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TEMA2 LA ECUACIN DE ONDA DE SCHRDINGER 1. Introduccin El movimiento de los cuerpos que observamos a nuestro alrededor puede describirse en funcin de reglas generales basadas en evidencias experimentales. Estas reglas o principios son: 1) la conservacin del momento lineal, 2) la conservacin del momento angular y 3) la conservacin de la energa. Basndose en estas leyes de conservacin fue desarrollado un formalismo, llamado mecnica clsica, que describe en detalle el movimiento de las partculas bajo la hiptesis de que stas estn localizadas en el espacio y podemos observarlas sin perturbar apreciablemente sus movimientos. Esta mecnica clsica resulta inadecuada cuando se intenta estudiar el movimiento de los constituyentes bsicos de la materia. En el tema anterior hemos visto que, como resultado de evidencias experimentales, necesitamos introducir conceptos nuevos (y revolucionarios en algunos casos) para poder describir el comportamiento microscpico de la materia. Aunque las leyes de conservacin del momento lineal, del momento angular y de la energa permanecen vlidas, el principio de indeterminacin nos obliga a renunciar a una descripcin detallada del movimiento de las partculas atmicas. El concepto de cuantizacin (de la energa y de otras magnitudes fsicas) es otra idea nueva que no aparece en la mecnica clsica. La interaccin de la radiacin y la materia por medio de la absorcin o emisin de fotones es otro concepto nuevo que debe ser incorporado. Adems, tal y como hemos visto en el tema anterior, la energa y el momento lineal de una partcula libre pueden ser expresados en trminos de la frecuencia angular y el vector de ondas de la onda plana asociada, de acuerdo con las relaciones de de Broglie1,

h=E (2.1a) kpr

hr = . (2.1b) Nosotros utilizaremos las anteriores relaciones de de Broglie y las propiedades de las ondas clsicas para establecer una ecuacin de onda apropiada para las ondas de materia. Esta ecuacin de onda es conocida como ecuacin de onda de Schrdinger. Cuando resolvamos la ecuacin de onda de Schrdinger en el caso de partculas que no sean libres, es decir, partculas sometidas a un potencial, encontraremos que nicamente existen soluciones para valores discretos de la energa total. 3. La ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo La existencia de ondas de materia, postulada por de Broglie, sugiere la existencia de la ecuacin de ondas que las describa. Tal ecuacin de onda fue propuesta, por primera vez, por el fsico austriaco Edwin Schrdinger en 1926. Uno de los rasgos ms llamativos de esta ecuacin es que conduce a los nmeros cunticos de manera natural; es decir, sin necesidad de asumirlos a priori, tal y como necesitaron hacerlo Planck y Bohr. Restringiendo, de momento, nuestro anlisis al caso de una dimensin, comencemos recordando la ecuacin de una onda plana que se mueve a lo largo del eje x. Su

1 En el caso de una dimensin, el vector de onda y el momento lineal pueden ser tratados como escalares y, por tanto, la segunda de las relaciones de de Broglie se escribe como kp h= .

2

desplazamiento en el punto x y en el instante t viene dado por la parte real de la cantidad compleja A(x,t) )](exp[),( 0 tkxiAtxA = (2.2) La expresin anterior es solucin de una ecuacin de onda aplicable a muchas ondas clsicas (es la llamada ecuacin de DAlembert). Dicha ecuacin de onda, para una dimensin, tiene la forma:

22

22

2 1tA

cxA

=

(2.3) donde c es una constante real igual a la velocidad de la onda. A partir de la ecuacin (2.2) para la magnitud A, tenemos:

),(),( txikAx

txA = ),(),(),( 2222

2

txAktxAkix

txA == (2.4a)

),(),(),( 22222

txAtxAit

txA == ),(),(1 2

2

2

2

2 txActtxA

c=

(2.4b) Llevando (2.4a) y (2.4b) a la ecuacin (2.3) se tiene

),(),( 22

2 txAc

txAk = 22

2

ck = ck= (2.5)

La ecuacin (2.5) indica que la frecuencia angular debe ser directamente proporcional (c es una constante) al vector de ondas k. Ahora bien, si llevamos (2.5) a (2.1a) tendremos ckE h= , que de acuerdo con (2.1b) conduce a cpE = ; es decir, a que la energa es directamente proporcional al momento lineal p. Puesto que para partculas libres no relativistas es bien conocido que la energa es proporcional al cuadrado del momento lineal,

)2/(2 mpE = , (2.6) concluimos que la ecuacin clsica de las ondas, ecuacin (2.3), no puede gobernar el comportamiento de las ondas de materia. En el caso de las ondas de materia debemos buscar una ecuacin cuya forma sea diferente a la ecuacin clsica (2.3), pero, puesto que sabemos que las ondas planas estn asociadas a partculas libres, la ecuacin (2.2) debe ser solucin a esta nueva ecuacin de onda. Si las ecuaciones (2.1a) y (2.1b) deben ser satisfechas simultneamente con la ecuacin (2.6), es necesario que la frecuencia angular sea proporcional al cuadrado del vector de onda (y no a k, tal y como indica la ecuacin (2.5)); es decir, 2 kcte= . Esto sugiere que una ecuacin de onda adecuada debe contener una segunda derivada respecto a x (para que aparezca k2), igual que en la ecuacin (2.3), pero slo una derivada primera respecto al tiempo (para que nicamente aparezca ). Por tanto, podemos considerar una ecuacin del tipo

tx =

22

(2.7)

3

donde es una constante y ),( tx es una magnitud conocida como funcin de onda cuyo significado ser discutido ms adelante.

Para obtener el valor de la constante consideremos ),( tx como una onda plana del tipo indicado en la ecuacin (2.2), )](exp[),( 0 tkxitx = , y sustituyamos dicha expresin en la ecuacin (2.7). As, obtenemos

= )(22 iki = 1 2i ik =2 (2.8)

Por otra parte, de las ecuaciones (2.1a,b) obtenemos 22

2

hpk = y h

E= , que llevadas a la ecuacin (2.8) conduce a

hhEip =2

2

hipE

2

= (2.9)

Si comparamos las ecuaciones (2.6) y (2.9) obtenemos him1

21 = hi

m2= . Llevando este valor de a la ecuacin (2.7) obtenemos finalmente,

t

txix

txm

= ),(),(

2 222

hh (2.10) Podemos verificar que la ecuacin de onda (2.10) cumple el requerimiento de que la partcula, cuyo comportamiento reproduce, sea una partcula libre. Para ello, sustituimos las relaciones de de Broglie en la onda plana )](exp[),( 0 tkxitx = . Obtenemos:

)](exp[),( 0 tExpitx hh = (2.11)

A partir de (2.11), y de acuerdo con la ecuacin (2.10), calculamos

=

==

==

Em

p

EiEit

txim

pipmx

txm

2

),(

2

)(2

),(2

2(2.10) ec.

2

2

22

2

22

hhhh

hh (2.12)

Evidentemente la ecuacin (2.12) implica que )2/(2 mpE = ; es decir, la energa E de la partcula es toda ella energa cintica, p2/(2m), como debe ser en el caso de una partcula libre. Si analizamos lo que hemos hecho hasta este momento, veremos que hemos encontrado la ecuacin de onda, ecuacin (2.10), que reproduce los resultados correctos de una partcula libre. Obviamente, nosotros estamos interesados en encontrar una expresin ms general que incluya el caso de una partcula movindose bajo la influencia de un potencial V(x,t). En este caso la suma de la energa cintica, )2/(2 mpE = , ms la potencial, V(x,t), nos dar la energa total E de la partcula. Esto nos sugiere generalizar la expresin (2.12) en la forma

=+ EVmp ))2/(( 2 , (2.13)

4

lo cual, a su vez, sugiere que la ecuacin (2.10), vlida slo para una partcula libre, puede ser generalizada en la forma

t

txitxtxVx

txm

=+ ),(),(),(),(

2 222

hh (2.14) La ecuacin (2.14) es conocida como ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo (monodimensional, en este caso). Es importante notar que los argumentos utilizados para obtener la ecuacin (2.14) no constituyen, de ninguna forma, una rigurosa deduccin. Si recordamos lo que hemos hecho, podemos apreciar que hemos empezado con magnitudes limitadas al conocimiento experimental concerniente con las propiedades de la partcula libre. De esta forma hemos podido obtener la ecuacin de onda (2.10). Acto seguido, a partir de la similitud entre las ecuaciones (2.13) y (2.12), hemos propuesto la ecuacin (2.14) como forma adecuada para la ecuacin de onda en el caso general de la partcula sometida a un potencial V(x,t). Este proceso mental que nos ha permitido pasar de un caso particular, ecuacin (2.10), al caso general, ecuacin (2.14), es lo que conocemos como proceso de induccin (proceso inverso al de deduccin, que permite pasar del general al particular). El proceso de induccin es muy importante en la ciencia, y constituye una parte esencial de los procesos de desarrollo de nuevas teoras, pero no puede, por s solo, establecer como ciertas las leyes generales obtenidas de esta forma. Las teoras obtenidas por induccin conducen a resultados que deben ser contrastados con la experimentacin. nicamente si no se observa ningn desacuerdo, estas leyes generales son aceptadas universalmente. La ecuacin (2.14) es fcilmente generalizable a tres dimensiones sin ms que

reemplazar el operador 22

x por el operador laplaciano 2

2

2

2

2

22

zyx +

+= .

Evidentemente, en el caso tridimensional tendremos una funcin de onda (x,y,z,t) y un potencial V(x,y,z,t). La ecuacin de onda de Schrdinger, dependiente del tiempo, para el caso general tridimensional ser, por tanto,

t

iVm

=+ hh 22

2 (2.15)

4. Funcin de onda y densidad de probabilidad En este apartado vamos a discutir el significado fsico de la funcin de onda, ),( tx , que ha sido introducida mediante la ecuacin (2.7). Pero antes de ello, debemos darnos cuenta de que, a diferencia de las ondas clsicas, la funcin de onda cuntica es compleja. Es cierto que para una onda clsica hemos tomado la ecuacin (2.2) (complejo en forma exponencial) como solucin de la ecuacin clsica (2.3) (ecuacin de DAlembert); pero esto se ha hecho a sabiendas de que nicamente la parte real del complejo tiene significado fsico. Es ms, si descomponemos la forma compleja (2.2) como )()cos(),( 00 tkxseniAtkxAtxA +=

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la parte real, )cos(0 tkxA , es solucin de la ecuacin clsica de DAlembert. Tomar el complejo entero como solucin es una cuestin puramente de comodidad a la hora de realizar las derivadas correspondientes. En cambio, ni la parte real, )cos(0 tkxA , ni la imaginaria, )(0 tkxsenA , es por s sola solucin de la ecuacin de onda (2.7) (comprubalo como ejercicio). La solucin a la ecuacin (2.7) es la funcin compleja entera, ecuacin (2.2). Cuando tratamos con sistemas compuestos de un gran nmero de partculas, la mecnica clsica necesita recurrir a mtodos estadsticos, tales como la teora de la probabilidad, al objeto de poder obtener informacin relativa a dichos sistemas. Esta necesidad proviene de la prctica imposibilidad de conocer las coordenadas y el momento lineal de cada partcula. Los sistemas cunticos, constituidos por una o ms partculas, requieren tambin una descripcin probabilstica, pero por razones fundamentalmente diferentes: el principio de incertidumbre excluye cualquier posibilidad de conocer con precisin las coordenadas y el momento lineal en cualquier instante. La estadstica clsica hace uso de la funcin distribucin de probabilidades P(x), la cual se define siempre positiva y de tal modo que P(x)dx es la probabilidad de que la variable x, que puede tomar cualquier valor real, se encuentre en el intervalo comprendido entre x y x+dx. El valor medio (o valor esperado) de x viene dado por

=dxxP

dxxxPx

)(

)( (2.16)

donde, normalmente, P(x) se encuentra normalizada2 en la forma

1)( =

dxxP (2.17)

El valor medio, o valor esperado, de x es la media de los valores obtenidos despus de un largo nmero de repetidas medidas de x. La normalizacin de P(x) a la unidad significa simplemente que estamos usando de 0 a 1 como rango de probabilidades. Una probabilidad de cero, para un cierto valor de x, indica que dicho valor no tiene ninguna posibilidad de ser cierto; por el contrario, una probabilidad de 1 indicar absoluta certeza de que la medida nos de ese valor de x. Si asumimos, de momento, un sistema cuntico simple mono-dimensional descrito por la funcin de onda (x,t), la descripcin cuntica reemplaza P(x) por ),(),(* txtx y no por (x,t), como podramos pensar. Esto es as porque P(x) se define como real y positiva y, en cambio, la funcin cuntica (x,t) es compleja. Por ),(* tx representamos el complejo conjugado de (x,t), con lo cual,

2* ),(),(),( txtxtx = , 2 En el caso de la condicin de normalizacin expresada por la ecuacin (2.17) normalizamos a 1, pero podramos haber normalizado a 100 y, entonces, las distintas probabilidades vendran dadas en porcentaje.

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es decir, consideramos una probabilidad cuntica real y positiva. En el caso de tres dimensiones, y en coordenadas cartesianas, 2),,,( tzyx ser la funcin distribucin de probabilidades (o densidad de probabilidad) y, por tanto, la probabilidad de que la nica partcula de que consta el sistema cuntico tenga la coordenada x entre x y x+dx, la coordenada y entre y e y+dy y la coordenada z entre z y z+dz, vendr dada, en el instante t, por3 dzdydxtzyx ),,,( 2 . El valor medio (o valor esperado), a un tiempo dado t, de alguna propiedad f de un sistema mecanocuntico, se postula como

=

dzdydx

dzdydxff

*

*

(2.18)

donde f es el operador representacin de la propiedad f. Debe observarse que, en el numerador de la ecuacin (2.18), el operador f se encuentra intercalado entre * y ; no existe nada anlogo a esto en la estadstica clsica.

En el caso en que la funcin est normalizada a uno, 1 * =

dzdydx , y la

propiedad f dependa nicamente de la posicin, f=f(x,y,z), el operador f no incluye ninguna derivada y por consiguiente se cumple f = f. En estas condiciones la ecuacin (2.18) se reduce a

==

== dzdydxfdzdydxf

dzdydx

dzdydxfff ||

2*

*

*

,

cuyo parecido con el valor medio obtenido mediante la estadstica clsica es evidente. Ahora debemos considerar un postulado importante: Para cualquier sistema aislado existe una funcin matemtica de las coordenadas y del tiempo, (x,y,z,t), tal que dicha funcin contiene toda informacin relevante acerca del estado del sistema. A (x,y,z,t) la denominamos funcin de onda o funcin de estado del sistema. La funcin de onda (o funcin de estado) de un sistema debe ser obtenida como solucin de la ecuacin de onda (2.15). 3 Si el sistema cuntico estuviera constituido por dos partculas, la densidad de probabilidad sera |Y(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t|2 y la probabilidad de que la partcula i (i = 1,2) tenga sus coordenadas (xi, yi, zi) comprendidas entre [xi, xi+dxi], [yi, yi+dyi] y [zi, zi+dzi], respectivamente, vendra dada por |Y(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t|2dx1dy1dz1dx2dy2dz2.

7

5. La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo. Estados estacionarios En el apartado 3 hemos considerado el caso ms general de ecuacin de onda; es decir, aquel que involucra estados del sistema dependientes del tiempo (adems de depender de la posicin). En este apartado vamos a considerar un caso particular de especial inters: el movimiento estacionario. Estamos interesados en abordar problemas como el de la descripcin de las rbitas estacionarias del tomo de hidrgeno; es decir, estamos interesados en situaciones donde la hiptesis de de Broglie proporciona una imagen e interpretacin ms acertada. Antes de abordar el estudio de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo; es decir, de la ecuacin cuya solucin conduce a los llamados estados estacionarios, vamos a realizar, a modo de apndice, un estudio sencillo de las ondas estacionarias clsicas. La ecuacin de una onda en la forma A(x,t) = A0cos(kx-t) no es vlida cuando el movimiento ondulatorio se encuentra restringido entre dos puntos fijos x = 0 y x = L. En este caso, se producen ondas de ida y vuelta cuya superposicin da lugar a las llamadas ondas estacionarias. Supongamos como ejemplo las vibraciones que se producen en una cuerda de guitarra cuando sometemos una porcin de la misma a un movimiento armnico simple en una direccin perpendicular a la cuerda. Cuando la onda viaja sobre la cuerda y llega a un extremo fijo, sucede que el soporte produce fuerzas de reaccin sobre la cuerda como respuesta a la onda incidente. Estas fuerzas varan, tambin, peridicamente y generan una segunda onda, onda reflejada, idntica a la onda incidente pero que se propaga en sentido opuesto. Si el movimiento es estacionario, como en el caso de una cuerda que est emitiendo continuamente una determinada nota musical, la onda incidente y la reflejada dan una interferencia que es la superposicin de los dos movimientos ondulatorios enfrentados. De esta manera, a determinados valores de x e independientemente del valor de t, se forman una serie de nodos (puntos de elongacin cero) y vientres (puntos de elongacin mxima, es decir de elongacin igual a la amplitud del movimiento resultante). Matemticamente podemos considerar el movimiento ondulatorio estacionario como la superposicin de dos ondas4 A+ y A, idnticas en todo salvo en que se desplazan con sentidos opuestos: )cos(0 tkxAA =+ (2.19)

)cos('0 tkxAA += (2.20) La elongacin o desplazamiento total ser la suma de A+ y A:

)]cos()cos( '00 tkxAtkxAAAA ++=+= + (2.21) En el punto x = 0 la ecuacin (2.21) conduce a

0)cos()()cos()cos()0( '00'00 =+=+== tAAtAtAxA

De la anterior expresin tenemos que 0'0 AA = , y por tanto, la ecuacin (2.21) queda

)]cos()[cos(0 tkxtkxAAAA +=+= + (2.22) Por otra parte, teniendo en cuenta las relaciones trigonomtricas

cos(a+b) =cosa cosb sena senb y cos(ab) =cosa cosb + sena senb 4 El movimiento ondulatorio A+ se desplaza en la direccin del eje x con sentido hacia la derecha, mientras que A se desplaza en el eje x con sentido hacia la izquierda. La justificacin de ello es bien sencilla si nos fijamos en la evolucin de un cierto valor constante de la fase; es decir, fase = kx-t = cte. Diferenciando se tiene kdxdt = 0 dx/dt = /k >0; es decir, si t aumenta x aumenta la onda se desplaza hacia la derecha. De forma anloga podemos demostrar que A se desplaza hacia la izquierda.

8

obtenemos

cos(ab) cos(a+b) = 2 sena senb (2.23) Particularizando (2.23) al caso que nos ocupa, podemos escribir

)(en )2/cos(2)()(2)]cos()[cos( 000 kxstAkxsentsenAtkxtkxAA +==+= donde vemos que el movimiento ondulatorio resultante tiene una amplitud variable en el tiempo,

)2/cos(2)( 00 += tAtA . Grficamente,

Como puede observarse en la figura anterior, hay unos valores de x que corresponden a nodos (elongacin cero) independientemente del tiempo. Por el contrario hay unos valores de x que corresponden siempre a vientres (o antinodos). La localizacin de los nodos es inmediata si hacemos sen(kx) = 0; con lo cual tenemos kx = n (siendo n = 0, 1, 2, ). Puesto que k =2/, la posicin de los nodos viene dada por

2nx = (n = 0, 1, 2, ).

La localizacin de los vientres se obtiene haciendo sen(kx) = 1; con lo cual 2

)12( += nkx . Llevando a k el valor 2/, tendremos para la posicin de los vientres:

4)12( += nx (n = 0, 1, 2, 3, ).

La segunda condicin de contorno, A(x=L) = 0, exige que 0)( =kLsen nkL = nL =2

nL2= . Esta ltima condicin delimita las longitudes de onda que pueden dar estados estacionarios.

En lo que a este apartado se refiere, es interesante notar que una onda estacionaria clsica viene factorizada como producto de una funcin exclusiva del tiempo por otra exclusiva de la posicin: )()(),( xgtftxA = . Esta misma hiptesis haremos para, a partir de la ecuacin de onda dependiente del tiempo, obtener la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo. La ecuacin de Schrdinger a menudo suele escribirse en la forma

N

V

x = L x = 0

A t = t1 t = t2 t = t3

t = t4 t = t5

9

tiH

= h (2.24)

donde H representa el llamado operador hamiltoniano

Vm

H 2

22

+= h (2.25) El nombre de hamiltoniano deriva de la ecuacin de Hamilton de mecnica clsica, la cual emplea una funcin anloga para generalizar las leyes de Newton del movimiento. En el caso de sistemas conservativos5, el hamiltoniano clsico H representa la energa total del sistema. Por analoga con lo que sucede en el caso de ondas estacionarias clsicas, vamos a ensayar una solucin particular de la ecuacin de Schrdinger, ecuacin (2.15), en la forma )( ),,(),,,( tzyxtzyx = o, simplemente, = (2.26) Sustituyendo la ecuacin (2.26) en la ecuacin (2.24) tenemos

t

iH = )()( h (2.27)

Puesto que el operador H solo opera sobre (ya que dicha funcin no contiene al tiempo), y puesto que el operador t / opera nicamente sobre , podemos reescribir la ecuacin (2.27) en la forma

=

tiH h (2.28)

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin (2.28) por el producto obtenemos

t

iH=

h (2.29)

En la ecuacin (2.29) observamos que el trmino de la izquierda, /H , es, en principio, una funcin de las coordenadas (x,y,z si utilizamos coordenadas cartesianas);

mientras que el trmino de la derecha, t

i

h , es, tambin en principio, una funcin del

tiempo. Para que ambos trminos sean iguales, la nica posibilidad es que ambos sean iguales a una misma constante W. Es decir,

WH = WH = (2.30)

5 Los sistemas conservativos son aquellos en los que el potencial es funcin nicamente de la posicin.

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Wt

i =

h W

dtdi =h (2.31)

En la ecuacin diferencial (2.31) se ha sustituido la derivada parcial por una derivada total ya que la funcin nicamente depende del tiempo. Se trata de una ecuacin diferencial de variables separables cuya integracin es inmediata. En efecto, de (2.31) reordenando trminos tenemos:

dtiWdtiWd

hh==

)/exp()( hiWtt = (2.32)

Puesto que 1)/exp( )/exp(|| *2 === hh iWtiWt , la funcin distribucin de probabilidades (o densidad de probabilidad) ser

22222 || |||| || || === (2.33) la cual resulta independiente del tiempo. Esto significa que la solucin particular plasmada en la ecuacin (2.26) representa una solucin fsica para la que la densidad de probabilidad no vara con el tiempo. Esto nos permite concluir que la ecuacin (2.30), ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo, representa estados estacionarios del sistema. Las ecuaciones (2.30) y (2.31) tienen la forma general

)( )( qfaqfA = (2.34)

donde A es un operador, a es una constante y f(q) es una funcin de la variable (o variables) q. A este tipo de ecuacin las denominamos ecuaciones de valor propio (eigenvalue equations); la constante a se denomina valor propio del operador A , y f(q) recibe el nombre de funcin propia del operador A . De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones (2.30) y (2.31) son ecuaciones de valor propio en las que los operadores son,

respectivamente, H y dtdih . Adems, la constante W (ver ecuacin (2.30)) es un valor

propio del operador hamiltoniano. Puesto que en mecnica clsica el hamiltoniano H representa la energa total del sistema conservativo, nosotros identificaremos W con la energa total del sistema cuntico en uno de sus estados estacionarios. Por tanto, podemos reescribir la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo, ecuacin (2.30), en la forma EH = (2.35) donde el hamiltoniano H viene dado por la ecuacin (2.25). Las soluciones de la ecuacin (2.35) han de satisfacer las condiciones de contorno particulares impuestas al sistema. Lo mismo que ocurre con la onda estacionaria asociada a la vibracin de una cuerda de guitarra, cuyas soluciones particulares y

discretas deben satisfacer la ecuacin nL2= , las soluciones de la ecuacin (2.35) solo

son posibles para determinados valores discretos de la energa. En el caso de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo para un electrn, se encuentran valores de

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energa discretos siempre y cuando el electrn est obligado a moverse en un espacio definido, mientras que se encuentra un intervalo continuo de energas para dicho electrn si ste se mueve libremente en el espacio. Desde un punto de vista puramente matemtico, la ecuacin (2.35) puede tener numerosas soluciones, pero las nicas fsicamente aceptables sern aquellas correspondientes a diversos valores de la energa E que satisfagan las siguientes condiciones: 1. debe ser cuadrticamente integrable; es decir, la integral

espacioeltodo

d

2|| 6 debe ser un

nmero finito (< ). Alternativamente, podemos enunciar esta condicin diciendo que la funcin debe ser cero en los lmites o contornos del sistema.

2. debe tomar un nico valor en cada punto del espacio.

3. debe ser continua. Las funciones que satisfacen las tres condiciones anteriores se dice de ellas que se comportan bien. El buen comportamiento para la funcin es un requerimiento que tiene como base esperar un valor razonable, desde el punto de vista fsico, para la densidad de probabilidad 2|| , ya que debe conducir a una probabilidad total finita, debe ser continua (como la probabilidad clsica) y debe asignar, sin ambigedad, una nica densidad de probabilidad para el sistema en cada punto del espacio. Las distintas soluciones a la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo suelen ser designadas por7 n(r), donde n = 1, 2, 3, y representan diferentes estados estacionarios. Estas soluciones constituyen un ejemplo de conjunto completo de funciones. Un conjunto { n(r)} de funciones se dice que es completo si cualquier funcin arbitraria f(r), que cumpla las mismas condiciones de contorno que las funciones n(r), puede ser expandida como8

=

=1

)()(i

ii rcrf (2.36) donde los coeficientes {ci} son constantes que, en general, pueden ser nmeros complejos.

6 En el caso de una partcula (por ejemplo un electrn) y de un espacio tridimensional cartesiano, d=dxdydz. Si el sistema estuviera constituido por dos partculas y el mismo tipo de esapcio, d=dx1dy1dz1dx2dy2dz2. 7 Para abreviar, utilizaremos el trmino n(r) en lugar de n(x,y,z); r hace referencia al vector posicin de la partcula, vector cuyas componentes cartesianas son (x,y,z). 8 Este concepto es semejante al que conocemos en el caso de los vectores en el espacio. El conjunto de vectores unitarios {i,j,k} constituye un conjunto completo de vectores en el espacio, ya que cualquier vector a, puede ser expresado como combinacin lineal de ellos; es decir, a = ax i + ay j + az k. Las componentes ax, ay y az desempean un papel anlogo al que desempean los coeficientes ci en la ecuacin (2.36).

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Una solucin general de la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo,

tiH

= h , puede ser expresada como una combinacin lineal de soluciones del estado estacionario (ecuacin (2.26)):

=

=1

)/exp( )(),(n

nnn tiEratr h (2.37) EJERCICIO 2.1 Siendo i(r) funcin propia del operador hamiltoniano H , con valor propio Ei, (es decir, iii ErH =)( ), comprueba que, en general, f(r) dada por la ecuacin (2.36) no es funcin propia de dicho operador. En qu caso s lo sera?. EJERCICIO 2.2 Siendo i(r) funcin propia del operador hamiltoniano H , demuestra que la funcin (r,t), dada por la ecuacin (2.37), es solucin de la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo. 6. Interpretacin vectorial de las funciones de onda La ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo, ecuacin (2.15) o (2.24), es una ecuacin diferencial lineal, homognea y de segundo orden, cuyas soluciones satisfacen una propiedad de superposicin muy importante:

Si 1, 2, 3, ..., son soluciones de la ecuacin de Schrdinger, cualquier combinacin lineal de ellas, iia , donde los coeficientes ai son, en el caso ms general, nmeros complejos, es tambin una solucin de dicha ecuacin.

El principio de superposicin enunciado implica que, de alguna forma, las funciones representativas de los estados pueden ser sumadas para producir nuevos estados. Esto sugiere que las funciones de estado se comportan, ellas mismas, de forma anloga a como se comportan los vectores, puesto que los vectores pueden ser sumados para generar nuevos vectores. Sin embargo, los vectores que uno debe contemplar como anlogos a las funciones de onda, deben ser vectores definidos en un espacio complejo de dimensiones infinitas. Aunque es imposible visualizar vectores ms all de un espacio real tridimensional, mucha de la terminologa del espacio vectorial real tridimensional puede ser aplicada a un espacio complejo de cualquier dimensin. Adoptando la terminologa introducida por Dirac, los vectores que describen los estados estacionarios cunticos A, B, C, son denominados vectores ket y se escriben en la forma A , B , C , . Estos vectores son representacin de las funciones de onda A, B, C, correspondientes a los anteriores estados estacionarios A, B, B, . Puesto que estos vectores estn definidos en un espacio vectorial complejo, resulta matemticamente necesario introducir un segundo conjunto de vectores, relacionados con los anteriores, A , B , C , llamados vectores bra9. Conjuntamente los bra y

ket vectores constituyen un conjunto dual. El ket A y el bra A son igualmente

9 Los nombres bra y ket provienen de la palabra bracket, en referencia a los smbolos < y >.

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vlidos para representar el estado A del sistema cuntico. El vector bra A es el

complejo conjugado transpuesto (o lo que es lo mismo el adjoint) del vector ket A y viceversa10. Por tanto, podemos escribir

AA =+ y AA =+

El producto escalar de un bra A y un ket B se escribe BA ; en general esto no es

igual al producto escalar del bra B por el ket A , es decir, generalmente,

ABBA 11. Supongamos que tenemos un estado estacionario descrito por la funcin de onda

)exp( 21)( iA = (2.38)

donde 20 define la configuracin espacial. El vector ket A representa )( A tal como se indica en la expresin (2.38) y el vector bra A representa el complejo

conjugado )exp( 2)(* iA += (en este caso, al tener solo una componente, no tiene sentido el trmino transpuesto). El cuadrado del mdulo (o de la norma) del vector A

(o del A ) viene dado por el producto escalar

121

21 2

0

2

0

2

0

* ==== ddeedAA iiAA

Ntese que la normalizacin (a un valor 1) de la funcin de onda )( A es equivalente a tomar el vector A , o el A , de longitud unidad. Un vector A y cualquiera de sus

mltiplos A (donde R) representan el mismo estado cuntico del sistema. Esta propiedad de los vectores bra y ket implica que es la direccin del vector la que especifica el estado del sistema y no su magnitud o mdulo.

10 El trmino complejo conjugado transpuesto (es decir, adjoint) de un vector es una generalizacin del complejo conjugado de un nmero complejo. Sin embargo, los bras y kets son, en general, funciones complejas y no pueden ser divididas siempre en una parte real y otra imaginaria, tal como ocurre siempre con un nmero complejo. Sin embargo, con ciertas restricciones, esta analoga con los nmeros complejos es til. Cuando un vector bra se multiplica, por la derecha, con su dual ket, el resultado es un escalar. Ocurre algo anlogo a lo que ocurre cuando multiplicamos un nmero complejo z = a + ib con su complejo conjugado z* = a ib, obtenemos el cuadrado del mdulo de z, o de z*, a2 + b2. La parte transpuesto del concepto adjoint ( = complejo conjugado transpuesto) es importante cuando los vectores vienen representados por matrices fila o matrices columna de sus componentes; entonces el trmino transpuesto exige transformar un vector fila en uno columna (o viceversa). 11 Esto es anlogo al hecho de que si z y w son dos nmeros complejos diferentes, entonces z*w no es igual a w*z, a menos que z y w sean reales puros o imaginarios puros. Evidentemente, si |A> y |B> son reales, entonces = ; ya que se trata de un producto escalar de dos vectores ordinarios (de componentes reales).

14

EJERCICIO 2.3 Considera los vectores columna

+=

iir

31

2

1 y

=4

222 ii

r .

Se pide: a) Calcula los productos escalares 21 rr y 12 rr .

b) Normaliza 1r y 2r .

c) Haz cero la parte imaginaria de cada componente de los vectores 1r y 2r , y, con estos nuevos vectores, vuelve a calcular los apartados a) y b). 7. Ortonormalidad de funciones de onda Supongamos que i y j representan los vectores ket correspondientes a dos estados cunticos cuyas funciones de onda son, respectivamente, i y j. Podemos introducir la notacin integral en la forma

jijiR AdA ... * = (2.39)

donde A representa un operador arbitrario, el conjunto de variables (por ejemplo x,y,z) y R la regin del espacio sobre la que se integra. Las integrales de este tipo son las que comnmente nos encontramos en la qumica cuntica12. Cuando A es el operador unidad (1 , o lo que es lo mismo, multiplicar por 1), la integral (2.39) se reduce al producto escalar ji . Frecuentemente los vectores representativos de estados mecanocunticos suelen ser, o bien directamente ortogonales, o pueden ser ortogonalizados por conveniencia. Dos vectores i y j se dicen ortogonales si ji = 0. Si estos vectores son tambin escogidos de modo que su mdulo sea la unidad, ii = jj =1, ambas situaciones pueden ser representadas utilizando un delta de Kronecker (ij):

ijji = i,j = 1,2,3, (2.40)

donde ij = 0 si i j y ij = 1 si i = j.

Cuando se cumple la condicin (2.40), los vectores i y j (o equivalentemente i y j ) se dice que son ortonormales, es decir, son ortogonales y estn

normalizados.

Si una funcin de onda no est normalizada, el producto escalar de ella consigo misma ser

12 Estas integrales tambin son conocidas como elementos ij de matriz correspondientes, en este caso, al operador A . A menudo se simboliza en la forma Aij.

15

2Q= (2.41)

donde Q es el mdulo o longitud del vector . Por tanto, el nuevo vector 1Q tendr longitud unidad. As,

122211 === QQQQQ . Para normalizar una funcin de onda, simplemente la hemos de multiplicar por la inversa de su mdulo (es lo que llamamos constante de normalizacin). Como ejemplo sencillo, vamos a normalizar la funcin senx= en el intervalo

x0 .

2

0

== dxsenxsenx Por tanto, 2/1)2/(=Q , y la funcin normalizada es senx

2/1

2

= . El concepto de ortogonalidad puede ser fcilmente visualizado mediante el ejemplo de dos vectores en un espacio cartesiano bi o tridimensional:

Evidentemente, cuando dos vectores, como los de la figura anterior, son ortogonales (perpendiculares), la proyeccin de uno sobre el otro es nula; a diferencia de dos vectores no ortogonales como los de la figura siguiente:

As, dos vectores que representen sendas funciones de onda 1 y 2 sern ortogonales cuando el solapamiento entre ellos sea cero. Por ejemplo, consideremos los vectores

1 y 2 que representan, respectivamente, las funciones de onda senx y cosx. El solapamiento entre ambas, en el intervalo x0 , ser 0 cos

021 == dxxsenx .

Por tanto, 1 y 2 son ortogonales. En la figura siguiente podemos apreciar que el solapamiento entre las funciones senx y cosx, en el intervalo x0 es cero; o

Producto escalar = 0 = ba rr /2 ar

br

bsobreadeproyeccinarr cos =

ar

br

16

equivalentemente, el rea encerrada bajo la curva y = senx cosx, en el mencionado intervalo, es nula.

Como hemos visto, podemos entender la ortogonalidad de dos vectores que representan funciones de onda, de una forma intuitiva, similar a la de dos vectores en un espacio cartesiano tridimensional. 8. Operadores. Adjunto de un operador. Operador hermtico Un concepto fundamental dentro del campo de la mecnica cuntica es el de operador. Un operador simboliza una operacin matemtica, ms o menos compleja, que debe aplicarse a una funcin. Por ejemplo, x / es el operador que indica que, la funcin a la que acompaa, debe derivarse con respecto a x (as, 23)2( 23 +=+

xxxx

); el

operador x) indica que, la funcin a la que acompaa, debe multiplicarse por x (por ejemplo, 2322 2)2()2( xxxxxxxx +=+=+) ). El operador ms simple que podemos considerar es el operador identidad I

), el cual deja invariante la funcin sobre la que

acta (as, ffI =) ). Nosotros designaremos los operadores con un signo de intercalacin, como en A . El smbolo del operador siempre se colocar a la izquierda de la funcin sobre la que aplica. Para cualquier variable dinmica clsica a(p,q), dependiente del momento lineal p y de la posicin q, existe el correspondiente operador mecanocuntico ),( qpA

). Es ms,

existen operadores mecanocunticos para los cuales no existe el anlogo clsico. Los operadores mecanocunticos relacionados con magnitudes mensurables siempre son lineales; esto es as ya que el resultado de una operacin sobre un sistema compuesto, debe ser el mismo que cuando la operacin se realiza sobre cada una de las partes componentes del sistema y luego se combinan los resultados parciales. Matemticamente diremos que un operador A es lineal si dadas dos (o ms) funciones f1 y f2 sobre las que opera, se cumple

22112211 )( fAcfAcfcfcA))) +=+ (2.42)

siendo c1 y c2 dos constantes cualesquiera. Adems, puesto que todas las magnitudes mensurables estn, en ltima instancia, relacionadas con aparatos de medida, es necesario que los correspondientes operadores tengan valores esperados reales. Tanto este ltimo requerimiento, como el anterior (el

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.4

-0.2

0.2

0.4

+

17

operador debe ser lineal), lo encontramos en un clase de operadores conocidos como operadores auto-adjuntos o hermticos. Por definicin, dos operadores, G

) y +G

), se dice que son adjuntos si sus respectivos

valores esperados son complejos conjugados uno del otro. Por tanto, si G)

y +G)

son un par de operadores adjuntos (que tienen el mismo dominio13), entonces

*GG)) =+ (2.43)

y, adems, GG)) =++ )( (el adjunto del adjunto de un operador es el mismo operador).

De acuerdo con la ecuacin (2.43), si los valores propios de un operador son nmeros reales, es necesario que +G

)= G

); esto es, el operador G

) debe ser auto-adjunto, o

hermtico. A continuacin vamos a demostrar un importante teorema concerniente a operadores adjuntos, el cual constituye una herramienta muy til para otras demostraciones y manipulaciones de integrales que involucran operadores. Teorema 1 Si G

) y +G

) son dos operadores adjuntos, y 1 y 2 son dos funciones de su dominio, entonces

2121 GG)) =+

Demostracin

Por definicin de operadores adjuntos, ecuacin (2.43), se tiene *

GG)) =+ , o lo que es lo mismo

* GG )) =+ (2.44)

donde es una funcin arbitraria del dominio de G) y +G) . Consideremos ahora dos casos concretos para la funcin :

caso 1) = 1 + 2 caso 2) = 1 + i 2

Sustituyendo la funcin del caso 1 en la expresin (2.44) obtenemos

*21212121 )( )()( )( ++=++ + GG

))

*22

*12

*21

*11

22122111

GGGG

GGGG))))

))))

+++==+++ ++++

De acuerdo con la ecuacin (2.44), *1111 GG)) =+ y *2222 GG

)) =+ , con lo cual, la ecuacin anterior se simplifica para dar

*12*

211221 GGGG)))) +=+ ++ (2.45)

Por otra parte, si sustituimos la funcin del caso 2 en la expresin (2.44) obtenemos

*21212121 )( )()( )( iGiiGi ++=++ +))

13 Una funcin se dice que pertenece al dominio de un operador F) si existe el mdulo de F) ; es decir, si FFF ))) =|| existe.

18

++=++ + )( )( )()(

*

space all21

*21

space all21

*21 diGidiGi

))

+=+ + )( )( )( )(

*

space all21

*2

*1

space all21

*2

*1 diGidiGi

))

( ) ( ) ( )*222*12*21*1122

2122111

GiGiGiG

GiGiGiG))))

))))

+==+ ++++

Si en la igualdad anterior tenemos en cuenta que

i2 = -1 ( ) *21* 21 GiGi )) = y ( ) *12* 12 GiGi )) = y, nuevamente, que *1111 GG

)) =+ y *2222 GG)) =+

tendremos, despus de dividir por el factor comn i, *21

*121221 GGGG

)))) = ++ (2.46) Sumando las ecuaciones (2.45) y (2.46) y dividiendo por 2 tenemos *1 221 GG

)) =+ . Si tenemos en cuenta que

21

2*

1

*

1

*2

*

12*

12 )( )()( GdGdGGGspaceallspaceall

))))) ==

== ,

obtenemos finalmente,

2121 GG)) =+ (2.47)

La ecuacin (2.47) (vlida para un par de operadores adjuntos) se conoce como regla de turnover. Un caso particular de la regla de turnover lo tenemos cuando el operador G

) es hermtico. En este caso,

puesto que entonces GG)) =+ , la ecuacin (2.47) queda en la forma

2121 GG

)) = (2.48) que utilizando la notacin estndar para las integrales, la podemos escribir en la forma = dGdG 2*1 2*1 ) ( )) (2.49) La anterior ecuacin (2.49), o su equivalente ecuacin (2.48), suele utilizarse, en la prctica, como definicin de operador hermtico. La regla de turnover puede ser usada para demostrar algunas relaciones concernientes a sumas y productos de operadores: 1. +++ +=+ GFGF )))) )( Demostracin 21212121 )()( GFGFGF )))))) +=+=+ +

19

212121 )( ++++ +=+= GFGF )))) +++ +=+ GFGF )))) )( (2.50) 2. +++ = FGGF )))) ) ( Demostracin

==== ++++ 2121212121 )( ) () ( FGFGGFGFGF )))))))))) +++ = FGGF )))) ) ( (2.51) La regla de turnover tambin nos va a permitir la demostracin de los dos teoremas siguientes. En ellos estableceremos dos propiedades muy importantes de los operadores hermticos. Teorema 2 Los valores propios de los operadores hermticos son reales

Demostracin Consideremos la ecuacin de valores propios aA =) , donde asumimos que el operador A

) es hermtico ( AA

)) =+ ). Multiplicando, la anterior ecuacin de valores propios, por * (por la izquierda) e integrando obtenemos

= dadA ** ) , o equivalentemente, aA =) (2.52)

Puesto que A)

es hermtico, la regla de turnover (ecuacin (2.48) para operadores hermticos) nos permite escribir

**** )( adadAAA ==== ))) (2.53)

Comparando (2.52) y (2.53), se tiene aa =* a es real Teorema 3 Las funciones propias no-degeneradas14 de un operador hermtico son automticamente ortogonales

Demostracin Supongamos que k y m son dos funciones propias de un operador hermtico A

). Las

ecuaciones de valor propio sern

mmm

kkk

aA

aA

==

))

14 Dos funciones propias de un operador se dice que son no-degeneradas cuando los valores propios de las mismas son distintos. Funciones propias degeneradas sern, por tanto, aquellas funciones distintas que tienen idntico valor propio.

20

Si mk aa , las funciones k y m son no-degeneradas; de otra forma, dichas funciones seran degeneradas. Nosotros vamos a asumir que las funciones k y m son no-degeneradas. Consideremos, a continuacin, la integral

mkmmk aA = ) (2.54) Aplicando la regla de turnover tenemos

mkkmkkmkmk aaAA === * )) (2.55)

(para llegar a la ecuacin (2.55) hemos considerado que kk aa =* ; esto es as puesto que los valores propios de un operador hermtico son reales teorema 2) Restando miembro a miembro las ecuaciones (2.55) y (2.54) obtenemos

0)( = mkmk aa

Puesto que, por hiptesis, mk aa , la anterior expresin conduce a 0=mk ; es decir, las funciones k y m son ortogonales. Puesto que las funciones propias degeneradas son linealmente independientes, siempre pueden ser transformadas en un conjunto de funciones ortogonales. Por tanto, siempre que tratemos con operadores hermticos, asumiremos que las funciones propias son ortogonales (bien porque lo sean de forma automtica, o porque previamente se hayan ortogonalizado ver apndice 2: mtodo de ortogonalizacin de Schmidt -). 9. Operador normal Algunas de las propiedades ms importantes de los operadores hermticos son ms fcilmente deducibles considerando una clase de operadores definidos por BiA

))) += (2.56)

donde A)

y B)

son operadores hermticos. Al considerar el adjunto del operador Bi)

, vemos que BiiBiBiBBi

))))) ==== +++ )()( * (tener en cuenta que B) es hermtico). Cualquier operador M

) cuyo adjunto sea su opuesto ( )MM

)) =+ se dice que es antihermtico. Por tanto, el operador Bi

) es antihermtico y ) resulta ser la suma de un

operador hermtico A)

y otro antihermtico Bi)

. El adjunto del operador ) ser, por tanto,

BiA))) =+ (2.57)

Vamos a restringir nuestro estudio a aquellos operadores ) que conmutan15 con sus adjuntos, esto es,

.0],[ = +)) (2.58)

15 Dos operadores A

) y B

) se dice que conmutan si el conmutador BABA

)))) =],[ AB )) = 0.

21

Un operador que conmute con su adjunto recibe el nombre de operador normal. Evidentemente cualquier operador hermtico es normal, ya que todo operador conmuta consigo mismo16; en cambio, lo inverso no es necesariamente cierto, es decir, hay operadores normales que no son hermticos. Supongamos un operador ) definido mediante la ecuacin (2.56) y su adjunto definido mediante (2.57). Es inmediato calcular: ],[)())(( 2222 ABiBABAABiBABiABiA

)))))))))))))))) ++=++=+= + ],[)())(( 2222 ABiBABAABiBABiABiA

)))))))))))))))) +=+=+=+ Restando las dos anteriores expresiones tenemos

],[2 ],[ ABi)))))))) == +++ (2.59)

La anterior expresin muestra que ) es normal (conmuta con su adjunto) slo si 0],[ =AB )) , es decir, si los operadores hermticos B) y A) conmutan. En cambio, de las

ecuaciones (2.56) y (2.57) se deduce que ) es hermtico slo si B) = 0 (ya que slo entonces ) = +) ). Por tanto un operador ) , definido de acuerdo con (2.56), con B) y A) hermticos (siendo B

) 0) y que conmuten, representa un ejemplo concreto de operador normal no hermtico. A continuacin vamos a demostrar algunos teoremas relativos a operadores normales. Las conclusiones que saquemos tambin sern vlidas para operadores hermticos, puesto que, como ya hemos dicho, todo operador hermtico es normal. Teorema 4 Si un operador normal ) tiene una funcin propia k con valor propio k, el operador adjunto +) tiene un valor propio *k para la misma funcin propia k

Demostracin Sea kkk =

) y consideremos la integral

kkkk )( )( ** ++))

. (2.60)

Aplicando, en sentido inverso, la regla de turnover (ecuacin (2.47) porque ) , o +) , es un operador normal pero no tiene por qu ser hermtico) resulta kkkk ))(( * +

))

Puesto que ) y +) conmutan, el trmino central ))(( *kk +))

puede ser intercambiado a

))(( * kk +))

, dando

0))(())(( ** == ++ kkkkkkkkk )))

(2.61) (en (2.61) tngase en cuenta que 0)( === kkkkkkkkk

))).

El valor cero de la expresin (2.61) requiere que la integral de partida sea tambin cero; es decir, kkkkkk )( 0 )( )( *** = +++

)))= 0 kkk *=+

) *k es, tambin, el

valor propio del operador +) para la funcin k . 16 Tener en cuenta que el adjunto de un operador hermtico es l mismo.

22

Teorema 5 Si ) es un operador normal que conmuta con un operador cualquiera F) , y k y l son dos funciones propias no-degeneradas de ) , entonces 0== kllk FF

); es decir, los elementos de matriz

no diagonales ( lk ) del operador F) en la base } { i son nulos.

Demostracin Consideremos lklklkllklkl FFFFF

)))))))) +==== (2.62)

(en el ltimo paso de la cadena de igualdades (2.61), se ha tenido en cuenta la regla de turnover)

Por el teorema 4, kkk *=+)

, por tanto lkklkklk FFF *)))) ==+ 17 (2.63)

Llevando (2.63) a la ecuacin (2.62) se tiene lkklkl FF )) = , y por tanto,

0 )( 0 )( == kllklklk FF )

Puesto que, por hiptesis, lk (ya que las funciones de onda k y l son no-degeneradas), se tiene finalmente, 0 == kllk FF

)

Este teorema es muy til cuando se utilizan funciones propias de un operador normal (tal como el operador hamiltoniano) para formar elementos de matriz de un segundo operador que conmuta con el primero. Teorema 6 Si dos operadores A

) y B

) conmutan, existe al menos un conjunto completo comn de funciones propias

}{ k tal que kkk aA =)

y kkk bB =)

.

Demostracin Puesto que, por hiptesis, A

) y B

) conmutan, [ A

), B)

] = 0, de acuerdo con la ecuacin (2.59), los operadores BiA

))) += y BiA ))) =+ tambin conmutan y, por consiguiente, son normales. Por tanto, de acuerdo con el teorema 4, si k es una funcin propia del operador ) con valor propio k , el operador +) tendr un valor propio *k para la misma funcin k . Con lo cual podemos escribir

kkkkkkk ibaBiA )( )( =+=+=)))

(2.64)

kkkkkkk ibaBiA * )( )( ===+)))

(2.65)

donde ak y bk son los valores propios de los operadores A)

y B)

, respectivamente, para la funcin k .

Sumando y restando las ecuaciones (2.64) y (2.65) obtenemos, respectivamente,

kkkkkkk aAaA 22 )( ===+ +))))

kkkkkkk bBibBi 22 )( === +))))

lo cual demuestra que los operadores A)

y B)

tienen un conjunto comn }{ k de funciones propias.

El inverso de este teorema es tambin cierto: Si existe un conjunto completo de funciones comunes a los operadores A

) y B

), entonces dichos operadores deben conmutar.

17 Ntese que lkklkklkklkklkk FdFdFdFF )( *****

))))) ====

23

10. Valor medio, o valor esperado, en mecnica cuntica De acuerdo con la ecuacin (2.18) y utilizando d como elemento de volumen en coordenadas generalizadas, el valor esperado de un operador A

), supuesto hermtico,

ser

*

* Ad

dAA

))) ==

donde es la funcin de onda del sistema.

Si la funcin de onda esta normalizada ( = 1), la anterior expresin adopta la forma * AdAA ))) == (2.66) Puesto que las funciones propias del operador hermtico A

) forman un conjunto

completo {i} (que asumiremos ortonormal), podemos expresar la funcin de onda del sistema como una combinacin lineal de dichas funciones, es decir,

=

=1

i

iic (2.67) La mecnica cuntica establece el siguiente postulado: Cuando se realiza una medida de la variable dinmica representada por el operador A)

, en un sistema cuya funcin de onda es (dada por la ecuacin (2.67)), la probabilidad de que el resultado coincida con un autovalor discreto ak es 2* || kkk ccc = ; donde kc es el coeficiente correspondiente a la funcin propia k en la expansin de como combinacin lineal de {i}, de acuerdo con (2.67).

En el caso en el que tanto la funcin de onda como las funciones propias {i} sean conocidas, el coeficiente ck viene dado por la expresin

kkc = (2.68) En efecto,

ki

kiii

ikii

iikk cccc ====

(tngase en cuenta que el conjunto de funciones {i} es ortonormal, por tanto kiik = , lo cual da cero cuando ki y uno cuando ki = ).

A partir del postulado anterior podemos predecir el valor medio (o valor esperado) que se obtendra para la variable dinmica representada por el operador A

), a partir de una

larga serie de medidas sobre el sistema, colocado en idnticas condiciones inmediatamente antes de cada una de las medidas18. El valor medio del operador A

) para

la funcin de onda se obtiene como sigue: 18 De esta forma nos aseguramos que la funcin de onda del sistema es la misma en cada medida (es decir, en cada experimento).

24

De acuerdo con las ecuaciones (2.66) y (2.67) se tiene

dcAcdAAAl

llk

kk ***

=== ))))

daccdAccl

lllk

kkl

llk

kk **

**

=

= )

==k l

klllkk l

lkllk accdacc * * *

==l

lll

lll acacc2

* || (2.69)

Puesto que 2|| lc es la probabilidad de que el valor al sea obtenido en una medida, el resultado anterior pone de manifiesto que el valor esperado (o valor medio) del operador A)

es la suma de todos sus valores propios multiplicados, cada uno de ellos, por sus correspondientes probabilidades. 11. Construccin de operadores mecanocunticos Para estados estacionarios, la funcin de onda ),,( zyx es una funcin de las coordenadas del sistema. Por tanto, en mecnica cuntica, es conveniente emplear operadores que estn expresados tambin en funcin de estas coordenadas. En tales sistemas,

el operador asociado a una coordenada q (= x, y, z) ser q) (= x) , y) , z) ). Estos operadores actan sobre una funcin, simplemente, multiplicndola por la correspondiente coordenada. As, qq =)() .

los operadores asociados a las componentes del vector momento lineal ( xmpx & = , ympy & = , zmpz & = ) vienen representados por los operadores diferenciales:

x

ixi

px =

= hh) , yi

py = h) ,

zipz

= h) (2.70)

el momento lineal total (vector zyx ppp k jip ++= ) vendr representado por

=

+

+=++= rhh))))

iippp zyx zyx

k ji k jip (2.71)

La energa total de un sistema conservativo est dada por Vm

pVTE +=+=2

2

, donde

T es la energa cintica ( )2/( 2/ 22 mpmvT == ), V es la energa potencial y p2 = p p. El operador representacin de p2 ser

2 22 == hrhrh)ii

p (2.72)

25

donde 2 recibe el nombre de operador laplaciano y viene dado (en coordenadas cartesianas) por

22

2

2

2

22

zyx +

+= (2.73)

Por consiguiente, el operador asociado a la energa total (operador hamiltoniano) ser

Vm

HE)h)) +== 2

2

2 (2.74)

El operador de energa potencial, V)

, vara de un sistema a otro, y por tanto no es posible asignarle una forma general. La construccin de operadores mecanocunticos para otras variables dinmicas puede llevarse a cabo escribiendo la expresin clsica y, a continuacin, reemplazar las coordenadas y las componentes del momento lineal por sus correspondientes operadores. Como ejemplo, podemos obtener el operador asociado al momento angular Lr

. Clsicamente,

zyx pppzyxprLkji

== rvv (2.75)

El correspondiente operador mecanocuntico ser

///

zyx

zyxi

ri

L

== )))hr)h)kji

. (2.76)

12. Principio generalizado de incertidumbre En el apartado 5 del tema 1 ya introdujimos el principio de incertidumbre particularizado para la posicin y el momento lineal. En este apartado vamos a obtener dicho principio de una forma ms general y rigurosa. Consideremos una serie de medidas del observable f (representado por el operador F

)) en un sistema

cuya funcin de onda es inmediatamente antes de cada medida. El valor medio que resulta es igual al valor esperado F

), el cual si est normalizada vendr dado por

= dFF * ))

Por incertidumbre entenderemos el valor medio de la desviacin de la medida respecto de la media. El operador que representa esta incertidumbre ser ( )FF )) . De esta forma el cuadrado de la incertidumbre estar asociado al operador ( )2 FF )) . Si representamos por f la incertidumbre de la medida del observable f, tendremos:

( ) ( ) ( ) dFdFFf 21*2 *2 ))) == (2.77)

Donde hemos definido FFF))) =1 (2.78)

26

Si el operador F)

es hermtico, 1F)

tambin lo ser, ya que F)

es un nmero. Por tanto,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dFdFFfdFFf 211*12 turnoverregla11*2 || == = ))))) (2.79) Anlogamente, si efectuamos (en el mismo sistema) medidas del observable g, representado por el operador hermtico G

), el valor esperado ser = dGG * )) y, mediante un procedimiento idntico al

empleado para obtener la expresin (2.79), podemos obtener, para el cuadrado de la incertidumbre de la medida de g, la expresin: ( ) = dGg 212 || ) (2.80) Siendo GGG

))) =1 (2.81)

Multiplicando las expresiones (2.79) y (2.80), obtenemos

( ) ( ) dGdFgf 212122 || || = )) (2.82)

Si tenemos en cuenta la desigualdad de Schwarz, 2 *22 || || dgfdgdf , en la ecuacin (2.82),

tendremos

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1*1212122 d || || = GFdGdFgf )))) (2.83)

Por otra parte, aplicando (a la inversa) la regla de turnover, tendremos

( ) ( ) = d d 1 1*1*1 GFGF )))) (2.84)

Adems,

)(21)(

21

1111111111 FGGFFGGFGF)))))))))) ++= (2.85)

Si llevamos la ecuacin (2.85) a la (2.84) obtenemos

( ) ( ) ++= d )(21 d )(21 d 1111*1111*1*1 FGGFFGGFGF ))))))))))

( ) ( ) ++= d )(21 d )}( {2 d 1111*1111*1*1 FGGFFGGFiiGF )))))))))) (2.86)

Aplicando las relaciones 1 y 2, consecuencia del teorema 1, es inmediato demostrar que si los operadores

1F)

y 1G)

son hermticos, tambin lo sern los operadores ( )1111 FGGFi )))) y ( )1111 FGGF )))) + . Con lo cual, de acuerdo con el teorema 2, sus valores son reales; y, por consiguiente tambin son reales las cantidades

d )}( { 1111* FGGFi )))) y + d )( 1111* FGGF )))) . Lo anterior implica que la ecuacin (2.86) es del tipo ( ) ( ) biaGF = d 1*1 )) donde

+= d )(21 1111* FGGFa))))

y = d )}( {21 1111* FGGFib))))

Puesto que el mdulo de un nmero complejo biac = cumple 222 bac += , aplicndolo a la expresin (2.86) conduce a

( ) ( ) 2 1111*2 1111*2 1*1 d )(41 d )(41 d ++= FGGFFGGFGF )))))))))) (2.87)

Llevando (2.87) a la ecuacin (2.83) tenemos

27

( ) ( ) 2 11*2 1111*2 11*22 d ][41 d )(

41 d ][

41 ++ G,FFGGFG,Fgf )))))))) (2.88)

Donde hemos sustituido )( 1111 FGGF)))) por el conmutador ][ 11 G,F

)) y hemos tenido en cuenta que si q > 0

y h > 0, entonces q + h q (la posibilidad = cuando h = 0). Tngase en cuenta que la cantidad h = 2

1111* d )(

41 + FGGF )))) siempre es 0.

Si tenemos en cuenta que FFF))) =1 y GGG

))) =1 , el conmutador ][ 11 G,F))

coincide con ][ G,F))

. En

efecto, ],[)( )( )( )(][ 111111 GFFGGFFFGGGGFFFGGFG,F

)))))))))))))))))))) ====

De acuerdo con esto ltimo, la ecuacin (2.88) queda en la forma

( ) ( ) 2 *22 d ][41 G,Fgf ))

y, por tanto,

( )( ) d ][21 * G,Fgf))

( ) ( ) ][ 21 G,Fgf

)) (2.89) Por tanto, de acuerdo con la ecuacin (2.89), si conocemos el conmutador de dos operadores, podemos calcular el producto de las incertidumbres asociadas a las medidas de los correspondientes observables. Si dos observables son compatibles, es decir, si sus operadores conmutan, 0],[ =GF )) y, por consiguiente, 0 gf ; lo cual indica que no hay limitacin en la precisin de la medida de ambos observables (salvo aquellas limitaciones inherentes al aparato de medida). EJERCICIO 2.4 Particulariza la expresin (2.89) para el caso en que f sea la posicin x y g la componente x del momento lineal, px. Demuestra que la relacin a la que se llega es

2 h xpx .

13. Operador paridad. Funciones pares e impares Existen ciertos operadores mecanocunticos que no tienen analoga en mecnica clsica. Uno de estos es el operador paridad. El operador paridad ) se define por su efecto sobre una funcin arbitraria f:

),,(),,( zyxfzyxf =) (2.90) El operador paridad reemplaza cada coordenada cartesiana por su negativa. Por ejemplo, ayyaay zexezxzex +== 2)(22 )()()() . Veamos a continuacin cuales son los valores propios ci y las funciones propias gi del operador paridad. La ecuacin de valores propios ser:

iii gcg =)

(2.91)

28

La clave para poder lograr nuestro objetivo est en calcular el cuadrado de ) :

( ) ),,(),,(),,( ),,(2 zyxfzyxfzyxfzyxf === ))))

12)) = (2.92)

Si ahora aplicamos ) a la ecuacin (2.91) tendremos

)( )( iii gcg =))) iii gcg =

)) 2 (2.92)y (2.91) .ecs

iii gcg21 =) 12 =ic 1=ic .

Vemos, por tanto, que los valores propios del operador ) son +1 y -1. (Es interesante notar que la deduccin que hemos hecho es aplicable a cualquier operador cuyo cuadrado sea el operador unidad). Veamos a continuacin cuales son las funciones propias gi. La ecuacin de valores propios (2.91) la podemos escribir como

),,(),,( zyxgzyxg ii =)

pero, ),,(),,( zyxgzyxg ii =

)

Por tanto, ),,(),,( zyxgzyxg ii = (2.93)

As pues, las funciones propias del operador paridad ) son todas las funciones pares, ),,(),,( zyxfzyxf = , y las impares, ),,(),,( zyxfzyxf = . Ntese que si la

funcin es par, el valor propio del operador paridad ser +1, mientras que ser 1 si la funcin es impar.

Veamos ahora en qu condiciones el operador paridad ) conmuta con el hamiltoniano H)

. Consideremos, para ello, el caso de sistemas monopartcula:

],[],[],[],[ +=+= ))))))))) VTVTH (2.94)

Veamos en primer lugar ],[ ))H :

+

+==

= )h)h)h)) ,

2],[

2,

2],[ 2

2

2

2

2

222

22

2

zyxmmmT

0 , , , 2 2

2

2

2

2

22

=

+

+

= )))h

zyxm (2.95)

ya que cualquier conmutador [ ] ) ,/ 22 q (donde q = x,y,z) es lgicamente cero (sabras demostrarlo?).

Veamos ahora qu ocurre con el conmutador ],[ ))V :

( ) ( )),,(),,(),,( ),,(),,(],[ zyxfzyxVzyxfzyxVzyxfV )))))) =

29

),,(),,(),,(),,( zyxfzyxVzyxfzyxV =

= ( ) = 0),,(),,(),,( zyxfzyxVzyxV ),,( zyxV es una funcin par. Podemos concluir, que si la funcin potencial es par, el operador hamiltoniano conmuta con el operador paridad. Es decir, paresVH 0],[ =)) Estos resultados que hemos obtenidos son fcilmente generalizados para el caso de sistemas con n partculas. Si todos los niveles de energa son no-degenerados (como ocurre generalmente en problemas unidimensionales) y el potencial es una funcin par, entonces las funciones de onda tienen paridad definida. En el caso de que exista degeneracin (y el potencial sea una funcin par), podemos escoger las funciones de onda con una paridad determinada tomando combinaciones lineales adecuadas de las funciones degeneradas. 14. Postulados de la mecnica cuntica Durante el desarrollo del presente tema hemos ido introduciendo una serie de postulados a medida que ha sido necesario. Ahora, a modo de recapitulacin, vamos a escribirlos todos juntos. Postulado 1 El estado mecanocuntico de un sistema est completamente especificado por una funcin de onda ),( tr que es una funcin de las coordenadas del sistema y del tiempo. Para los estados estacionarios el tiempo no es una variable, y el sistema que especificado por una funcin de onda independiente del tiempo )(r . Estas funciones de onda tienen un solo valor para cada punto del espacio (y cada valor del tiempo cuando dependa de t), son continuas y cuadrado-integrables. La funcin de onda para una simple partcula puede ser interpretada como sigue: dtrtr ),(),(* es la probabilidad de que la partcula est en el elemento de volumen d (= dxdydz en coordenadas cartesianas) localizado en la posicin r en el instante t. Postulado 2 Para cada observable en mecnica clsica existe un operador mecanocuntico lineal. El operador se obtiene de la expresin clsica del observador, escrita en trminos de coordenadas cartesianas y momento lineal, reemplazando cada coordenada q por ella

misma y cada componente del momento lineal por q

i h .

Postulado 3 Los posibles valores medidos del observable fsico A, correspondiente al operador A

),

son los valores propios ai de la ecuacin de valores propios ii aA =)

. Postulado 4 El valor medio de un observable correspondiente con el operador A

) viene dado por

= dAA * ))

30

donde es la funcin de onda normalizada del estado, * es su compleja conjugada y la integral se lleva a cabo en todo el espacio en donde la funcin no sea nula. Postulado 5

La ecuacin de onda dependiente del tiempo es t

tritrH = ),(),( h) , donde H) es el

operador hamiltoniano para el sistema. Postulado 6 La funcin de onda de un sistema de electrones debe ser antisimtrica al intercambio de dos cualesquiera de los electrones. Este postulado surge en conexin con el spin y es la forma fundamental de lo que llamamos principio de exclusin de Pauli. Ms adelante entraremos en detalles acerca de lo que supone este sexto postulado.

31

PROBLEMAS TEMA 2 2.1 Comprueba que )exp( ax , donde a es una constante, es una funcin propia de los operadores dxd / y 22 / dxd , y encuentra los correspondientes valores propios. Cul sera el correspondiente valor propio para el operador nn dxd / ? Solucin.- -a, (-a)2, (-a)n

2.2 Dado el operador 222

xdxdP +=) y la funcin 2 xexf = , comprueba si f es funcin

propia del operador P)

y, en caso afirmativo, obtener el valor propio correspondiente. Solucin.- f no es funcin propia de P

).

2.3 Dado el operador 2=P) y )( )( )( mzsenlysenkxsenf = , comprueba si f es funcin propia del operador P

) y, en caso afirmativo, obtener el valor propio correspondiente.

Solucin.- S, es funcin propia. Valor propio = )( 222 mlk ++

*2.4 Considera el operador 222

kxdxdP =) , donde k es una constante. Qu valor debe

tener la constante a en 2 xaef = para que f sea funcin propia del operador P) ? Cul es

el correspondiente valor propio? Solucin.- 2/ka = , valor propio = ka =2

2.5 Normaliza la funcin 2 1 uku += (k es una constante y 1u y 2u son funciones normalizadas) para cada uno de los siguientes casos: a) 1u y 2u son ortogonales. b) 0|| 1221 == uuuu . Solucin.- a) )(

11

2 12uku

k+

+= b) )(

)2(11

21 kuukk+++

2.6 Normaliza la funcin 2 ),,( raeru = en el intervalo r0 , 0 y

20 . Tener en cuenta que, en coordenadas esfricas, el elemento de volumen es drddsenrd 2 = .

Solucin.- 2

4/32),,( raearu

= .

*2.7 Normaliza la funcin 2 21 1 cc += en el caso de que 0|| 1221 == y 21 cc = . Asume que las funciones 1 y 2 estn normalizadas. Repite con 12 cc = . Solucin.- a) )(

)1(21

21 ++= , b) )()1(21

21 = .

2.8 Considera los vectores

=

001

ar ,

=

0

0

2 br y

=

cr 0

0

3 , donde a, b y c son

constantes reales. Normaliza los vectores y muestra que son mutuamente ortogonales. Solucin.- a) 1

'1 )/1( rar = , 2'2 )/1( rbr = , 3'3 )/1( rcr = . c) jiji rr ,'' = .

32

2.9 Considera los vectores

=23

1

1r y

=

123

2r .

a) Comprueba que 1r y 2r no son ortogonales

b) Comprueba que los vectores 1r + 2r y 1r - 2r son ortogonales.

c) Normaliza los vectores 1r y 2r , y normaliza tambin los vectores ortogonales del apartado b).

Solucin.- a) 121 =rr , b)

=+=31

4

21 rrs y

==152

21 rrd , 0=ds

c) 1'

1 )14/1( rr = , 2'2 )14/1( rr = , ss )26/1(' = , dd )30/1(' = . *2.10 Encuentra el adjunto de: a) La funcin real A(x,y) b) La funcin W = A(x,y)+i B(x,y), donde A y B son funciones reales e i = 1 . c) El operador

dxd

d) El operador del momento lineal dxd

ih

e) El operador 22

dxd

f) El operador laplaciano 2 g) El operador hamiltoniano V

mH

)h) += 22

2, donde V

) es real.

*2.11 Demostrar que si el operador G

) es hermtico, 2 G

) (y en general, nG

)) tambin lo

es (ver relacin 2 derivada de la regla de Turnover). 2.12 Demuestra que si el operador G

) es hermtico, kG

) (donde k es una constante real)

tambin es hermtico. 2.13 Dado un operador arbitrario F

), demuestra que: a) el operador FF

)) + es hermtico. b) 0| | + FF )) . Ayuda para b).- Segn regla Turnover FFFF |)(| | +++ =)) 2.14 Sean 1 y 2 dos funciones propias degeneradas del operador A

). Demuestra que

las funciones 11 =u y 122 ku += son ortogonales si se escoge convenientemente el valor de la constante k. Demuestra que las funciones 1u y 2u son tambin funciones propias degeneradas del operador A

) con el mismo valor propio que 1 y 2 .

Solucin.- 1121 |/| =k

33

*2.15 El operador hamiltoniano de un sistema dado es Vdxd

mH +=

22

2h) (donde V es

una cte). Las funciones propias no normalizadas son )exp( xnin = (n = 1,2,3, ). a) Cul es el valor propio de H

) cuando el sistema est en el estado estacionario n = 3?

b) Comprueba que 0],[ =xpH ))

(donde dxd

ipx

h) = ). c) Cul es el valor esperado de la componente x del momento lineal cuando n = 3?

Solucin.- a) Vm

+29 2h , c) h3 .

*2.16 Para cierto sistema el operador hamiltoniano es Vdxd

mH += 2

22

2h) (V es una

constante) y las funciones propias son )/exp()/(),( htEiaxnAsentx = , donde A y a son constantes y el intervalo de integracin es de x = 0 a x = a. Se pide: a) Normaliza la funcin de onda dada en el intervalo ax 0 b) Evala y compara H) , 2H) y

2 H

).c) Evala y compara x) , 2x) y 2 x) .

2.17 Un operador hermtico A

) tiene solo cuatro funciones propias i (i = 1, 2, 3, 4)

(que se suponen ortonormales) con valores propios 11 =a , 22 =a , 13 =a y 34 =a . La funcin de onda del sistema es 4321 316.05.0632.05.0 +++= .Calcula A) para este sistema. Solucin.- 1.598 2.18 Demuestra que la funcin )cos( )cos( )cos( czbyax= es funcin propia del operador 2 . Quin es el valor propio? Solucin.- )( 222 cba ++ 2.19 El operador traslacin hT

) se define en la forma )()( hxfxfTh +=

). Determina

21

21 )23( xTT +

)).

*2.20 El operador Ae) se define en la forma

==++++=

0

3

2

!...

!31

211

k

kA

kAAAAe))))))

.

Demuestra que De), donde

dxdhD =) (siendo h una constante), coincide con el operador

traslacin hT)

definido en la forma )()( hxfxfTh +=)

.

Ayuda.- considera el desarrollo ...)(!3

)(!2

)()()( '''3

''2

' ++++=+ xfhxfhxhfxfhxf 2.21 Una partcula se mueve en una dimensin entre x = a y x = b, en cuya regin una solucin de la ecuacin de Schrdinger es xA /= (siendo A una constante de normalizacin). a) Calcular A, b) demostrar que

ab

ababx ln= .

Solucin.- )/( ababA =

34

2.22 El operador Ae) viene dado por

==++++=

0

3

2

!...

!31

211

k

kA

kAAAAe))))))

. Demuestra

que si es funcin propia de A) con autovalor a, tambin ser funcin propia de Ae ) . Cul ser su autovalor? Solucin.- ae 2.23 Supngase la funcin 4cos2)( += xxf . Esta funcin puede expandirse en la base completa infinito-dimensional de los polinomios

==

0 )(

k

kk xcxf . Calcular 0c , 1c y 2c .

Solucin.- 0c = 6, 1c = 0 y 2c = -1. Ayuda.- con Mathemat: Series[2*Cos[x]+4,{x,0,6}] 2.24 Una partcula se mueve en una dimensin sujeta a un potencial que es cero en la regin axa e en cualquier otro sitio. En un instante la funcin de onda es

axsen

aax

a

52

2cos

51 +=

a) Cules son los posibles resultados de la medida de la energa de este sistema y cuales son sus probabilidades relativas? b) Cul es la forma de la funcin de onda inmediatamente despus de cada medida? NOTA.- Para el problema que nos ocupa, las funciones propias normalizadas del operador hamiltoniano tienen la forma

axn

an 2cos1 = si n es impar (n = 1, 3, 5, )

axnsen

an 21 = si n es par (n = 2, 4, 6, )

Obsrvese que estas funciones cumplen las condiciones de contorno; es decir, se anulan en x = a y en x = a. Solucin.- a) 2

22

1 8maE h= , 2

22

2 2maE h= , probabilidad de E1 = 1/5 y de E2 = 4/5.

b) Inmediatamente despus de cada medida la funcin de onda es 1 o 2 .

*2.25 Demostrar, teniendo en cuenta la ecuacin de Schrdinger t

iH = h) , la

llamada ecuacin cuntica del movimiento:

[ ] 212121 |,||||| = HOitOOt ))h))

Siendo [ ]HO )), el conmutador de los operadores O) y H) .

2.26 Demostrar que [ ] xpmixH )h)) =,

2.27 Un sistema est descrito por la funcin propia 2

resenN = y tiene una energa

E = 0. Cul es la expresin del potencial V si 22

22

22 11

+

+=

rrrr?

Solucin.- )2/()144( 2242 mrrrV = h . Nota.- Utiliza el Mathematica

35

2.28 Demostrar que dt

xdmpx

)) = procediendo de la siguiente manera:

a) Demostrar primero que ],[ xHidt

xd ))h

)= , b) tener en cuenta que, como se ha

demostrado en el ejercicio 2.26, [ ] xpmixH )h)) =, . Ayuda.- Para la demostracin de a) recordar la ecuacin cuntica del movimiento, demostrada en el ejercicio 2.25, y tener en cuenta que 0/ = tx .

2.29 Sean los operadores xdxdP +=) ,

dxdxQ =) y x

dxdR =) . Hallar los operadores 2P) ,

2Q)

y 2R)

Solucin.- 12 222

2 +++= xdxdx

dxdP

),

dxdx

dxdxQ += 2

222) , 132

222 ++=

dxdx

dxdxR

).

2.30 Demuestra que el operador dxdxih no es hermtico.

2.31 Asume que A es un operador hermtico y que 1 , 2 y 2 son tres de sus funciones propias normalizadas con los valores propios 21 =a , 32 =a y 23 =a , respectivamente. Examina cada una de las siguientes integrales y establece su valor numrico en aquellos casos en los que sea posible hacerlo sin ninguna ambigedad. Si el valor de la integral queda indeterminado explica por qu. a) 11 || A ; b) 1 2 || A ; c) 2 |1 ; d) 3 |1 ; e) 3 2 || A ; f) 1 3 | ; g) 3 ||1 A ; h) 3 3 11 || + A ; i) 3 3 11 || A . 2.32 Un operador hermtico A tiene nicamente tres funciones propias: 1 , 2 y 3 , con los correspondientes valores propios 11 =a , 22 =a y 33 =a , respectivamente. En un estado determinado , hay un 50% de probabilidad de que una medida produzca a1 y la misma probabilidad (el 25%) de que se obtenga a2 y a3. Se pide: a) Calcular A

b) Expresar la funcin de onda del estado mencionado en funcin de 1 , 2 y 3 .

*2.33 Demuestra que: a) kllk ipq h=],[ b) 1 1-n 2],[ = nknkk pipq h Siendo 1q , 2q y 3q los operadores de posicin x , y y z respectivamente; y 1p , 2p y

3p los operadores de momento lineal xp , yp y zp , respectivamente. 2.34 Si A y B son dos operadores hermticos: a) El operador ABBA + es siempre hermtico? b) Son hermticos los operadores ( )AAi + y ( )AA ++ ? Solucin.- a) Si, b) Si

36

2.35 Supongamos que la funcin de onda para un sistema en un estado puede escribirse como

3

21 423

41

21 i+++=

Donde 1, 2 y 3 son funciones propias normalizadas del operador H con valores propios E1, 3E1 y 7E1, respectivamente. a) Verifica que la funcin de onda est normalizada. b) Cules son los valores posibles que podramos obtener midiendo la energa del sistema preparado en idnticas condiciones? c) Cul es la probabilidad de medir cada uno de esos valores propios? d) Cul es el valor promedio de la energa que obtendramos realizando un gran nmero de medidas? Solucin.- c) 1/4, 1/16, 11/16 d) 125.5 EE = 2.36 Una onda que se propaga a lo largo del eje x de izquierda a derecha, con longitud de onda y frecuencia , est descrita por la funcin ( ))/(2exp),( txiAtx = . Comprueba que: a) Esa funcin de onda es solucin de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo de una partcula libre y, por tanto, describe un estado estacionario de la misma. b) La relacin de de Broglie entre la longitud de onda asociada a una partcula y su momento lineal est contenida en la ecuacin de Schrdinger. c) Esa funcin tambin es solucin de la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo y el hecho de que la energa de una partcula con una onda asociada de frecuencia sea hE = tambin est contenida en la ecuacin de Schrdinger. *2.37 Sean xkieNk 1 11 = y xkieNk 2 22 = dos ondas planas, y sea la funcin de onda

2211 kckc += (donde c1 y c2 son constantes reales). Se pide: a) Normaliza 1k y 2k en el intervalo ]2/ ,2/[ aa + . b) Comprueba que 1k y 2k son funciones propias del operador momento lineal xp . Cules son sus valores propios? c) Es una funcin propia del operador xp ? d) Normaliza la funcin en el intervalo ]2/ ,2/[ aa + . e) Si la partcula se encuentra en el estado , qu valores podramos en una medida individual de xp ? f) Cul es el valor promedio de xp en el estado ?

Solucin.- a) aNN /121 == b) h11)( kpx = , h22)( kpx = c) No d) ( )2211

212122

21 2

1 kckckkcccc

+++

= e) h1k y h2k

37

2.38 a) Demuestra que si V es real y ),,,( tzyx satisface la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo, entonces ),,,(* tzyx es tambin solucin de dicha ecuacin (esto es lo que se conoce como invarianza bajo la inversin del tiempo). b) Demuestra que, para estados estacionarios, la invarianza bajo la inversin del tiempo implica que ** EH = si se cumple EH = y si V es real. c) Demuestra, a partir de b), que las funciones propias no degeneradas de H (con V real) deben ser reales. 2.39 Normaliza las funciones no ortogonales re=1 y rer = 2 . A partir de ellas construye otra funcin que sea ortogonal a 1 . Nota.- ver el apndice 2: Mtodo de ortogonalizacin de Schmidt

Solucin.- a) re 11 = ,

rer = 2 31 , b)

rr ere 65147.0 977205.0 += *2.40 Dado un operador B , tal que 0],[ =HB (donde H es el operador hamiltoniano del sistema) y suponiendo que 11 aH = , 22 bH = , 33 bH = y 44 cH = (donde a, b y c son distintos entre si), Qu integrales de las siguientes sabemos con seguridad que son cero?

1) 41 2) 42 3) 32 4) 43 5) 31 || H 6) 32 || H 7) 41 || B 8) 32 || B 9) 3232 || + B 10) 3232 || + H 11) 3232 | +