i

ii

Contenido SUMAS + ........................................................................................................................................... 1

Ejercicios de sumas ........................................................................................................... 3

RESTAS - .......................................................................................................................................... 5

Ejercicios de restas ............................................................................................................ 7

............................................................................................................................................................. 8

MULTIPLICACIONES () * X ............................................................................................................ 9

Ejercicios de multiplicación ............................................................................................. 12

DIVISIONES ÷ / ˗ ᴦ ......................................................................................................................... 14

Ejercicios de divisiones ................................................................................................... 17

FRACCIONES ................................................................................................................................. 18

Números Primos ............................................................................................................... 19

Descomposición en factores primos .............................................................................. 19

Mínimo común múltiplo .................................................................................................... 21

Suma de fracciones con igual denominador ................................................................ 23

Suma de fracciones con distinto denominador ............................................................ 24

Resta de fracciones con igual denominador ................................................................ 25

Resta de fracciones con diferente denominador ......................................................... 26

Multiplicación de fracciones ............................................................................................ 27

División de fracciones ...................................................................................................... 28

Ejercicios de fracciones ................................................................................................... 30

SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS .................................................................................... 32

¿Qué es una sucesión? ................................................................................................... 32

¿Qué es una serie? .......................................................................................................... 36

Ejercicios de sucesiones y series numéricas ............................................................... 37

RAZONES Y PROPORCIONES .................................................................................................. 38

Magnitudes ........................................................................................................................ 38

Razones ............................................................................................................................. 39

Proporciones ..................................................................................................................... 40

Proporcionalidad directa ........................................................................................................ 40

Proporcionalidad inversa ....................................................................................................... 42

Ejercicios de proporciones .............................................................................................. 44

iii

1

SUMAS +

Sumar significa agregar, aumentar, añadir elementos a un conjunto. Por

ejemplo: Si tengo 3 pesos y hoy encontré 2 pesos, entonces tengo 5 pesos en mi

capital, ya que estos 2 pesos se han sumado a lo que anteriormente tenía. La

operación de la suma se representa con el signo “+” entre los elementos a sumar.

En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a

sumar son llamados sumandos y el resultado es la suma.

Ejemplo 1:

Sumar 4259 + 6733

Colocar los sumandos de manera que coincidan unidades con unidades, decenas con decenas, etc.

4 5 2 9 6 7 3 3

Suma las unidades 9 + 3 = 11, coloca el 2 debajo de las unidades y “llevas 1”, para sumarlo con las decenas.

1 4 5 2 9 6 7 3 3 2

Sumas las decenas y 1 (que llevas): 1 + 2 + 3 = 6, anota el 6 en el lugar correspondiente a las decenas (ahora no llevas nada para sumar a las centenas, ya que el número 6 es menor que 10).

4 5 2 9 6 7 3 3 6 2

m c d u

m c d u

m c d u

+

+

+

2

Sumas las centenas: 5 + 7 = 12, anota el 2 en el lugar correspondiente a las centenas y “llevas 1”, para sumarlo con las unidades de millar.

1 4 5 2 9 6 7 3 3 2 6 2

Sumas las unidades de millar y 1 (que llevas): 1 + 4 + 6 = 11, y la suma se ha terminado, se pone el resultado en la columna correspondiente a las unidades de millar; y obtenemos como resultado final: 11262

4 5 2 9 6 7 3 3

1 1 2 6 2

Ejemplo 2:

La familia González consta de 5 miembros, todos han decidido ahorrar una

cantidad semanal para poder ir de vacaciones. Enrique el papá, aporta $150

semanales; Luisa, la mamá, $60 semanales; José Manuel, el mayor de los

hermanos, $ 80 semanales; Alicia pone $45 semanales y Alberto, el menor de

todos ellos, aporta $25. ¿Cuánto ahorra la familia semanalmente?

Como todos ahorran semanalmente, lo único que se tiene que sumar, son

las aportaciones de cada uno de los miembros de la familia ($150 + $60 +

$80 + $45 + $25 = $360)

Por lo tanto semanalmente ahorran $360 pesos entre todos.

m c d u

m c d u

+

+

3

Ejercicios de sumas

4

1. Un padre de familia gasta $280 en libros de texto, $17 en un juego de

geometría, $5 en lápices, $47 en cuadernos y $675 en uniformes. ¿Cuánto

gastó el padre de familia?

2. Necesitas ahorrar para comprarte una computadora, ocupas hacer cuentas

de lo que tienes: $500 de ahorros, $2000 del salario de tu trabajo, $200 que

te encontraste en uno de los cajones de tu cuarto, $800 de la beca y $1000

de la venta de un celular que ya no ocupabas. ¿Cuánto tienes en total?

3. Tu mamá necesita que vayas a la tienda, pero primero quieres saber cuánto

dinero ocupas aproximadamente, la señora de la tienda no ha cambiado

mucho sus precios, así que en la lista de compras aparece lo siguiente: 1kg

de huevo $16, 1 jabón de tocador $20, pasta de dientes $25, 1 caja de

cereal $50, 1 kg de tortillas $15, 1 cloro $12, 1 kg de croquetas para Scooby

Doo $35. ¿Cuánto dinero gastarás en la tienda?

4. Tuviste una salida al cine con tus amigos y aprovecharon para comer en la

plaza, al final del día haces tus cuentas: $80 del boleto del cine, $50 de un

frappe delicioso de mango que compraste, $100 del combo de palomitas,

$150 del platillo que comiste en el restaurante italiano y $300 de un

videojuego que no pudiste evitar comprar. ¿Al final del día cuánto dinero

gastaste?

5. Tu papá trabaja en el campo y te pide que le ayudes a determinar el área

total del terreno para poder comprar fertilizante, así que tienes que sumar

todas las áreas de las distintas secciones de los sembradíos, las cuales

están repartidas de la siguiente manera: 100 m2 de la sección del sorgo,

525 m2 de la parte del maíz, 275 m2 de zanahoria, 450 m2 de lechuga y 185

m2 de perejil. ¿Cuál es el área total del terreno donde trabajo tu papá?

5

RESTAS -

Se trata de una operación que consiste en: determinar el cambio requerido para

pasar de una cantidad dada (inicial) a otra (final), también conocida como

diferencia.

En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a

restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el

resultado de la operación llamado resta o diferencia.

5 – 2 = 3

Ejemplo 1:

Restar 971 - 422

Colocar el minuendo y el sustraendo de manera que coincidan unidades con unidades, decenas con decenas, etc.

9 7 1 4 2 2

Comienza restando las unidades, como el minuendo de las unidades (1) es menor que la unidad en el sustraendo (2) se agregan 10 unidades al minuendo de las unidades y restas.

11 – 2 = 9 y llevas 1

9 7 1 4 2 2 9

Resta ahora las decenas, la decena del minuendo (7) es mayor que la decena del sustraendo (2) así que no tienes que agregar nada a las

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

m c d u

m c d u

-

-

6

decenas del minuendo, como en el paso anterior, pero recuerda que llevas 1.

7 – 3 = 4 (Recuerda que como llevas 1, el 2 se vuelve 3)

9 7 1 4 2 2 4 9 No llevas número o no hay acarreo

Resta ahora las centenas, la centena del minuendo (9) es mayor que la centena del sustraendo (4) así que no tienes que agregar nada a las centenas del minuendo, como el primer paso, recuerda que no llevas nada.

9 – 4 = 5

9 7 1 4 2 2 5 4 9

El resultado final de la resta es 549

Ejemplo 2:

Juan compró un automóvil en $ 37, 500 y un año después lo vendió en

$ 32, 870. ¿Cuál es la diferencia entre el precio de compra y el precio de

venta?

Como Juan compró el automóvil en $ 37, 500 y lo vendió en $ 32, 870; se

realizará la resta: $ 37, 500 - $ 32, 870 = $ 4, 630

Por lo tanto la diferencia entre los precios es de $ 4, 630.

m c d u

m c d u

-

-

7

Ejercicios de restas

632

189

824

823

322

138

397

211

777

267

324

199

812

447

963

852

741

147

456

321

277

222

391

120

985

223

742

357

377

141

661

113

4

8

1. La familia Blanco tiene un ingreso mensual de $ 14, 000 de los cuales gasta

$ 2, 800 en renta, $ 1, 487 en alimentación, $ 800 en ropa, $ 380 en luz, $

560 en diversión, $ 440 en medicinas, $ 2, 400 en gastos diversos y ahorra

el resto. ¿Cuánto ahorra la familia cada mes?

2. Tenías $ 3, 200 ahorrados de la beca que te dieron en 4 meses, ya se

acerca el inicio de clases, así que tienes que gastar en lo siguiente: $ 1, 430

de inscripción, $ 900 en libros, $ 250 en zapatos, $ 350 en tenis. ¿Cuánto te

queda para ahorrar?

3. Cuando fuiste a la papelería, pagaste en total $ 550 (de 1 mochila y 5

libretas), y solo te fijaste en el total de las 5 libretas que fue de $ 125.

¿Cuánto te costó la mochila?

4. Tu hermano tiene 3 balones y tú 2. Si quieren reunir una docena, ¿Cuántos

balones les faltan?

5. Vas a la tienda y pagas con un billete $ 500, si el total de tu compra fue de

$165, ¿cuánto te tiene que regresar de cambio la vendedora?

9

MULTIPLICACIONES () * X

La multiplicación consiste en una operación de composición de dos

magnitudes que generan otra magnitud (por ejemplo, el área es producto de las

magnitudes ancho por largo).

Con frecuencia se utiliza como una suma abreviada, es decir, la

multiplicación consiste en tomar el multiplicando y sumarlo tantas veces como

indica el multiplicador.

(4) (3) = 12

Ejemplo 1:

Multiplicar (871) (26)

Colocar el multiplicando y el multiplicador de manera que coincidan unidades con unidades, decenas con decenas, etc.

8 7 1 El 871 es el multiplicando y el 26 es el multiplicador 2 6

Multiplica las unidades en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (1) (6) =6

8 7 1 2 6 6

Multiplica decenas en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (7) (6) = 42

Multiplicando

Multiplicador

Producto

Factores

m c d u

m c d u

X

X

10

8 7 1 Pones el 2 y llevas 4 2 6 2 6

Multiplicas las centenas en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (8) (6) = 48 + 4 (que llevas) = 52.

9 7 1 2 6

5 2 2 6

Ahora multiplica las unidades del multiplicando por las decenas del

multiplicador, (1) (2) = 2, coloca el resultado debajo de las decenas en el

resultado parcial.

9 7 1 2 6

5 2 2 6

2

Multiplica las decenas del multiplicando por las decenas del multiplicador, (7) (2) = 14, coloca el 4 debajo de las centenas en el resultado parcial y llevas 1.

9 7 1 2 6

5 2 2 6

4 2

Ahora multiplica las centenas del multiplicando por las decenas del multiplicador, (8) (2) = 16 + 1 (que llevas) = 17, coloca este resultado debajo de las unidades de millar en el resultado parcial.

m c d u

m c d u

X

X

m c d u

X

m c d u

X

11

9 7 1 2 6

5 2 2 6

1 7 4 2

Solo falta que sumes los resultados parciales.

9 7 1 2 6

5 2 2 6

1 7 4 2

2 2 6 4 6

Por lo tanto el resultado de la multiplicación es 22646

Ejemplo 2:

Si una pluma me costó $19 ¿cuánto me costarán 20?

Como el precio de cada pluma es de $19 y quieres saber cuánto te

costarán 20, se tiene que multiplicar ($19) (20) = $380.

Por lo tanto 20 plumas te costarán $380.

m c d u

X

m c d u

X

+

12

Ejercicios de multiplicación

307 111

6224 112

6797 116

5453 133

6905 119

8

8702 115

7971 111

7403 154

1705 148

7945 116

8676 131

4574 159

5661 199

2761 111

7458 113

5924 177

2484 121

9023 132

2806 144

6603 137

5401 153

5270 133

5488 126

8832 171

7533 167

13

1. Julia recibió 14 caballos en su rancho para vender. Si los quiere vender en

$ 35, 000 cada uno. ¿Cuánto dinero espera recibir en total?

2. Una empresa internacional tiene 85 clientes alrededor de todo el mundo. Si

tiene una ganancia por cliente de $ 110, 020 por año. ¿Cuál será su

ganancia anual?

3. Después de un juego, el equipo de baloncesto de Lili fue por helados.

Hay 11 jugadores en el equipo, y cada uno comió 2 bolas de helado.

¿Cuántas bolas de helado se comió todo el equipo?

4. Un profesor de arte tiene 12 cajas de gises para dibujar un mural al aire

libre. Cada caja tiene 7 gises. ¿Cuántos gises tiene el profesor de arte?

5. Félix tomó 35 fotos diarias durante el viaje familiar de 14 días a Europa.

¿Cuántas fotos tomó Félix en total?

14

DIVISIONES ÷ / ˗ ᴦ

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en

averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número. La división es

la operación inversa a la multiplicación.

En toda división hay 4 elementos: el número que se divide se llama

dividendo, el número que divide es el divisor, el resultado es el cociente y lo que

sobra es el residuo.

La división es exacta si su residuo es cero; si es diferente de cero entonces

la división es inexacta.

18 = 6 3

Ejemplo 1:

Dividir 8704 ÷ 32

Toma el 87 y se divide entre 32 (el divisor), no interesa la cantidad exacta solo cuantas veces cabe exactamente el 32 en el 87, éste será el resultado parcial.

32 ᴦ 8704

El resultado parcial se multiplica por el divisor (2) (32) = 64

Coloca el resultado obtenido previamente (64) para restárselo al dividendo. Después baja la siguiente cifra en este caso centenas (0).

32 ᴦ 8704

- 64

230

Dividendo

Divisor

Cociente

2

2

15

Divide el residuo parcial (230) entre el divisor. 230 = 7 32

(No interesa la cantidad exacta, solo cuántas veces cabe el 32 en el 230), este será el resultado parcial.

32 ᴦ 8704

- 64

230

El resultado parcial lo multiplicas por el divisor (7) (32) = 224

Coloca el resultado obtenido previamente (224) para restárselo al dividendo. Después baja la siguiente cifra en este caso unidades de millar (4).

32 ᴦ 8704

- 64

230

- 224

64

Divide el residuo parcial (64) entre el divisor. 64 = 2, este será el resultado 32 Parcial.

32 ᴦ 8704

- 64

230

- 224

64 El resultado parcial se multiplica por el divisor (2) (32) = 64

27

27

272

16

Coloca el resultado obtenido previamente (64) para restárselo al dividendo, en este caso el resultado es cero. Ya no hay cifra por bajar del dividendo.

32 ᴦ 8704

- 64

230

- 224

64 -64

0

Ejemplo 2:

Laura recibió boletos de $60 para una función de cine a beneficio de la

escuela. Si entrega $ 2, 100. ¿Cuántos boletos vendió?

Para saber cuántos boletos se vendieron, se divide $ 2, 100 entre $ 60 = 35

Por lo tanto Laura vendió 35 boletos

272

17

Ejercicios de divisiones

1. 720 ÷ 12

2. 4770 ÷ 90

3. 1840 ÷ 80

4. 2025 ÷ 45

5. 6216 ÷ 8

6. 11400 ÷ 76

7. 3560 ÷ 40

8. 6030 ÷ 90

9. 4356 ÷ 66

10. 6174 ÷ 98

11. La tienda “El buen vestir” compró 12 camisas en $ 3, 360 ¿A qué precio

deberá vender cada una para ganar $75 por camisa?

12. La ferretería “La tuerca” compró 20 llaves de tuercas en $ 340. ¿A qué

precio deberá vender cada una para tener una ganancia de $ 560?

13. Un profesor de gimnasia divide a 112 estudiantes en grupos de 8 para jugar

baloncesto. ¿Cuántos grupos se formaron?

14. A Delia le quedan 345 páginas por leer de su libro. Planea leer 15 páginas

cada noche hasta terminarlo. ¿Cuántas noches tardará Delia en terminar su

libro?

15. Una rana debe brincar 960 centímetros para llegar a su estanque favorito.

Cada brinco cubre 60 centímetros. ¿Cuantas veces debe brincar la rana para

llegar al estanque?

18

FRACCIONES

Una fracción es un número, que se obtiene de dividir un entero en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.

El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

Numerador

Denominador

19

Números Primos

Los números primos son aquellos que solo resultan divisibles por sí mismos

y por la unidad. Los que pueden dividirse por otros números, se denominan

compuestos (por ejemplo el 9 que además de dividirse por 9 y por 1, también

puede dividirse exactamente por 3). Tienen la característica de ser números

enteros y positivos.

El número 1 no integra ninguna de las dos categorías, por convención, a

partir del siglo XX, y por supuesto solo es divisible por sí mismo al ser él mismo la

unidad.

Son por ejemplo números primos el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, etc. El número 2

es el único número primo par.

Figura 1. Números primos entre el 1 y el 100

Descomposición en factores primos

Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos.

Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:

20

1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.

2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.

Ejemplo 1:

Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 24:

Los números que están a la izquierda de la línea, son los cocientes parciales y los de la derecha, son los factores primos.

Recuerda que siempre debes comenzar por el menor número primo por el cual, el número que te están preguntando, sea divisible.

Ejemplo 2:

Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60:

21

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que

contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos.

Regla práctica para hallar el mcm de varios números por descomposición

en factores primos.

Se descomponen los números en sus factores primos y el mcm se forma

con el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor

exponente.

Ejemplo 1:

Sacar el mínimo común múltiplo de: 50, 80, 120 y 300.

22

Se acomodan los números en 4 columnas

50 80 120 300

Utilizando los números primos, se empiezan a descomponer los números

de cada columna. Se empieza del número primo más pequeño, que en este

caso sería el 2, si alguno de los números de la columna tienen mitad, se

pone abajo, los que no tengan mitad, bajarían igual.

50 80 120 300 2

25 40 60 150

Se sigue con el mismo procedimiento (si en dado caso ninguno tiene mitad,

se seguiría con el siguiente número primo, que sería el 3; y así

sucesivamente), al terminar quedaría la tabla de la siguiente manera,

cuando la descomposición de los números de la columna termina, al final

tenemos puros “1”

50 80 120 300 2

25 40 60 150 2

25 20 30 75 2

25 10 15 75 2

25 5 15 75 3

25 5 5 25 5

5 1 1 5 5

1 1 1 1

En este caso todos tenían mitad

23

Al terminar la tabla, para sacar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) se

multiplican los números primos que quedaron la última columna:

2 X 2 X 2 X 2 X 3 X 5 X 5 = 1200

Por lo tanto el mínimo común múltiplo de los números: 50, 80, 120 y 300 es 1200.

Suma de fracciones con igual denominador

Ejemplo 1:

Para sumar fracciones con igual denominador se suman los numeradores, conservando el mismo denominador:

3 + 2 + 1 = 3+2+1 = 6

4

4

4

4

4

Es fácil representar esta suma, empleando gráficos:

+ + =

NOTA: La fracción reducida a su mínima expresión es , por lo que

las fracciones son equivalentes.

3

2 6 y 3

4

2

24

Suma de fracciones con distinto denominador

Para sumar fracciones con distinto denominador procede como sigue:

a. Calcula en primer lugar el mcm de los denominadores. Este será el

denominador común.

b. Divide el denominador común entre el denominador de la primera fracción y

el resultado multiplícalo por el numerador correspondiente. Coloca el

número obtenido en el numerador de la fracción resultante.

c. Repite el paso anterior hasta la última fracción.

d. Suma los números obtenidos en los pasos 2 y 3.

e. La fracción resultante se forma de la suma obtenida en el paso 4

(numerador) y el mcm (denominador).

Ejemplo 1:

Suma las siguientes fracciones:

Primero hay que sacar el mínimo común múltiplo (mcm), la tabla quedaría

así:

7 70 140 2

7 35 70 2

7 35 35 5

7 7 7 7

1 1 1

Mínimo común múltiplo (mcm) de los tres denominadores: 2 X 2 X 5 X 7 = 140

Se realizan las operaciones correspondientes, como se menciona en el

inciso b

1 + 5 + 13

7

70

140

25

¿Por qué el mcm?

Observa los siguientes gráficos. ¿Cómo sumar fracciones de diferente

denominador?

+ + = ¿?

6

1

3

8

2

12

Debes buscar que sean del mismo tipo.

+ + =

3

2

1

6

4

4

4

4

Resta de fracciones con igual denominador

En la resta de fracciones se pueden presentar los mismos casos que en la

suma, por lo que para resolverlos se deberán seguir los mismos procedimientos

que en la suma, cuidando de efectuar la resta correctamente:

1 + 5 + 13 = 20+10+13 = 43

7

70

140

140

140

El 20 resulta de dividir 140 entre 7 y

multiplicar ese resultado por el

numerador 1

El 10 y el 13 se obtienen de la

misma manera

26

Ejemplo 1:

Restar las siguientes fracciones:

Para restar fracciones con igual denominador se restan los numeradores, conservando el mismo denominador:

7 - 3 = 7-3 = 4

8

8

8

8

NOTA: La fracción reducida a su mínima expresión es , por lo que

las fracciones son equivalentes.

Resta de fracciones con diferente

denominador

Ejemplo 1:

Restar las siguientes fracciones:

Primero hay que sacar el mínimo común múltiplo (mcm) de los

denominadores, la tabla quedaría así:

5 8 18 2

5 4 9 2

5 2 9 2

5 1 9 3

5 1 3 3

5 1 1 5 1 1 1

7 - 3

8

8

1

2 4 y 1

8

2

7 - 3 - 7

5

8

18

27

Mínimo común múltiplo (mcm) de los tres denominadores: 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 =

360

Se realizan las operaciones correspondientes

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar una fracción por otra, se multiplica numerador por

numerador y denominador por denominador.

Ejemplo 1:

Multiplica las fracciones:

Primero se acomodan las fracciones, para poderlas multiplicar

3

1

4

5

Se multiplica numerador con numerador (3) por (1) = 3; y denominador por

denominador (4) por (5) = 20

7 - 3 - 7 = 504-135-140 = 229

5

8

18

360

360

3 y 1

4

5

El 504 resulta de dividir 360 entre 5

y multiplicar ese resultado por el

numerador 7

El 135 y el 140 se obtienen de la

misma manera

28

3

1

= (3)(1) = 3

4

5

(4)(5)

20

División de fracciones

Existen diferentes formas de realizar la división, a continuación se ponen 1

ejemplo de cada una:

Ejemplo 1:

Dividir las siguientes fracciones:

Se multiplica el numerador de la primer fracción (3) por el denominador de

la segunda fracción (5), el resultado es 15 (La respuesta va como

numerador)

Después se multiplica el denominador de la primer fracción (4) por el

numerador de la segunda fracción (2). El resultado es 8 (La respuesta va

como denominador)

3 ÷ 2 = (3)(5) = 15

4

5

(4)(2)

8

NOTA: Observa que en la multiplicación y división de fracciones no se tiene que buscar el

común denominador.

3 ÷ 2

4

5

29

Ejemplo 2:

Dividir las siguientes fracciones:

Coloca la primera fracción en el numerador y la segunda en el

denominador.

Multiplica los extremos y pon el resultado en el numerador de tu respuesta.

Multiplica los medios y pon el resultado en el denominador de tu respuesta.

Hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

En el ejemplo, los extremos son 3 y 8 y éstos se colocan en el numerador.

Los medios son 4 y 7 y éstos van en el denominador.

3 ÷ 7

4

8

30

Ejercicios de fracciones

Sumas y restas de fracciones

31

Multiplicaciones y divisiones de fracciones

32

SUCESIONES Y SERIES

NUMÉRICAS

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra,

en un cierto orden.

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo 1:

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

33

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que

queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene

el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la

regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo

que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

¡Funciona!

34

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla

como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = (2) (10) +1 = 21

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética

(o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es

una constante.

35

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el

anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n

36

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número

de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2

Ejemplo:

El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,

y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

¿Qué es una serie?

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una

serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

37

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Ejercicios de sucesiones y series numéricas

Encontrar el siguiente término # 200 de las sucesiones:

1. 2, 4, 6, 8, 10…

2. 9, 12, 15, 18,…

3. 20, 25, 30, 35,…

4. 3, 7, 11, 15,…

5. 8, 16, 24, 32, …

Encuentra el siguiente término de las sucesiones:

6. 2, 2, 4, 12,…

7. 4, 2, 1, 0.5,…

8. 8, 24, 72, 216,…

9. 6, 54, 486, 4374,…

10. 22, 44, 88, 176,…

Determina lo que se te pide:

11. ¿Cuántos puntos tendrá la figura No. 52? (Valor 2 Puntos)

12. De los ejercicios anteriores (Desde el inciso 1 al 11, determina

la SUMA de los primeros 4 términos de cada sucesión)

38

RAZONES Y PROPORCIONES

Magnitudes

En la vida cotidiana, trabajamos constantemente con las magnitudes. Una

magnitud es aquello que se puede medir. Por ejemplo, la cantidad de estudiantes

en un aula, la presión arterial de una persona, la cantidad de uvas de un racimo, la

cantidad de calorías que tiene un alimento, la distancia entre dos ciudades, la

velocidad de un avión volando, etc. Todas estas magnitudes se pueden relacionar

entre sí.

La cantidad de estudiantes de un aula con la cantidad de asientos.

La presión arterial de una persona con la cantidad de medicamentos que

debe tomar.

El cantidad de uvas de un racimo con su peso

La cantidad de calorías de un alimento con el aumento de peso de una

persona

La distancia entre dos ciudades con el tiempo que se tarda en ir de una a

otra.

La velocidad de un avión y el tiempo de llegada a un aeropuerto

Las magnitudes pueden ser escalares y vectoriales.

Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan

descritas completamente mediante un valor numérico. Ejemplos de magnitudes

escalares son masa, volumen, temperatura, densidad, presión, energía, carga

eléctrica, etc

Las magnitudes vectoriales son aquellas magnitudes físicas que son

descritas mediante un valor numérico o magnitud, llamada módulo, y una

orientación en el espacio. Por ejemplo, son magnitudes vectoriales la aceleración,

la velocidad de desplazamiento, campo eléctrico, el peso o cualquier otra forma de

fuerza, por ejemplo la fuerza de la gravedad.

39

Para este tema, solamente nos enfocaremos en las magnitudes escalares.

Razones

La razón es la comparación de dos magnitudes y se mide a partir del

cociente (división) de esas dos cantidades. Es importante saber que esos dos

valores tienen que estar en la misma unidad de medida. Las razones parecen

fracciones, pero se diferencian porque en las razones, tanto el numerador como el

denominador, pueden ser números no enteros.

Si se va a expresar la razón como fracción (a/b) o relación (a:b), esta debe

reducirse hasta la forma más simple. Una razón también puede expresarse como

un tanto por ciento.

Ejemplo 1:

En la Escuela Primaria La Catrina, el quinto grado tiene solamente 5

alumnos y todos son varones. De ellos, 2 tienen sobrepeso. ¿Cuál es la razón de

niños con sobrepeso del quinto grado?

Total de niños varones: 5 Total de niños con sobrepeso: 2 Relación 2:5 Se interpreta: 2 de cada 5 niños en la EP La Catrina son obesos Razón: 0.4 Se interpreta: La tasa de obesidad en la EP La Catrina es de 0.4 Se interpreta: El 40% de los niños son obesos

40

Proporciones

Cuando dos o más razones son iguales, decimos que forman una

proporción.

Proporcionalidad directa

Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de

una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número (constante) los

valores correspondientes en la otra, se dice que son directamente

proporcionales.

Dicho en otras palabras,.para que dos magnitudes mantengan una relación

de proporcionalidad directa tienen que estar relacionadas de tal forma que, si

aumentamos una, aumenta la otra; si disminuimos una, disminuye la

otra, siempre proporcionalmente.

El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales es siempre

constante.

41

Ejemplo 1:

Observe la tabla de abajo. Una noche en el Hotel "Las Pulgas" cuesta $70, 2 cuestan $140, 3 cuestan

$210 y así sucesivamente.

En la medida que aumenta la cantidad de noches, el costo aumenta, pero mantiene una relación constante entre ellas 70.

A este tipo de proporcionalidad, también se le conoce como regla de 3

directa.

¿Cómo podría saber cuánto pagará alguna persona si se piensa quedar 15

días?

Primero que nada puedo agarrar cualquiera de las filas de la tabla, en este

caso ocuparemos la fila del día 4, en el cuál se pagarían 280, acomodo mis

datos conocidos, y debajo anoto lo que quiero saber (El costo por 15 días.

Entonces el 15 se coloca debajo del 4, es decir en la columna de días)

4

280

15 ?

Días Costo

42

Para poder sacar el resultado se multiplica de manera cruzada, los valores

que conozco (15) y (280), al final ese resultado se divide entre el valor que

me quedó solo (4), de la siguiente manera:

4

280

15 ?

(15) (280) = 1050

4 Por lo tanto, la persona que se quede 15 días en ese hotel, pagará un total

de $ 1050.

Proporcionalidad inversa

Existen otras formas de relaciones entre magnitudes en las que el

comportamiento es diferente al del ejemplo dado de proporcionalidad directa, en

estos casos, si los valores de una aumentan, los valores correspondientes en la

otra disminuyen.

Por ejemplo, si un automóvil aumenta la velocidad con la que se

desplaza, el tiempo que demora en llegar a su destino disminuye, por el contrario,

si disminuye la velocidad, el tiempo de llegada al destino aumenta.

Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que el aumento

(disminución) de una implica la disminución (aumento) de la otra, se dice que son

inversamente proporcionales.

Ejemplo 1:

En la tabla de abajo, se puede observar que en la medida en que más obreros trabajan, menor cantidad de días necesitan para concluir el edificio. Si se dividen los días entre los obreros, se observará que NO existe una constante. Decimos entonces que en este caso, la relación obreros-días es inversamente proporcional.

Días Costo

43

A este tipo de casos también se le conoce como regla de tres inversa.

¿Cómo podría saber cuántos obreros se necesitan para terminar la

construcción en 30 días?

Primero que nada puedo agarrar cualquiera de las filas de la tabla, en este

caso ocuparemos la fila de 10 obreros tardan 336 días, acomodo mis datos

conocidos, y debajo anoto lo que quiero saber (La cantidad de obreros para

terminar la construcción en 30 días). Entonces el 30 se coloca debajo del

336, es decir en la columna de días)

10

336

? 30

Para poder sacar el resultado se multiplica de manera horizontal, los

valores que conozco (10) y (336), al final ese resultado se divide entre el

valor que me quedó solo (30), de la siguiente manera:

10

336

? 30

(10) (336) = 112

30 Por lo tanto, para que la obra de construcción pueda ser terminada en 30

días se ocuparán en total 112 trabajadores.

Obreros Días

Obreros Días

44

Ejercicios de proporciones

De los siguientes ejercicios, determina qué tipo de proporción es (directa o

inversa) y contesta lo que se pide:

1. Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para

terminarlo es de 30 días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?

2. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿Cuántos kg

se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 120 m2?

3. En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas.

¿Cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?

4. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28

días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje

¿durante cuántos días podrá alimentarlas?

5. Martha quiere hacer un postre de fresa, para todos sus compañeros del

salón, si la receta dice que se necesita 1500 gramos de fresas para 10

personas, ¿Cuántos gramos se necesitarán, si en total son 52

personas en su salón?

6. Para sembrar una parcela en 8 días, se ocupan 10 personas.

¿Cuántas personas se necesitarán para terminar de sembrar en 3

días?

7. Un trabajo puede ser realizado por 20 obreros en 30 días. Si el plazo para

terminarlo es de 18 días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?

8. Si para limpiar 150 m2 se necesitan 12 lts de cloro. ¿Cuántos litros

se necesitarán para limpiar una superficie rectangular de 350 m2?

9. En un refugio de animales hay 58 perros y alimento para ellos por el

término de 14 días. Con 6 perros más que llegaron el día de hoy, sin

disminuir la ración diaria y sin agregar más croquetas ¿Cuántos días

durará la comida?

45

10. Mireya quiere hacer unos vestidos para su muñeca. Si para hacer

un vestido, ocupa 80 cm de tela ¿Cuántos centímetros se

necesitarán para realizar 8 vestidos?