1

Los Histogramas

➢ El Histograma es una forma de representación de datos que permite analizar fácilmente el comportamiento de una población, ya sea per se, o por medio de una muestra.

➢ Un Histograma se define como un conjunto de barras horizontales o verticales en las cuales cada columna representa largo o ancho proporcional al número de observaciones realizadas

Histograma simple

✓ Representa los

intervalos de clase

en el eje de abcisas

(eje horizontal) y las

frecuencias relativas,

en el eje de

ordenadas (eje

vertical)

2

Frecuencia acumulada

Histograma de una variable en dos situaciones

distintas.

3

Histograma (cont)

Que obtenemos de un histograma

➢ Muestra grandes cantidades de datos difíciles

de interpretar en una tabla.

➢ Muestra la frecuencia relativa de los datos

➢ Revela el centrado, variación y forma de la

distribución de los datos.

➢ Permite observar de manera inmediata la forma

de la distribución de los datos.

➢ Proporciona información útil para predecir el

comportamiento del proceso.

➢ Permite comparar al proceso con las

necesidades de los clientes.

4

Principios para la construcción de una

distribución de frecuencias

1. Determinación del número de intervalos de

clase.

Se recomienda entre 5 y 20 Menos de 50 de 5 a 7

De 50 a 100 de 6 a 10

De 100 a 250 de 7 a 12

Más de 250 de 10 a 20

Muy pocos Perdida de información

Demasiados Desperdicios blancos

2. Determinación del tamaño de intervalos.

deseadosintervalosNo.

Cant.MenorCant.MayorintervalodeLongitud

3. Determinación de las fronteras de clase El primero y el último intervalo deben contener todos

los datos

Ningún dato debe coincidir con una frontera

4. Marca de clase

Principios para la construcción de una

distribución de frecuencias (cont.)

2

inferiorLimitesuperiorLimiteClasedeMarca

5

Relación de Costo – Beneficio de 25 acciones en

el mercado de valores.

20.5 14.3 17.0

15.4 22.1 11.8

16.9 15.6 9.2

13.4 5.4 12.6

8.8 23.3 9.9

19.5 19.2 28.6

12.7 20.8 18.4

7.8 24.1 16.8

15.9

Marca de clase Fronteras de clase Conteo Frecuencia

7 5.01-9.00 111 3

11 9.01-13.00 11111 5

15 13.01-17.00 11111 111 8

19 17.01-21.00 11111 5

23 21.01-25.00 111 3

27 25.01-29.00 1 1

46

24

6

529intervalodeLongitud

0.2995.12

5.019clasedeMarca

6

Histograma

valor de acciones en el mercado

3

5

8

5

3

1

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6

valor

fre

cu

en

cia

Serie1

7 11 15 19 23 27

Curva de Frecuencia Acumulada

Puede partir de:- Distribución de Frecuencias

- Frecuencia Relativa

- Distribución de porcentaje

Marca de Clase Frecuencia Frecuencia Acumulada

7 3 3

11 5 8

15 8 16

19 5 21

23 3 24

27 1 00

7

Curva de Frecuencia Acumulada

3

8

16

21

24 25

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Marca de clase

fre

cu

en

cia

ac

um

ula

da

Serie1

7 11 15 19 23 27

Problemas de la

representación de datos

1. Subjetividad en la selección de clases o límites y fronteras de clase.

2. Comparación entre dos conjuntos de datos.

3. Construcción de gráficas de distribución de frecuencia con intervalos de clase distintos.

4. Distribución de frecuencias con clases abiertas.

5. Diferencias entre limitantes de clase y fronteras de clase.

8

MEDIDAS IMPORTANTES EN

LOS HISTOGRAMAS

➢ Medidas de Tendencia

Central• Media

• Mediana

• Moda

➢ Medidas de Dispersión • Varianza

• Desviación estándar

➢ Medidas de Forma• Sesgo

• Curtosis

Medidas de Tendencia Central

➢Media

16

n

xn

i1

9

Propiedades de la mediaLa suma de las desviaciones alrededor de la media es cero

• La suma de los cuadrados de las desviaciones en torno a la

media es un mínimo.

• Se puede emplear para calcular una cantidad total de la

población

0xn

1i1

Mínimox2n

1i1

muestraladeMedia

poblaciónladeTamañon

nTOTAL

Mediana

➢ Es la observación que esta en el centro cuando las

observaciones se ordenan en orden creciente.

➢ Si la observación es par, la mediana es el valor medio.

➢ En el ejemplo la mediana ocupa el lugar 13.

5.4 13.4 18.4

7.8 14.3 19.2

8.8 15.4 19.4

9.2 15.6 20.5

9.9 15.9 20.8

11.8 16.8 22.1

12.6 16.9 22.3

12.7 17.0 24.1

28.6

10

Características de la Mediana

➢ Su valor se afecta por el número de observaciones, no

de la magnitud.

➢ Cualquier valor de la muestra tomado al azar es casi

seguro que sea distinto a la mediana.

➢ La suma de las diferencias absolutas en torno a la

mediana es un mínimo.

mínimoMedianaxn

1ii

Características de la Moda

Puede o no existir en una muestra (variables continuas)

Puede existir mas de una Moda

Es la única medida de tendencia central que se puede usar con datos cualitativos.

11

Moda

➢ El valor que ocurre con mayor frecuencia

➢ Relación empírica entre Media, Mediana y

Moda:

MEDIA – MODA = 3 (MEDIA-MEDIANA)

Marca de Clase Frecuencia

7 3

11 5

15 8

19 5

24 3

27 1

Diversas modas

Distribución unimodal

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7

Marca de clase

fre

cu

en

cia

Serie1

Distribución sin moda

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 2 3 4 5 6 7

marca de clase

fre

cu

en

cia

Serie1

Distribución bimodal

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

marca de clase

fre

cu

en

cia

Serie1

Distribución multimodal

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7

Marca de clase

Fre

cu

en

cia

Serie1

12

La Moda Mo

Md

(a) Distribución Simétrica

Colocando la Moda para una

distribución de frecuencias

Relaciones entre la Media (),

Mediana (Md) y Moda (Mo).

Medidas de Dispersión

➢ La VARIANZA de una muestra, dada por el símbolo S2 y

mide el promedio del cuadrado de las diferencias entre

cada observación.

➢ La DESVIACIÓN ESTÁNDAR es la raíz cuadrada de la

varianza.

n

1i

2

i2

1n

xS

n

1i

2

i

1n

xS

13

± 1 Contiene 68% de las observaciones

± 2 Contiene 95% de las observaciones

± 3 Contiene casi todas las observaciones

2 2

Regla Empírica: Considerando distribución

normal

Medidas de Forma

Asimetría

Esta dispersión se mide a través del sesgo.

Cuando la asimetría es a la derecha es positiva y hay mas probabilidades de obtener resultados por encima de la media.

Cuando la asimetría es a la izquierda la mayor incidencia de datos esta por debajo de la media.

14

Formas de simetría de una curva de

distribución de frecuencias

Curva Asimétrica a la Izquierda Curva Asimétrica a la Derecha

Medición del Sesgo (m3):

m3 > 0 Derecha

m3 < 0 Izquierda

m3 = 0 Normal

Aproximación al SESGO:

nnn

x

nn

x

n

xm

n

xm

32

n

1ii

n

1i

n

1i

2

i

n

1i

3

i

3

n

1i

3

1

3

ESTÁNDARDESVIACIÓN

MEDIANAMEDIA

ESTANDARDESVIACIÓN

MODAMEDIASESGO

3

15

Curtosis ( m4 )

➢ Se refiere a la agudeza o apuntalamiento

de la distribución con relación a la normal:

n

xm

4n

1ii

4

n

x3

n

x

n

x6

n

x

n

x4

n

xm

4

i

2

i

n

1i

2

i

n

1i

3

i

n

1ii4

i

4

La Curtosis en el análisis de curvas de

distribución de Frecuencias

Mesocurtica

Leptocurtica

Platicurtica

16

Coeficiente de Curtosis (B2)

Si (B2-3)=0 Normal

Si (B2-3)>0 Leptocúrtica

Si (B2-3)<0 Platicútica

2

2

4

2m

mB

Momentos de una distribución

n

x

n

x....xxm

rr

n

r

2

r

1r

r

nm

1

n

xm

2

2

n

xm

3

3

n

xm

4

4

media

varianza

sesgo

curtosis

+ a la derecha

- a la izquierda

> 3 leptocúrtica

= 3 normal

< 3 platicúrtica

17

Interpretación de los histogramas

➢Centrado. Estamos dando de más o de menos.

➢ Variación.- Se encuentra dentro de los límites.

➢ Forma. ¿Tiene muchos picos? Podría ser que se están mezclando dos problemas.

➢Capacidad del Proceso. Cumple esta distribución con las exigencias del mercado o de la norma.

Ejemplo

➢ En un proceso químico

para la producción de un

fármaco se usaron dos

reactores, A y B. Los

clientes se han quejado

de que hay mucha

variación en los lotes y

los dueños creen que hay

problemas con algún

reactor, por lo que se

tomaron los siguientes

datos:

18

N° Reactor x N° Reactor x N° Reactor x N° Reactor x

1.0 A 84.9 26.0 B 86.2 51.0 B 86.6 76.0 B 85.4

2.0 A 83.8 27.0 B 87.2 52.0 B 87.0 77.0 B 84.6

3.0 B 86.2 28.0 A 83.0 53.0 B 86.7 78.0 A 83.9

4.0 B 85.7 29.0 B 86.3 54.0 A 84.9 79.0 A 83.2

5.0 A 83.9 30.0 A 83.9 55.0 A 83.7 80.0 B 85.7

6.0 B 86.4 31.0 A 83.5 56.0 B 84.7 81.0 B 86.9

7.0 B 86.8 32.0 B 84.1 57.0 A 85.1 82.0 A 84.0

8.0 B 87.0 33.0 B 84.7 58.0 B 85.4 83.0 B 85.7

9.0 A 83.8 34.0 A 85.3 59.0 A 84.4 84.0 A 84.3

10.0 B 86.0 35.0 A 84.5 60.0 A 84.2 85.0 B 86.0

11.0 B 86.3 36.0 A 84.5 61.0 B 85.8 86.0 A 83.6

12.0 A 83.0 37.0 B 86.2 62.0 A 85.1 87.0 B 86.0

13.0 A 83.5 38.0 A 84.1 63.0 A 84.4 88.0 A 83.6

14.0 A 82.7 39.0 A 83.2 64.0 A 83.8 89.0 B 86.5

15.0 B 85.2 40.0 B 86.2 65.0 B 87.0 90.0 B 87.6

16.0 B 86.7 41.0 A 82.9 66.0 B 86.9 91.0 A 84.7

17.0 A 83.1 42.0 A 83.8 67.0 B 85.5 92.0 A 85.1

18.0 B 85.9 43.0 A 83.7 68.0 A 83.7 93.0 A 83.8

19.0 B 87.5 44.0 B 86.6 69.0 B 86.0 94.0 B 86.6

20.0 A 83.8 45.0 B 85.7 70.0 A 84.5 95.0 B 86.7

21.0 B 87.5 46.0 A 82.9 71.0 B 87.9 96.0 A 84.3

22.0 A 84.4 47.0 B 86.9 72.0 A 82.7 97.0 A 83.7

23.0 A 83.4 48.0 B 86.1 73.0 A 84.2 98.0 B 84.9

24.0 A 84.3 49.0 B 86.0 74.0 A 83.9 99.0 B 85.8

25.0 B 86.1 50.0 A 83.8 75.0 B 85.5 100.0 A 84.1

Tabla de datos de los Reactores

Longitud del Intervalo =

88.5 – 82.5 = 0.5

12

Marca de Clase =

82.51 + 83.00 = 82.75

2

84.9 83.0 83.8 84.2 83.9

83.8 83.9 84.9 83.9 83.2

83.9 83.5 83.7 83.4 84.0

83.8 85.3 85.1 84.3 84.3

83.0 84.5 84.4 83.7 84.7

83.5 84.5 84.2 82.9 85.1

82.7 84.1 85.1 84.5 83.8

83.1 83.2 84.4 82.7 84.3

83.8 82.9 83.8 83.6 83.7

84.4 83.8 83.7 83.6 84.1

86.2 85.9 86.6 84.7 85.4

85.7 87.5 85.7 85.4 84.6

86.4 86.1 86.9 85.8 85.7

86.8 86.2 86.1 87.0 86.9

87.0 87.2 86.0 86.9 86.0

86.0 86.3 86.6 85.5 86.0

86.3 84.1 87.0 86.0 86.6

85.2 84.7 86.7 85.7 86.7

86.7 86.2 87.9 86.5 84.9

87.5 86.2 85.5 87.6 85.8

REACTOR B

REACTOR A