7/25/2019 Concavidad y Grfica de Funciones

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CLCULO I

CONCAVIDAD Y GRFICA

DE FUNCIONES

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CASO 01: UN PROBLEMA DE

EFICIENCIA

Percy es un ingeniero recin titulado que ha sido contratado comojefe de recursos humanos de una fabrica de sacos de polietileno. Alevaluar la eciencia de un obrero no calicado, descubre que estadada por la funcin , donde el trabajador puede completar unidadespor da despus de haber trabajado meses.Para poder presentar su informe ante el gerente general Percy, debe

a! "ra#ar la gr$ca de y observar sucomportamiento cuando crece sin lmite.

b! %cuantas unidades por da puedecompletar un obrero principiante&

c! %cu$ntas unidades por da puede

completar un trabajador con un a'o dee(periencia&

d! )u$ntas unidades por da puedeesperarse que un obrero produ#ca&

Podras ayudar a Percy a presentar une(celente informe.

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funciones

*erivacin.

+egla de la cadena.

)recimiento y e(tremos.

Recordar

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LOGROS DE LA SESIN

Al nali#ar la sesin de aprendi#aje, el estudiante,resuelve ejercicios en los que

! )alcula los intervalos de concavidad y puntos dein-e(in de una funcin haciendo uso de la segundaderivada.

! )onstruye la gr$ca de una funcin determinando losintervalos de crecimiento, puntos e(tremos, intervalos

de concavidad y los puntos de in-e(in de una funcin,haciendo uso de primera y segunda derivada.

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. *enicin de concavidad

. )riterio de concavidad

/. *enicin de punto de in-e(in

0. )ondiciones de suciencia para lae(istencia de un punto de in-e(in

1. )riterio para determinar un punto dein-e(in

2. )onstruccin de la gr$ca de una funcinhaciendo uso del criterio de la primera ysegunda derivada

Temario

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FUNCIN CNCAVA ACIA

ARRIBA3na funcin cuya!rimera deri"ada e#

crecie$%e &'((&)*+0*sobre un cierto intervaloabierto se llamac,$ca"a-acia arri.a en ese

intervalo. 4as funcionescncavas hacia arribaquedan por encima desus rectas tangentes y

por debajo de suscuerdas.

''( ) 0 ( )f a f a es mnimo>

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FUNCIN CNCAVA ACIA

ABA/O3na funcin cuya!rimera deri"ada e#

decrecie$%e &'((&)*0*sobre un cierto intervaloabierto se llamac,$ca"a -acia a.aoen ese intervalo. 4asfunciones cncavashacia abajo quedan pordebajo de sus rectastangentes y por encima

de sus cuerdas.

''( ) 0 ( )f a f a es mximo<

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T2CNICA PARA ENCONTRAR UN

PUNTO DE INFLE3INa! 5ncontrar el valor c tal que f ((6c! 78 no e(iste la segunda derivada en ese

puntob! 9i f (( tiene signos opuestos paravalores cercanos antes y despus de c ,entonces P&c4'&c** e# 5$ !5$%o dei$6e)i,$

f ::6(! 8>

f ::6(! 8

f ::6(! 8

f ::6(! 8>

noespunto

dein-e(in

espuntode

in-e(in

espuntode

in- e(in

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E/EMPLO:"ra#ar la gr$ca

deRe#o75ci,

$

+-

10

-

.( ,f6(!

. (

= +

.

,f :6(! ( 8

(= =

/

.

( ,8

(

=

.6( ,!6( ( ,! 8 + + = ( ,=

;ntervalos 9ignodef : crece < decrece

= >,= decrece

=,> ? crece

+ +

m$(imo < mnimo

/mnimo f6,!

.= =

, @f :6.! . 8

0 0= = >

Af :6 .! . 8

0 0 = =