diferentes intervalos de tiempo; por tanto el

movimiento descrito por el cuerpo es Variado.

El cuerpo presenta una aceleración ya que el módulo

de la velocidad está ¡CAMBIANDO!.

SEGUNDO CASO:

1s

A B C D E

2 m/s 8 m/s 14 m/s 20 m/s 26 m/s

1s 1s 1s

Características

La trayectoria descrita por el cuerpo es una línea

recta; por tanto el cuerpo describe un Movimiento

Rectilíneo.

El cuerpo experimenta los mismos cambios o

variaciones en el módulo de la velocida

para los mismos intervalos de tiempo; por tanto el

movimiento descrito por el cuerpo es Uniforme

Variado.

El cuerpo presenta una aceleración ya que el módulo

de la velocidad está ¡Cambiando! y como estos

cambios son iguales para los mismos tiempos, la

ACELERACIÓN ES CONSTANTE.

Al movimiento descrito con estas características se

denomina: MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE VARIADO: M.R.U.V.

Lic. Manuel Manay Fernández Módulo 02-2014

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Siendo la aceleración una magnitud vectorial su

módulo se determinará con la siguiente fórmula cuando

el cuerpo desarrolla un M.R.U.V.

t

vvF0

Variación en elmódulo

de la velocidadMódulo de la Aceleración

Tiempo

En forma abreviada:

F 0v v – va

t t

vF : Módulo de la velocidad final.

v0 : Módulo de la velocidad inicial.

La dirección de la aceleración se determinará

según, si el módulo de la velocidad Aumenta o

Disminuye en una dirección determinada; por ejemplo:

7m/s 15m/s

a

Cuando Aumenta el módulo de la velocidad el

movimiento es Acelerado y la dirección de la

aceleración coincide con la dirección del movimiento del

cuerpo.

18m/s 2m/s

a

Cuando Disminuye el módulo de la velocidad, el

movimiento es Desacelerado y la dirección de la

aceleración NO coincide con la dirección del

movimiento del cuerpo.

¿Qué significa que un cuerpo desarrolle un M.R.U.V.

con 4 m/s2?

Rpta.: Nos indica que en cada 1s, el módulo de la

velocidad del cuerpo está variando (ya sea aumentando

o disminuyendo) en 4 m/s.

• Cuando “aumenta” el módulo de la velocidad:

A B C D

2 m/s 6 m/s 10 m/s 14 m/s

1s 1s 1s

• Cuando “disminuye” el módulo de la velocidad:

P Q R S

16 m/s 12 m/s 4 m/s

1s 1s

8 m/s

1s

FÓRMULAS DEL M.R.U.V.

0 F

t a

d

v v

Fórmula para hallar la aceleración:

Formulas:

; ; Fórmula para hallar la distancia en un intervalo de tiempo:

)12(2

0 na

Vdn

Tiempo de alcance Tiempo de encuentro

21

2

aa

dTalc

; 21 aa

21

2

aa

dTenc

Nota:

(+) Movimiento Acelerado

(-) Movimiento Desacelerado

t

VVa 0f

aTVV 0f 2

aTTVe

2

0

2aeVV 20

2f t

2

VVe 0f

2

aTTVe

2

0

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GRÁFICAS DEL M.R.U.V.:

Posición V.S. Tiempo:

Muestra gráficamente la relación, entre la posición (e) de una partícula en cada instante de tiempo (t), veamos:

Grafica del

movimiento

Acelerado

e (m)

A

Tangente

Grafica del

movimiento

Desacelerado

t (s)

θ

Características:

Como: e = V0 t 2

2

t ; la gráfica será una parábola (Geometría

analítica).

La pendiente (tangente), de la recta tangente trazada a la curva, es igual a la velocidad de la partícula en un instante de tiempo, o sea:

Velocidad V.S. Tiempo:

Muestra gráficamente la relación, entre la velocidad que tiene la partícula, en cada instante de tiempo, veamos: Características:

La pendiente de la recta, es numéricamente igual a la aceleración de la partícula:

La recta o gráfica, corta al eje de ordenadas (y) en un punto (e0) que nos indica la posición inicial de la partícula.

Muestra gráficamente la relación entre la velocidad que tiene la partícula en cada instante de tiempo.

ARecta o

Grafica

V (m/s)

t (s)0 1t 2t

Movimiento Acelerado

A

V (m/s)

t (s)0 1t 2t

α

0V Movimiento Desacelerado

El área (A) de la superficie sombreada, bajo la recta, es numéricamente igual al espacio recorrido por la partícula en un intervalo de tiempo.

En todos los casos, el área de la superficie bajo la recta, es numéricamente igual al cambio de posición que experimenta la partícula, en un intervalo de tiempo.

Aceleración V.S. Tiempo:

Muestra gráficamente la relación, entre la aceleración que tiene la partícula en cada instante de tiempo, veamos:

(+ A)

(- A)1t 2t t (s)0

a (m/s )2

Movimiento Acelerado

Movimiento Retardado

Características

Si l aceleración (a) es constante, la recta es paralela al eje temporal (t).

El área de la superficie bajo la recta, es igual al cambio de velocidad que experimenta la partícula en un intervalo de tiempo, veamos:

2

tatVe

2

0

V = Tg θ

a = Tg θ

a = -Tg

A = e2 – e1

A = Vf – Vi

77

78

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1. Si el siguiente movimiento es un MRUV, halle

las velocidades en “C, D y E”. Y la aceleración

del móvil.

VC = ________________________

VD = ________________________

VE = ________________________

2. En la figura halle la distancia “d”.

a) 10 m

b) 15

c) 20

d) 23

e) 24

3. En la figura hallar “d”.

a) 36 m

b) 24

c) 15

d) 22

e) 48

4. Un móvil parte del reposo y con una aceleración

de 6m/s² ¿Qué distancia recorre luego de 4

segundos?

a) 48 m

b) 36

c) 24

d) 15

e) 32

5. En la figura, si el móvil partió del reposo, el

valor de “t” es:

a) 1s

b) 2

c) 4

d) 6

e) 3

6. En la figura halle “x”.

a) 1m

b) 4

c) 5

d) 2

e) 3

7. En la figura, hallar “V”.

2m/s

1s

5m/s

1s 2s 3s

A B C D E

3m/s

1s

5m/s

3s

d 4m

18m/s

4s

24m/s

2s

d

t

a = 4m/s²

d = 32m

16m/s

3s

1s

30m x

t = 8s

12m/s

d = 180m

V

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a) 45m/s

b) 32

c) 43

d) 33

e) 23

8. Un móvil parte del reposo con M.R.U.V, si luego de 4 seg. a recorrido 160 m ¿cuál era su aceleración?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20

9. Un móvil parte con una velocidad de 15 m/s y una aceleración de 2,5 m/s

2, calcular al cabo de

que tiempo alcanzará 9 m/s.

a) 1 seg b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5

10. Un automóvil que se desplaza a 36 km/h comienza a

aumentar su velocidad. En el primer segundo de

aceleración avanza 11m. se desea saber:

a) Cuál es su velocidad después de 10 seg de

aceleración?

b) Su velocidad final, sí durante la aceleración

recorrió la distancia de 300 m.

Dar como respuesta la suma de dichas velocidades:

a) 66 m/s b) 70,03 c) 76,05 d) 74,08 e) 80

11. Un ratón se dirige a su hueco en línea recta con una

velocidad constante de 2 m/s, cuando le faltan 5

metros para llegar, pasa por el lado de un gato que se

encuentra en reposo. Si el gato acelera a razón de 2

m/seg2 en dirección del ratón. Logrará alcanzarlo y si

lo hace a qué distancia del agujero.

a) 5m

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

12. El policía Dick Dick, observa a un delincuente que se

encuentra a 6 m. de él, en ese instante el delincuente

se da a la fuga con una velocidad de 1m/seg. De

inmediato el policía parte acelerando a razón de

2 m/seg2 en su persecución. Después de que tiempo

será atrapado el delincuente.

a) 5seg

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

13. Se tiene la siguiente gráfica posición-tiempo de un

móvil. Con los datos señalados, calcular:

a) El módulo del desplazamiento entre los instantes

t= 5 s y t= 8 s.

b) El módulo de la velocidad media en dicho

intervalo de tiempo

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14. Un móvil se desplaza según la siguiente gráfica

velocidad – tiempo. Calcular el valor de la

aceleración en los intervalos: a) entre t= 0 y t= 5 s

b) entre t= 5 s y t= 15 s

15. Si una partícula se desplaza según la gráfica

mostrada, determinar la distancia recorrida y el valor

del desplazamiento en los 17 primeros segundos de su

movimiento.

16. La aceleración de un móvil con MRUV varía según

la gráfica. Si su velocidad inicial es vi = -12 m/s,

calcular su velocidad en el instante t=8 s.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. De la figura si se trata de un MRUV, halle las

velocidades en A, B y E.

VA = ________________________

VB = ________________________

VE = ________________________

2. Del ejercicio anterior, el valor de la aceleración es:

a) 1 m/s² b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

3. Un avión parte del reposo con MRUV y cambia de

velocidad a razón de 8 m/s2 logrando despegar

luego de recorrer 1600 m. ¿Con qué velocidad en m/s despega?

a) 100 b) 520 c) 160 d) 200 e) 250

4. Durante qué segundo un móvil que parte del reposo y tiene un MRUV recorrerá el triple del espacio recorrido durante el quinto segundo.

a) 9º b) 5º c) 14º d) 12º e) 18º

5. El móvil “A” tiene V = 6 m/s constante y el móvil “B” parte del reposo con a = 2 m/s

2. Determinar el

tiempo de encuentro. a) 5 s b) 7 c) 10

d) 12 e) 15

6. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 segundos a razón de 2 m/s

2, después de lo cual se mueve con velocidad

constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme de 10 m/s lo pasa. ¿En qué tiempo se encontrarán nuevamente el auto y el camión?

a) 16 s b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

160m

A B

16m/s

1s

18m/s

3s 1s 2s

A B C D E

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7. Un esquiador parte del reposo y se desliza 9 m hacia abajo, por una pendiente en 3 s. ¿Cuánto tiempo después del inicio, el esquiador habrá adquirido una velocidad de 24 m/s? considérese la aceleración constante.

a) 10 s b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

8. En la figura, determine el tiempo de alcance, si

ambos móviles parten del reposo.

a) 15s b) 10 c) 12

d) 14 e) 2

9. Un patrullero persigue a un automóvil de ladrones.

El patrullero desarrolla una velocidad constante de

150 km / h mientras que los ladrones viajan a 132 km

/ h. si el patrullero se encuentra a 200 metros de los

ladrones. En cuanto tiempo lo alcanzara.

a) 25s b) 30 c) 40

d) 45 e) 50

10. Un camión de carga de 5m de largo y que se mueve

con M.R.U.V., ingresa a un túnel de 35m de largo tal

como se indica. Si sale completamente del túnel con

rapidez de 16ms. ¿Cuál es módulo de su

aceleración?

a) 1m/s

2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

11. El movimiento de una partícula está dada por la

ley: 2x 2t t 5 , donde x esta en (m) y t en (s). Halle el espacio entre [ 0 , 1 ]s. a) 0,25 b) 1,5 c) 1,25 d) 2 e) 2,25

12. La grafica representa la velocidad de una partícula, en función del tiempo. ¿Qué fracción de su recorrido total efectúa en los últimos 4 segundos de su movimiento? a) 56% b) 45% c) 32% d) 28% e) 16%

PROBLEMAS PRE U:

01. Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud

avanzan en vías paralelas y sentidos opuestos. Cuando sus velocidades son 12 y 18 m/s sus aceleraciones constante son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.

a) 10 s b) 12 c) 6 d) 18 e) 24

02. Un ciclista se desplaza con una velocidad de 90km/s aplica los frenos y empieza a acelerar uniformemente durante 6s hasta detenerse. Hallar la distancia que recorre en ese tiempo. a) 25m b) 30m c) 50m d) 75m e) 100m

03. Un móvil parte del reposo y recorre una

trayectoria rectilínea con M.R.U.V. de tal manera que durante los dos primeros segundos se desplaza 16m. determinar la distancia que recorre el móvil durante su noveno segundo de movimiento a) 34m b) 43m c) 86m d) 68m e)34m

04. Dos móviles parten del reposo estando

separados 180m. y se observa que se encuentran 10s después de tal modo que la relación de las distancias recorridas por los móviles es como 5 a 4. hallar la aceleración mayor a) 1,6m/s2 b) 2m/s2 c) 1m/s2 d) 0,8m/s2 e) 1,4m/s2

05. Haciendo uso de la gráfica a – Vs – t establézcase la velocidad para el instante t = 15s, si en t = 2s la velocidad era de 3m/s.

A) 143m/s B) 153m/s C) 163m/s D) 173m/s E) 183m/s

RECUERDA:

“La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las que se sientan a ver lo que pasa.”

Albert Einstein

d = 100 m

a1 = 6m/s2 a2 = 4m/s

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