Tıtulo:

Distribuciones

Fuertes Panizo, Cynthia

Martınez, Jerson

Quispe Galecio, Alex

Saravia Tasayco, Richard

Tuesta Bazan, Nilton

21 de octubre de 2013

Indice general

Problemas elıpticos 2

Ejemplo 1.1.1 4

Ejemplo 1.1.2 6

Distribuciones Temporadas 7

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Problemas elıpticos

Las nociones de funciones y distribuciones de Green llevan mas de una manera

directa a varias variables y para las ecuaciones diferenciales parciales.

Sea Ω ser un conjunto abierto en Rn (Para concretar el lector puede tomar n =

2 o n = 3 ). Se denota como: D(Ω) ≡ C∞0 (α) el conjunto de funciones definidas

en Ω que tienen continuas derivadas de todos los ordenes. El conjunto D(Ω) es

llamado el conjunto de la pruebas de funciones en Ω y nosotros denotamos el

valor de la distribucion u por (u, φ); donde u pertenece a D(Ω). El conjunto de

las distribuciones definidas en D(Ω) es denotado por D′(Ω). Cada funcion u que

esta localizada de manera integral en Ω, llamada:f|u(x))|∂xk < ∞. Para todos los

subconjuntos de k que pertenecen a Ω, generamos la funcion:

(u, φ) =∫

Ωu(x)φ(x)dx, φεD(Ω)

La distribucion dirac (delta) con polo en εξRn es definido por:

(δξ) = φ(ξ), ξεD(Ω)

La multiplicacion de la distribucion u εD′(Ω) y una funcion C∞(Ω) is definido

por (au, φ) = (u, aφ), φεD(Ω); ademas, la derivada parcial de una distribucion u

esta definida por:

( ∂∂xk

u, φ) = −(u, ∂∂xk

φ), φεD(Ω)

2

La derivada de segundo orden esta definida por:

( ∂2

∂xjxku, φ) = −(u, ∂2

∂xjxkφ), φεD(Ω)

Sea L un diferencial de segundo orden L con C∞ coeficientes de la distribucion

en D′(Ω). Si f es una distribucion, luego la ecuacion diferencial es: Lu= f que

puede ser considerada en cualquier distribucion que satisfaga Lu = f , llamandose

solucion de la distribucion. Ası u es la solucion de Lu = f , sı y solo sı:

(Lu, φ) = (f, φ), ∀φ ∈ D(Ω)

En particular, sı: f ≡ δ(x − ξ), es la distribucion Delta, y u es llamada

solucion fundamental asociada con el operador L. La asociacion formal de L

es denotada por:L∗ y esta definida por:

(Lu, φ) = (u, L∗φ), φ ∈ D(Ω)

Ademas u es la solucion de Lu = f , sı y solo sı:

(u, L∗φ) = (f, φ),∀φ ∈ D(Ω)

Y u es la solucion fundamental (con polo en ξ) asociado con el operador L,

sı y solo sı:

(u, L∗φ) = φ(ξ),∀φ ∈ D(Ω)

Sı u y f son funciones integrables en Ω que satisfacen (Lu, φ) = (u, L∗φ), φ) ∈

D(Ω), entonces nosotros podemos decir que u es una solucion debil de Lu = f ,

entonces u es una solucion debil sı y solo sı:

∫Ωu(x)L∗φ(x)d(x) =

∫Ωf(x)φ(x)d(x),∀φ ∈ D(Ω)

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Ejemplo 1.1.1

Demostrar que la funcion

g(x, y) =1

πln(x2 + y2) (1)

es una solucion de distribucion de la ecuacion

∆u = δ(x, y) (2)

Donde ∆ =∂2x

∂x2+∂2y

∂y2es el laplaciano dimensional, and δ(x, y) esta en dis-

tribucion de dirac con polo en (0, 0) por lo tanto tenemos que demostrar que

(∆g, φ) = (g,∆φ) = φ(0, 0) para todo φ ∈ D(R2). Para terminar usando coorde-

nadas polares, tenemos:

(4πg,∆φ) =∫R2 ln(x2 + y2)(φxx + φyy)dxdy

=∫ 2π

0

∫∞0lnr2(φrr +

1

rφr +

1

r2φθθ)rdrdθ

= limε→0

∫∞ε

∫ 2π

0(rlnr2φrr + lnr2φr +

1

rlnr2φθθ)

la integral del ultimo termino es cero debido a la periodicidad θ de φ y sus de-

rivadas. Ası que tenemos que calcular los otros dos terminos. La integracion de

las partes da:

∫∞εlnr2φrdr = φlnr2 |∞ε −

∫∞ε

2

rφdr = −φ(ε, θ)lnε2 −

∫∞ε

2

rφdr

4

e integrando por partes, 2 veces tenemos:

∫∞εrlnr2φrrdr = rφrlnr

2 −∫∞ε

(2 + lnr2)φrdr

= −φr(ε, θ)εlnε2 + (2 + lnε2)φ(ε, θ) +∫∞ε

2

rφdr

juntando estos resultados obtenemos:

(4πg,∆φ) = limε→0

∫ 2π

0(−φ(ε, θ)lnε2 −

∫∞ε

2

rφdr)dθ

+limε→0

∫ 2π

0((2 + lnε2)φ(ε, θ) +

∫∞ε

2

rφdr)

= 2limε→0

∫ 2π

0φ(ε, θ)dθ = 4πφ(0, 0)

Por lo tanto, la funcion definida por (1), el cual es llamado potencial logarıtmico

es una solucion fundamental asociada con el laplaciano bidimensional. Note que

no es correcto decir que (1) es una solucion genuina o una solucion debil de la

ecuacion de laplace∆u = 0 en R2 . Observe que el operador laplaciano es inva-

riante bajo una tranlacion de coordenadas, por lo que una solucion fundamental

asociada con el laplaciano con polo en (ξ, η) es:

g(x, y; ξ, η) =1

4πln((x− ξ)2 + (y − η)2) (3)

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Ejemplo 1.1.2

Una solucion fundamental asociada con el laplaciano en R3 es la funcion

g(x, y, z) = 14πr

, donde r =√

(x2 + y2 + z2). Esto significa que ∆g = δ(x, y, z)

en el sentido de distribuciones. Otra vez ,la distribucion puede ser traladada pa-

ra otro punto (ξ, η, ζ) para obtener una solucion fundamental asociada con polo

(ξ, η, ζ). En tres dimensiones g es llamado el potencial Newtoniano. Debemos

remarcar que la solucion fundamental asociada con el laplaciano son soluciones

radiales que dependen solo de la distancia desde el polo.

La funcion de Green asociada con un operador diferencial parcial, tales como

el laplaciano, es una solucion fundamental que tambien satisface las condiciones

de lımite homogeneas. Como tal, la funcion de Green es la respuesta de equili-

brio del sistema fısico bajo investigacion causada por una unica fuente puntual.

Matematicamente, la funcion de Green es el kernel del operador integral que

representa la inversa del operador diferencial parcial. No hay un solo metodo de

construccion de la funcion de Green. En dominios finitos uno puede separar las

variables, y en dominios infinitos uno puede intentar transformar metodos. A

menudo los argumentos geometricos o fısicos son utiles.

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Distribuciones temperadas

En los problemas relacionados con fuentes puntuales nos encontramos fren-

te a una distribucion de Dirac en la ecuacion diferencial parcial. Si queremos

aplicar los metodos de transformadas , entonces tenemos que dar sentido a la

transformacion de una distribucion. Para esto emplearemos un calculo formal

para dar la respuesta correcta. Por ejemplo, considere la posibilidad de tomar

la transformada de Fourier de la distribucion delta δ(x − xo) con polo en xo;

tenemos

Por lo tanto

Muchos estaran de acuerdo con este calculo formal. Sin embargo, con el fin de

tener algunos conceptos claros damos una breve explicacion de sus fundamentos.

Supongamos que υ es una distribucion en D’(R) que se genera por una funcion

υ localmente integrable , y se supone que la transformada de Fourier υ tambien

es localmente integrable. Luego , para alguna φ ε D’(R) tenemos

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Esto parece correcto, pero se requiere que tanto φ y su transformada de

Fourier φ deben ser identicamente cero. Por lo tanto, no podemos definir υ en

el conjunto de funciones de prueba D(R). La forma de salir de este problema es

considerar distribuciones en una clase mas grande de las funciones de prueba ,

a saber, la clase Schwartz S. Una distribucion temperada es una funcion lineal

continua en S. Ahora esto es posible para definir la transformada de Fourier de

una distribucion temperada υ a otra υ, cuya accion en S esta dada por

Por lo tanto

para todo φ ε S.

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Concluimos que, en el sentido de las distribuciones temperadas,

En particular si xo = 0 , entonces tenemos

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