Control Automático - TEC · 2018-08-17 · antiwindup por saturación del término integral o por...
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Control Automático
Implementación de reguladores digitales
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Contenido
◼ Formas de implementación de reguladores digitales (filtros digitales). Ecuación de diferencias
◼ Formas directas I y II
◼ Forma transpuesta
◼ Forma paralelo
◼ Implementación de la ecuación de diferencias en computadores digitales
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Esquema de un control digital
Computador
y(t)
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Sistema híbrido de control
Zero-Order
Hold
Salida
Regulador
K(z)
Sensor
H(s)
Planta
G(s)Consigna
A/D
Actuador
)()(1
)()()(
zBGHzK
zBGzKzT
+=
r(k) y(t)
y(k)B(s)
computador
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Ecuación de diferencias a
partir de la función de
transferencia
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Formas de implementación
◼ Directa forma I (DF-I)
◼ Directa forma II o estándar (FCC)
◼ Estándar transpuesta (FCO)
◼ Paralelo
◼ Escalera o rejilla
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Directa forma I, DF-I
Partimos de la función de transferencia
Después de reescribir y dividir entre zn
Obtenemos la transformada z inversa
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
)()(
azazaza
bzbzbzb
zD
zN
zE
zMzG
n
n
n
n
q
q
q
q
++++
++++===
−
−
−
−
=
−
=
− =q
i
ni
i
n
i
ni
i zEzbzMza00
)()(
==
−+=−+q
i
i
n
i
i nikebnikma00
)()(
En algunos textos
los subíndices se
numeran al revés
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Directa forma I (2)
Despejamos el término m(k)
Escribiendo en forma desarrollada
=
−
=
−++
−+−=
q
i n
in
i n
i nikea
bnikm
a
akm
0
1
0
)()()(
+−−−−+−−−= − )1()1()()( 110 kma
ankm
a
ankm
a
akm
n
n
nn
)()1()( 10 nqkea
bnke
a
bnke
a
b
n
q
nn
−+++−++−+ Usualmente
an = 1
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Directa forma I (3)
e(k) m(k)
b0
b0bq
bq-1
bq-2
-a0
-an-1
-an-2
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Directa forma I (4)
◼ Puede ser considerada como una sección de filtro de ceros seguida de una sección de filtro de polos.
◼ Una propiedad importante y valiosa de la estructura DF-I, debida a que únicamente existe un punto de suma en el filtro y a que la aritmética de punto fijo, p.e. complemento a dos, simplemente se desborda del número más positivo al más negativo y viceversa; siempre que el resultado final se encuentre dentro del rango, no existe desbordamiento interno del filtro, aun si existe desbordamiento de los resultados intermedios de la suma.
◼ Se requiere el doble de los retardos necesarios (memoria). La estructura DF-I no es canónica con respecto al retardo. En general es posible implementar un filtro de orden n con solamente n retardos (DF-II)
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Directa forma I (5)
◼ En todas las formas directas; aquellas en
las cuales sus coeficientes están dados por
los coeficientes de la función de
transferencia, los polos y ceros del filtro son
muy sensibles a los errores de redondeo de
los coeficientes. Esto es especialmente
problemático para filtros de órdenes altos.
◼ Para minimizar la sensibilidad, es mejor
utilizar implementaciones serie o paralelo de
orden dos, o la DF-II transpuesta.
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Ejemplo 1: Directa forma I
Compensador
Dividimos entre z2 (zn) y separamos
Transformando al dominio del tiempo discreto y
despejando m(k)
abzbaz
ckzk
bzaz
czk
zE
zMzG cc
c+++
+=
++
+==
)())((
)(
)(
)()(
2
)()()()()()( 2121 zEzckzEzkzMzabzMzbazM cc
−−−− +=+++
)2()1()2()1()()( −+−+−−−+−= keckkekkmabkmbakm cc
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Ejemplo 2: Directa forma I
Encuentre la implementación DF-I, para el
controlador K(z)
; T = 0.05s
Transformando al dominio del tiempo discreto y
despejando m(k)
( )05800990
9702 .z.z
.zzK(z)
+−
−=
)(97.0)()(058.0)(099.0)( 121 zEzzEzMzzMzzM −−− −=+−
)1(97.0)()2(058.0)1(099.0)( −−+−−−= kekekmkmkm
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Multiplicamos la función de transferencia por H(z)/H(z)
Separamos en dos ecuaciones el numerador y el
denominador
)(
)(
]1[
][
)(
)(
0
1
1
2
2
1
1
0
1
1
1
1
zH
zH
zazazaza
zbzbzbzb
zU
zYnn
nn
nnnq
q
nq
q
+++++
++++=
−−−
−
−
−
−−−−
−
−
)(][)( 0
1
1
1
1 zHzbzbzbzbzY nnnq
q
nq
q ++++= −−−−
−
−
)(]1[)( 0
1
1
2
2
1
1 zHzazazazazU nn
nn +++++= −−−
−
−
−
Directa forma II o estándar
)()1()1()()( 011 nkhbnkhbnqkhbnqkhbky qq −+−+++−−++−+= −
)()1()2()1()()( 0121 nkhankhakhakhakukh nn −−−+−−−−−−= −−
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Directa forma II o estándar (2)
b1
u(k)
h(k)
y(k)
bq
bq-1
bq-2
-aq-1
-aq-2
-a0
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Directa forma II o estándar (3)
◼ Puede ser vista como una sección filtro de polos seguida de una sección de filtro de ceros.
◼ Es canónica respecto al retardo. Esto es porque los elementos de retardo asociados con las secciones de filtro de polos y ceros, son compartidos.
◼ Puede ocurrir un desborde interno (overflow) en la entrada de la línea de retardo, a diferencia de la implementación DF-I.
◼ Como en todas las estructuras de filtros de forma directa, los polos y ceros son sensibles a errores de redondeo en los coeficientes, especialmente en funciones de transferencia de gran orden. Sensibilidades menores son obtenidas descomponiendo en secciones de orden bajo (segundo orden) o usando estructuras en escalera (lattice filter)
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Directa forma II transpuesta
◼ Para un sistema SISO, realice
los acomodos de cambiar los
puntos de ramificación de señal
a sumadores y viceversa y
simplemente invierta la dirección
de todos los caminos de señal.
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Directa forma II transpuesta
◼ Para un sistema SISO, realice
los acomodos de cambiar los
puntos de ramificación de señal
a sumadores y viceversa y
simplemente invierta la dirección
de todos los caminos de señal.
◼ Después de esta operación, la
entrada, usualmente a la
izquierda, se encuentra a la
derecha. Para renormalizar, todo
el esquema se refleja
horizontalmente.
D
D
D
+
+
+
+
yout xin
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Ejemplo 3: Directa forma II
y D-II transpuesta
◼ Dibuje la estructura y coloque los valores
adecuados a ésta, para implementar, en la
forma DF_II transpuesta, el regulador K(z)
mostrado.
msTzK 10,0.9231) + 1.885z - (z
0.9737)+(z 0.019)(
2==
)(
)(
9231088511
018500190
)(
)()(
21
21
zH
zH
z. + z. -
z.+z.
zX
zYzK
--
--
==
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Ejemplo 3: forma directa II
)2(0.0185+)1(0.019)( −−= khkhky
)h(k.) - h(k.x(k)h(k) 29231018851 −−+=
x(k) y(k)h(k)
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Ejemplo 3: forma transpuesta
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Paralelo
◼ La forma paralelo se obtiene separando la
función de transferencia en fracciones
parciales
◼ Cada fracción parcial se implementa y luego
se suma con las otras fracciones
◼ Puede ser usada para implementar un PID
antiwindup por saturación del término integral
o por seguimiento integral
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PID real en paralelo
◼ El PID se implementa como la suma de sus tres
términos
◼ Usualmente se colocan límites al integrador
(antiwindup)
◼ Para que el derivador sea propio se agrega un filtro
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¿Qué es el windup?
◼ Es la acumulación de un gran valor en la
sumatoria o integral del error, debido a:
1. Saturación en los actuadores
2. Un error muy grande por
◼ Un cambio muy grande en la consigna
◼ Un error sostenido
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¿Qué es el windup?
___ Entrada
___ Error
___ Acción de control
___ Salida
___ Perturbación
___ Integrador
___ Salida PI
t [s]
[V]
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Metodología de diseño del PID
antiwindup
1. Diseñar el PID ideal
2. Definir los límites de los actuadores
3. Agregar al PID ideal la compensación
antiwindup cuando se satura el actuador
a) Saturar el término integral
b) Suspender temporalmente la integral
(seguimiento integral)
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PID antiwindup por limitación
del término I
◼ El PID es no lineal e invariante
◼ El diseñador impone los límites usando su
experiencia e intuición
◼ Los límites son fijos para un actuador
◼ Fuera del rango permitido se cancela la acción I
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PID antiwindup por limitación
del término I
t [s]
[V]
___ Entrada
___ Error
___ Acción de control
___ Salida
___ Perturbación
___ Integrador
___ Salida PI
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PID antiwindup de seguimiento
integral◼ PID lineal y variante
◼ Se agrega realimentación dentro del PID
◼ Al existir saturación se modifica la salida v(t) del PID para que sea igual a u(t), la acción de control sobre la planta
◼ La realimentación solamente actúa cuando hay saturación
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PID real en paralelo en tiempo
discreto
◼ El PID se implementa como la suma de sus tres términos
transformando cada término por separado
◼ El tiempo de muestreo T debe ser el adecuado para la respuesta
deseada de la planta.
◼ 1/s puede ser transformado por los métodos: forward Euler, (T/(z-
1); backward Euler, (T.z/(z-1) o Trapezoidal, T/2 (z+1)/(z-1)
(Tustin).
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Ejemplo: PID real paralelo
antiwindup◼ Implementaremos un PID real creado como
compensador de adelanto-PI en paralelo con antiwindup
◼ Por fracciones parciales mejor procesamos
◼ O también expresado en forma “PD” + I
1,)4.0)(1(
)95.0)(8.0(
)(
)()( =
−−
−−== T
zz
zz
zE
zMzPID
1,)1(
016667.0
)4.0(
9167.09.1)( =
−+
−−= T
z
z
z
zzPID
1 ,)1()4.0(
)( 321 =−
+−
+= Tz
R
z
R
z
R
z
zPID z
zPID )(
1,)1(
016667.0
)4.0(
)7729.0(98333.0)( =
−+
−
−= T
z
z
z
zzPID
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◼ PID original
◼ PID con el término
integral saturado en el
valor arbitrario 0.6.
Ejemplo: PID antiwindup
1,)1(
016667.0
)4.0(
9167.09.1)( =
−+
−−= T
z
z
z
zzPID
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo [s]
Salid
a P
ID
PID descompuesto en fracciones parciales
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo [s]
Salida P
ID a
ntiw
indup
PID descompuesto en fracciones parciales con término I saturado
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Ejemplo de implementación
I_PD paralelo
I(z)
D(z)
P(z)
e(k)
i_pd(k)
PID paralelo I_PD
+
-
-y(k)
r(k)
-
+
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Ejemplo de implementación
I_PD paralelo
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Ejemplo de implementación
I_PD paralelo
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Ejemplo de implementación
I_PD paralelo
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Implementación de la
ecuación de diferencias en un
computador digital
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Implementación: Problemas
◼ El ruido o error de redondeo y el desbordamiento (overflow) debidos al ancho de la palabra limitado en las operaciones de cálculo en aritmética entera.
◼ El ruido en la medición (realimentación)
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Implementación: Problemas
◼ El ruido de cuantificación (muestreo)
Ruido de cuantificación de un
convertidor ADC ideal de N bits
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Error en función del tiempo
Ecuación para la onda
diente de sierra
𝑒 𝑡 = 𝑚𝑡,−𝑞
2𝑚< 𝑡 <
𝑞
2𝑚
Valor cuadrático medio de e(t)
𝑒2(𝑡) =𝑚
𝑞න−𝑞/2𝑚
+𝑞/2𝑚
𝑚𝑡 2𝑑𝑡 =𝑞2
12
Modelo para el ruido de
cuantificación
43
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Modelo para el ruido de
cuantificación
El valor RMS del error de cuantificación
𝑅𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑀𝑆 = 𝑒2(𝑡) =𝑞
12
La distribución es aprox. Gaussiana desde 0 hasta fs/2
Se supone una señal sinusoidal de escala completa
𝑣 𝑡 =𝑞2𝑁
2𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝜋𝑓𝑡)
Cuyo valor RMS es
𝑣(𝑡)𝑟𝑚𝑠 =𝑞2𝑁
2∗1
2
44
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La relación señal a ruido de un convertidor ADC de N bits es:
𝑆/𝑅 = 20𝑙𝑜𝑔10𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑀𝑆 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑀𝑆 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑆
𝑅= 20𝑙𝑜𝑔10
𝑞2𝑁
2 2𝑞
12
= 20𝑙𝑜𝑔102𝑁 + 20𝑙𝑜𝑔10
3
2
𝑆
𝑅= 6.02𝑁 + 1.76 𝑑𝐵
NOTA: Se supone que el ruido de cuantificación no está correlacionado con la señal de entrada
Relación señal a ruido de
cuantificación
45
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Implementación: Problemas
◼ Solapamiento (aliasing) en el dominio del tiempo (muestreo)
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Mezcla de
datosBanda alias
Implementación: Problemas
◼ Solapamiento (aliasing) en el dominio de la frecuencia (muestreo)
Solapamiento de los espectros al aumentar el BW
El solapamiento aparece cuando el ancho de banda es mayor
que la mitad de la frecuencia de muestreo
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Implementación: Problemas
◼ La potencia de cálculo insuficiente como para lograr que el tiempo requerido para el cálculo desde la toma de la muestra e(k) hasta la salida de m(k) sea menor a del periodo T.10
1
0 T 2T
cálculo almacenamiento libre
toma de
muestra
e(k)
salida de
m(k)
0 T 2T
cálculo almacenamiento libre
toma de
muestra
e(k)
salida de
m(k)
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Soluciones (1)
◼ Al ruido de redondeo y overflow◼ Realizar los cálculos intermedios con una precisión
numérica mayor a la del resultado esperado y redondear hasta el final para disminuir el error de redondeo
◼ Utilizar implementaciones insensibles al overflowintermedio como la DF_I
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Soluciones (2)
◼ Al ruido en la medición◼ Filtro promediador. Tomar varias muestras de la
realimentación en rápida secuencia y promediarlas para obtener el valor y(k).
◼ Filtro de media móvil. Promediar las últimas Nmuestras de x(k) tomadas. Tiene una frecuencia de corte menor y disminuye el ruido, eso sí, a costa de retrasar la actuación: retardo = T(N-1)/2
𝑦 𝑘 =1
𝑁
𝑖=0
𝑁−1
𝑥(𝑘 − 𝑖)𝐻 𝑧 =
1
𝑁
𝑖=0
𝑁−1
𝑧−𝑖
𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧)
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Soluciones (2)
Frecuencia Ω
Am
plit
ud
Respuesta de frecuencia del filtro de media móvil
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Soluciones (3)
◼ Al ruido de cuantificación◼ Aumentar la resolución del convertidor A/D para
disminuir el error de cuantificación. S/N = 6dB/bit
◼ Al solapamiento (aliasing)◼ Acondicionamiento de la señal con filtrado antialias
◼ Los filtros anti-alias son filtros basabajas de tiempo
continuo activos o pasivos con tres regiones: banda de
paso, banda de transición, banda de rechazo
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Soluciones (4)
◼ A la potencia de cálculo insuficiente◼ Utilizar algoritmos más eficientes como el precálculo
◼ Usar aritmética entera para minimizar el tiempo de cálculo entre la toma de la muestra y la salida
◼ Incorporar el retardo de cálculo dentro del modelo, como un retardo en el sensor, usando la transformada Z modificada.
0 T 2T
cálculo
precálculo y
almacenamientolibre
toma de
muestra
e(k)
salida de
m(k)
0 T 2T
cálculo
precálculo y
almacenamientolibre
toma de
muestra
e(k)
salida de
m(k)
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Comparación de algoritmos
;SIMPLE
;Cada interrupción del timer
label proc_PID
in(rk); leo el valor de consigna
in(yk); leo el valor de la salida
ek = rk - yk; obtengo el error
mk = mk_1 + A*ek + B*ek_1 + C*ek_2;
mk_1 = mk;
ek_2 = ek_1;
ek_1 = ek;
out(mk);
end;
;CON PRECÁLCULO
;Cada interrupción del timer
label proc_PID
in(rk); leo el valor de consigna
in(yk); leo el valor de la salida
ek = rk - yk; obtengo el error
mk = pk + A*ek;
out(mk);
mk_1 = mk;
ek_2 = ek_1;
ek_1 = ek;
pk = mk_1+ B*ek_1+ C*ek_2;
end;
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Zero-Order
Hold
Salida
Retardo de
transporte
Regulador
K(z)
Sensor
H(s)
Planta
G(s)Consigna
A/D
Actuador
Sistema de control con retardo
para modelar el tiempo de calc.
◼ Se utiliza la transformada Z modificada para
modelar el tiempo de cálculo T con 0 < < 1
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Estructura de una ecuación de
diferencias DF-I
)1(*240)1(*256)(*256)(*256 −−−+= kekmkekm
Ecuación de un regulador PI escalado * 256
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Tareas
◼ Investigue sobre el acondicionamiento de señales por filtrado de forma analógica y de forma digital.
◼ Filtros antisolapamiento
◼ Filtros suavizadores
◼ En general sobre filtros digitales IIR y FIR
◼ Investigue sobre formas de representación de números reales con enteros y sus operaciones.
◼ Investigue sobre transformada Z modificada
◼ Investigue sobre variaciones al regulador PID (PID 2DoF, I_PD, PI_D, PID, PD con filtro derivativo.)
◼ Investigue sobre otras formas adicionales de combatir el wind-up, cuando se utilizan integradores (I, PI, PID).
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Referencias
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
◼ http://www.sec.upm.es/docencia/plan_92/scii/descarga_SCII/pdf/antiwindup.pdf
◼ Motorola DRM007/D: “BLDC Motor Control Board for Industrial and Appliance Applications” Designer Reference Manual, 2003
◼ http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/Laboratorio/5.anti-windup-pdf
◼ http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/Laboratorio/100 Trucos en el Laboratorio de Control Automatico Extracto.pdf
◼ https://en.wikipedia.org/wiki/Q_(number_format)
◼ http://en.wikipedia.org/wiki/Advanced_Z-transform
◼ http://en.wikipedia.org/wiki/Anti-aliasing_filter
◼ https://www.mathworks.com/help/signal/examples/signal-smoothing.html
◼ Proakis John G., Manolakis, Dimitris G.. „Tratamiento Digital de Señales“, 3ª Ed., Prentice Hall, 1998, España.