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Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño

Ejemplo de sintonización Sea un sistema de parámetros concentrados, lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la función de transferencia:

48( )

( 2)( 4)( 6)pG ss s s


Se desea calcular los parámetros para los controladores P, PI, PD y PID, mediante los métodos:

Oscilaciones sostenidas Oscilaciones amortiguadas Curva de reacción:

o Ziegler-Nichols o Cohen-Coon o Criterios de desempeño

ISE IAE ITAE


a) Método de oscilaciones sostenidas Para el método de oscilaciones encontraremos la OSK , que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas. Es posible obtener este valor mediante el Lugar Geométrico de las Raíces, o a partir del Criterio de Estabilidad de Routh:


Lugar Geométrico de las Raíces


Los puntos de interés son los que se muestran en la figura:


Con la herramienta de MatLab rlocfind se determinan los puntos y el valor de la ganancia para dichos puntos, siendo éstos:

0

9.997

0 0022 6.65OSK

s j

Este valor de j6.63 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:

26.63 2

20.9472s

6.63

d OSOS

OS

fT

T


Por el Criterio de Estabilidad de Routh El polinomio a utilizar es:

( ) ( ) ( )P s p s Kq s ( ) ( 2)( 4)( 6) 48P s s s s K

3 2( ) 12 44 48 48P s s s s K

3 2( ) 12 44 48( 1)P s s s s K


Se obtendrá el valor de la OSK que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas, a partir del Arreglo de Routh:

3

2

1

0

1 44

12 48( 1)

44 4( 1)

48( 1)

s

Ks

Ks

Ks


Para calcular los valores de K que producen polos sobre el eje imaginario es necesario igualar los términos de la primera columna que incluyen a K a cero, esto es: Este es el valor requerido, ya que produce polos imaginarios

44 4( 1) 0

10OS

OS

K

K

Este valor sólo produce un polo en el origen

48( 1) 0

1OS

OS

K

K


Después, se elige a partir del arreglo el primer renglón donde aparece K y se genera el polinomio de los polos imaginarios, esto es:

2

2

2

( ) 12 48( 1)

12 (48)(11)

12 528

528 5286.63

12 12

OSa s s K

s

s

s j j



26.63 2

20.9472s

6.63

d OSOS

OS

fT

T

Los parámetros de sintonización son:

10 0.9472OS OSK y T


Y los valores finales son:

Tipo de controlador cK iT dT

P 5 - -

PI 3.01 0.7893 -

PID 3.9 0.4736 0.1184


b) Método de oscilaciones amortiguadas En este método se requiere que los polos dominantes tengan un factor de amortiguamiento relativo de 0.2176. El problema se puede resolver analíticamente en forma simbólica y por el Lugar Geométrico de las Raíces, en este caso sólo se presenta la del LGR.


Lugar Geométrico de las RaícesEn la siguiente gráfica se muestra la gráfica del LGR para la planta donde también se ha dibujado la líneas de factor de amortiguamiento relativo de 0.2176:


A continuación se tienen marcados los puntos de interés sobre el Lugar Geométrico de las Raíces, y de nuevo con la herramienta de MatLab rlocfind se determina que:


0

3.7797

1 0483 4.6967OAK

s j


24.6967 2

21.3356s

4.6967

d OAOA

OA

fT

T


Los parámetros de sintonización son:

10 0.9472OS OSK y T la tabla a utilizar es:


P oK - -

PI oK oT -

PID oK 1.5

oT

6oT




P 3.7922 - -

PI 3.7922 1.3356 -

PID 3.7922 0.89 0.2226


c) Método de la curva de reacción En este caso es necesario obtener la respuesta escalón de la planta a partir de:

1( ) ( )

48 1( )

( 2)( 4)( 6)

48( )

( 2)( 4)( 6)

( )( 2) ( 4) ( 6)

ESC P

ESC

ESC

ESC

Y s G ss

Y ss s s s

Y ss s s s

A B C DY s

s s s s


Los valores de A, B, C y D se calculan como sigue:

( ) ( ) 10

( ) ( 2) 32

( ) ( 4) 34

( ) ( 6) 16

ESC

ESC

ESC

ESC

A Y s ss

B Y s ss

C Y s ss

D Y s ss


Así 1 3 3 1

( )( 2) ( 4) ( 6)ESCY s

s s s s

De esta manera, la respuesta escalón es: 2 4 6( ) 1 3 3 , 0t t t

ESCy t e e e para t ahora es necesario determinar el punto de inflexión mediante el criterio de la segunda derivada, esto es:

2 4 6( )6 12 6t t tESCdy te e e

dt

22 4 6

2

( )12 48 36t t tESCdy t

e e edt


esta segunda derivada se tiene que igualar a cero, esto, es: 2 4 612 48 36 0t t te e e

haciendo 2tz e , entonces la ecuación anterior se puede escribir como:

2 312 48 36 0z z z o bien:

2(3 4 1) 0z z z cuyas raíces son:

1

2

3

0

1

1/ 3

z

z

z

Para z1 la variable t donde se tiene un punto de inflexión Para z2 la variable 0t donde se tiene un punto de inflexión Para z3 la variable 0.5493t donde se tiene un punto de inflexión que es el de nuestro interés.


Así el punto de inflexión es: ( , ) (0.5493,0.2963)PI PIPto Inf t y

y los parámetros de sintonización son: 0.8888 0.2159m mR y T



P 5.2107 - -

PI 4.6896 1.0795 -

PID 6.2529 0.7196 0.1727

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