DISTRIBUCIONES BIDIMENCIONALES
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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
Es de interés considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos
variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las
Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas
Variable Aleatoria Bidimensional
Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado.
Sean X = X(s) y Y = Y(s) dos funciones que asignan un número real a cada
resultado s∈ S. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional –vab-.
Simbólicamente tenemos
Observaciones
1. Interesan más que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen
así:
(X[s], Y[s]) ≡ (X,Y)
2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R ℜ⊂ 2
3. P (X[s] ≤ a, Y[s] ≤ b) ≡ P (X ≤ a, Y ≤ b)
4. (X,Y) es
n u m en oi n f i n i t oe sRs ic o n t i n u abav
n u m e r a b l ee sRs id i s c r e t abav
(X,Y) puede ser vab mixta, o sea, continua y discreta por tramos.
Función De Probabilidad Conjunta Bivariada
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2. 1 =
( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫
∑ ∑
∞
∞−
∞
∞−
∞
=
∞
=
c o n t i ne sYX ,s id x d yyx ,f
d i s c r ee sYX ,s iy,xf 1i 1 j
ji
Observaciones
- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la región R vale 1
- La proyección de z = f(x,y) sobre el plano x,y es la región dominio R 2ℜ⊂
donde f(x, y)>0 así es claro que
0
∉
∈
R y )( x ,s i y )f ( x ,=
R y )( x ,s i y )f ( x ,<
Ejemplo
Si f(x, y) es una fdp divariada definida positivamente para todo
(x,y)ЄR=[5,10]X[4,9] en la figura siguiente, Halle c y P(X≤Y).
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P(X≤Y) =25
1 ∫ ∫
9
5
y
5dxdy ó
25
1 ∫ ∫
9
5
9
xdydx
=25
1 ( )∫ −
9
55y dy ó
25
1 ( )∫ −
9
5x9 dx
=25
1
9
5
2
5y2
y
− ó
25
1
9
5
2
2
x9x
−
P(X Y≤ ) =25
8
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Obteniendo el mismo resultado.
Función De Probabilidad Acumulativa Bidimensional
Sea (X,Y) una v a b con fdp f(x,y), entonces su función de distribución acumulada
es:
F (X,Y) = P (X≤x, Y≤y)
Observación
Asi como( )
dx
xdF= f(x) para X v a c unidimensional se tiene que
( )
yx
yx,F2
∂∂
∂=
f(x,y) donde quiera que F(x,y) es diferenciable.
Distribución Uniforme Bivariada
Decimos que (X,Y) v a b se distribuye uniformemente en R 2ℜ⊂ si
f(x,y) =
∉
∈
R y )( x ,s i 0
R y )( x ,s i K
1
Es claro que: K es el número finito de puntos de R si (X, Y) es una v a b discreta
ó K es el inverso del área finita de la región R si (X, Y) es una vab
continua
Ejercicio
Sea R = {(x,y) : 0≤ x ≤ 1 Λ x2 ≤ y≤ x } si f(x,y) es una fdp uniforme
bidimensional definida en R. Halle f y pruebe que:
a. ∫ 1
0y)f(x, dy = g(x) = 6 (x-x2), 0 ≤ x ≤ 1
b. ∫ 1
0y)f(x, dx = h(y) = 6 ( y - y ), 0 ≤ y ≤ 1
¿Cómo es la gráfica de f, g y h?
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Función De Probabilidad Marginal
En el ejercicio anterior a g(x) y h(y) se les denomina fdp marginales de las vac
unidimensionales X y Y, diremos en general que si f(x,y) es la fdp conjunta de una
vac bibimensional (x,y) entonces
g(x) = ∫ ∞
∞−y)f(x, dy y h(y) = ∫
∞
∞−y)f(x, dx
son la fdp marginales de las va unidimensionales x y y.
Asi P (c ≤ x ≤ d) = P (c ≤ x ≤ d, -∞ ≤ Y ≤ ∞ )
= ∫ ∫ ∞
∞−
d
c y)f(x, dydx = ∫
d
c g(x) dx
Ejercicio
Sea f(x,y) = 2 (x+y-2xy) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Halle las fdp marginales de las
vac X y Y, y pruebe que son fdp.
En efecto 1dyh(y)dxg(x)1
0
1
0
==∫ ∫
Ejercicio
Sea f(x,y) = x2 +3
xy0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
Grafique la región R donde f es positiva, demuestre que f es una fdp, pruebe que
P (X + Y ≥ 1) =72
65y halle las fdp marginales de X y Y.
Funciones De Probabilidad Condicional
Sea (X,Y) una v a b c con una fdp conjunta f. Sean g(x) y h(y) las fdp marginales
de las v a c X y Y entonces las fdp condicionales de X dado Y = y, y de Y dado
X = x
Son
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g(x/y) =h(y)
y)f(x,, h(y) > 0
h(y/x) =g(x)
y)f(x,, g(x) > 0
Observe que:
1. ∫ ∞
∞−g(x/y) dx = ∫
∞
∞h(y/x) dy = 1
es decir g y h marginales son fdp.
2. g(x/y) es la intercepción de f con el plano Y=C. Observe que la gráfica siguiente
Funciones De Probabilidad Bivariada Discreta
Basta, por analogía sustituir, en las definiciones del caso bidimensional continuo
las integrales por sumatorias.
Ejemplo
Supóngase una fdp conjunta bivariada que asume valores de probabilidad
conjunta según la siguiente tabla:
X1=2 X2=3 X3=4 X4=5 X5=6
Y1=2 1 2 3 0 1 7
Y2=3 4 1 4 2 0 11
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Y3=4 3 2 1 0 1 7
8 5 8 2 2 25
Podemos calcular algunas probabilidades así:
a) P (X = Y) = f(x1,y1) + f(x2, y2) + f(x3, y3) =25
3
b) P (X ≤ 3, Y≤ 3) = ∑∑= =
=2
1i
2
1 j
ji25
8)y,f(x
c) P (X ≤ Y) = ∑≤
= ji yx
ji25
12)y,f(x
d) P (X = 3) = P (X = 3 ; Y = 2,3,4) =25
5
Es decir g(xi ) = P (X = xi, Y = y1,y2,…,yk)
g(xi ) = ∑∞
=1 j
ji )y,f(x
h(y j ) =∑∞
=1i
ji )y,f(x
De nuevo g y h son las fdp marginales de X y Y respectivamente
g (x / Y = 3) =h(3)
f(x,3)
= ( )0,2,4,1,411
1
Aquí g (x / 1) es la probabilidad condicional de X dado Y = 1.
Análogamente: h (y / X = 4) =g(4)
y)f(4,
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=
1
4
3
81
Ejercicio
Calcular en la misma tabla g (x / Y = 4) y h (y / X = 5)
Variables Aleatorias Independientes
Sea ( X, Y) una vab las siguientes son afirmaciones equivalentes:
X es independiente de y sii f(x, y) = g (x) h(y)
h(y)x) /h(y sii
g(x) / y)g(x sii
=
=, 0
h ( y )
g ( x )>
Observe que
Ejercicio
Asignar en la siguiente tabla probabilidades conjuntas f(x, y) de forma que X y Y
sean variables aleatorias independientes
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y X 7 8 9
3 40
5 60
40 20
Ejercicio
Supóngase que f(x, y) = 8xy, para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 son X y Y variables aleatorias
independientes?.
Covarianza
Sea X, Y una v a b con rango R2
ℜ⊂ y fdp conjunta f(x, y), con E (X) = µx y
E (Y) = µy
Definimos la covarianza de las v a X y Y asi:
C (X, Y) = xy
σ
= E [ (X - µx) (Y - µy) ] o sea
xyσ =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−
∫ ∫
∑ ∑
RYX
R YX
v a be sYX ,s i yx ,f μ-yμ-x
v a be sYX ,s iyx ,f μyμx
Observaciones
1) Las propiedades de operador lineal de la esperanza E permiten una definición
alternativa para xyσ , veamos:
xyσ = E [ (X - µx) (Y - µy) ]
= E [XY - Xµy - Yµx + µxµy ]
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= E (XY) - µyµx - µxµy + µxµy , asi:
C (X, Y) = E (XY) - µxµy
2) C (X, Y) es la medida de la relacion lineal entre las v a X y Y , en efecto
Si C (X, Y) > 0 entonces
(X - µx) > 0 ∆ (Y - µy) > 0 ó (X - µx) < 0 ∆ (Y - µy) < 0.
Que corresponde a la grafica lineal (1) de pendiente positiva
Puede ser también, C (X, Y) < 0, o sea
(X - µx) > 0 ∆ (Y - µy) < 0 ó (X - µx) < 0 ∆ (Y - µy) < 0.
que corresponde a la línea de pendiente negativa, grafica (2)
También puede ser C (X, Y) = 0 para distribuciones simétricas respecto al punto (
µ x,μ y) como en las graficas (3) y (4)
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Correlación
Sean X y Y dos v a de forma que se pueden calcular V(X), V(Y) y C(X, Y).
Definimos el coeficiente de correlación de las v a X y Y como
Corr (X, Y) = ρXY = ρ =Y X
XY
σσ
σ
Como se puede observar en la definición la correlación permite escalar la
covarianza en unidades de la desviación estándar de cada variable, precisando la
comparación de la linealidad para v a de unidades distintas.
Para a,b,c y d constantes reales, a y c con el mismo signo, se puede probar
mediante las propiedades de la esperanza, la varianza y la covarianza que:
a) Corr (aX + b, cY + d) = Corr (X, Y). Es decir que el coeficiente de correlación
es invariante ante un cambio de origen y escala de las variables aleatorias.
b) Para dos v a X y Y cualquiera
-1 ≤ Corr (X, Y) ≤ 1
es decir que la fuerza de la linealidad entre las v a X y Y se mueve entre -1 y 1 y
definimos el siguiente criterio.
Criterio De Correlación Lineal
Diremos que la relación lineal entre las v a X y Y es:
Inexistente si XY ρ = 0
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Débil si 0 < XY ρ ≤ 0.5
Moderada si 0.5 < XY ρ < 0.8
Fuerte si 0.8 ≤ XY ρ
Observaciones.
La relación entre dos variables X y Y no está completamente explicada por
Corr(X,Y), solo su relación lineal.
Si X y Y son independientes entonces la independencia implica que ρXY = 0. Pero
ρXY = 0 no implica que X y Y sean independientes
ρXY = ± 1 sii Y = aX + b a y b reales a ≠ 0, o sea, todos los puntos están sobre la
recta.
Ejemplo
Sea f( X, Y) =41
( X, Y) =
( )( )( )( )
2−2−
22
1−4
14−
,
,
,
,
y sea f(x,y)=12
1, (x,y) Є Z2 x2+y2=25
Observe que E(X) = E(Y) = C(X, Y) = 0. pero X y Y no son independientes. X no serelaciona linealmente con Y
¿Cómo es la simetría respecto a (µ x,μ y)?
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En estos caso por la simetría ρXY = 0 pero no se puede afirmar que X y Y sean
independientes, solo que no están relacionadas linealmente.
PROBLEMAS SELECCIONADOS
1. Una pareja se cita entre las 7 y las 8 de la tarde y llegan a la cita con
distribución uniforme en dicho intervalo. Deciden esperarse un máximo de 15
minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren.
2. La variable bidimensional (x, y) tiene como función de densidad
y)(xey)f(x, +−= en el primer cuadrante; f(x, y)=0 en los otros tres. Si se toman
al azar tres puntos en el primer cuadrante calcular la probabilidad de que uno
al menos pertenezca al cuadrado ( )1y1;0x0 ≤≤≤≤ .
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3. El tiempo total que un camión permanece en un almacén está definido por una
variable aleatoria x. Sea y la variable tiempo de espera en la cola, y z el tiempo
de descarga (x = y + z). La distribución conjunta de x e y es:
∞<≤≤
=−
c ao t r oe n 0
xy0 e4
1
y )f ( x ,2x
Se pide:
a. Calcular el tiempo medio total que permanece un camión en la estación.
b. Calcular el tiempo medio de descarga.
c. Calcular el coeficiente de correlación entre el tiempo total y el tiempo de
espera en la cola.
4. Una máquina de empacado automático deposita en cada paquete 81.5g, por
término medio, de cierto producto, con σ=8g. El peso medio del paquete vacío
es 14.5g, con σ=6g. Ambas distribuciones son normales e independientes. Se
pide:
a. Calcular la distribución del peso de los paquetes llenos.
b. Escribir la distribución conjunta del peso del paquete y el producto quecontiene.
5. En el problema anterior los paquetes se distribuyen en cajas de 40, cuyo peso
medio vacías es 520g, con σ=50g. Calcular:
a. La distribución del peso de las cajas llenas.
b. La probabilidad de que un cajón vacío pese menos que 5 paquetes llenos.
6. Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la
línea. Si la tensión es N(100, 20) y la capacidad N(140, 10), calcular la
probabilidad de avería. Suponiendo que la tensión y la capacidad varían
independientemente.
7. Dada f(x, y)=3x (0<y<x; 0<x<1), obtener las distribuciones marginales y la
condicionada f(x/y).
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8. La función de probabilidad de (x, y) es p(x,y)=1/30 para x=0, 1, 2, 3, 4, 5 e y=0,
1, 2, 3, 4; p(x,y)=0 en puntos distintos de los anteriores. Calcular la función de
distribución en los puntos de la recta x-2y+2=0.
9. En un aparato de control actúan dos variables x1, x2 independientes, ambas
con distribución uniforme, la primera entre 1 y 9, la segunda entre 1 y a. El
aparato funciona bien cuando x1<4x22. Calcular el valor de a para que
p(x1>4x22)≤0.01.
10.Se toman tres mediciones independientes y1, y2, y3 de la tensión en un circuito
con tres aparatos, cuyas varianzas son 1, 2 y 3. SDe forman dos índices del
circuito por:
3212
3211
y3
1y
3
1y
3
1z
5y2y3yz
++=
++=
Calcular el coeficiente de correlación entre z1 y z2.