CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.docx

8/17/2019 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.docx

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

1

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA

C O N CA V I DA D

Y P U N T O

D E I N F L E X I Ó N

CALCULO DIFERENCIAL I

Lic. Javier An !ni! C"#ra Ma$ani

Pri$er Cic%! Secci&n '(INTEGRANTES)

DÁVALOS VILCA, JULIOECHACCAYA INCACUTIPA, FERNANDOFLORES SAAVEDRA, PAULAHERNANI TICONA, ANDRÉMIO MEDINA, STHEFANYVELÁSQUEZ QUINTANA, ROSARIO

TACNA*PER+


2/20



Índ !"1# PRESENTACIÓN$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

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'# O>SERVACIÓN$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$##$$$$#?

(# EJERCICIOSDESARROLLADOS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#$$$$1;

6# EJERCICIOSPROPUESTOS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#1?

I>LIO@RAFÍA$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$##$1

1# PRESENTACIÓN

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INTRODUCCIÓN

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4 C5NCAVA 6ACIA A7AJO)

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c4 PUNTOS DE INFLE8I5N)

6


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8/20



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(# EJERCICIOS

DESARROLLADOSD"2"-= n)- B03 n2"- )B03 "n d0nd" B) 7 n! +n "3 !+n!) ) )! ))-- .), !+n!) ) )! ) ).)/0 B03 n203 d" n4"5 +n#

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SOLUCIÓN

1;

ƒ ( x)= 3 x4 − 10 x3− 12 x2 +10 x+9

ƒ ( x)= 3 x4 − 10 x3− 12 x2 +10 x+9

¿> ' ( x)= 12 x3 − 30 x2 − 24 x+10¿>f ' ' ( x)= 36 x2− 60 x− 24

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SOLUCIÓN

11

ƒ ( x)= x3 − 2 x2 + x+1

ƒ ( x)= x3 − 2 x2 + x+1¿> ' ( x)= 3 x2− 4 x+1

¿>f ' ( x)= (3 x− 1 ) ( x− 1 ))-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03f ' ( x)= 0

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(3 x− 1 ) ( x− 1 )= 0

13

1

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⟨2, +∞ ⟩ ; C+n!) ) )! ) )-- .)


12/20



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SOLUCIÓN

1&

ƒ ( x)= x5 − 5 x3

ƒ ( x)= x5 − 5 x3

¿>ƒ ' ( x)= 5 x2 ( x2− 3)¿>ƒ ' ( x)= 5 x4− 15 x2

f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03

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3

−30

x

+√ 30

f ' ' ( x)= 0 )-) d"2"-= n)- B03 n203 d" n4"5 +n

x= 0 , x= ±√ 62

10 x(2 x2− 3 )= 0n203 d" n4"5 +nd" d0nd"

0− √ 62

+√ 62

P)-) x<− √ 6

2

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13/20



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SOLUCIÓN

1%

ƒ ( x)= 6 x2− x49

ƒ ( x)= 6 x2− x4

9¿>f ' ( x)= 12 x− 4 x

3

9

f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !0312 x− 4 x3

9 = 0

4 x (3 − x2 )= 0

+√ 3− √ 3 x= 0 , x= ± √ 3

¿>f ' ' ( x)= 12 − 2 x2

9

0

)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' ' ( x)= 012 − 2 x2 = 0

n203 d" n4"5 +nd" d0nd" x= ± 1

+1− 1

P)-) − 1 < x0 = ¿f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ⟨− 1,1 ⟩

P)-) x


14/20



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SOLUCIÓN

1'

ƒ ( x)= x x2 +1

ƒ ( x)= x

x2

+1¿>f ' ( x)= 1− x

2

( x2+1 )2f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03

1− x2

( x2 +1 )2= 0

x= ± 1

¿>f ' ' ( x)=(2 x) [ ( x2− 3 ) ]

( x2+1 )31− 1

)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' '

( x)= 0(2 x) [ ( x2 − 3 )]

3 = 0

n203 d" n4"5 +n x= 0, x= ± √ 3d" d0nd"

0 √ 3− √ 3

P)-) x


15/20



>.B

SOLUCIÓN

1(

ƒ ( x)= 5√ x2− 1

ƒ ( x)= 5√ x2− 1

¿>f ' ( x)= 2 x5

5√ ( x2 − 1 )4f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03

2 x

5 5√ ( x2− 1 )4= 0

0 1− 1

¿>f '' ( x)= − 2 (3 x2 +5 )

25 ( 5√ ( x2− 1 )9)

x= 0 y x= ± 1 "3 n n20 d" d 3!0n2 n d)d

− 2 (3 x2 +5 )25 ( 5√ ( x2− 1 )9)

= 0

)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' ' ( x)= 0

n203 d" n4"5 +nd" d0nd" x= ± 1

+1− 1

P)-) − 1 < x0 = ¿f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ⟨− 1,1 ⟩

P)-) x


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>.

SOLUCIÓN

16

f ( x)=( x4 − x )e− x

f ( x)=( x4 − x )e− x¿>f ' ( x)= ( x− 2 )

2 e− x

(4− x)2

( x− 2 )2 e− x

(4 − x)2 = 0

)-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03¿>f ' ( x)= 0

& ' x= 2 x= 4

'&1;d" d0nd" (0,0 ),(1,

13 e ),(2,

1

x2) 30n B03 n203 d" x= 0 x=− 1 x= 2( x− 2 )( x− 1) x e− x

(4 − x)3 = 0

¿>f ' ' ( x)= 0

¿>f ' ' ( x)= ( x− 2 )( x− 1 ) x e− x

(4 − x)3

S x


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>.

SOLUCIÓN

1<

f ( x)= 4 (4 − x2 )

2 2

f ( x)= 4 (4 − x2

)2 2

x= ± 2 √ 3 , x= 0

− 8 x( x2− 12 )2 3

= 0

)-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03¿>f ' ( x)= 0

¿>f ' ( x)= − 8 x( x2− 12 )

2 3

¿>f ' ( x)= − 8 x2 ( x2 +4 )2− 16 x(4 − x2 )( x2 +4 )

2 4

;+2 √ 3− 2 √ 3

¿>f ' ' ( x)= (24 x2− 96 ) ( x2+4 )3− 3 (8 x3− 96 x) ( x2 +4 )2 (2 x)

2 6

¿>f ' ' ( x)= − 24 ( x4− 24 x2 +16 )

2 4

)-) d"2"-= n)- B03 n203 d" n4"5 +n¿>f ' ' ( x)= 0

x= 2 √ 2 − 2, x= 2 √ 2 +2 x=− 2 √ 2− 2, x= 2 − 2 √ 2− 24 ( x4− 24 x2 +16 )

2 4 = 0

2 √ 2+22 √ 2 − 22− 2 √ 2− 2 √ 2−

x f ' ' ( x) C!nc%#=i!ne=

⟨− ∞ ,− 2 √ 2− 2 ⟩ ¿0 C+n!) ) )! )).)/0

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⟨2 √ 2 +2, +∞⟩ ¿0 C+n!) ) )! )).)/0


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6# EJERCICIOS PROPUESTOSD"2"-= n)- B03 n2"- )B03 "n d0nd" B) 7 n! +n "3 !+n!) ) )! ))-- .), !+n!) ) )! ) ).)/0 B03 n203 d" n4"5 +n#

B.(

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1?

f ( x)= x3− 3 x2

f ( x)= 6 x2− x4

f ( x)= ( x+1 )ln 2 ( x+1 )

f ( x)= ( x+1 )3 ( x− 1 )2

f ( x)= x2− 4 x

2

f ( x)= x3

e4− 2 x2

f ( x)= 3√ x2− x

f ( x)= x− tan − 1 x

f ( x)= ( x2 +3 )

√ x2 +1f ( x)= 2 x4− 4 x3

f ( x)= sin x+cos x

f ( x)= x+423√ x− 4

f ( x)= ln e+ 1 x

f ( x)= 2tan−1 x +1 tan −1 x

− 2


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I>LIO@RAFÍA

ESPINOZA RAMOS, E# 9&;; * Análisis Matemático I. Ed 20-)Ed P"- E#I#R#L# L =)#

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1

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