DISTRIBUCIONES BIVARIADAS
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8/14/2019 DISTRIBUCIONES BIVARIADAS
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CAPITULO III
Distribuciones Bivariadas. Muchos de los fenmenos que aparecen en la naturaleza y en la vidadiaria, involucran diferentes y diversos factores. Cada factor puede ser identificado por medio deuna variable. En ste sentido un fenmeno de inters estar regido por el comportamiento
conjunto de muchas variables. Si X y Y son variables aleatorias (discretas o continuas), ladistribucin que rige el comportamiento conjunto de ambas variable se conoce como distribucinBivariable o Conjunta. Si se tienen ms de dos variables le llamaremos distribucin multivariable(Multivariada).
Ejemplo: De un gran lote de impresoras descompuestas se escogen al azar cuatro. Se clasificacada impresora segn el dao, leve o severo. Sea X el nmero de impresoras con dao leve y
sea Y el nmero de impresoras con dao severo. Es claro que ( )4 0 1 2 3 4X bin , p , x , , , ,= y
( )24 0 1 2 3 4Y bin , p , y , , , ,= .Si x 0 y 4 Si x 1 y 3 Si x 2 y 2
Si x 3 y 1 Si x 4 y 0 As X Y 4
; ; ;
; .
= = = = = =
= = = = + = De manera natural el espacio de las variables aleatorias X e Y estar conformado ppor el
conjunto de pares ( )x , y tal que 4x y+ = .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x y 4 x 0 1 2 3 4
x, y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0y 0 1 2 3 4
; , , , ,, , , , , , , , ,
, , , ,
+ = = = =
= El par ( )x , y ser llamado vector aleatorio.
Caso discreto: Sean X e Y variables aleatorias. La distribucin de probabilidad conjunta de X e
Y , la cul denotaremos xyf est dada por ( ) ( )xyf x , y P X x , Y y= = = .
Propiedades:
1) ( ) ( )0xyf x , y , x , y A
2) ( ) 1x yx y
f x , y =
3) Si ( )( ) ( )( )
x y
x , y A
A A P x , y A f x , y
= .
La distribucin acumulada para X e Y ,xy
F , est dada por
( ) ( ) ( ) 2x yF x, y X x, Y y x, yP .= R .
Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribucin de probabilidadxy
F dada por
Calcule ( )P x , y A donde
Solucin:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )x y x y x y x yx, y A
6x, y A F x, y F 0 0 F 1 1 F 2 2
8P , , ,
= = + + =
X 0 1 1 2 2
Y 0 1 2 1 2
x yF 1/8 1/8 1/8 3/8 ( ){ } ( ) ( )A x, y x y x 1 y 1 x 1 y 2, P , , P .= = >
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( ) ( ) ( ) ( )x y x y x yx 1 y 1
3x 1 y 1 F x, y F 0 0 F 1 1
8P , ,
= = + =
( ) ( ) ( )x y x yx 2 y 2
1x 1 y 2 F x, y F 2 1
8P ,
> < = = =
Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas, 4bolas blancas y 2 azules. Se extraen al azar ysin reemplazo 3 bolas de la urna. Sea X : elnmero de bolas blancas en la muestra y sea Y :el nmero de bolas rojas en la muestra. Halle
xyF .
Solucin: (((( )))){{{{ }}}}1 3A x , y x y= +
-
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Solucin:
( ) ( )
( )
2
3 x 2
x y0 x
x 22
3 3 32
00 0x
F x y dA 1 c x y dy dx
y
c xy dx c 4x 2 dx c 2x 2x2
124 c 1 c24
, ,
,
+
+
= (
= + = + = +)
= = =
' ' ' '
' '
R
Calcule:
a)
b)
c)
Ejemplo: Se est interesado en el comportamiento conjunto de dos variables aleatorias X : eltiempo total empleado por una persona al ingresar a un banco hasta ser atendido y Y : el tiempoen fila. La f.d.p conjunta de X e Y est dada por:
Calcule( ) ( )x 2 y 1 x y 1P , , P> > ! = = !
= ! =
' ' '
( )
( )
( )
1 yx
0 y
1 y -y
0
1 y -y
0
X Y 1 dx dy
dy
11
P e
e e
e ee
+& + !
+& ! +
+&! +
! < =
= ! !
= ! ! = !
' ''
-
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Valor Esperado: Sean X e Y variable aleatoria (discretas o continuas) con distribucin de
probabilidades (o f.d.p) conjuntaxy
F .
[ ]( )
( ) ( )
xy
xy
x f x y si X e Y variables aleatorias discretasX
g x y f x y dA si X e Y variables contnuas
, ,E
, , ,
=
' ' Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribucin de probabilidad conjunta
x yF
dada por:Halle
[ ] ( )( )
xy
x y
X x f x y,
E ,=
Solucin:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy xy11
X 0 f 0 0 1 f 1 1 1 f 1 2 2 f 2 1 2 f 2 28
E , , , , ,= + + + + =
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy xy11
Y 0 f 0 0 1 f 1 1 2 f 1 2 1 f 2 1 2 f 2 28
E , , , , ,= + + + + =
[ ] ( ) ( )xX x f x y x f x!E , != =
( ) [ ]2
2 2
x y
19 19 11 31X x f x y X
8 8 8 64E , V
= = = ! = " #
( ) [ ]2 2x y
19 31Y y f x y Y
8 64E , V = = =
[ ] ( )x y
18 9X Y x y f x y
8 4E ,= = =
Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por
( )x
xy
0 y xf x y
0 otro caso
e ,,
,
!
(Anlogamente se defineY|x
f ).
Ejemplo: Para el ejercicio anterior:
( )( )
( ) ( )x y
Y|x
x
x yf x y x y36f y y 1 2 3
x 2f x 3 x 2
12
,, , ,
+
+= = = =
+ +
( )( )
( ) ( )x y
X|y
y
x yf x y x y36f x x 1 2 3
y 2f y 3 y 2
12
,, , ,
+
+= = = =
+ +
( )( )
( ) ( )Y|1
x
f 1 y 1 y y 1f y y 1 2 3
f 1 3 1 2 9
,, , ,
+ += = = =
+
( ) ( )( ) ( )
xyX|2
y
f x 2 x 2 x 2f x x 1 2 3f 2 3 2 2 12
, , , ,+ += = = =+
Observe que para cualquier caso
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x Y|X y X|Y
x Y|X y X|Y
P x , y P x P y | x P y P x | y
o
F x , y F x F y | x F y F x | y
= =
= =
Diremos que X e Y son v.a Estadsticamente independientes si
( )x
xy
0 y xf x y
0 otro caso
e ,,
,
! '
( )+
x y
yy
f y dx y 0e e ,& ! !
= = >'
( )x y
x 1 2 3x y
f x y 36 y 1 2 3
0 otro caso
, ,,
, , ,
,
= +
= =
( )
( )
x
y
x 2f x x 1 2 3
12
y 2f y y 1 2 3
12
, , ,
, , ,
+= =
+= =
-
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y
x y
P x , y P x P y x , y
o
F x , y F x F y x , y
=
=
Si existe algn par ( )x , y para el cual no se cumple esta igualdad, diremos que X e Y son
Estadsticamente dependientes.
Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjuntaxy
f .dada por:
( )
( )
x
x
y
x
f x x x 0
f y y 0
e ,
e ,
!
!
= >
= >
( ) ( )( )x
Y|x x
1f y 0 y x uniforme en 0, x
x x
e,
e
!
!= = =
Solucin:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )3
Y 1 Y 1 Y 1 Y 1 1
y 1
2 6 12 20Y X 1 y f y 1f 1 2f 2 3f 3
9 9 9 9| | | | Y|
E | U=
= = = + + = + + = =
[ ] ( )3
X 2 2
X 1
3 8 15 26 13X Y 2 x f x
12 12 12 12 6| X|
E | U=
= = = + + = = =
( ) ( ) ( ) ( )1
X 2 X 2
X 1
3 1X 2 Y 2 X 1 Y 2 f x f 1
12 4| |
P | P |=
< = = = = = = =
( ) ( ) ( )3
Y 1
Y 2
3 4 7Y 1 X 1 Y 2 X 1 f y
9 9 9|
P | P |=
> = = = = = + =
Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por:
Hallar[ ]X Y 1E | =
,[ ]Y X 2E | =
[ ] ( )( )x 1
X |111
1
1X Y 1 x dx 2
x
xE | e U
e
+&+& ! !
!
! += = = = ='
( )x
x y
0 y xf x y
0 otro caso
e ,,
,
! = ! +
Sugerencia.
Solucin: ( ) ( ) ( )1 2 2
n 1 1 n 2 4 x n 2 x 1 43 1 3
X , , Y , , Y | ,
+ ! " # " #" #
, ,
( ) ( )X 1 2 1
a) X 2 Z 1 0 84131 1
P P P .! !
< = < = < = " #
( ) Y 2 1 2 1 1 b) Y 1 Z Z 0 69152 2 2 2P P P P .! ! > = < = > ! = < = " # " # " #
[ ] ( )1 2
c) Y X 1 2 1 1 23 1
E |
= = + ! = " #
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
[ ] ( )( ) ( )( )
x y x y
x y
x y x y x y x y
cov X Yd) X Y cov X Y X Y y
X Y cov X Y
1 2 8X Y 1 2 1 2 23 3 3
,E ? , E
E ,
E
= = ! 0 =/ /
1 = + = / / 0 +
= + = + = " #
[ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
e) 5X 2Y 1 25 X 4 Y 20 COV X Y
125 1 4 4 20 1 2
3
40 8325 16
3 3
V V V ,! + = + !
= + !
" #
= + ! =
Combinaciones de variables aleatorias: Esperanza y varianza
Sean 1 pX , , X variables aleatorias (discretas o continuas) y sean1 2 p
c c c, , ... , .
Sea
p
i i
i 1
c XY=
= Y es una combinacin lineal de las variables aleatorias 1 pX , , X .
[ ]
[ ]
p
i i
i 1
p2
i i i j i j
i 1 i j
Y c X
Y c X 2 c c cov X X
I) E E
V V ,
=
=