EcuacionesDiferencialesOrdinariasSA

C B BC Ecuaciones Diferenciales Ordinarias William La Cruz (UCV) 1

Solucion de EcuacionesDiferenciales Ordinarias

Universidad Central de Venezuela

Facultad de Ingenierıa

Escuela de Ingenierıa Electrica

Departamento de Electronica, Computacion y Control

Calculo Numerico

Junio, 2010


Contenido

Problema de Valor Inicial 3

Metodos Basados en Expansiones de Taylor 8

Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Metodo de Runge-Kutta de segundo orden . . . . . . . . 14

Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden . . . . . . . . . 18

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 21

Notacion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Metodo de Runge-Kutta en forma vectorial . . . . . . . . . . 26

Codigo en Matlab de Runge-Kutta vectorial . . . . . . . 27

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior 29


Problema de Valor Inicial

Consideremos la ecuacion diferencial con condicion inicial

x′ = f(t, x), x(t0) = x0, (1)

donde f : R2 → R, y x es una funcion real desconocida. Supongamos

que x(t) es diferenciable en una vecindad de t0. El problema (1) se

denomina problema de valor inicial.

¿El problema de valor inicial (1) posee una solucion?

El siguiente teorema muestra las condiciones que se deben satisfacer

para que el problema de valor inicial (1) pasea al menos una solucion.


Teorema 1. Si f es continua en un rectangulo R centrado en

(t0, x0),

R = {(t, x) ∈ R2 : |t− t0| ≤ α, |x− x0| ≤ β}, (2)

entonces el problema de valor inicial (1) tiene una solucion x(t)

para todo t tal que

|t− t0| ≤ min(α, β/M),

donde M > 0 es tal que |f(t, x)| ≤M para todo (t, x) ∈ R.

Ejemplo

Demostrar que el problema de valor inicial

x′ =√|x|, x(0) = 0, (3)

tiene solucion unica para todo t ∈ R.


Prueba.

Se tiene que f(t, x) =√|x|. Luego, f es continua en todo (t, x) ∈ R2.

Por el Teorema 1, el problema de valor inicial (3) tiene una solucion

x(t) para todo t ∈ R.

Algunos problemas de valor inicial pueden tener mas de una solucion.

(t0, x0)

t0

x0

x1(t)

x2(t)

x3(t)

1


El siguiente teorema presenta las condiciones que se deben satisfacer

para que el problema de valor inicial (1) tenga solucion unica.

Teorema 2. Si f y ∂f/∂x son continuas en el rectangulo R

definido por (2), entonces el problema de valor inicial (1) tiene una

solucion unica en el intervalo

(t0 −min(α, β/M) , t0 + min(α, β/M)),

donde M > 0 es tal que |f(t, x)| ≤M para todo (t, x) ∈ R.

El siguiente teorema presenta otras condiciones para que el problema

de valor inicial (1) tenga una solucion unica.


Teorema 3. Supongamos que f es continua en la franja a ≤ t ≤ b,−∞ < x <∞. Supongamos tambien que f satisface la condicion de

Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe una constante

L > 0 tal que

|f(t, x1)− f(t, x2)| ≤ L |x1 − x2|,

para todo x1, x2 ∈ R. Entonces, el problema de valor inicial (1)

tiene una solucion unica en el intervalo [a, b].


Metodos Basados en Expansiones de Taylor

Sean t0, t1, . . . , tm ∈ [a, b]. Estamos interesados en obtener

aproximaciones de los valores que toma x(t) en los puntos ti, donde

x(t) es la solucion del problema de valor inicial (1).

t0

x0

t1 tm

x1

xm

...

· · ·

x(t)

1


Denotemos con xi al valor aproximado que se obtuvo para x(ti), es

decir,

xi ≈ x(ti), para i = 1, 2, . . . ,m.

Supongamos que x(t) es (n+ 1) veces diferenciable. Consideremos el

desarrollo de Taylor de x(t+ h) alrededor de t− h, para h > 0,

x(t+ h) = x(t) + hx′(t) +h2

2!x′′(t) + · · ·+

hn

n!x(n)(t) + En, (4)

donde

En =hn+1

(n+ 1)!x(n+1)(t+ δh), 0 < δ < 1.

De esta forma,

x(t+ h) ≈n∑j=1

hj−1

j!x(j)(t),

donde


x′(t) = f,

x′′(t) = ft + fxx′ = ft + fxf,

x′′′(t) = ftt + 2ftxx′ + fxx

′′ + fxx(x′)2

= ftt + 2ftxx′ + fxx(f)2 + fx(ft + fxf),

x(4)(t) = fttt + 3fttxx′ + 3ftxx(x

′)2 + 3ftxx′′ + fxx

′′′

+3fxxx′x′′ + fxxx(y

′)2

= (fttt + 3fttxf + 3ftxxf2 + fxxxf

3) + fx(ftt + 2ftxf + fxxf2)

+3(ft + fxf)(ftx + fxxf) + f2x(ft + fxf),

y, en general,

x(n)(t) = D(n−1)f(t, x(t)),

donde D es el operador de derivacion

D =

(∂

∂t+ f

∂

∂x

).


Por ejemplo, el metodo de Taylor de orden 4 es

x(t+ h) ≈ x(t) + hx′(t) +h2

2!x′′(t) +

h3

3!x′′′(t) +

h4

4!x(4)(t)

con termino de error

E4 =h5

5!x(5)(t+ δh)

≈h5

5!

[x(4)(t+ h)− x(4)(t)

h

]

=h4

120

[x(4)(t+ h)− x(4)(t)

].

Si se desea resolver el problema de valor inicial (1) comenzando en

x(t0) = x0 y continuando con pasos h > 0 hasta tm, colocamos

ti = t0 + ih, i = 1, 2, . . . ,m,


y el metodo metodo de Taylor de orden 4 adquiere la forma

xi+1 = xi + hf(ti, xi) +h2

2x′′(ti) +

h3

3!x′′′(ti) +

h4

4!x(4)(ti),

para i = 0, 1, . . . ,m.

Esta ecuacion se denomina ecuacion en diferencias.

Metodo de Euler

El metodo de Euler es el metodo de Taylor de orden 1, cuya ecuacion

en diferencias es

xi+1 = xi + hf(ti, xi), i = 0, 1, . . . ,m− 1,

con termino de error local E1 =h2

6x′′(ξ).


Codigo en Matlab de Euler

function [x,t] = Euler(fun, t0, x0, h, m)

% fun: nombre de la funcion f(t,x)

% Condicion inicial x(t0) = x0;

% Tama~no de paso: h > 0

% Numero de puntos: m (entero positivo)

t = t0 + h*(0:1:m);

x = zeros(1,m+1);

x(1) = x0;

for i=1:m

x(i+1) = x(i) + h*feval(fun,t(i),x(i));

end


Metodos de Runge-Kutta

Los metodos de Taylor tienen la desventaja de que requieren las

formulas para ft, ftt, etc. Los metodos de Runge-Kutta evaden esta

dificultad. Sin embargo, imitan a los metodos de Taylor. Mostremos

este hecho con el metodo de Runge-Kutta de segundo orden.

Metodo de Runge-Kutta de segundo orden

Consideremos la expansion de Taylor de x(t+ h) alrededor de (t− h),

x(t+ h) = x(t) + hx′(t) +h2

2!x′′(t) +O(h3)

Como x′(t) = f , x′′(t) = ft + fxf , tenemos

x(t+ h) = x(t) + h f +1

2h2(ft + fxf) +O(h3)

= x(t) +1

2h f +

1

2h(f + hft + hfxf) +O(h3).


Ahora, utilizando los primeros terminos de la serie de Taylor de dos

variables de f , f(t+ h, x+ hf) = f + hft + hffx +O(h2), obtenemos

x(t+ h) = x(t) +h

2f +

h

2f(t+ h, x+ hf) +O(h3)

De esta forma,

x(t+ h) ≈ x(t) +h

2f(t, x(t)) +

h

2f(t+ h, x(t) + hf(t, x(t))).

Este metodo se conoce como metodo de Heun, cuya ecuacion en

diferencias es

xi+1 = xi +1

2(k1 + k2),

k1 = h f(ti, xi),

k2 = h f(ti + h, xi + k1),

para i = 0, 1, . . . ,m− 1.


Otro metodo de Runge-Kutta de segundo orden es

xi+1 = xi + k2,

k1 = h f(ti, xi),

k2 = h f(ti +1

2h, xi +

1

2k1),

para i = 0, 1, . . . ,m− 1.

Este metodo se denomina metodo de Euler modificado.


Codigo en Matlab de Euler modificado

function [x,t] = EulerModificado(fun, t0, x0, h, m)

t = t0 + h*(0:1:m);

x = zeros(1,m+1); x(1) = x0;

for i=1:m

k1 = h*feval(fun,t(i),x(i));

k2 = h*feval(fun,t(i)+h/2,x(i)+k1/2);

x(i+1) = x(i) + k2;

end

Codigo en Matlab de Heun

function [x,t] = Heun(fun, t0, x0, h, m)

t = t0 + h*(0:1:m);

x = zeros(1,m+1); x(1) = x0;

for i=1:m


k2 = h*feval(fun,t(i)+h,x(i)+k1);

x(i+1) = x(i) + (k1+k2)/2;

end


Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden

La ecuacion en diferencias del metodo de Runge-Kutta de cuarto

orden es

xi+1 = xi +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

k1 = h f(ti, xi),

k2 = h f(ti +1

2h, xi +

1

2k1),

k3 = h f(ti +1

2h, xi +

1

2k2),

k4 = h f(ti + h, xi + k3),

para i = 0, 1, . . . ,m− 1.


Codigo en Matlab de Runge-Kutta de cuarto orden

function [x,t] = RungeKutta4(fun, t0, x0, h, m)

t = t0 + h*(0:1:m);

x = zeros(1,m+1);

x(1) = x0;

for i=1:m




k4 = h*feval(fun,t(i)+h,x(i)+k3);

x(i+1) = x(i) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end


Ejemplo

Sea el problema de valor inicial

x′ = t ex−t2, x(0) = 0,

con solucion exacta x(t) = − ln(

0.5 + 0.5 e−t2)

.

En la siguiente tabla se muestra la aproximacion de x(2) hallada por

distintos metodos.

Aproximaciones de x(2), con h = 1/m

Metodo m = 10 m = 100 m = 1000

Euler 0.624464946670797 0.670172820871109 0.674516978857219

Euler Modificado 0.677534495774509 0.675027093548888 0.674997555722006

Heun 0.666047634505599 0.674916033831550 0.674996449858973

Runge-Kutta 4 0.675006001301624 0.674997253647557 0.674997252642238

Valor exacto: x(2) = 0.674997252642136.


Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

La forma estandar de un sistema de ecuaciones diferenciales de

primer orden es:

x′1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)

x′2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)...

x′n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).

(5)

• En este sistema hay n funciones xi : R→ R dependientes de t.

• x′i denota dxi/dt.


Ejemplo

Un ejemplo del sistema (5), en el que se ha escrito x e y en vez de x1

y x2, es: x′ = x+ 4y − et

y′ = x+ y + 2et.

La solucion general del sistema es:

x = 2ae3t − 2be−t − 2et

y = ae3t + be−t +1

4et

donde a y b son constantes arbitrarias.

Ahora bien, todo problema fısico bien definido que tenga

presumiblemente una solucion unica, poseen condiciones iniciales que

permiten determinar las constantes arbitrarias de la solucion general.


Ası, si el sistema anterior estuviese sujeto a las condiciones iniciales

x(0) = 4, y(0) = 5/4,

entonces la solucion serıa

x = 4e3t + 2e−t − 2et

y = 2e3t − e−t +1

4et

De esta forma, el sistema general (5) debe considerar las n ecuaciones

diferenciales junto con un valor inicial prescrito para t, digamos t = t0,

y la especificacion del valor que tendra cada funcion xi en t0, esto es

xi(t0) = αi, i = 1, 2, . . . , n.


Notacion vectorial

El sistema (5) se puede reescribir convenientemente en notacion

vectorial. Sea X(t) el vector columna definido por

X(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T ,

por lo tanto, X : R→ Rn depende de t.

Ahora, sea F (t,X) el vector dado por

F (t,X) = (f1(t, x1, . . . , xn), . . . , fn(t, x1, . . . , xn))T ,

luego, F : Rn+1 → Rn.

Ası, podemos reescribir el sistema (5) en la forma

X ′ = F (t,X), X(t0) = (α1, . . . , αn)T . (6)


Ejemplo

Determine la forma vectorial del sistema x′ = x+ 4y − et,

y′ = x+ y + 2et,

con condiciones iniciales

x(0) = 4, y(0) = 5/4.

Solucion. Se tiene que

X =

x

y

y F (t,X) =

x+ 4y − et

x+ y + 2et

.Ası,

X ′ = F (t,X), X(0) = (4, 5/4)T .


Metodo de Runge-Kutta en forma vectorial

El procedimiento de Runge-Kutta para el sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden

X ′ = F (t,X), X(t0) = (α1, . . . , αn)T ,

viene dado por:

Xk+1 = Xk +h

6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4),

donde

K1 = F (tk, Xk),

K2 = F

(tk +

h

2, Xk +

K1

2

),

K3 = F

(tk +

h

2, Xk +

K2

2

),

K4 = F (tk + h,Xk +K3) ,

para k = 0, 1, . . . ,m− 1,


ademas,h > 0 (tamano de paso),

tk = t0 + kh, k = 1, 2, . . . ,m,

Xk ≈ X(tk).

Codigo en Matlab de Runge-Kutta vectorial

function [x,t] = RungeKutta4Vectorial(fun, t0, x0, h, m)

t = t0 + h*(0:1:m);

n = length(x0);

x = zeros(m+1,n);

x(1,:) = x0;

for k=1:m

k1 = h*feval(fun, t(k), x(k,:)’);

k2 = h*feval(fun, t(k)+h/2, x(k,:)’ + k1/2);

k3 = h*feval(fun, t(k)+h/2, x(k,:)’ + k2/2);

k4 = h*feval(fun, t(k)+h, x(k,:)’ + k3);

x(k+1,:) = x(k,:) + (k1+2*k2+2*k3+k4)’/6;

end


Ejercicio

Utilice el metodo de Runge-Kutta para resolver el sistema x′ = x+ 4y − et,

y′ = x+ y + 2et,


x(0) = 4, y(0) = 5/4.

Ayuda : Emplee la funcion RungeKutta4Vectorial, conjuntamente

con la forma vectorial del sistema dada por:

X ′ = F (t,X), X(0) = (4, 5/4)T ,

donde

X =

x

y

y F (t,X) =

x+ 4y − et

x+ y + 2et

.


Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Consideremos la diferencial de la forma

y(n) = f(t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)),

y(i)(t0) = βi, i = 0, 1, . . . , n− 1.(7)

El procedimiento que se utilizara para aproximar la solucion y(t) de la

ecuacion diferencial (7), consiste en convertir esta ecuacion diferencial

en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, a saber:

• Definir las funciones x1, x2, . . . , xn como:

x1 = y, x2 = y′, x3 = y′′, . . . xn = y(n−1)


• Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

x′1 = x2

x′2 = x3

x′3 = x4

...

x′n = f(t, x1, x2, x3, . . . , xn)

Ejemplo

Convierta la ecuacion diferencial de orden superior

(sen t)y′′′ + cos(ty) + sen(t2 + y′′) + (y′)3 = log t,

y(2) = 7,

y′(2) = 3,

y′′(2) = −4,

en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.


Solucion.

Definamos las funciones x1, x2, x3 como:

x1 = y, x2 = y′, x3 = y′′

Ası, la ecuacion diferencial dada se convierte en el siguiente sistema

de ecuaciones diferenciales ordinariasx′1 = x2

x′2 = x3

x′3 = [log t− cos(tx1)− sen(t2 − x3)− x23]/ sen t


x1(2) = 7,

x2(2) = 3,

x3(2) = −4,


ademas, la forma vectorial de este sistema de ecuaciones diferenciales

es:

X ′ = F (t,X), X(2) = (7, 3, −4)T ,

donde

X =

x1

x2

x3

y

F (t,X) =

x2

x3

log t−cos(tx1)−sen(t2−x3)−x23sen t

.


Ejercicio

Utilice el metodo de Runge-Kutta para resolver la ecuacion

diferencial de orden superior

(sen t)y′′′ + cos(ty) + sen(t2 + y′′) + (y′)3 = log t,

y(2) = 7,

y′(2) = 3,

y′′(2) = −4,

Ayuda : Primero convierta la ecuacion diferencial en un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias y expreselo en su forma vectorial.

Luego, emplee la funcion RungeKutta4Vectorial para resolver el

sistema de ecuaciones diferenciales hallado.

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