Concavidad y Convexidad de Funciones

8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones

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CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES

FUNCIONES VECTORIALES

Una función f : D⊂ Rn→ R

m

, con m>1 se llama una función vectorial

de varias variables. Si n=m>1 , la función se llama campo vectorial.

Una función f : D⊂ Rn→ R

m

se puede estudiar de forma natural por medio

de m campos escalares:

f : D⊂ Rn

→ Rm

x →( f 1 ( x ) ,… .. f n ( xn ))

Sin más que considerar las componentes de vector f ( x) , estos campos

escalares se llaman las funciones componentes de f . Por lo tanto una

función vectorial no es más que un vector de m funciones escalares:

f =(f 1 , f 2 , f 3 , ….. f m)

Con esta aclaración queda entendido que el dominio de una función

vectorial debe estar contenido en la intersección de los dominios de

cada uno de sus componentes.

Ejemplo:

Si consideramos la función vectorial R2

en R3

denida como

f ( x , y )=( x2+ y , sin x ,− x+e2 )


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Sus componentes de f son:

f 1 ( x , y )= x2+ y

f 2( x , y )=sin x

f 3 ( x , y )=− x+e2

En el caso de los campos vectoriales, a!n es posible idear una

representación. Para campos vectoriales en el plano "o en el espacio# a

cada punto ( x , y ) del dominio le corresponde el vector (u , v )=f ( x , y ) .

FUNCIONES CONVEXAS

Defnición: un conjunto S de puntos es un conjunto conve$o si todos los

puntos del se%mento de recta que unen cualquier par de puntos del conjunto

tambi&n pertenecen a dic'o conjunto S .

(esde un punto de vista %ráco, podemos caracteri)ar las funciones conve$as

como aquellas para que los se%mentos de rectas que unen cualquier par de


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puntos de su %ráca, nunca se sit!en por debajo de la misma. Sabiendo que a

tales se%mentos de la recta se le denomina cuerda de la función.

Defnición: una función f ( x) denida en un conjunto conve$o S de

Rn

es una función conve$a si

∀ x1

, x2

∊ S y ∀ λ ∊ R ,0≤ λ ≤1

Se verica:

f ( λ x2+(1− λ ) x1 ) ≤ λf ( x2 )+(1− λ ) f ( x1 )

(1 )(2)

Podemos observar que el termino * no es más que la altura de la función en un

punto intermedio entre x1 y x2 , mientras que el termino + es la altura, en ese

punto, de la cuerda que une los puntosf ( x1 ) y f ( x2) .


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a función es estrictamente conve$a si la anterior denición se verica con la

desi%ualdad estricta cuando - * / x

1≠ x

2

Condiciones de convexidad

*.0 Para que una función sea conve$a 'acia abajo la condición es que

f ´ ´ ( x )>0


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+.0 Para que una función sea una l1nea recta la condición es f ´ ´ ( x )=0

2.0 Para que la función sea conve$a 'acia arriba la condición es que f ´ ´ ( x )


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3qu1 podemos observar al%unas de las propiedades de las funciones conve$as

que se verican independientemente de su diferenciabilidad.

*.0 Si la función y=f ( x ) es conve$a, la función

y=−f ( x ) es concava y viceversa

+.0 Un punto cualquiera donde la función conve$a y= f ( x ) alcan)a su m1nimo

es el mismo donde la función cóncava y=−f ( x ) alcan)a su má$imo, estando

relacionados los valores de ambas funciones en este punto por la i%ualdad.

2.0 Combinaciones lineales no ne%ativas de funciones conve$as %eneranfunciones conve$as. Es decir, si:

f 1 ( x ) , f

2( x ) , … . f n ( x )

Son funciones conve$as, la función:

g ( x )=∑i=1

n

λi f i ( x )( λi ≥0, i=1,… … n)

4.0 Si la función y=f ( x) es conve$a, el conjunto:

S= { x|f ( x)≤ K |}→ es xonvexo para toos!os va!ores e! parametro K


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P56P7E(3(ES (E 8U9C769ES C69E;3S (78E5E9C73


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8ormali)ando esta interpretación podemos enunciar las si%uientes propiedades

que e$tienden la interpretación cualquiera sea el n!mero de variablesf ( x)

.

Si y=f ( x) tiene derivadas primeras / se%undas continuas, se verican las

si%uientes implicaciones:


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=,

8rente a estas propiedades nos sentimos tentados a suponer que, si la

funcion es estrictamente conve$a, su 'essiano es denido positivo /viceversa. Es decir

Sin embar%o conviene saber que esto no es asi,des%raciadamente / que esta version mas fuerte que lasanteriores implicaciones no se verica mas que en uno de sussentidos. Es decir


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CONCAVIDAD Y EL SINO DE LA SEUNDA DERIVADA!

Consideremos la curva que se muestra en la %ura en una vecindad de

los puntos tales " y # la curva está debajo de su tan%ente /, ir de

" a #

a tan%ente %ira en el sentido de las manecillas del reloj

simultáneamente en una vecindad $ o D la curva está arriba de su

tan%ente / al ir de $ a D la tan%ente %ira en sentido contrario a las

manecillas además si la tan%ente %ira en sentido contrario de las

manecillas cuando vamos 'acia la derec'a.


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a pendiente de la tan%ente aumenta Si la tan%ente %ira en sentido de

las manecillas la pendiente disminu/e puesto que la pendiente de la

tan%ente en cualquier punto ( x , y ) está daba por f % ( x) , parece ser

que el si%no de D x f % ( x )=f % % ( x) , siempre que f % % e$ista puede usarse

para distin%uir la conducta de la curva en un punto tal como 3 de un

punto tal como C.


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>eorema sea f una función qu& se puede derivar dos veces en el

intervalo a


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t ( x )= f ( x1 )+ f % ( x1)( x− x1)

Es la distancia diri%ida desde el eje $ 'asta la tan%ente medida

paralelamente al eje y

El teorema si%uiente muestra cómo el si%no de f % % ( x) determina si la

%ráca de f queda arriba o abajo de su tan%ente.

>eorema sea f una función derivable dos veces en el intervalo

a


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(i ) f % % ( x)>0 En el intervalo entonces cada $ una n tal que x1 'a/ una

n¿ ( x

1, ' ) tal que x∈n

¿ ( x1, ' )⟹ f ( x )>t ( x ) .

(ii) Si f % % ( x)0 si%nica que f % ( x) crece cuando x crece, es

cierto que para toda x del intervalo.


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x> x1⟹ f % ( x )> f % ( x1 )⟹( % ( x)>0

@

x x1⟹( ( x )>( ( x1 )=0.

Simultáneamente (% ( x )>0 implica que ( ( x ) decrece con x as1 que

x(

( x

1

)=0

.

Esto completa la prueba de (i) . a demostración de (ii) diere de

esta solamente en detalles pequeAos / este deja al lector

Defnición: Se dice que la %ráca de una función es cóncava 'acia

arriba en un intervalo si la %ráca queda arriba de su tan%ente en

sentido del teorema se dice que la %ráca es cóncava 'acia abajo si

queda debajo de su tan%ente.

En vista de esta denición el teorema anterior puede enunciarse como

si%ue:

(i) En cualquier intervalo f % % ( x)>0 la %ráca de x es cóncava 'acia

arriba.


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(ii) En cualquier intervalo f % % ( x)


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El puto ( x0 , f ( x0 )) , en que cambia el

sentido de la concavidad de la gráfica de la

función se llama punto de inflexión para la

abscisa en el punto de inflexión x

0 , de la

gráfica de la función y=f ( x) , la segunda

derivada f )) ( x0 )=0 o f

)) ( x0 ) noexiste se llaman puntos críticos de 2a

especie. El

punto crítico de 2a

especie x

0 es la abscisa del punto de inflexión si f )) ( x)

conserva signos constantes, y contrarios entre sí, en los intervalos

x0−*


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Estos puntos dividen al e!e num"rico−+


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Asíntotas verticales: paralelas al e!e y, si existe un n&mero a tal que

lim ¿ x →a f ( x )=+ , x=a¿ es asíntota vertical,

Asíntotas oblicuas: respecto a los e!es de coordenadas, si existen los límites:

lim ¿ x →++f ( x)

x ='

1

¿

lim ¿ x →++ [ f ( x )−' 1 x ]=&1¿

'a recta

y=' 1 x+&

1

será asíntota oblicua a la derecha o bien, si

' 1=0

, hori%ontal

derecha, paralela al e!e x. Si existen los límites:

lim ¿ x →−+f ( x )

x =' 2

¿

lim ¿ x →−+ [ f ( x )−' 2 x ]=&2¿

'a recta y=' 2 x+&2 es asíntota oblicua a la i%quierda o bien, si ' 2=0 , hori%ontal

i%quierda, paralela al e!e x.

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