Derivación Integración en Física

8/15/2019 Derivación Integración en Física

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Derivación e integración en física (GIE)

Contenido

[ocultar ]• 1 Introducción

• 2 Diferenciales

• 3 Derivadas

o 3.1 Concepto

o 3.2 Dimensiones de la derivada

o 3.3 Interpretación geométrica

o 3.4 Derivadas de sumas y productos

o 3. Derivadas de orden superior

• 4 Integrales

o 4.1 Concepto !"sicoo 4.2 #egla de $arro%

o 4.3 &enerali'ación

• (eries de )aylor

o .1 *pro+imación ,ineal

o .2 *pro+imación cuadr"tica

o .3 *pro+imaciones de orden superior

• - cuaciones diferenciales

1 Introducción

El objeto de este tema no una exposición de las técnicas de derivación eintegración, que se suponen conocidas. Se trata aquí de dar unainterpretación intuitiva del significado de estas operaciones en física, a finde facilitar tanto la compresión de las fórmulas como de saber cuándo ydónde deben utiliarse.

!o que sigue no pretende en absoluto ser riguroso, es más, en muc"osaspectos se aleja del rigor matemático si con ello se consigue una mejorvisualiación del significado físico.

2 Diferenciales

!a idea de diferencial es simple#

Un diferencial de una magnitud, dA, es una cantidad muy pequeña

de dicha magnitud

http://toggletoc%28%29/http://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Introducci.C3.B3nhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Diferencialeshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadashttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Conceptohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Dimensiones_de_la_derivadahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Interpretaci.C3.B3n_geom.C3.A9tricahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadas_de_sumas_y_productoshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadas_de_orden_superiorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Integraleshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Concepto_b.C3.A1sicohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Regla_de_Barrowhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Generalizaci.C3.B3nhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Series_de_Taylorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaci.C3.B3n_Linealhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaci.C3.B3n_cuadr.C3.A1ticahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaciones_de_orden_superiorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Ecuaciones_diferencialeshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Introducci.C3.B3nhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Diferencialeshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadashttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Conceptohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Dimensiones_de_la_derivadahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Interpretaci.C3.B3n_geom.C3.A9tricahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadas_de_sumas_y_productoshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Derivadas_de_orden_superiorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Integraleshttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Concepto_b.C3.A1sicohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Regla_de_Barrowhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Generalizaci.C3.B3nhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Series_de_Taylorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaci.C3.B3n_Linealhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaci.C3.B3n_cuadr.C3.A1ticahttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Aproximaciones_de_orden_superiorhttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivaci%C3%B3n_e_integraci%C3%B3n_en_f%C3%ADsica_(GIE)#Ecuaciones_diferencialeshttp://toggletoc%28%29/


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$or ejemplo, si estamos considerando el movimiento rectilíneo de unapartícula, nos puede interesar el desplaamiento neto, / x durante unperiodo finito /t . $ero si el movimiento es irregular, nos puede interesar unanálisis más detallado del movimiento. En ese caso consideraríamosintervalos de tiempo muy cortos, en los cuales se realian desplaamientosmin%sculos. & esos intervalos, que serían instantes, los denotamos por dt ya los desplaamientos peque'os por d x y los llamamos diferenciales.

!a pregunta que surge de manera inmediata es (cómo de peque'o)(peque'o comparado con qué) *na magnitud no es grande o peque'a ensentido absoluto+ lo es siempre relativamente a alguna referencia.

& la "ora de considerar una cantidad como diferencial, lo "acemos siemprecomparándola con los valores típicos de las magnitudes que aparecen en elsistema que se está estudiando. omo criterio, podemos considerar que si

es más de tres órdenes de magnitud más peque'o -menos de una milésima,preferible aun menor se puede aproximar como diferencial. $or ejemplo,una distancia , (puede considerarse como diferencial) En unproblema en el que estudiamos el movimiento de una pelota de ping/pongobviamente no. $ero, si lo que estamos estudiando es el movimiento de la0ierra alrededor del Sol, sí que se puede, muy justificadamente,considerar como diferencial.

*n diferencial no tiene por qué referirse al incremento de una variable.

En los casos dt y d x sí puede considerarse como incrementos muy peque'osen las variables t y x.Supongamos a"ora, que nos piden describir la temperatura de una"abitación. $uesto que esta temperatura no será "omogénea en general,no tiene muc"o sentido "ablar de la temperatura del conjunto. Es máslógico dividir la "abitación en troos lo suficientemente peque'os comopara que cada uno tenga una temperatura concreta. onstruimos asíelementos de volumen dV , que serían diferenciales, y a los cuales lespodemos asignar una temperatura. Estos diferenciales de volumen nocorresponden al incremento de ninguna variable. Se trata simplemente decantidades muy peque'as de una magnitud. Si nos imaginamos cadaelemento de volumen como un peque'o cubito, su volumen sería largo poranc"o por alto

es decir, es el producto de tres diferenciales de variables diferentes.


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0ambién se pueden definir diferenciales de magnitudes vectoriales. *ndesplaamiento en el espacio viene dado por el incremento del vector deposición

Si consideramos un desplaamiento muy peque'o comparado con eltama'o del sistema obtenemos un diferencial de camino

que, de nuevo, es una combinación de los incrementos infinitesimales detres variables diferentes.

El tama'o de los diferenciales reales, en física, no puede "acerse

infinitamente peque'o como en matemáticas. 1maginemos que estudiamosla distribución de temperatura en un ba'o de agua. 2ividimos el agua elelementos de volumen de masa dm. Si consideramos los elementos devolumen tendiendo a ser infinitamente peque'os, llega un momento enque dejan de ser vol%menes de agua, pasando a ser protones, electrones oespacio vacío, para los cuales la temperatura o el propio concepto de aguadeja de tener sentido. $or ello, "emos de considerar que un diferencial esuna cantidad muc"o más peque'a que los valores que aparecen en elproblema, pero no tan peque'a que dejen de tener significado.

uando tenemos una función de una o varias variables y lasvariables cambian en una cantidad diferencial, el valor de lafunción f también cambia de manera diferencial

&sí obtenemos la regla de que la diferencial de una suma es la suma dediferenciales

En el caso de un producto obtenemos

pero en esta expresión, el %ltimo término es muc"o más peque'o que losdos primeros. 1maginemos que u y v valen 3, y sus diferenciales valen4.443, entonces, los dos primeros términos son del orden de la milésima,


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pero el tercero es del orden de una millonésima 4.44354.443 6 4.444443 ypor tanto es despreciable

Este ejemplo, nos muestra que existen categorías entre los diferenciales#de primer orden, de segundo orden /producto de dos/, de tercer orden/producto de tres/,7 uando el resultado final de una operación es la sumade una cantidad finita con un diferencial, o un diferencial con undiferencial de orden superior, los términos más peque'os sondespreciables, quedándonos siempre con el del orden más bajo.

En cuanto a las dimensiones y unidades, el diferencial de una magnitudtiene las mismas que la propia magnitud. *n diferencial de masa, dm semide en 8ilogramos y uno de tiempo, dt en segundos.

3 Derivadas3.1 Concepto

El concepto básico de derivada es el siguiente#

Una derivada es un cociente entre dos cantidades muy pequeñas

El ejemplo más claro para ilustrarlo es el de velocidad instantánea. uandodecimos que en un instante dado la velocidad es de 394 8m:", (quéestamos diciendo exactamente) Evidentemente, no que durante la %ltima"ora se "an recorrido 394

8m, ya que igual sólo se llevan 34 minutos demarc"a. $odríamos decir que durante el %ltimo minuto se "an recorrido 9 8m. ya que

Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en unminuto "ay tiempo suficiente a acelerar o frenar. *na mejor aproximaciónsería afirmar que en el %ltimo segundo se "a recorrido -3:;4 8m 6 ;;.; m.

< podríamos decir que en la %ltima décima de segundo se "an recorrido;.;; m,7


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En todos los casos la velocidad es de 394 8m:", pero cuanto más peque'oes el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal demedir la velocidad en un instante dado.

Se define entonces la velocidad instantánea como el cociente entre la

distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, cuando ambascantidades se "acen muy peque'as, reduciéndose a diferenciales

=uméricamente, se puede "allar un valor aproximado de la derivada apartir del cociente entre incrementos. &sí, si tenemos la tabla deposiciones

t (s) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 x (m) 1.00 0.-4 0.3- 0.1- 0.04

obtendríamos que la velocidad en -intermedio a 4.;4 s y 4.>4 svale aproximadamente

?emos que aunque los incrementos son diferenciales, muy peque'os, su

cociente es una cantidad finita.

El concepto de velocidad instantánea se generalia a toda derivada de unafunción f respecto a una variable u# El cociente entre el diferencial de lafunción y el de la variable

!a derivada consiste en un cociente entre incrementos. $or tanto, no nosbasta con conocer el valor de la función en un punto. =ecesitamos conocer

cómo varía entre ese punto y uno vecino.

Esta regla es importante, en particular, cuando estamos resolviendo unproblema y se nos dice, por ejemplo, @!a posición inicial es ,(uánto vale la velocidad inicial)A e ingenuamente se responde @!aposición vale ;, la velocidad es la derivada+ la derivada de una constantees 4, por tanto la velocidad es nulaA. B&!. =o nos basta con saber el valor


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de la posición en t 0, también necesitamos su valor inmediatamentedespués -que ya no será ; m. !a velocidad podrá tener cualquier valor.

El que una función valga 0 (u otro valor conocido) en un punto no

implica que su derivada sea nula en dicho punto.

Cay que destacar que, del mismo modo que un diferencial no siemprerepresenta el cambio en una variable, un cociente entre diferenciales nosiempre es una derivada.

$or ejemplo, supongamos que queremos analiar la densidad del aire en laatmósfera -que depende de la temperatura, la altura, la presión,7. Estadensidad no la podemos definir como la masa total dividida por el volumentotal, pues variará de un punto a otro. onsideramos entonces elementosde volumen dV , que tendrán una masa también diferencial dm -diferentepara cada elemento. !a densidad de masa en cada punto será entonces

Sin embargo, la densidad de masa no es la derivada de la masa respecto alvolumen, ya que el volumen, seg%n indicamos antes, no es un solodiferencial de una variable, sino el producto de tres.

En la expresión de una derivada tan importante es qué se deriva como conrespecto a qué se deriva, ya que una misma magnitud puede depender demuc"as otras -una fuera puede depender del tiempo o de la posición+ laenergía de la presión, volumen o temperatura, y en general cualquiermagnitud puede derivarse respecto a casi cualquier variable -aunque amenudo la derivada sea nula, por no depender una de la otra. $or ello, enDísica no se suele indicar explícitamente de qué depende una magnitud -nose escribe F x o F t o F xt , sino simplemente F . $or ello, es siemprepreferible usar la notación de Leini! , como el cociente entrediferenciales d A 5 d x en la que aquella variable respecto a la que se derivaen un momento dado es la que aparece en el denominador de la expresión

$or tanto, en física no tiene muc"o sentido "ablar de @la derivada de lamagnitud &A. Será siempre @la derivada de la magnitud A respecto a lamagnitud x A por ejemplo, es incorrecto decir @la velocidad es la derivadade la posiciónA, si no se a'ade @respecto al tiempoA.

3.2 Dimensiones de la derivada


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2e la definición de derivada como cociente de diferenciales se deduce quelas dimensiones de una derivada son las del numerador -la magnitud que sederiva dividida por la del denominador -respecto a qué se deriva.

&sí, para la velocidad instantánea, cociente entre un diferencial deposición y uno de tiempo, las dimensiones son !:0.

3.3 Interpretación geomtrica

eométricamente, la derivada de una magnitud, &, respecto a otra, x, seobtiene representando & frente a x. Si consideramos dos puntos de lacurva, la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos vale

onsiderando a"ora intervalos cada ve más peque'os, la recta secantetiende a convertirse en la recta tangente y la pendiente de la rectatangente equivale a la derivada d A 5 d x.


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Esta interpretación se relaciona con una aplicación muy importante de lasderivadas# la aproximación lineal. Si tenemos una magnitud dependientede otra de una forma suave, de forma que alrededor de un cierto punto no"ay un cambio sustancial de dirección, podemos "acer la aproximación deque para puntos próximos

o, equivalentemente

Esta es justamente la ecuación de la recta tangente a la curva en x x0,entonces, la aproximación lineal consiste en sustituir la función por la

recta tangente. $or supuesto, esto solo es una aproximación válida enpuntos próximos al de tangencia.&sí, por ejemplo, para un resorte, tenemos que cuando su longitud es la dereposo, l 0, no ejerce fuera alguna, pero si estiramos o comprimimos elresorte aparece una fuera en sentido opuesto

Esta es la ley de Coo8e, que solo es válida cuando la deformación del

muelles es peque'a. $ara deformaciones grandes, la ley deja de ser cierta.

3.! Derivadas de sumas " productos

& partir de las expresiones para los diferenciales de una suma y de unproducto obtenemos las de la derivada de una suma y un producto,simplemente operando como si fueran fracciones -que es lo que son

!a derivación puede extenderse al caso de una magnitud vectorial respectoa una escalar. &lgebráicamente equivale a multiplicar el vector por elescalar 1 5 dt ,


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pero =< se puede extender a la derivada respecto a una magnitudvectorial, ya que ello implicaría dividir por un vector, lo que no esadmisible.

!as reglas de derivación de sumas y productos se pueden extender al caso

de magnitudes vectoriales. &sí, para los productos tenemos

*na de las propiedades más importantes de las derivadas es la regla de lacadena, o de !eibni. Supongamos que tenemos una fuera, p.ej. lagravitatoria, dependiente de la posición F x, que act%a sobre unapartícula en movimiento, con posición xt . (ómo varía la fuera con eltiempo) !a derivada es la variación diferencial de la fuera dividida por elintervalo diferencial de tiempo en que varía. 2urante ese intervalo detiempo, la partícula realia un desplaamiento diferencial d x, que es lacausa de la variación en la fuera. &lgebráicamente obtenemos elresultado simplemente multiplicando y dividiendo por d x

-matemáticamente esto es la regla de que una derivada de una función deotra es la derivada de lo de fuera multiplicada por la derivada de lo dedentro. Esta regla es la que se aplica cuando se dice que la derivada deuna función de una función es @la derivada de lo de dentro multiplicadapor la derivada de lo de fueraA, y otras reglas nemotécnicas. $or ejemplo,imaginemos que queremos "allar la derivada con respecto a x de la función

Si "acemos u x2 queda

&plicando aquí la regla de la cadena


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Una integral es una suma de muchas cosas muy pequeñas

y no tiene más misterio. =o se debe pensar en la integral como operacióninversa de la derivada. *na integral es una suma y eso es lo que indica susigno -una S estiliada.

onsideremos un ejemplo de cinemática. 0enemos una partícula que semueve con velocidad variable vt y nos preguntamos cuánto se desplaa lapartícula entre t 0 y t T . Evidentemente no es igual a vt T , ya que lavelocidad es variable.Si dividimos el intervalo de tiempo 0T en muc"os intervalos de cortaduración, /t , podemos suponer que la velocidad no varía muc"o dentro deese intervalo, y se puede suponer constante. En ese caso, eldesplaamiento en el intervalo centrado en el instante t i seráaproximadamente

y el desplaamiento total será la suma de los peque'os desplaamientos

!a aproximación será tanto mejor cuanto más peque'os sean los intervalosde tiempo, esto es, cuando se reducan a diferenciales.

Escribiendo dt en lugar de /t y cambiando el signo de sumatorio -una S engriego por una S alargada nos queda

ráficamente, este resultado se puede interpretar como el área bajo lacurva vt . uando consideramos intervalos /t la cantidad vt i/t es el áreade un rectángulo que tiene /t como base y vt i como altura. Eldesplaamiento aproximado sería la suma de las áreas de los rectángulos,que se aproxima al área bajo la curva. !a igualdad se alcana cuando los

intervalos de tiempo son diferenciales.


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!a interpretación de la integral como área bajo la curva permite obtenermejores aproximaciones al resultado a partir de los valores de la velocidaden una serie de instantes. &sí tenemos el m"todo de los trapecios, en el


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cual la curva se aproxima por una quebrada -lo que se llama rectificar lacurva y el área por la suma de una serie de trapecios cuya área individuales la media de las bases por la altura#

!.2 &egla de 'arro(2ónde queda entonces lo de la inversa de la derivada) En la llamada reglade FarroG, que nos dice que si xt es una primitiva de vt , esto es, si

se verifica

En física todas las integrales son definidas. Se suma en un determinadorango o dominio de integración. Es frecuente, eso sí, que los límites deintegración sean en sí mismo variables. &sí, podemos reescribir laexpresión anterior como


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donde la prima en el diferencial sirve para distinguirla de la t del límite de

integración -del mismo modo que la variable 0 no era la misma que t.

!.3 Generaliación

El concepto de integral se extiende de forma inmediata a dos o tresdimensiones.

Supongamos, siguiendo un ejemplo anterior, que deseamos calcular lamasa de la atmósfera, conociendo cómo depende la densidad de masa conla posición, entonces, para cada elemento de volumen se cumple

y la masa total será la suma de todas las masas elementales

!a ? en el signo integral representa que el volumen de integración es todoel volumen de la atmósfera.

El concepto de integral se aplica del mismo modo a productos convectores. Si deseamos "allar la fuera sobre una distribución de carga enun campo eléctrico dependiente de la posición, dividimos la distribuciónde carga en elementos casi puntuales, para los cuales la fuera es

y la fuera neta sobre la distribución será

&nálogamente se calcula el trabajo sobre una partícula en movimiento.$ara una fuera constante, el trabajo realiado es


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Si la fuera es variable, se rectifica la curva, aproximándola por unaquebrada, de forma que el trabajo diferencial realiado en cada segmentoes

y el trabajo total será la suma de los trabajos elementales

2esde el punto de vista dimensional, por tratarse de una suma, lasdimensiones del resultado serán las de cada uno de los sumandos, que a suve serán las del integrando multiplicadas por las del diferencial. &sí, parael trabajo, las dimensiones serán

y se medirá en neGtons por metro -julios.

El problema de cálculo de una integral de volumen o sobre una curvapuede ser muy complejo, pero la idea física es sencilla y es lo quenecesitaremos en la mayoría de los casos. $ara el cálculo, simplementeanaliaremos caso por caso cuando sea necesario.

# *eries de +a"lor&l introducir el concepto de derivada vimos que una de sus aplicacionesera el proporcionar la apro#imación lineal, esto es, determinar qué rectaes la que más se aproxima a una función en un punto. El concepto sepuede generaliar y preguntarnos qué polinomio de 9H grado es el que más


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se aproxima a una función, o el de ;er grado, o el de grado n. $araresponder a esta pregunta se tienen las series de $aylor

#.1 ,pro-imación ineal2ada una función x xt que varía de forma no uniforme, la derivada,seg%n vimos, nos proporciona la ecuación de la recta tangente a la curvaen un punto.Spongamos, por sencille, que queremos estudiar el comportamientoalrededor de t 0.

Si

en las proximidades de 0 x0 podemos "acer la aproximación

despejando

Esto es, aproximamos la función no uniforme por una recta que pasapor 0 x0 y que tiene la misma derivada respecto a t que la función endic"o punto.


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Si en ve del instante t 0 consideramos uno t t 0 el resultado es análogosimplemente trasladando el origen

#.2 ,pro-imación cuadr%ticaEl concepto de aproximación lineal se puede extender fácilmente aórdenes superiores. !a apro#imación cuadr%tica -o aproximaciónparabólica consiste en "allar el polinomio de segundo grado -unaparábola que mejor se aproxima a la curva en el punto en cuestión. Si

escribimos la ecuación de una parábola

e imponemos que la función, su primera derivada y su segunda derivadacoincidan en t t 0. Esto nos da

Sustituyendo nos queda

&lrededor de un valor de t diferente será, análogamente,

#.3 ,pro-imaciones de orden superior

El mismo proceso se puede emplear para aproximaciones de ordensuperior, que nos darán un polinomio cada ve más próximo a la curva real.El resultado general es

Esta es la llamada serie de $aylor de xt alrededor de t 0. !ageneraliación es inmediata al caso de que consideremos el desarrolloalrededor de un punto t t 0.

/ Ecuaciones diferenciales


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!as leyes físicas se expresan "abitualmente en forma de ecuacionesdiferenciales, que es una ecuación que relaciona a una magnitud con susderivadas respecto a alguna otra variable -a menudo, el tiempo.

omo ilustración, supongamos el caso de una partícula que cae en un

medio fluido, como el aire, de forma que además de su peso experimentauna fuera de fricción que es proporcional a su velocidad. En ese caso, lasegunda ley de =eGton se escribe

Si deseamos conocer la velocidad de la partícula como función del tiempo,debemos integrar esta ecuación. El problema es que al integrar el segundomiembro, necesitamos conocer la propia velocidad que deseamos calcular.

Esto impide la integración directa.

2el mismo modo, el movimiento de una partícula sujeta a un resorteexperimenta una fuera dada por la ley de Coo8e

lo que al sustituir en la segunda ley de de =eGton produce la ecuacióndiferencial

donde para determinar la posición deberíamos conocer en primer lugar laposición, lo que es imposible.

Existen toda una serie de técnicas matemáticas para resolver ecuacionesdiferenciales. &un así, la resolución de estas ecuaciones es un @arteA, másque una ciencia, ya que no existe regla general. En numerosas ocasiones espreciso recurrir a métodos numéricos, que proporcionan solucionesaproximadas mediante el uso de ordenador.

Derivación Integración en Física

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