Clase4Sem03_2003

ASIGNATURAASIGNATURAINTRODUCCIÓN AL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DIFUSOCONTROL DIFUSO

Prof. Panayotis S. Tremante M.

Sem 03/2003Sem 03/2003Clase 4Clase 4

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICACOMITÉ ACADÉMICO DE POSTGRADO (CAPEL)

Variable Lingüística

Se define como variable lingüística X, la variable cuyos valores pueden ser palabras o frases en un lenguaje natural o artificial. La variable lingüística puede tomar como valor palabras que se utilizan cotidianamente.

Variable Lingüística Una variable lingüística es caracterizada por (X, T, U, M) donde:• X es el nombre de la variable lingüística; Ej.: X es la velocidad.• T es la serie de valores lingüísticos que X puede tomar; Ej.: T={lento, medio, rápido}.• U es el Universo de discurso (dominio).• M es una regla semántica que se refiere a cada valor lingüístico en T con un conjunto difuso en U; Ej.: M se refiere a “bajo”, “medio” y “rápido” con una función de pertenencia.

Variable Lingüística T(X)

T(velocidad)={lenta, moderada, más o menos rápida, rápida, muy rápida}

Las variables lingüísticas tendrá definida una serie de términos lingüísticos que son un subconjunto del universo considerado.

Los términos lingüísticos incluyen términos primarios y en ocasiones modificadores

Modificador Lingüístico

Los modificadores comúnmente utilizados son “muy” y “mas o menos”, la definición es:

Dado A un conjunto difuso en U, entonces, “muy” de A está definido como un conjunto difuso en U con función de pertenencia igual a:


Modificador “mas o menos”, la definición es:

Dado A un conjunto difuso en U, entonces, “mas o menos” de A está definido como un conjunto difuso en U con función de pertenencia igual a:


Los modificadores lingüísticos se pueden determinar su significado por la aplicación de las funciones elásticas.

Las funciones elásticas son funciones reales donde su dominio está en el intervalo [0, 1]; estas funciones son del tipo contracción elástica y expansión elástica.


1

1

(expansión)

(contracción)2x

2/1x


Existen otros modificadores como: más, ligeramente, también se pueden definir otros modificadores a partir de algunos operadores para conjuntos difusos, Ej.: “No muy”.

Posibilidad - Probabilidad • Una medida difusa es una medida de la posibilidad.

• La Posibilidad es la aptitud, potencia u ocasión de existir las cosas. Se puede decir para que un evento se realice y calcular su probabilidad, éste debe ser posible. Lo posible es anterior a lo probable.

• La posibilidad no implica probabilidad.

Posibilidad - ProbabilidadLofti Zadeh, introdujo las distribuciones de posibilidad que se expresan mediante funciones equivalentes a funciones de pertenencia. Y advierte que:• Al disminuir la posibilidad en una distribución posibilística disminuye también la probabilidad en la correspondiente distribución probabilística.• Lo imposible es a la vez improbable.• Al aumentar la posibilidad no aumenta necesariamente la probabilidad.

Posibilidad - Probabilidad

La teoría de la posibilidad permite tratar la incertidumbre, esto surge durante el desarrollo de la técnicas de control difuso. Esto trae, una nueva visión no probabilística en el tratamiento de la incertidumbre, la incertidumbre comienza a emerger con la noción de conjunto difuso.

Posibilidad - ProbabilidadConsideremos dos equipos electrónicos A y B; A tiene una probabilidad de 0.9 libre de error y a B se le asigna el grado de pertenencia de 0.9 del conjunto libre de error. El primero significa que de cada 100 en funcionamiento, en promedio, el aparato fallará 10 veces, es decir funciona libre de error el 90 por ciento de la puestas en funcionamiento. Mientras que el valor de pertenencia 0.9 significa que el equipo es razonablemente similar a un equipo libre de error, es decir, de buena calidad.


Supongamos ahora que ambos tienen asignado un valor de 0.5 de probabilidad y de pertenencia, respectivamente. El primero nos dice que funcionará 50 por ciento de las veces, mientras que la segunda nos indica que el equipo es de media calidad o mala calidad.


Otro Ejemplo:La posibilidad de que ocurra un accidente automovilístico en una autopista, se puede considerar igual para cualquier automovilista. Sin embargo, la probabilidad de que ocurra aumentará en gran medida si por ejemplo, los cauchos del vehículo están desgastados y más aún si el pavimento de la autopista está húmedo.


Otro Ejemplo:La posibilidad de que un estudiante apruebe un examen existe. Pero, la probabilidad de que apruebe con una buena calificación se verá favorecida si el estudiante asiste a todas las clases, presta atención a las mismas, estudia y practica antes de la evaluación.

Posibilidad - ProbabilidadOtro Ejemplo:Consideremos la siguiente proposición: “Javier comía X huevos para desayunar”, donde X es cualquier valor del universo de discurso, X={1, 2,..., 8}.

X 1 2 3 4 5 6 7 8µcome(x) 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2P(x) 0.1 0.8 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Operador Complemento

Dado c: [0,1][0,1] que es un mapeo que transforma la función de pertenencia de un conjunto difuso A en la función de pertenencia del complemento de A, esto es,

c[µA(x)]=µĀ(x)En el caso del complemento de Zadeh:

c[µA(x)]=1-µA(x)

Operador ComplementoLa función c debe satisfacer las siguientes propiedades:1) c(0) = 1 y c(1) = 0 2) Para todo a, b [0, 1], si a<b, entonces, c(a)c(b), donde a y b son funciones de pertenencia, a=[µA(x)] y b=[µB(x)].

La primera propiedad muestra que un elemento pertenece a un conjunto difuso con grado cero (uno), entonces este debe pertenecer al complemento de este conjunto difuso con grado uno (cero).

Operador Complemento2) Para todo a, b [0, 1], si a<b, entonces, c(a)c(b), donde a y b son funciones de pertenencia, a=[µA(x)] y b=[µB(x)].

La segunda propiedad indica que un incremento en el valor de pertenencia debe resultar igual o decrementar el valor de pertenencia para el complemento.

Una función c: [0,1][0,1] que satisface las dos propiedades anteriores se le llama Complemento Difuso


donde (-1, )

Complemento Difuso Sugeno:


donde w (0, )

Complemento Difuso Yager:


El equilibrio de un Complemento Difuso c está definido como un a [0, 1] tal que c(a)=a

Equilibrio de un Complemento Difuso:

Operador S-norma

La unión de dos conjuntos difusos A y B está especificada por una función S:

µAB(x) = S(µA(x), µB(x)) = µA(x) µB(x)

donde es un operador binario para la función S. Estos operadores de la unión difusa a menudo se llaman T-conorm (o S-norma), operadores que reúne los requisitos básicos siguientes:

Operador S-norma

Un operador T-conorm (o S-norm) es: S:[0,1]X[0,1][0,1], es decir, es una función de dos dimensiones S(.,.) definida sobre el cuadrado unitario cerrado [0,1]X[0,1] a valores [0,1] que satisface las siguientes propiedades:

Límite: S(1,1) = 1, S(a,0) = S(0,a) = aMonotonía: S(a,b) ≤ S(c,d) si a≤c y b≤d

Conmutativa: S(a,b) = S(b,a) Asociativa: S(a, S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Operador S-normaLímite: S(1,1) = 1, S(a,0) = S(0,a) = a

Monotonía: S(a,b) ≤ S(c,d) si a≤c y b≤d Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)

Asociativa: S(a, S(b,c)) = S(S(a,b),c)La primera condición impone la generalización correcta

para conjuntos nítidos. La segunda propiedad implica que una disminución en el valor del número de pertenencia de A o B no puede producir un aumento en el valor del número de pertenencia en A unión B. La tercera propiedad indica que la operación es indiferente en el orden que los conjuntos difusos son combinados. Finalmente, la cuarta propiedad nos permite tomar la unión de cualquier número de conjuntos en cualquier orden par de agrupaciones.

Operador S-norma

Suma Difusa Dombi:

Operador Clásico: S(a, b) = max (a,b)

donde (0, )

Operador S-norma

Suma Difusa Dubais-Prade:

donde [0, 1]

Operador S-norma

donde w (0, )

Suma Difusa Yager:

Operador S-norma

Suma Drástica: S(a, b) =

Suma Algebraica: S(a, b) = a + b – ab

Suma Einstein:

Operador S-norma

Suma Algebraica: Suma Difusa Yager:

max(a,b) S(a, b) Sdrástica(a, b)

para todo a, b [0, 1]

Operador S-norma

Dada la Suma Difusa Dombi, S(a,b), se cumple que:

Operador T-normaLa intersección de dos conjuntos difusos A y B está especificada por una función T:

µAB(x) = T(µA(x), µB(x)) = µA(x) µB(x)

donde es un operador binario para la función T. Estos operadores de la intersección difusa normalmente son llamados operadores T-norma (norma Triangular), que reúne los requisitos básicos siguientes:

Operador T-norma

Un operador T-norma es: T:[0,1]X[0,1][0,1], es decir, es una función de dos dimensiones T(.,.) definida sobre el cuadrado unitario cerrado [0,1]X[0,1] a valores en [0,1] que satisface las siguientes propiedades:

Límite: T(0,0) = 0, T(a,1) = T(1,a) = a Monotonía: T(a,b) ≤ T(c,d) si a≤c y b≤d

Conmutativa: T(a,b) = T(b,a) Asociativa: T(a, T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Operador T-normaLímite: T(0,0) = 0, T(a,1) = T(1,a) = a Monotonía: T(a,b) ≤ T(c,d) si a≤c y b≤d Conmutativa: T(a,b) = T(b,a) Asociativa: T(a, T(b,c)) = T(T(a,b),c)

La primera condición impone la generalización correcta para conjuntos nítidos. La segunda propiedad implica que una disminución en el valor del número de pertenencia de A o B no puede producir un aumento en el valor del número de pertenencia en A intersección B. La tercera propiedad indica que la operación es indiferente en el orden que los conjuntos difusos son combinados. Finalmente, la cuarta propiedad nos permite tomar la intersección de cualquier número de conjuntos en cualquier orden par de agrupaciones.

Operador T-norma

Producto Difuso Dombi:

Operador Clásico: T(a, b) = main (a,b)

donde (0, )

Operador T-norma

Producto Difuso Dubais-Prade:

donde [0, 1]

Operador T-norma

donde w (0, )

Producto Difuso Yager:

Operador T-norma

Producto Drástico: T(a, b) =

Producto Algebraico: T(a, b) = ab

Producto Einstein:

Operador T-norma

Producto Algebraico:Producto Difuso Yager:

Tdrástica(a, b) T(a, b) min(a,b)

para todo a, b [0, 1]

Operador T-norma

Dado el Producto Difuso Dombi, T(a,b), se cumple que:

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