La distribución normal

La distribución normal

La distribución normal fue reconocida

por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). 

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)realizó estudios más profundos formulando la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss". 

Utilidad

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, etc

Utilidad

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual,

+

Características de la distribución Normal

, Mo, Mn

- +

• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas

• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores

• Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )

Puntos de

inflexión

Distribución normal o gaussiana Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la

desviación típica, σ.

Su función de densidad es:

0) (σ π2σ

1)(σ)μ,(

2

2

σ2

μ)(

x

exPN

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

p(x)

Ejercicio

Encuentra la desviación estándar de los siguientes

datos

3

2

3

1

6

Por ejemplo

En el siguiente histograma podemos observar la distribución de frecuencias por peso de acuerdo a la edad. De acuerdo a este teorema, según aumenten la cantidad de datos se podrá trazar una curva que tome cada vez más formación en forma campana.

Propiedades de la distribución normal:

El área bajo la curva aproximado del promedio μ a más o menos una desviación estándar (1σ) es de 68 %, a más o menos 2σ es de 95% y a más o menos 3σ es de 99%.

Teorema del límite central

Nos indica que, bajo condiciones muy generales, según aumenta la cantidad de datos, la distribución de la suma de variables aleatorias tenderá a seguir hacia una distribución normal.

En otras palabras el Teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando el tamaño de la muestra n es suficientemente grande.

La distribución normal estándar

¿Cómo calcular probabilidades asociadas ¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?a una curva normal específica?

Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal reducida o tipificada.

Se define una variable z = xx - -

Es una traslación , y un cambio de escala de la variable original.

La nueva variable z se distribuye como una

NORMAL con media = 0 y desviación típica = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

zz

Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre :

68 % 2 95 % 3 99 %

68%

99%

95%

Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir:

x

z

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema

donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

110

7080

21

68

B

xz

xz

BBB

A

AAA

–No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1).

–Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación al estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca.

Área bajo la curva normal estándar

El área bajo la curva normal estándar es útil para asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X.

Debemos tomar en cuenta que el área total bajo la curva es igual a 1. Y que por ser una gráfica simétrica cada mitad tiene un área de 0.5. .

Encentra el valor Z de los siguientes números

187 207 199 212 196 209

-1.55 0.56 -0.28 1.09 -0.60 0.78