finanzasdelproyecto17

Carlos Mario Morales C 2012

Introduccin a las Matemticas Financieras

Carlos Mario Morales C Finanzas del Proyecto

*ii+

Finanzas del proyecto Introduccin a las Matemticas Financieras No est permitida la reproduccin total o parcial de este

libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de

ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico,

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el permiso previo y por escrito del titular del copyright.

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Datos Catalogrficos para citar este libro Finanzas para el proyecto: Matemticas Financieras

Carlos Mario Morales C. Editorial propia. Medelln, 2011 ISBN: Pendiente Formato 21x24 cm. Paginas:


*iii+

Contenido PRESENTACIN .............................................................................................................................. viii

UNIDAD 1: INTERS....................................................................................................................... 24

Introduccin ...................................................................................................................................... 25

1. Valor del dinero en el tiempo ................................................................................................... 26

2. Inters ....................................................................................................................................... 26

2.1 Inters Simple .................................................................................................................... 26

2.2 Tasa de inters .................................................................................................................. 27

2.3 Formula de inters simple ................................................................................................. 27

2.4 Clases de inters simple .................................................................................................... 27

2.4.1 Inters Ordinario ........................................................................................................... 28

2.4.2 Inters Exacto ................................................................................................................ 28

2.4.3 Ejemplos: calculo del inters simple ............................................................................. 28

2.5 Flujo de Caja: representacin grfica de las transacciones financieras. ........................... 31

2.6 Capital Final Valor futuro (Vf) ......................................................................................... 32

2.7 Capital Inicial Valor presente (Vp) ................................................................................... 33

2.8 Tasa de inters nominal (i) ................................................................................................ 34

2.9 Numero de periodos (n) .................................................................................................... 35

3. Inters anticipado y descuento comercial ................................................................................ 36

3.1 Operaciones de Descuento ............................................................................................... 37

3.2 Tasa de inters real en una operacin de descuento ...................................................... 39

3.3 Descuentos en Cadena .......................................................................................................... 41

4. Ejercicios resueltos .................................................................................................................... 43

5. Ejercicios propuestos ................................................................................................................ 54

UNIDAD 2: INTERS COMPUESTO .............................................................................................. 23

Introduccin ...................................................................................................................................... 24

1. Concepto de inters compuesto ............................................................................................... 25

2. Modelo de Inters compuesto .................................................................................................. 26

2.1 Valor futuro ........................................................................................................................... 28

2.2 Valor presente ....................................................................................................................... 29

2.3 Nmero de periodos de conversin ...................................................................................... 30

2.4 Tasa de inters ...................................................................................................................... 32


*iv+

3. Tasas de Inters ......................................................................................................................... 34

3.1 Tasa Nominal ......................................................................................................................... 34

3.2 Tasa Efectiva .......................................................................................................................... 34

3.3 Relacin entre Tasa Efectiva y Nominal ................................................................................ 35

3.4 Tasa de Inters Anticipado .................................................................................................... 37

4. Equivalencia entre tasas de inters .......................................................................................... 37

4.1 Equivalencia entre tasas efectivas. ....................................................................................... 37

4.2 Equivalencia entre tasas vencidas y tasas anticipadas.......................................................... 39

4.3 Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva. ..................................................................... 42

4.4 Tasa efectiva equivalente de una tasa nominal. ................................................................... 42

5. Ecuaciones de valor o ecuaciones de equivalencia ................................................................... 43

5.1 Concepto de Ecuacin de Valor ............................................................................................ 44

5.2 Ecuacin de Valor .................................................................................................................. 46

6. Aplicaciones de inters compuesto .......................................................................................... 54

6.1 Depsitos a trmino fijo ........................................................................................................ 54

6.2 Inflacin y Deflacin .............................................................................................................. 56

6.3 Devaluacin y revaluacin .................................................................................................... 57

6.4 Tasa deflactada o tasa real .................................................................................................... 61

6.5 Equivalencia de tasas referenciadas ..................................................................................... 62

6.6 Aceptaciones bancarias y financieras ................................................................................... 64

7. Ejercicios resueltos .................................................................................................................... 68

8. Ejercicios propuestos .............................................................................................................. 102

UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES .............................................................................. 113

Introduccin .................................................................................................................................... 114

1. Anualidades ............................................................................................................................. 115

1.1 Valor presente de la anualidad ........................................................................................... 117

1.2 Pagos o renta a partir del valor presente ............................................................................ 120

1.3 Pagos o renta con base en el valor futuro .......................................................................... 121

1.4 Valor futuro de la Anualidad ............................................................................................... 123

1.5 Nmero de pagos con base en el valor futuro .................................................................... 124

1.6 Nmero de pagos con base en el valor presente ................................................................ 126

1.7 Tasa efectiva de inters a partir del valor presente ............................................................ 127


*v+

2. Anualidades anticipadas .......................................................................................................... 130

2.1 Valor presente de las anualidades anticipadas ................................................................... 130

2.2 Valor futuro de las anualidades anticipadas ....................................................................... 132

3. Anualidades diferidas .............................................................................................................. 133

3.1 Valor presente de las anualidades diferidas ....................................................................... 134

3.2 Valor futuro de las anualidades diferidas ........................................................................... 135

4. Anualidades perpetuas............................................................................................................ 136

5. Gradientes ............................................................................................................................... 138

6. Ejercicios resueltos .................................................................................................................. 156

7. Ejercicios propuestos .............................................................................................................. 178

UNIDAD 4: AMORTIZACIN Y CAPITALIZACIN ................................................................... 182

Introduccin .................................................................................................................................... 183

1. Caractersticas de un sistema de amortizacin ....................................................................... 184

2. Sistemas de amortizacin ....................................................................................................... 186

2.1 Amortizacin mediante abono constante a capital ............................................................ 186

2.2 Amortizacin con cuotas uniformes ................................................................................... 188

2.3 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas ........................................... 190

2.3.1 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras puntuales pactadas ...................... 191

2.3.2 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras peridicas pactadas ..................... 193

2.4 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas ...................................... 196

2.5 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas afectando el valor de las

cuotas uniformes. ............................................................................................................................ 197

2.6 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas afectando el nmero de

cuotas uniformes. ............................................................................................................................ 200

UNIDAD 5: CRITERIOS DE EVALUACIN DE PROYECTOS .................................................... 205

APNDICE 1: MATEMTICAS BSICAS .................................................................................... 207

1. Nmeros .................................................................................................................................. 208

1.1 Conjunto de nmeros naturales ......................................................................................... 208

1.2 Conjunto de nmeros enteros ............................................................................................ 208

1.3 Conjunto de nmeros racionales ........................................................................................ 208

1.4 Conjunto de nmeros Irracionales ...................................................................................... 208

1.5 Conjunto de nmeros reales ............................................................................................... 208


*vi+

2. Exponentes .............................................................................................................................. 209

2.1 Definicin 1 ......................................................................................................................... 209

2.2 Definicin 2 ......................................................................................................................... 210

2.3 Denominacin ..................................................................................................................... 210

2.4 Potenciacin ........................................................................................................................ 210

2.4.1 Propiedades de la potenciacin ...................................................................................... 210

2.4.2 Ejemplos .......................................................................................................................... 211

3. Radicacin ............................................................................................................................... 212

4. Logaritmos ............................................................................................................................... 216

4.1 Propiedades de los logaritmos ............................................................................................ 216

4.2 Sistemas de Logaritmos....................................................................................................... 217

4.3 Ejemplos .............................................................................................................................. 218

5. Operaciones algebraicas ......................................................................................................... 221

5.1 Adicin y sustraccin de expresiones ................................................................................. 222

5.2 Multiplicacin de expresiones ............................................................................................ 223

5.3 Divisin de expresiones ....................................................................................................... 225

5.4 Factorizacin ....................................................................................................................... 226

5.4.1 Factor comn .................................................................................................................. 226

5.4.2 Factorizacin de la diferencia de cuadrados .................................................... 227

5.4.3 Factorizacin por agrupamiento de trminos ................................................................. 228

5.4.4 Factorizacin de expresiones .................................................................... 229

5.4.5 Factorizacin de expresiones ................................................................. 230

5.4.6 Factorizacin de expresiones .......................................................... 231

5.4.7 Otros casos de Factorizacin ........................................................................................... 232

5.5 Fracciones algebraicas......................................................................................................... 232

5.5.1 Simplificacin de fracciones ............................................................................................ 233

5.5.2 Adicin y sustraccin de fracciones ................................................................................ 234

5.5.3 Multiplicacin de fracciones ........................................................................................... 237

5.5.4 Divisin de fracciones ...................................................................................................... 238

6. Ecuaciones ............................................................................................................................... 239

6.1 Ecuaciones lineales .............................................................................................................. 239

6.2 Aplicacin de ecuaciones lineales ....................................................................................... 244


*vii+

7. Ecuaciones cuadrticas ........................................................................................................... 248

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................................... 250

GLOSARIO DE TERMINOS ........................................................................................................... 252


*viii+

PRESENTACINEl dinero es el principal recurso con que cuenta el gerente para la realizacin del proyecto;

por esto, se requiere especial atencin en la planeacin y ejecucin de la iniciativa de

inversin.

Los inversionistas solo estarn dispuestos a colocar su dinero en una iniciativa que le

permita recuperar lo invertido y tener unos rendimientos que al menos equiparen

inversiones con similar nivel de riesgo. Igualmente, el sector financiero solo prestara

dinero a proyectos que demuestren que en el futuro puedan cumplir con las obligaciones

financieras. De otro lado, el gerente de proyecto deber durante la fase de ejecucin

asegurar que el proyecto se realice bajo los presupuestos financieros con los cuales fue

aprobada la ejecucin.

Cul es el valor del proyecto?, Cules son los costos y gastos para su futura operacin?,

Cundo es prudente endeudarse para la realizacin del proyecto?, Cul es el costo del

dinero?, Qu rentabilidad se debe exigir a la inversin?, Cul es la estructura financiera

ms apropiada para el proyecto?; son, entre otras, preguntas que debe contestar el

gerente de proyectos al momento de decidir sobre la mejor forma de financiar la

iniciativa.

La Ingeniera Econmica o Matemtica Financiera, es una poderosa herramienta de la

matemtica aplicada, que estudia el valor del dinero en el tiempo; y que permite a travs

de modelos apoyar a los gerentes y administradores en la toma de decisiones al momento

de escoger la forma ptima de manejar el recurso dinero. Es decir, una herramienta para

la planeacin y gestin del dinero; actividades que permiten asegurar la generacin de

valor del inversionista.


*ix+

La generacin de valor es determinante en el momento en que el inversionista se define

por una alternativa de inversin; por esto, es necesario que el gerente de proyectos

cuente con las competencias para planear y gestionar ptimamente los recursos

financieros; es decir, capaces de manejar ptimamente el dinero de manera que se

asegure el xito futuro del proyecto.

El libro Finanzas del proyecto busca desarrollar las competencias para que el futuro

gerente haga un manejo adecuado de los modelos de la matemtica financiera que le

permitan de manera rigurosa realizar la planeacin, evaluacin y gestin del proyecto.

Para esto el libro, aparte de tratar la teora, desarrolla numerosos casos de aplicacin de

cada uno de los modelos y propone otro tanto para que el estudiante resuelva como

medio para el aprendizaje a travs del trabajo independiente.

El texto est compuesto de cinco unidades de aprendizaje y un apndice. En la primera

unidad se estudia los fundamentos de la disciplina: el valor del dinero en el tiempo, el

concepto de equivalencia y el inters simple, con sus aplicaciones ms importantes. En la

unidad dos se estudia el concepto de inters compuesto, incluyendo la diferenciacin

entre tasa efectiva y tasa nominal, la equivalencia de tasas y la ecuacin de valor; adems

sus aplicaciones ms relevantes: depsitos a trmino, inflacin, deflacin, devaluacin,

revaluacin, tasas combinadas, la tasa deflactada y la equivalencia de tasas relacionadas.

En la unidad tres se analizan las anualidades: el valor presente y futuro de una anualidad,

las anualidades anticipadas, diferidas y perpetuas; adicionalmente, se estudian los

gradientes aritmticos y geomtricos. En la unidad cuatro se estudian las amortizacin de

crditos y la capitalizacin de inversiones en sus diferentes modalidades; finalmente la

unidad cinco se tratan los criterios de evaluacin de proyectos: VPN, TIR y la relacin B/C.

Adicional a las cinco unidades de aprendizaje se presenta un apndice donde se recuerdan

los conceptos bsicos de la aritmtica, necesarios para la manipulacin de los diferentes

modelos de la matemtica financiera.

De esta forma, el texto ofrece a los estudiantes y profesionales, con orientacin a la

gerencia de proyectos, los fundamentos bsicos y herramientas para el ejercicio de su


*x+

profesin. Se propone el estudio desde la dimensin prctica, sin dejar de analizar el

fundamento terico. A partir de los elementos tericos se realizan aplicaciones orientadas

a situaciones empresariales, permitiendo a los estudiantes desarrollar las habilidades

requeridas para una prctica profesional acorde con las necesidades del medio

empresarial.

Para lo anterior, la exposicin de cada tema se inicia con los elementos tericos ilustrando

su aplicacin con ejemplos o situaciones de la prctica empresarial; en cada unidad de

aprendizaje se presentan ejercicios resueltos y se proponen casos para su solucin.

Metodolgicamente para la solucin de los ejemplos, casos y ejercicios, aplicamos en

forma combinada las frmulas y las funciones financieras utilizando el siguiendo

procedimiento bsico: a) Identificacin del problema y ordenamiento de los datos; b)

Aplicacin del modelo apropiado para el caso identificado y; c) la interpretacin de los

resultados encontrados.

Las lecturas de los captulos sern la base terica; pero no s excluye que el estudiante

apoye su aprendizaje en la consulta de la bibliografa y cibergrafa propuesta.

Para las prcticas el libro propone, en cada unidad de aprendizaje, diferentes tipos de

ejercicios. El docente deber asegurar que los estudiantes desarrollen la capacidad de

aplicar a casos particulares las teoras, tcnicas y procedimientos desarrollados desde el

marco terico.

Por su parte, los estudiantes deben adoptar una tcnica y asumir una disciplina que le

permita: realizar el estudio de los conceptos tericos y la realizacin de las prcticas de

acuerdo a los instructivos y las recomendaciones del docente.

Se sugiere al profesor acompaante que adopte una evaluacin integral dirigida a la

verificacin de la apropiacin de los conocimientos y desarrollo de las habilidades; pero

tambin a la evaluacin de la responsabilidad, la capacidad del trabajo en equipo, la

creatividad e iniciativa, el compromiso, la tolerancia al cambio, la toma de riesgos


*xi+

calculados y la persistencia en el trabajo; valores estos propios y necesarios para cualquier

profesional de la gerencia de proyectos.

Quiero terminar esta presentacin manifestando mi agradecimiento a todos los

profesores y estudiantes que a lo largo de ms de seis aos han aportado a la construccin

de este escrito, sin ellos habra sido imposible esta realizacin.


Un

idad

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Ap

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aje:

Inte

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24

No hay inversin ms rentable que la del conocimiento

(Benjamn Franklin)

UNIDAD 1: INTERS

OBJETIVO

Al finalizar la unidad los estudiantes estarn en capacidad de conceptuar sobre el valor del dinero en el tiempo; calcular operaciones financieras aplicando inters simple y realizar operaciones comerciales de descuento.

CONTENIDO

1. Valor del dinero en el tiempo 2. Inters simple 3. Inters anticipado y descuento comercial 4. Ejercicios resueltos 5. Ejercicios propuestos

Inters


Un

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25

Introduccin

En general, las operaciones financieras tienen en comn el pago de un valor por el uso del

dinero, esto es igualmente cierto en las operaciones comerciales. Adems al considerarse

el dinero como un bien se espera que el valor que se paga por su uso sufra altas y bajas,

como cualquier otra mercanca. Es decir, el costo del dinero depender de las condiciones

de la oferta y demanda del mercado y variables como la inflacin, devaluacin y

revaluacin, entre otras.

La expresin: No es lo mismo un milln de pesos de hoy, que un milln de pesos dentro

de un ao, se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le

recompense por no utilizar su dinero y ponerlo a disposicin de otro por un tiempo. No es

igual recibir la misma cantidad de dinero hoy que un tiempo despus; es decir, no se

puede decir que dichos valores sean equivalentes.

Dos cifras de dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una

suma de dinero hoy (VP) o recibir otra (VF) al cabo de un tiempo. El Inters es el monto de

dinero que hace equivalente el valor del dinero en el tiempo; es decir, el inters permite

hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo.

El concepto de inters es de uso amplio en la vida comercial y financiera; esto ha

conducido a que tenga mltiples acepciones, entre otras: valor del dinero en el tiempo,

valor recibido o entregado por el uso del dinero, utilidad o ganancia que genera un capital,

precio que se paga por el uso del dinero, rendimiento de una inversin.


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1. Valor del dinero en el tiempo

Por qu no es igual recibir $1000.000 hoy, que esta misma cantidad dentro de un ao?

Las razones que explican por qu dos cantidades iguales de dinero no tienen el mismo

valor en el tiempo; son:

a) La primera tiene que ver con la prdida del poder adquisitivo del dinero, ocasionado

por el incremento generalizado de los precios inflacin-. Con el mismo dinero, en

general, se podrn adquirir mayor cantidad de bienes y servicios hoy que dentro de

un ao.

b) La segunda razn tiene que ver con la capacidad que tiene el dinero de generar

dinero. Disponiendo del milln de pesos hoy, estos se podrn invertir obtenido

rendimientos que permitirn tener despus de un ao una cantidad mayor

c) La tercera tiene que ver con el riesgo. Mas vale tener asegurado el milln hoy, y no la

promesa de recibir el dinero dentro de un ao.

En resumen, el que posee una cantidad de dinero solo estar dispuesto a entregarla en

prstamo, si se le reconoce un monto de dinero adicional que compense la perdida de

valor, el rendimiento por renunciar a su uso y el riesgo de recibir la cantidad un tiempo

despus.

2. Inters Es la cantidad de dinero adicional por la cual un inversionista estar dispuesto a prestar su

dinero. En otras palabras es la cantidad de dinero adicional que hace que dos cantidades

de dinero sean equivalente en el tiempo

2.1 Inters Simple

En el caso del inters simple la cantidad de dinero que se paga por el uso del dinero se

calcula al final de cada periodo de tiempo pactado. El inters no se capitaliza, es decir, no

se suma al capital inicial para calcular el inters del prximo periodo.

Para el clculo del inters se utiliza la tasa de inters.


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2.2 Tasa de inters

Se define como el valor porcentual que se pacta por el uso del dinero para un periodo de

tiempo determinado.

Ejemplo 1

a) 20% anual, significa que se pagar 0,2 pesos por cada peso, por cada ao.

b) 1,5% mensual, significa que se pagar 0,015 pesos por cada peso, por mes

c) 6% semestral, significa que se pagar 0,06 pesos por cada peso, por seis meses

d) 4% bimensual, significa que se pagar 0,04 pesos por cada peso, por dos meses

e) 45% bianual, significa que se pagar 0,45 pesos por cada peso, por dos aos

2.3 Formula de inters simple El inters se calcula como el producto del capital inicial por la tasa de inters para el

periodo de tiempo pactado.

Si el prstamo del dinero se pacta durante varios periodos de tiempo; entonces para

calcular el inters es necesario multiplicar el anterior resultado por el nmero de periodos

pactados.

Donde:

2.4 Clases de inters simple

En la prctica no existe un criterio nico para aplicar el inters simple. La aplicacin

depende de la operacin comercial o financiera, tambin del sector econmico donde se

realice la operacin o incluso de las costumbres comerciales.


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28

Dependiendo de la base en das se utilice para el clculo del inters, se distinguen dos

tipos de aplicaciones.

2.4.1 Inters Ordinario En esta aplicacin para el clculo del inters se toma como base un ao de 360 das.

2.4.2 Inters Exacto A diferencia que en el inters ordinario, en este caso el inters se calcula tomando como

base un ao de 365 das.

Ambas modalidades de clculo ordinario y exacto pueden, a su vez, tomar algunas de las

variantes que se muestran en la siguiente tabla

Inters Ordinario

(Base de Clculo 360)

Con tiempo exacto (Inters Bancario)

(Considera los das exactos en los cuales se ha utilizado el prstamo y una base de 360 das al ao)

Tiempo exacto

Con tiempo aproximado (Inters Comercial)

(Considera indistintamente meses de 30 das y una base de

360 das al ao)

Meses de 30 das

Inters Exacto

(Base de Calculo 365)

Exacto o Verdadero (Inters Racional)

(Considera los das exactos en los cuales se ha utilizado el prstamo y la base son los das exactos del ao)

Tiempo exacto

Exacto sin Bisiesto (Inters base 365 das)

(Considera los das exactos en los cuales se ha utilizado el prstamo y una base de 365 das al ao (No considera bisiestos))

Tiempo exacto sin bisiesto

Con tiempo aproximado

(Considera meses de 30 das y la base son los das exactos del ao (No tiene utilidad prctica))

Meses de 30 das

2.4.3 Ejemplos: calculo del inters simple

Ejemplo 2 Sandra quiere conocer el inters que debe cancelar a una entidad bancaria por el prstamo de $1000.000, durante el mes de febrero del ao 2004 (bisiesto), si la entidad financiera le esta cobrando una tasa de inters del 20% Nominal Anual


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Solucin

o El monto o capital principal es: o La tasa de inters es: ; es decir, es lo que se cobrar por un ao. o El periodo en que se causa el inters es una fraccin de ao: 29 (das del mes de

febrero) de los 360 das del ao, aplicando inters bancario.

Con las anteriores consideraciones, el inters se calcula utilizando la formula (1), como:

(

)

El monto que Sandra debe cancelar por el prstamo de un milln durante el mes de febrero es: $16.111,11

Ejemplo 3 Carmen quiere conocer cul es el inters que debe cancelar por el mes de febrero del ao 2004 (bisiesto) por un crdito comercial de $1000.000 para la compra de un TV, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual

Solucin


febrero) de los 360 das del ao, aplicando inters comercial.


(

)

El monto que Carmen debe cancelar por el prstamo de un milln durante el mes de febrero es: $16.666,66

Ejemplo 4 Juliana quiere conocer cul es el inters que debe cancelar por el mes de febrero del ao 2004 (bisiesto) por un prstamo de $1000.000, si el prestamista cobra una tasa del 20% Nominal Anual y lo calcula con inters racional


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Solucin


febrero) de los 366 das del ao, aplicando inters racional.


(

)

El monto que Juliana debe cancelar por el prstamo de un milln durante el mes de febrero es: $15.846,99

Ejemplo 5 Alberto quiere conocer cul es el inters que debe cancelar por el mes de febrero del ao 2004 (bisiesto) por un prstamo de $1000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el clculo con inters base 365 (tiempo exacto sin bisiesto)

Solucin




(

)

El monto que Alberto debe cancelar por el prstamo de un milln durante el mes de febrero es: $15.342,47

Ejemplo 6 Mario quiere conocer cul es el inters que debe cancelar por el mes de febrero del ao 2004 (bisiesto) sobre un prstamo de $1000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el clculo con inters exacto-tiempo aproximado


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31

Solucin




(

)

El monto que Mario debe cancelar por el prstamo de un milln durante el mes de febrero es: $16.393,44

2.5 Flujo de Caja: representacin grfica de las transacciones

financieras.

El flujo de caja es una representacin grafica que permite comprender con exactitud los

movimientos de dinero que estn sucediendo en una transaccin financiera, durante el

tiempo. En la grfica se representa el tiempo por una recta horizontal, la cual puede estar

dividida en periodos, para mayor claridad; los egresos de dinero se representan por

flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba.

GRAFICA NO 1 FLUJO DE CAJA

Horizonte de tiempo

Ingresos

Egresos


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2.6 Capital Final Valor futuro (Vf)

El capital final que recibir el prestamista o inversionista, o por el contrario el que deber

pagar el usuario del dinero, corresponde al capital inicial ms los intereses. Este valor se

denomina valor final o valor futuro y se representa por Vf

Remplazando (1) en la anterior formula, se obtiene:

Factorizando el valor comn, se obtiene:

Donde:

Ejemplo 7 Mara Cristina quiere saber cunto recibir exactamente al final, si presta a un amigo la suma de $3000.000 entre el 23 de agosto hasta el 27 de octubre de 1999 a una tasa de inters del 35% nominal anual

Solucin

La transaccin financiera se ilustra con el siguiente flujo de caja.

o El monto o capital principal es: o La tasa de inters es: ; es decir, es lo que se cobrar por un ao.

VF =?

Das = 65

VP = 3000.000

23/08/99 27/10/99

i = 35% NA


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o El tiempo en el cual se causan los intereses son los das entre 23.08.1999 y el 27.10.1999; es decir, 65 das; que es una fraccin del ao

o Considerando que ella quiere conocer el valor exacto entonces se debe aplicar inters racional.


(

)

El monto que recibir Mara Cistina al final ser: $3186.986,30; esto significa ganara un inters de $186.986,30

2.7 Capital Inicial Valor presente (Vp)

Conocido el valor futuro, la tasa de inters y el nmero de periodos a los cuales se pacta la

transaccin financiera se puede calcular el capital inicial o el valor presente involucrado en

dicha transaccin.

Partiendo de la ecuacin (2): despejando V se obtiene:

Los smbolos tienen el mismo significado que en las formulas (1) y (2)

Ejemplo 8 Juan debe pagar $600.000 de matrcula en la universidad el da 13 de diciembre. Cunto dinero debe depositar el 5 de agosto del mismo ao en una cuenta de ahorros que paga el 23% nominal anual?

Solucin


VF = $600.000

Das = 130

VP = ?

05/08 13/12

i = 23% NA


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rs

34

o El valor final que debe pagar es: o La tasa de inters es: ; es decir, es lo que se pagara por un ao. o El tiempo en el cual se causan los intereses son los das entre 5 de agosto y el 13

de diciembre; es decir, 130 das; que es una fraccin del ao o Considerando que se trata de banco, se aplica inters bancario.


El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros es: $553.988,20

2.8 Tasa de inters nominal (i)

Conocido el valor futuro, el capital inicial o valor presente y el nmero de periodos se

puede calcular inters nominal al cual esta pactada la transaccin financiera.

Partiendo de la ecuacin (2): despejando se obtiene:


Ejemplo 10 Julin dueo de una pequea empresa ha tenido excedentes por $3000.000 durante el pasado periodo; l quiere conocer a que tasa de inters comercial dichos excedentes se convertirn en $3500.000 en 6 meses

Solucin


VF = $3500.000

6 Meses VP = 3000.000

i= ?


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

35

o El valor final es: o El capital inicial o valor presente: o El tiempo en el cual se causan los intereses son 6 meses, 180 das o Aplicando inters comercial.


Juan deber colocar su dinero a un inters nominal anual del 33,33%

2.9 Numero de periodos (n)

Conocido el valor futuro, el capital inicial o valor presente y la tasa de inters nominal se

puede calcular el nmero de periodos a la cual esta pactada la transaccin financiera.

Partiendo de la ecuacin (2): despejando se obtiene:


Ejemplo 11 Rubn dueo de una pequea empresa ha tenido excedentes por $3000.000 durante el pasado periodo; l quiere conocer durante cunto tiempo debe colocar este dinero para convertir estos excedentes en $4500.000, si la entidad bancaria le reconoce un inters NA del 27%.

Solucin



Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

36

o El valor final es: o El capital inicial o valor presente: o Tasa de inters nominal anual es: o Aplicando inters bancario.


Rubn de colocar sus excedentes durante 666,66 das

3. Inters anticipado y descuento comercial

En algunas transacciones financieras es normal que el pago del inters se haga de manera

anticipada; es decir, que se causan los intereses al principio de los periodos acordados en

la operacin; en este caso, se aplica la tasa de inters anticipada; la cual se representa con

el smbolo (ia).

Por su parte, en las operaciones comerciales es corriente el descuento de pagos futuros

respaldados en ttulos valores; tambin conceder descuentos bajo ciertas condiciones

comerciales para motivar el pago cumplido, anticipado, o la compra de la mercanca. En

estos casos el descuento se calcula utilizando la tasa de descuento, que se representa con

la letra d.

En la unidad de aprendizaje siguiente se tratara en detalle el inters anticipado,

especialmente se tratar la equivalencia con el inters vencido.

VF = $4500.000

n = ? VP = 3000.000

i= 27%


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

37

3.1 Operaciones de Descuento El descuento de pagos futuros respaldados en ttulos valores es comn en el mbito

comercial. La operacin consiste en volver lquido ante un tercero, usualmente una

entidad financiera, un titulo valor que respalda un pago futuro. El descuento (D) se calcula

sobre el valor final o valor nominal de la operacin, aplicando la tasa de descuento (d)

acordada en la operacin y considerando el tiempo faltante para causar el pago; el valor

lquido (Vt), valor de la transaccin, se calcula como el valor nominal menos el descuento.

Teniendo en cuenta lo anterior el descuento se realiza como:

Donde:

Por su parte el Valor Lquido (Vt) o valor de la transaccin se calcula como el valor nominal

menos el descuento:

Los smbolos tienen el mismo significado que en las formulas (6)

Ejemplo 12

El 22 de abril del 2010 una pequeo comerciante compra mercancas por un valor de $8000.000 para surtir su almacn; este realiza el pago a la fabrica a travs de una letra de cambio por valor nominal de $8000.000 con vencimiento el 22 de julio.

El 20 de junio la fbrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

38

Medelln, el cual aplica un descuento del 27%. Cunto recibir el fabricante en esta transaccin?

Solucin


o El valor final es: o El periodo en que se causa el descuento esta entre el 25/06 y 22/07, es decir: 27

das. o Tasa de descuento: o Aplicando inters bancario.

Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula utilizando la formula (7), como:

(

)

La fabrica recibir el 25 de junio un valor de $7784.000

Ejemplo 13

Cul deber ser el valor nominal de una letra de cambio que un comerciante descuenta en el Banco Medelln, cincuenta das antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 25% anual, si el comerciante recibe un valor de $125450.000?

Solucin

La situacin se ilustra grficamente como se muestra a continuacin:

Vt = ? 22/04/10

Vf = 8000.000

d= 27%

22/07

25/06


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

39

o El valor liquido es: o El tiempo en que se causa el descuento es: 50 das. o Tasa de descuento: o Aplicando inters bancario.

Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal se calcula despejando de la formula (7), Vf, as como se muestra a continuacin:

( )

El valor nominal de la letra de cambio deber ser de $129962.589,9

3.2 Tasa de inters real en una operacin de descuento La tasa de descuento se aplica al valor final de la operacin, a diferencia del inters simple

que se aplica al valor inicial; en consecuencia, es lgico, que para un mismo valor el

inters hallado sea diferente; para calcular la tasa de inters real que se cobra en una

operacin de descuento se debe aplicar la formula de inters simple (4), al resultado final

de la operacin de descuento.

El clculo de la tasa de inters real en una operacin de descuento se ilustra a travs del

siguiente ejemplo:

Ejemplo 14

Si el Banco Medelln descuenta una letra de cambio de $6000.000, 75 das antes del vencimiento al 26%. Cul es la tasa de inters simple real que se cobra por esta operacin?

Vt = 125450.000

n= 50 das

Vf = ? d= 25%


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

40

Solucin

Primero, en la operacin de descuento, se calcula el valor lquido. La situacin se ilustra grficamente como se muestra a continuacin:

o El valor nominal es: o El tiempo en que se causa el descuento es: 75 das. o Tasa de descuento: o Aplicando inters bancario.

Con las anteriores consideraciones, el Valor liquido se calcula aplicando la formula (7), como se muestra a continuacin:

(

)

As, la situacin de la operacin financiera se muestra en la siguiente grfica, a partir de esta se pide determinar la tasa de inters real de la operacin Para hallar la tasa de inters real, aplicamos la formula (4)

La tasa de inters anual real de la operacin es: 27,48%

Vt = ?

n= 75 das Vf = 6000.000

d= 26%

Vt = 5675.000

n= 75 das Vf = 6000.000

i= ?


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

41

3.3 Descuentos en Cadena

Como se explic en las operaciones comerciales es comn tambin ofrecer descuentos

con el fin de motivar el pago y/o incentivar la compra de mercancas. Lo corriente es

encontrar que los comerciantes ofrecen ms de un descuento simultneamente aplicables

a una misma factura, a continuacin se relacionan los ms comunes:

Descuento por volumen

Descuento por pronto pago

Descuento por embalaje

Descuento por temporada

Descuento por fidelidad

La aplicacin de varios descuentos sobre una misma factura recibe el nombre de

descuentos en cadena. En la tabla No 1 Descuentos en cadena, se muestra la forma de

calcula, el valor del descuento y el valor final de la factura, cuando se aplican varios

descuentos de manera simultnea a una misma factura.

TABLA NO 1. DESCUENTOS EN CADENA

Valor factura antes del descuento

Tasa descuento

Valor descuento (D) Valor factura despus del descuento (Af)

A d1 D1 = Ad1 A1 = A - Ad1 = A(1-d1)

A(1-d1) d2 D2 = A(1-d1) d2 A2 = A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2)

A(1-d1)(1-d2) d3 D3 = A(1-d1)(1-d2) d3 A3 = (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)

A(1-d1)(1-d2)(1-dn-1) dn Dn = A(1-d1)(1-d2) (1-dn-1) dn An = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)(1-dn)

Donde:


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

42

Resumiendo, de la tabla se puede establecer que el descuento total se calcula como:

[ ]

El valor de la factura final, se calcula como:

La tasa de descuento promedio se obtiene de dividir el valor final de la factura con el valor

inicial de la misma:

Ejemplo 15

Un comerciante quiere conocer la tasa de descuento promedio que se le otorga, el descuento total y el valor final de la factura si realiza compras de mercanca por $120350.000, a un fabricante que le concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 15%; por compra al por mayor 20%; por fidelidad 3%; y por temporada: 5%

Solucin

o El valor inicial de la factura es: o Descuento por pronto pago: o Descuento por compra al por mayor: o Descuento por fidelidad: o Descuento por temporada:

Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones el valor total del descuento se calcula con la formula (8):

[ ]

[ ]

El valor de la factura final, se calcula con la formula (9), como:

La tasa promedio de descuento, se calcula con la formula (10), como:


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

43

El comerciante obtendr un descuento total de $44969.283, el valor final de la factura

ser de $75413.717 y la tasa promedio de descuento recibida es 37,33%

4. Ejercicios resueltos

4.1 Gloria quiere conocer el inters simple que debe cancelar a un comerciante que le vende a crdito un electrodomstico que cuesta $10000.000, si realiza la compra en marzo 18 y debe cancelarlo el 18 de agosto del mismo ao. El comerciante cobra una tasa de inters del 2,8% mensual

Solucin: Parmetros o Valor presente de la transaccin : o Tasa de inters: o Tiempo en el cual se causan los intereses :

Representacin grfica Clculos Para calcular el inters simple se utiliza la formula (1)

Respuesta Gloria debe cancelar $306.000 de intereses al comerciante

5 meses 18.03

18.08 i = 2,8% mensual


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

44

4.2 Un empresario quiere conocer cunto recibir al final si realiza una inversin de $250000.000 en un fondo de inversiones entre 15 de septiembre hasta el 18 de noviembre del mismo ao; si le reconocen una tasa de inters del 40% anual. Se pide calcular: a) El monto racional y b) el monto bancario

Solucin: Parmetros o Valor presente de la transaccin : o Tasa de inters: o Tiempo en el cual se causan los intereses:

Real (racional) Bancario

Septiembre 15 15

Octubre 31 31

Noviembre 18 18

Total 64 63

Representacin grfica

Clculos a) Para calcular el valor final aplicando inters racional que recibir el empresario

se utiliza la formula (2)

(

)

En el caso que los intereses se causen de forma racional el empresario recibir la suma de $267534.246,60 a) Para calcular el valor final aplicando inters bancario que recibir el

empresario se utiliza la formula (2)

Real =64 // Bancario =63 15.09

18.11 i = 40% anual Vp = 250000.000

Vf = ?


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

45

(

)

Respuesta En el caso que los intereses se causen de forma bancaria el empresario recibir la suma de $267500.000,00

4.3 Un empresario desea saber cunto debe invertir el 22 de octubre en un fondo que le garantiza el 28% anual para que el 25 de marzo del siguiente ao pueda retirar la suma de $150000.000. Realice el calculo utilizando inters racional, comercial y bancario

Solucin: Parmetros o Valor futuro: o Tasa de inters: o Tiempo en el cual se causan los intereses:

Real Bancario Comercial

Octubre 9 9 8

Noviembre 30 30 30

Diciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 28 28 30

Marzo 25 25 25

Total 154 154 153


Clculos a) Para calcular el valor que deber invertir el empresario, aplicando inters

racional o real se utiliza la formula (3)

Real =154 // Bancario =63 // Comercial =153

22.10 25.03 i = 28% anual

Vp = ?

Vf =150000.000


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

46

( )

En el caso que los intereses se causen de forma racional el empresario deber invertir la suma de $134151.720,10 b) Para calcular el valor que deber invertir el empresario, aplicando inters

bancario se utiliza la formula (3)

( )

En el caso que los intereses se causen de forma racional el empresario deber invertir la suma de $133955.149,80 c) Para calcular el valor que deber invertir el empresario, aplicando inters

comercial se utiliza la formula (3)

( )

Respuesta En el caso que los intereses se causen de forma racional el empresario deber invertir la suma de $134048.257,40

4.4 Un empresario desea conocer cunto deber invertir hoy en un fondo para dentro de tres aos y medio reponer la maquinaria que estima costara $500000.000. El fondo utiliza inters bancario en sus clculos y reconoce un inters mensual del 3%.

Solucin: Parmetros o Valor futuro esperado: o Tasa de inters: o Tiempo en el cual se causan los intereses: 42 meses (3 aos y medio)


Un

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de

Ap

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diz

aje:

Inte

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47


Clculos Para calcular el valor que el empresario deber invertir para al final obtener el dinero para reponer la maquinaria, aplicando inters bancario, se utiliza la formula (2)

Respuesta El empresario deber invertir la suma de $221238.938,10

4.5 Un inversionista compro un terreno por $9000.000 hace seis aos; si el da de hoy lo vende por $60 millones, Qu la tasa de inters anual gano en esta operacin?

Solucin: Parmetros o Valor inicial de la operacin: o Valor final de la operacin: o Tiempo de duracin de la operacin: 6 aos Representacin grfica

Clculos Para calcular la tasa de inters que el inversionista obtendr en la operacin, se utiliza la formula (4), aplicando inters comercial

Tiempo = 48 meses

i = 3% mensual

Vp = ?

Vf = 500000.000

Tiempo = 6 aos

i = ? anual

Vp = 9000.000

Vf = 60000.000


Un

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de

Ap

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diz

aje:

Inte

rs

48

Respuesta El inversionista recibe una tasa de inters del 94,44% anual en esta operacin

4.6 Cul ser la rentabilidad de un titulo valor que al da de hoy se adquiere por $75 millones y despus de tres aos devuelve $330 millones?

Solucin: Parmetros o Valor inicial de la operacin: o Valor final de la operacin: o Tiempo de duracin de la operacin: 3 aos Representacin grfica

Clculos Para calcular la rentabilidad (tasa de inters anual) que el inversionista obtendr en la operacin, se utiliza la formula (4), aplicando inters comercial

Tiempo = 3 aos

i = ? anual

Vp = 75000.000

Vf = 330000.000


Un

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de

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diz

aje:

Inte

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49

Respuesta El inversionista obtiene una rentabilidad del 113,33% (inters anual) en esta operacin

4.7 Un empresario recibe un prstamo por $100 millones al 42% anual el da 8 de agosto de 2011 con vencimiento el 8 de marzo del 2012. Si el mercado le ofrece las siguientes alternativas, Cul de ellas es la ms econmica?

a) prstamo con calculo de inters exacto o racional b) prstamo con calculo de inters comercial c) prstamo con calculo de inters bancario Nota: Tenga en cuenta que el ao 2012 es un ao bisiesto

Solucin: Parmetros o Valor inicial de la operacin: o Tasa de inters: o Periodo en el cual se causan los intereses:

Exacto o racional Bancario Comercial

Agosto 23 23 22

Septiembre 30 30 30

Octubre 31 31 30

Noviembre 30 30 30

iciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 29 29 30

Marzo 8 8 8

Total 213 213 210


Clculos Para determinar la alternativa ms econmica para el empresario se calcula el inters que este debe pagar en cada caso, para lo cual se utiliza la formula (1)

Real =213 // Bancario =213 // Comercial =210

i = 42% anual

Vp = 100000.000

Vf = ?


Un

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50

a) Inters exacto o racional

b) Inters comercial

c) Inters bancario

Respuesta La alternativa ms econmica es aquella que le cobra inters exacto o racional

4.8 A un empresario que se le ofrece el 15 de septiembre de 2010 un pagar por $300000.000, con un plazo de 270 das y una tasa de inters del 30% anual; desea conocer el valor que finalmente recibir y la fecha de vencimiento; considerando que en la operacin se aplique: a) inters exacto o racional b) inters comercial c) inters bancario

Solucin: Parmetros o Valor inicial de la operacin: o Tasa de inters: o Periodo en el cual se causan los intereses: 270 das Representacin grfica

Tiempo 270 das

i = 30% anual

Vp = 300000.000

Vf = ?

Fecha ?


Un

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Inte

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51

Clculos Para determinar el valor futuro del pagare se utiliza la formula (2) a) Inters exacto o racional

(

)

Para calcular la fecha de vencimiento se cuentan 270 das exactamente desde el 15 de septiembre, entonces la fecha de vencimiento ser: 11.06.2011

b) Inters comercial

(

)

Para calcular la fecha de vencimiento se cuentan 270 das desde el 15 de septiembre, considerando que los meses son de 30 das; entonces la fecha de vencimiento ser: 15.06.2011

c) Inters comercial

(

)

Para calcular la fecha de vencimiento se cuentan 270 das desde el 15 de septiembre, considerando los das exactos; entonces la fecha de vencimiento ser: 11.06.2011

4.9 El 17 de julio del 2011 una entidad bancaria descont una letra de cambio de valor nominal $550000.000, que maduraba el 23 de agosto de mismo ao, si la tasa de descuento del 38% anual; Cul fue el valor de la transaccin?

Solucin: Parmetros o Valor nominal de la letra de cambio: o Tasa de descuento: o Periodo en el cual se causan los intereses, entre el 17 de julio y el 23 de agosto:

37 das Representacin grfica


Un

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Inte

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52

Clculos Para determinar el valor liquido o valor de la transaccin se utiliza la formula (7)

(

)

Respuesta El valor de la transaccin ser de $528519.444,44

4.10 El 15 de diciembre de 2011 una empresa recibe un pagar por $200 millones para respaldar una operacin comercial; el pagare tiene un periodo de maduracin de 90 das, y una tasa de inters del 25% anual. El 14 de enero del 2012 lo negocia con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% anual. Cunto recibir la empresa por el pagar y cunto ganar el banco en la operacin de descuento?

Solucin: Parmetros o Valor nominal del pagare: o Tasa de inters pagare: : o Tasa de descuento: o Periodo de maduracin del pagare: 90 das; periodo de descuento: entre el 15

de enero y el 15 de marzo: 60 das Representacin grfica

Tiempo 37 das

d = 38% anual

Vt = ?

Vf = 550000.000

17.07.2011

23.08.2011


Un

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Inte

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53

Clculos Para determinar el valor nominal o final del pagare se utiliza la formula (2)

(

)

Sobre el valor nominal se calcula el valor liquido de la operacin de descuento el 15 de enero, utilizando la formula (7)

(

)

Respuesta La empresa recibir la suma de $202229.166,70; el banco obtendr una utilidad de $10270.833,33

Tiempo 90 das

d = 29% anual

Vt = ?

Vp = 200000.000

15.12.2011

15.03.2012 15.01.2012

Vf = ?


Un

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diz

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54

5. Ejercicios propuestos

5.1 La empresa el Buen Gusto quiere saber el valor de maduracin de un pagar con vencimiento el 15 de mayo del 2012, el cual va ser descontado por un banco el 12 de marzo del mismo ao, a una tasa de descuento del 25% anual, teniendo en cuenta que el valor de la transaccin de descuento es de $78400.000.

5.2 Un empresario recibe el 15 de mayo del 2011, las siguientes tres ofertas por la compra de su negocio. Cul de las tres es la mejor si el rendimiento del dinero es del 10,5% anual?

a) $60 millones de contado y pagare por $33 millones con fecha de maduracin del 10 de septiembre del 2011.

b) $30 millones a los 120 das; y $64 millones a los 180 das, en ambos casos se pagan los intereses correspondientes

c) $20 millones de contado y un pagare por $71 millones con vencimiento a los 120 das.

5.3 Una empresa debe cancelar una deuda de $14 millones a los seis meses, con una tasa de inters del 8% anual; si el contrato del prstamo tiene una clausula penal por mora que cobra el 12% por el tiempo que se exceda del plazo fijado, Qu cantidad pagara el deudor, 100 das despus del vencimiento?

5.4 Un pequeo empresario acuerda con una entidad financiera un prstamo bancario por la suma de $80 millones en un plazo de 120 das y una tasa de inters anticipado del 28% anual.

a) Qu valor recibir el empresario al momento de suscribir el prstamo? b) Suponga que el banco cobra $15.000 por el estudio del crdito, Cul ser el

valor liquido de la operacin?

5.5 Una empresa comercial descuenta un titulo valor en un banco. Cul es el valor nominal del documento que queda en poder del banco, si la empresa comercial recibe un valor liquido de $50000.000 y el periodo de maduracin es de 120 das? El banco aplica una tasa de descuento del 25% anual.

5.6 Un empresario y un comerciante acuerdan el respaldo de una transaccin comercial con un pagare por $70 millones; el documento fechado el 25 de septiembre del 2010, pacta un plazo de 325 das y un inters del 30% anual. Si el pagare es descontado por un banco el 18 de marzo de 1999 a una tasa de descuento del 40% anual, se pide determinar:

a) La fecha de vencimiento b) El valor nominal del documento c) El valor de transaccin de descuento.


Un

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Inte

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55

5.7 Cul ser la verdadera tasa de inters cobrada por un banco que descuenta un documento de valor nominal $400000.000, 25 das antes de su vencimiento y a una tasa de descuento del 29% anual?

5.8 Un comerciante compra mercanca a un fabricante por valor de $200 millones. Si este ultimo ofrece los siguientes descuentos: 30% por venta al por mayor, 10% por pago al contado y 5% por enviar la mercanca sin empaque.

a) Cul es el valor final de la factura que debe cancelar el comerciante? b) De cunto es el descuento que otorgado por el fabricante? c) Cul es la tasa de descuento promedio que ofrece el fabricante?

5.9 Si una fbrica ofrece un descuento del 25% en ventas al por mayor, 5% por pronto pago y 4% por embalaje. Cul debe ser el descuento adicional que debe ofrecerle a los empleados para que la tasa de descuento promedio sea del 35%?

5.10 Demostrar que el inters simple producido por un capital , colocado durante n aos a una tasa de inters es igual al inters simple que producir a la tasa proporcional colocado durante periodos.

5.11 Calcular la tasa de inters simple mensual equivalente a una tasa del 9% anual.

5.12 Calcular el inters simple que genera un capital de $10000.000 en 3 aos a una tasa de inters del 0,8% mensual

5.13 Juan quiere saber a qu tasa de inters anual debe colocar un capital de $20 millones para dentro de nueve meses recibir $22500.000

5.14 La comercializadora El Negociante firmo un pagare el 10 de enero de 2010 por un valor de 60 millones, para este se pacto una tasa de inters del 9% de inters semestral; el gerente quiere saber en que fecha los intereses sern de $3590.000.

5.15 Juan quiere saber que suma debe colocar en un fondo de inversiones que paga una tasa de inters promedio del 8,5% anual, para dentro de ocho meses poder retirar la suma de 223000.000.

5.16 Si una empresa firma un pagare por $20 millones el 15 de mayo con vencimiento el 13 de agosto y en una operacin de descuento recibe $19.500.000. A que tasa de descuento racional le fue descontado el pagar?

5.17 Un inversionista recibi un pagar que gana intereses del 8% anual, por $120 millones el 15 de julio a 150 das de su vencimiento. El 20 de octubre del mismo ao lo ofrece a otro inversionista que desea ganar 10%. Cunto recibir por el pagar el primer inversionista?

Un

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aje:

Inte

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Co

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ues

to

23

UNIDAD 2: INTERS COMPUESTO OBJETIVO

Al finalizar la unidad los estudiantes estarn en capacidad de conceptuar sobre el inters compuesto, deducir los modelos matemticos que lo soportan y aplicar este en las principales operaciones financieras.

CONTENIDO

1. Concepto de inters compuesto 2. Modelo matemtico de inters compuesto 3. Tasas de inters 4. Equivalencia entre tasas de inters 5. Ecuacin de valor (Equivalencia) 6. Aplicaciones de inters compuesto 7. Ejercicios resueltos 8. Ejercicios propuestos

Inters

compuesto


Un

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Ap

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diz

aje:

Inte

rs

Co

mp

ues

to

24

Introduccin

Diferente a lo visto hasta el momento, en una operacin financiera donde se aplica inters

compuesto en cada periodo de conversin convenido se agregan los intereses al capital,

generando as un nuevo monto de capital sobre el cual se calcularan los intereses para el

periodo siguiente; en estos casos se dice que los intereses se capitalizan.

En la mayora de las operaciones financieras y comerciales es comn el uso del inters

compuesto; es por esta razn que el modelo matemtico de inters compuesto es una

herramienta esencial en el clculo y anlisis de las transacciones financieras.

De otro lado, como no hay criterios unificados para la aplicacin de una tasa de inters

determinada ya que estas son utilizadas dependiendo de las operaciones particulares,

costumbres y en muchas ocasiones el gusto de las entidades involucradas; por esta razn

es necesario desarrollar un modelo que permitan determinar la equivalencia entre tasas

de inters.

Finalmente en la unidad se analizan algunas de las aplicaciones prcticas que tiene el

inters compuesto: inflacin, deflacin, devaluacin, revaluacin, depsitos a termino

definido, aceptaciones financieras.


Un

idad

de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

Co

mp

ues

to

25

1. Concepto de inters compuesto

Bajo el modelo de inters simple, si se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral,

durante un ao, la liquidacin de los intereses ser:

Al cabo de un ao el inversionista recibir $1.400; $1.000 correspondiente al capital y

$400 a los intereses. La situacin de la liquidacin de intereses bajo la modalidad de

inters simple se ilustra en la grfica No 2:

GRAFICA NO 2 CAUSACIN DEL INTERS SIMPLE

De otro lado, si la inversin se hace a inters compuesto entonces al final del primer

trimestre se liquidan los primeros intereses y estos se acumulan al

capital para obtener un monto de $1.100 al cabo del primer periodo; al final del 2do

periodo se liquidan los segundos intereses sobre el monto anterior y

estos se acumulan de nuevo al capital para obtener un nuevo monto de $1.210; y as

sucesivamente hasta $1.464,10.

La situacin de la liquidacin de intereses bajo la modalidad de inters compuesto se

ilustra en la grfica No 3.

En estas operaciones el intervalo en el cual se capitaliza el inters reciben el nombre de

perodo de capitalizacin; por su parte, la frecuencia de capitalizacin es el nmero de

veces por ao en que estas se realizan. Similar al caso del inters simple, los conceptos

ms importantes cuando tratamos con inters compuesto son:

$1.000

$1.000

1

$100

2

$100

3

$100

4

$100

10% 10% 10% 10%


Un

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Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

Co

mp

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to

26

GRAFICA NO 3 CAUSACIN DEL INTERS COMPUESTO

Valor presente (VP): es la cantidad de dinero que se invierte o se presta, en el

momento de hoy, a la tasa de inters i y durante n periodos.

Tasa de inters peridica (i): Es la tasa de inters que se aplica en cada periodo.

Periodos (n): son los periodos de conversin durante los cuales se invierte o se presta

el Valor Presente (Vp).

Valor futuro (Vf): es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la

transaccin; es equivale a un pago nico futuro en n periodos y el cual es equivalente

a un pago nico presente al da de hoy.

2. Modelo de Inters compuesto

Para determinar el modelo de inters compuesto se considera un monto de capital inicial

(Vp), al cual se le aplica un inters (i), durante n periodos; adicionalmente, se considera

que los intereses son capitalizados al final del periodo en que se generan.

Realizando los clculos de inters y valor futuro teniendo en cuenta las consideraciones

anteriores, en la tabla No 1, se puede observar que para el periodo 1, el inters (Vp.i) se

suma al capital inicial para (Vp), obteniendo as que el capital al final del periodo 1, el cual

es a su vez es el capital inicial del periodo 2; es decir: Vp(1+i); si el capital sigue invertido

10%

$1.000

1

$1.100

2 3 4

10%

$1.210

$1.331

$1.464

10% 10%


Un

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de

Ap

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diz

aje:

Inte

rs

Co

mp

ues

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27

entonces el inters en el periodo 2, igual a Vp(1+i).i, el cual deber sumarse al capital

inicial de ese periodo para obtener as, el capital al final del periodo 2 o capital inicial del

periodo 3, si se decide continuar con la inversin; este valor ser: Vf2 = Vp(1+i)2. Si los

clculos se continan hasta el periodo n, obtenemos el valor futuro para este ltimo

periodo

Periodo Capital Inicial Inters Capital Final

1

2

3

. .. .. .

n

De esta forma el modelo, da cuenta del valor futuro de una inversin en funcin del

capital inicial cuando los intereses causados son capitalizados durante periodos a

una tasa de inters

Donde:


Un

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de

Ap

ren

diz

aje:

Inte

rs

Co

mp

ues

to

28

El trmino se conoce como el factor que convierte un pago nico presente en

un pago nico futuro equivalente, a una tasa de inters , durante periodos.

Del modelo (11) podemos definir otros modelos que dan razn de elementos como el

valor presente, el inters o el nmero de periodos cuando se conocen los dems

parmetros.

2.1 Valor futuro

Dados el valor presente, tasa de inters y los periodos de conversin, el valor futuro de la

inversin o pago se calcula directamente aplicando la formula (11).

Ejemplo 1.

Cunto recibir una persona que invierte $2 millones de pesos en depsito a trmino fijo por tres aos, si se le reconoce una tasa de inters del 6,5% semestral?

Solucin:

Parmetros o Valor de la inversin:

o Tasa de inters pagare: : o Periodos de conversin: 3 aos o 6 semestres


Clculos Para determinar el valor final que recibir la persona se utiliza la formula (11), utilizando los periodos de conversin semestrales, en consideracin a que la tasa de inters es una tasa semestral

Periodos 6 semestres

i = 6,5% semestral

Vp = 2000.000

Vf = ?

0 1 2 3 4 5 6


Un

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Co

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29

Respuesta El valor que finalmente recibir la persona es $2918.284,59

Observacin: el periodo de conversin debe coincidir con el periodo de aplicacin de la

tasa de inters. Para el caso, ya que la tasa aplica para periodos semestrales, el nmero de

periodos debe expresarse, igualmente, en forma semestral.

2.2 Valor presente

Dados el valor futuro, tasa de inters y los periodos de conversin, el valor presente se

puede calcular a partir de la formula (11), despejando Vp

Despejando el valor de Vp, se obtiene:

Los smbolos tienen el mismo significado que en la formula (11)

Ejemplo 2.

Cunto debe ahorrar un padre de familia el 1 de septiembre para pagar la matrcula de la universidad de su hijo el 31 de enero del siguiente ao; si el costo de la matrcula es de $4000.000 y la tasa de inters que se le reconoce es del 2% mensual?

Solucin:

Parmetros o Valor final:

o Tasa de inters pagare: : o Periodos de conversin entre el 1 de septiembre y 31 de enero: 5 meses



Un

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de

Ap

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aje:

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Co

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30

En la siguiente grafica se representa la operacin, el padre debe ahorrar X de dinero para dentro de 5 meses obtener $4000.000 para pagar la matricula de la universidad de su hijo

Clculos Para determinar el valor que debe ahorrar el padre se utiliza la formula (12), utilizando los periodos de conversin mensuales, en consideracin a que la tasa de inters es una tasa mensual

Respuesta El valor que deber ahorrar el papa el 1 de septiembre es $3622.923,24

2.3 Nmero de periodos de conversin

Dados el valor presente y futuro y la tasa de inters, los periodos de conversin se hallan

despejando el valor de n de la formula (11)

log (

) log

log (

) log

Periodos 5 meses

i = 2% mensual

Vp = ?

Vf = 4000.000

0 1 2 3 4 5


Un

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31

log (

)

log


Ejemplo 3.

En cunto tiempo se duplicara una inversin, si la tasa de inters que se reconoce es del 1.5% mensual?

Solucin:

Parmetros o Valor inicial de la inversin: o Valor final de la inversin:

o Tasa de inters pagare: :


En la siguiente grfica se representa la operacin; durante cuantos periodos se duplicara una inversin, si se reconoce una tasa de inters del 1,5% mensual

Clculos Para determinar el numero de periodos en los cuales se duplica la inversin se utiliza la formula (13)

log (

)

log

log (

)

log

log

log

Periodos ?

i = 1,5% mensual

Vp = X

Vf = 2X

0 1 2 3 4 n


Un

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32

Respuesta El ahorrador deber mantener la inversin mnimo 47 meses para duplicar su inversin. Son meses considerando que la tasa de inters es mensual.

2.4 Tasa de inters

Dados el valor presente y futuro y el nmero de periodos de conversin se puede

determinar la tasa de inters a partir de la formula (11), despejando i.


Ejemplo 4.

Si una inversin de $2 Millones, realizada hace 15 aos, tiene hoy un valor de $70 Millones. Cul fue la tasa de inters pactada? Exprsela en inters mensual, trimestral, semestral y anual

Solucin:

Parmetros o Valor inicial de la inversin: o Valor final de la inversin:

o Periodos de conversin:


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33


En la siguiente grfica se representa la operacin; durante 15 aos la inversin inicial de 2000.0000 se han convertido en 70000.000, se quiere conocer la tasa de inters expresada en diferentes periodos de capitalizacin: anual, semestral, trimestral, mensual

Clculos Para determinarla tasa de inters se utiliza la formula (14), considerando los periodos de conversin correspondientes. a) Tasa de Inters anual

b) Tasa de Inters semestral

c) Tasa de Inters trimestral

d) Tasa de Inters mensual

Periodos aos

i = ?

Vp = 2000.000

Vf = 70000.000

0 1 2 3 4 15


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3. Tasas de Inters

3.1 Tasa Nominal1 Es una tasa de inters de referencia que indica el nmero de capitalizaciones, que para

una transaccin financiera, se realizan durante un periodo de un ao. La tasa nominal se

representa por la letra j, seguida por el periodo de capitalizacin.

Ejemplo 5.

a) j = 10% N-a. Tasa nominal del 10%, capitalizable anualmente, una por ao

b) j = 25% N-t. Tasa nominal del 25%, capitalizable trimestralmente, cuatro por ao

c) j = 30% N-s. Tasa nominal del 30%, capitalizable semestralmente, dos por ao

d) j = 28% N-m. Tasa nominal del 28% capitalizable mensualmente, doce por ao

e) j = 55% N-d. Tasa nominal del 55% capitalizable diariamente, trecientos sesenta por

ao

3.2 Tasa Efectiva

La tasa efectiva, a diferencia de la tasa nominal, seala la tasa de inters que

efectivamente se est pagando por un capital, para los periodos de conversin pactados.

Como la capitalizacin del inters se produce cierta cantidad de veces al ao; la tasa

efectiva es mayor que la tasa nominal.

La tasa nominal comnmente esta referenciada a un periodo de un ao, e indica varias

liquidaciones de intereses en dicho plazo; por su parte, la tasa efectiva mide el

rendimiento efectivo en el periodo en que se realiza el pago o cobro.

1 Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades para

regular los prstamos y depsitos


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35

La tasa efectiva se representa por la letra i, seguida por la letra E (efectiva) y una letra

mayscula que representa el periodo al cual hace referencia.

Ejemplo 6.

a) i = 10% EM. Indica una tasa del 10% efectiva mensual.

b) i = 25% ET. Indica una tasa del 25% efectiva trimestral.

c) i = 30% ES. Indica una tasa del 30% efectiva semestral.

d) i = 28% EA. Indica una tasa del 28% efectiva anual.

e) i = 0,5% ED. Indica una tasa del 0,5% efectiva diaria.

3.3 Relacin entre Tasa Efectiva y Nominal

La tasa nominal es igual a la tasa efectiva multiplicada por el nmero de periodos de

capitalizacin en un ao.

Donde:

Tasa de Inters Nominal

Tasa de Inters efectiva

es la frecuencia de conversin anual; es decir, es el nmero de veces que se

capitalizan los intereses por ao.

Ntese que s la frecuencia de conversin es igual a uno, la tasa efectiva es igual a la tasa

Nominal.

Ejemplo 7.

Hallar la tasa efectiva anual, si la tasa nominal es 42%.

Solucin

En este caso la frecuencia de capitalizacin es uno, ya que no se indica lo contrario. Para hallar la tasa efectiva, se utiliza la formula (15)


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36

En este caso la tasa de inters nominal es igual a la tasa efectiva, la cual ser una tasa efectiva anual.

Ejemplo 8.

Hallar la tasa efectiva, si la tasa nominal es 36% N-s.

Solucin

En este caso la frecuencia de capitalizacin es dos (dos semestres por ao). Para hallar la tasa efectiva, se utiliza la formula (15)

Respuesta La tasa efectiva es 18% ES

Ejemplo 9.

Hallar la tasa nominal, si la tasa efectiva trimestral es 8% ET.

Solucin

En este caso la frecuencia de capitalizacin es cuatro (cuatro trimestres por ao). Para hallar la tasa nominal, se utiliza la formula (15)

Respuesta La tasa nominal es 32% N-t

Ejemplo 10.

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