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Espacio de estados Múltiples entradas y salidas Representación y análisis matricial Controlabilidad Se puede alcanzar cualquier estado desde cualquier otro estado Observabilidad El estado de puede concluir observando Ecuación diferencial y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y 0 + a n y = b 0 u (n) + b 1 u (n-1) + ... + b n-1 u 0 + b n u Versión compleja Y (s) U (s) = b 0 s n + b 1 s n-1 + ... + b n-1 s + b n s n + a 1 s n-1 + ... + a n-1 s + a n Fracciones parciales Aplicable si todas las raíces son distintas Y (s) U (s) = b 0 s n + b 1 s n-1 + ... + b n-1 s + b n s n + a 1 s n-1 + ... + a n-1 s + a n = b 0 + c 1 s + p 1 + c 2 s + p 2 + ... + c n s + p n
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Espacio de estados
Múltiples entradas y salidas
Representación y análisis matricial
Controlabilidad
Se puede alcanzar cualquier estado desde cualquier otro estado
Observabilidad
El estado de puede concluir observando
Ecuación diferencial
y(n) + a1y(n�1) + . . .+ an�1y0 + any=
b0u(n) + b1u(n�1) + . . .+ bn�1u0 + bnu
Versión compleja
Y (s)
U(s)=
b0sn + b1sn�1 + . . .+ bn�1s+ bnsn + a1sn�1 + . . .+ an�1s+ an
Fracciones parciales
Aplicable si todas las raíces son distintas
Y (s)
U(s)=
b0sn + b1sn�1 + . . .+ bn�1s+ bnsn + a1sn�1 + . . .+ an�1s+ an
= b0 +c1
s+ p1+
c2s+ p2
+ . . .+cn
s+ pn
Con una raiz múltiple
Y (s)
U(s)=
b0sn + b1sn�1 + . . .+ bn�1s+ bn(s+ p1)k(s+ pk+1) . . . (s+ pn)
= b0 +c1
(s+ p1)k+
c2(s+ p1)k�1
+ . . .+cn
s+ pn
Forma canónica controlable2
666664
x
01
x
02...
x
0n�1
x
0n
3
777775=
2
666664
0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...
......
. . ....
0 0 0 . . . 1�an �an�1 �an�2 . . . �a1
3
777775
2
666664
x1
x2...
xn�1
xn
3
777775+
2
666664
00...01
3
777775u
y =
2
6664
bn + anb0
bn�1 � an�1b0...
b1 � aab0
3
7775
T 2
6664
x1
x2...xn
3
7775+ b0u
Forma canónica observable
y = [0 0 . . . 0 1] [x1 x2 . . . xn]T + b0u
2
666664
x
01
x
02...
x
0n�1
x
0n
3
777775=
2
6664
0 0 . . . 0 �an
1 0 . . . 0 �an�1...
......
. . ....
0 0 . . . 1 �a1
3
7775
2
666664
x1
x2...
xn�1
xn
3
777775+
2
6664
bn � anb0
bn�1 � an�1b0...
b1 � a1b0
3
7775u
Forma canónica diagonal
Desde las fracciones parciales2
6664
x
01
x
02...x
0n
3
7775=
2
6664
�p1 0 0 . . . 00 �p2 0 . . . 0...
......
. . ....
0 0 0 . . . �pn
3
7775
2
6664
x1
x2...xn
3
7775+
2
6664
11...1
3
7775u
y = [c1 c2 . . . cn] [x1 x2 . . . xn]T + b0u
Forma canónica de JordanEn la presencia de raíces múltiples
2
6666666666664
x
01
x
02...
x
0k�1x
0k
x
0k+1...x
0n
3
7777777777775
=
2
6666666666664
�p1 1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 00 �p1 1 . . . 0 0 0 0 . . . 0...
......
. . ....
......
.... . .
...0 0 0 . . . �p1 1 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0 �p1 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0 0 �pk+1 0 . . . 0...
......
. . ....
......
.... . .
...0 . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . . . �pn
3
7777777777775
2
6666666666664
x1
x2...
xk�1
xk
xk+1...xn
3
7777777777775
+
2
6666666666664
00...011...1
3
7777777777775
u
y = [c1 c2 . . . cn] [x1 x2 . . . xn]T + b0u
Álgebra lineal
Para analizar estos, se ocupa calcular los valores y los vectores propios de las matríces
Estos se pueden utilizar para diagonalizar la matriz, por ejemplo
Tal operación no afecta ni a los vectores ni a los valores propios
Octaveoctave:1> sys
s + 0.2
y1: -------------
s^2 + s + 3.6
octave:2> [A, B, C, D] = tf2ss(sys)
A = 3.0531e-16 3.6000e+00
-1.0000e+00 -1.0000e+00
B = -0.20000
1.00000
C = 0 1
D = 0
Octave
octave:3> [num, den] = ss2tf(A, B, C, D, 1)
num =
1.00000 0.20000
den =
1.00000 1.00000 3.60000
octave:4> sys
s + 0.2
y1: -------------
s^2 + s + 3.6
![UNIVERSIDAD DE CASTILLA - previa.uclm.es · Ecuación de Blasius [1] Ecuación para régimen laminar [2] Ecuación de Colebrook [2] Ecuación de Prandtl [3] Ecuación de Von Karman-Nikuradse](https://static.fdocuments.mx/doc/165x107/5af66de17f8b9a8d1c8ee606/universidad-de-castilla-de-blasius-1-ecuacin-para-rgimen-laminar-2-ecuacin.jpg)
