Curso Control Clasico - Parte 2

Temas del CursoTemas del Curso

Control ClControl Cláásico versus Control modernosico versus Control moderno

Concepto de Estado y Variables de EstadoConcepto de Estado y Variables de Estado

Ejemplos de ModelaciEjemplos de Modelacióón en el Espacio de Estadon en el Espacio de Estado

RepresentaciRepresentacióón en el Espacio de Estadon en el Espacio de Estado

•• CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estadon de Estado

•• ObtenciObtencióón de la representacin de la representacióón de estado a partir de n de estado a partir de la funcila funcióón de transferencian de transferencia

Control ModernoControl Moderno

Control ClControl Cláásico versus Control Modernosico versus Control Moderno

Concepto de Estado o Concepto de Estado o de Variable de Estadode Variable de Estado

Control ClControl Cláásico o sico o ConvencionalConvencional

Sistemas LIT SISOSistemas LIT SISOUnaUna--EntradaEntrada--UnaUna--SalidaSalida

Control Control ModernoModerno

Sistemas MIMOSistemas MIMOVariasVarias--EntradasEntradas--VariasVarias--Salidas, Salidas, Sistemas Lineales o No lineales, Sistemas Lineales o No lineales,

Invariantes o Variantes en el Invariantes o Variantes en el Tiempo Tiempo


Control ClControl Cláásicosico FUNCIFUNCIÓÓN DE N DE TRANSFERENCIATRANSFERENCIA

Concepto de EstadoConcepto de Estado

( ) ( ) ( )g t y t u t=

FunciFuncióón de n de TransferenciaTransferencia

No da informaciNo da informacióón de la n de la estructura festructura fíísicasica

Varios sistemas fVarios sistemas fíísicos sicos pueden tener igual FTpueden tener igual FT

( )u t ( )y tSISTEMADINÁMICO

(CAJA NEGRA)



( ) ( ) ( ) (0) 0g t y t u t con x= =

FunciFuncióón Transferencia considera Sistema tiene Condiciones n Transferencia considera Sistema tiene Condiciones Iniciales Nulas en Iniciales Nulas en tt00 = 0= 0

SiSi (0) 0 ( ) ( ) ( ) (0)x y t g t u t x≠ ⇒ = +

ESTADO:ESTADO: es la cantidad de informacies la cantidad de informacióón en n en tt00 que juntamente que juntamente con la entrada con la entrada uu((tt) determina de forma ) determina de forma úúnica el nica el comportamiento del sistema, o sea determina la salida comportamiento del sistema, o sea determina la salida yy((tt) para ) para todotodo

Salida depende de la Salida depende de la entradaentrada y de las y de las condiciones inicialescondiciones iniciales

0t t≥



Comportamiento Comportamiento del Sistema del Sistema DinDináámicomico

Respuesta de laRespuesta de laSalida Salida yy((tt))Estados Estados xxii((tt))

Definiciones:Definiciones:Variables de ESTADO:Variables de ESTADO: es el mínimo conjunto de variables necesario para describir completamente el comportamiento del sistema dinámico.Vector de ESTADO:Vector de ESTADO: El estado de un sistema dinámico puede ser representado por un vector columna, dimensionalmente finito, denotado por “x”, llamado vector de estado:vector de estado: T

1 2[ ... ]nx x x=x


Definiciones:Definiciones:

Ecuaciones de Espacio de ESTADO:Ecuaciones de Espacio de ESTADO: el conjunto de ecuaciones que describe la relación única entre las entradas, las salidas y los estados, se denomina ecuaciecuacióón dinn dináámica o de espacio de estadomica o de espacio de estado.

Sea un sistema MIMO con “n” estados, “r” entradas y “m” salidas


( )

( )

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),.............................................................................

( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),

n r

n n n r

x t f x t x t x t u t u t u t t

x t f x t x t x t u t u t u t t

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

( )

( )

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),.............................................................................

( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),

n r

m q n r

y t g x t x t x t u t u t u t t

y t g x t x t x t u t u t u t t

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +x A x B u

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +y C x D u

Diagrama de Bloques:

( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu

( ) ( ) ( )t t t= +y Cx Du



( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +x A x B u( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +y C x D u

Si las funciones h y g no son función del tiempo t, el sistema es invariante en el tiempo, por tanto:

T T1 2 1 2

T1 2

[ ... ] Vector de Estado, [ ... ] Vector de Entrada

[ ... ] Vector de Salida,n r

m

x x x u u u

y y y

= → = →

= →

x u

y

A: “matriz de estado” o “matriz de dinámicas del sistema”

B: “matriz de entrada”

C: “matriz de salida”

D: “matriz de transmisión directa entrada-salida”


Ejemplos: Circuito RLC

( )u t

R L

C( )i t +−

+

−( ) ( )cv t y t=

( ) ( ) ( )cdiu t i t R L v tdt

= + +

( ) ( ) ( ) cc L

dvi t i t i t Cdt

= = =

Estados: Tensión en el capacitor y Corriente en el Inductor

Vector de Estado: 1

2

( ) ( )( )

( ) ( )c

L

x t v tt

x t i t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x ( ) ( )cy t v t=

1cdvx

dt=

2Ldix

dt=

1 1( ) ( ) ( )

1 ( )

LL c

cL

di Ru t i t v tdt L L Ldv i tdt C

⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩



( )u t

R L

C( )i t +−

+

−( ) ( )cv t y t=

Escritas en forma matricial:

1 1( ) ( ) ( )

1 ( )

LL c

cL

di Ru t i t v tdt L L Ldv i tdt C

⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

( )0 1 / 0( )

( )1 / / 1 /c c

L L

v v tCu t

i i tL R L L⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]0 1/ 0, , 1 0 , 0

1/ / 1/C

L R L L⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦A B C D

[ ] ( )( ) 1 0

( )c

L

v ty t

i t⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦



( )u t

R L

C( )i t +−

+

−( ) ( )cv t y t=

Estados: Tensión en el capacitor y derivada de la Tensión en el capacitor

1

2

( )( )( )

( )( )c

c

v tx tt

v tx t⎡ ⎤⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

1 2

21 1( ) ( ) ( )

c

c c c

x v xRx v u t v t v t

LC L LC

= =⎧⎪⎨

= = − −⎪⎩

( ) ( )0 1 0( )

( ) ( )1 / / 1 /c c

c c

v t v tu t

v t v tLC R L LC⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]0 1 0, , 1 0 , 0

1/ / 1/LC R L LC⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦A B C D


Representación de Estado Circuito RLC

2

0 11/ /LC R L

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A1

0 1/1/ /

CL R L

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A1° caso: 2° caso:

OBSERVACIONES:OBSERVACIONES:

Autovalores de AAutovalores de A11 y Ay A22 son los mismos;son los mismos;

La representaciLa representacióón de Estado no es n de Estado no es úúnica;nica;

El conjunto de Variables de Estado tampoco es El conjunto de Variables de Estado tampoco es úúnico;nico;

La elecciLa eleccióón de las variables de estado estn de las variables de estado estáá generalmente generalmente asociada a una cantidad fasociada a una cantidad fíísica o a una necesidad matemsica o a una necesidad matemáática;tica;

Las variables de estado estLas variables de estado estáán asociadas a elementos que n asociadas a elementos que almacenan energalmacenan energíía;a;


OBSERVACIONES:OBSERVACIONES:

El nEl núúmero de variables que definen el estado de un sistema mero de variables que definen el estado de un sistema es el mismo para cualquiera de las representaciones de es el mismo para cualquiera de las representaciones de espacio de estado del mismo sistema dinespacio de estado del mismo sistema dináámico, mico, y debe y debe consistir del menor nconsistir del menor núúmero de variables posiblemero de variables posible..

( )u t

R

3C( )i t+

−1C

+−

+− 2C

1( )x t2 ( )x t

3 ( )x t 1 2 3( ) ( ) ( ) 0x t x t x t+ + =

Las 3 tensiones de los capacitores son linealmente dependientes

Por ejemplo: x1 y x2 definen el estado del sistema


CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estado:n de Estado:

Dadas las ec. de estado se puede obtener la FT

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t tt t t= += +

x Ax Buy Cx Du

Laplace ( ) (0) ( ) ( )( ) ( ) ( )

s s s U sY s s U s

− = += +

X X A X BCX D

1 1( ) ( ) ( ) ( ) (0)s s U s s− −= − + −X I A B I A X

Sustituyendo en la ecuación de salida:1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) (0)Y s s U s s− −= − + + −C I A B D C I A X

Considerando X(0)=0, la FT resulta:

1( )( ) [ ( ) ]( )

Y sG s sU s

−= = − +C I A B D



De esta ecuación observamos:

Puede reescribirse la FT:

El numerador es un polinomio en “s”, por tanto:

1( )( ) [ ( ) ]( )

Y sG s sU s

−= = − +C I A B D 1 ( )( ) Adj sss

− −− =

−I AI A

I A

[ ( )]( ) Adj sG ss− +

=−

C I A B DI A

( )( ) P sG ss

=−I A

s −I A Es el polinomio característico de G(s)

Autovalores de la matriz A son los polos de la FT G(s)



Para el ejemplo del circuito RLC tenemos:

Las raíces del polinomio característico (o los autovalores de la matriz A) son:

[ ]

2

1 01 0 11

( ) 1

RsL C

s LLG s Rs sL LC

⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=+ + 2

1/( ) 1LCG s Rs s

L LC

=+ +

2 21 2

1 1( ) 4 , ( ) 42 2

r RC RC LC r RC RC LCLC LC

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Utilizando Utilizando MatlabMatlab::Obtener los autovalores de A:

A=[0 1;-10 -4]

A =

0 1

-10 -4

eig(A) % eigenvalues

ans =

-2.0000 + 2.4495i

-2.0000 - 2.4495i

coef_pol = poly(A)

coef_pol =

1 4 10

(s^2 + 4s + 10)

roots(coef_pol)

ans =

-2.0000 + 2.4495i

-2.0000 - 2.4495i

Obtener las raíces del polinomio:


Utilizando Utilizando MatlabMatlab para obtener la representacipara obtener la representacióón de n de estado a partir de la FT y viceversa:estado a partir de la FT y viceversa:

num=[1]

den=[1 4 10]

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

A = -4 -10

1 0

B = 1

0

C = 0 1

D = 0

A=[-4 -10;1 0];

B=[1;0];

C=[0 1];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

num = 0 0 1.0000

den = 1 4 10


Utilizando Utilizando MatlabMatlab para graficar salida y estados:para graficar salida y estados:

A=[0 1;-10 -4]; B=[0;-10]; C=[1 0]; D=0;

sistema=ss(A,B,C,D); % crea un sistema LIT

ci=[5;2.5]; % condición inicial

[y,t,x] = initial(sistema,ci); % grafica rta. cond. inicial

figure; plot(t,y,'k'); grid

legend('y'); legend('y','Location','NorthEast')

figure; plot(t,x(:,1)); hold on

plot(t,x(:,2),'r'); grid

legend('x1','x2'); legend('x1','x2','Location','NorthEast')

( ) ( )c cv t y v t


Salida del sistema Salida del sistema RLCRLC: Tensi: Tensióón sobre el capacitorn sobre el capacitor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3

4

5

6y

Tiempo, s

Am

plitu

d

5(0)

2,5⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x


Estados del sistema Estados del sistema RLCRLC: :

Tiempo, s

Am

plitu

d

5(0)

2,5⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x1x2

( ) ( )c cv t y v t


Utilizando Utilizando MatlabMatlab para graficar salida y estados:para graficar salida y estados:

C=20e-6; R=12; L=1e-3;

A=[0 1/C;-1/L -R/L]; B=[0;1/L]; C=[1 0]; D=0;

sistema=ss(A,B,C,D); % crea un sistema LIT

ci=[2;5]; % condición inicial

[y,t,x] = initial(sistema,ci); % grafica rta. cond. inicial

figure; plot(t,y,'k'); grid

legend('y'); legend('y','Location','NorthEast')

figure; plot(t,x(:,1)); hold on

plot(t,x(:,2),'r'); grid

legend('x1','x2'); legend('x1','x2','Location','NorthEast')

( ) ( )c Lv t e i t


Salida del sistema Salida del sistema RLCRLC: Tensi: Tensióón sobre el capacitorn sobre el capacitor

Tiempo, s

Am

plitu

d

2(0)

5⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-5

0

5

10

15

20

25

30y


Estados del sistema Estados del sistema RLCRLC: :

Tiempo, s

Am

plitu

d

2(0)

5⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

( ) ( )c Lv t e i t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-5

0

5

10

15

20

25

30vciL

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