1. Diseñar un controlador PID para el sistema de la figura de tal manera que el sobre impulso sea máximo del 5% y el tiempo de establecimiento sea de 4 segundos.

Figura 1. Sistema con controlador PID

Código en matlab para hallar los parámetros L y T, de la curva de reaccion de proceso, para diseño del PID.

>>H=tf([1],[1 21 20]); %%Funcion de transferencia del sistema>> step(H) %%La función escalon estimula el sistema.

Figura 2. Ubicación de parámetros L, T y M en la curva de reacción de procesos.

Figura 3. Sistema ante entrada escalón

Figura 4. Respuesta del sistema ante entrada escalón.

Criterio de Ziegler y Nichols para la curva de reacción de proceso, para controlador PID

CALCULOS TEORICOS:

Variables:

Señal de prueba P=1 Atraso L=0.0364 T=1.1752 Valor final M=0.05

Maximo gradiente R=MT

= 0.051.1752

=0.0425459

Constantes Iniciales

Ganancia proporcional Kp:

K p=1.2PRL

K p=1.2∗1

0.04254594996256∗0.0364=774.857142

Ganancia integral Ki.

K i=12 L

K i=1

2∗0.0364=13.7363

Ganancia derivativa:

Kd=0.5 L

Kd=0.5∗0.0364=0.0182

Teniendo el valor de las ganancias proporcional, integral y derivativa procedemos a obtener los parámetros del controlador PID.

Parámetro P:

P=K p=774.857142

Parámetro I:

I=K p

K i

I=774.85714213.7363

=56.4096

Parámetro D:

D=K p∗Kd

D=774.857142∗0.0182=14.1024

Funcion de transferencia en lazo abierto:

Go (s)=Kp(Is+1+ I∗Ds2)Gc(s)

Is

Go (s)=

Kp(56.4096 s+1+56.4096∗14.1024 s2)56.4096 s

∗1

s2+21 s+20

Go (s)=Kp(795.510 s2+56.4096 s+1)56.4096 s(s2+21 s+20)

Debido a que hay un termino independiente s en el denominador el tipo del sistema es 1.

Cálculo para determinar el error en estdo estable:

Se dice que si un sistema es de tipo 1 el error en estado estable para una entrada escalon debe ser 0.

Entonces el error es:

ess=lims→0 [ s 1

1+G 0 ( s)θ i(s )]

ess= lims→ 0 [ s 1

1+G 0 ( s)1s ]

ess=lims→0 [ s 1

1+Kp(795.510 s2+56.4096 s+1)56.4096 s(s2+21 s+20)

1s ]

ess=1

1+Kp0

= 1∞

=0

Datos calculados en matlab.

Figura 5. Sistema con controlador PID.

Figura 6 .Parámetros P, I, D, para controlador PID.

Figura 7. Respuesta del controlador PID.

Figura 8. Sobreimpulso en el controlador PID.

Sobreimpulso: El controlador PID Presenta un sobreimpulso del 8.51%.

Figura 9. Tiempo de establecimiento en el controlador PID.

Tiempo de establecimiento (5 %):El controlador PID, no presenta un tiempo de establecimiento correcto, ya que este es el tiempo que tarda la respuesta en situarse establemente a menos del 5 % del valor de régimen permanente y en este caso no se evidencia este parámetro.

Sintonización para obtener un overshoot máximo de 5% y un tiempo de establecimiento de 4s.

Figura 10. Overshoot de 4.87%

Figura 11. Settling time 4.51s

Figura 12. Parámetros para controlador con overshoot menor del 5%

Figura 13. Señal resultante con nueva sintonización.