EVALUACIÓN TEMPORAL DEL MÉTODO NÚMERO DE CURVA DE...
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EVALUACIÓN TEMPORAL DEL MÉTODO NÚMERO DE CURVA DE ESCORRENTÍA EN UNA HOYA HIDROGRÁFICA SUB-URBANA A TRAVÉS DE MODELOS ARIMA: ESTUDIO DE CASO QUEBRADA LA VIEJA (BOGOTÁ D.C., COLOMBIA) DANIEL ALEJANDRO AGUILAR GÓMEZ CÓDIGO: 20091180001 LIZETH NATALIA PÁEZ RIVERA CÓDIGO: 20091180048 PROYECTO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO AMBIENTAL EN LA MODALIDAD DE INVESTIGACIÓN (ACUERDO 001 DE 2011) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA AMBIENTAL BOGOTÁ D.C. OCTUBRE DE 2015
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EVALUACIÓN TEMPORAL DEL MÉTODO NÚMERO DE CURVA DE
ESCORRENTÍA EN UNA HOYA HIDROGRÁFICA SUB-URBANA A TRAVÉS
DE MODELOS ARIMA: ESTUDIO DE CASO QUEBRADA LA VIEJA
(BOGOTÁ D.C., COLOMBIA)
DANIEL ALEJANDRO AGUILAR GÓMEZ
CÓDIGO: 20091180001
LIZETH NATALIA PÁEZ RIVERA
CÓDIGO: 20091180048
PROYECTO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO AMBIENTAL EN
LA MODALIDAD DE INVESTIGACIÓN (ACUERDO 001 DE 2011)
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA AMBIENTAL
BOGOTÁ D.C.
OCTUBRE DE 2015
EVALUACIÓN TEMPORAL DEL MÉTODO NÚMERO DE CURVA DE
ESCORRENTÍA EN UNA HOYA HIDROGRÁFICA SUB-URBANA A TRAVÉS
DE MODELOS ARIMA: ESTUDIO DE CASO QUEBRADA LA VIEJA
(BOGOTÁ D.C., COLOMBIA)
DANIEL ALEJANDRO AGUILAR GÓMEZ
CÓDIGO: 20091180001
LIZETH NATALIA PÁEZ RIVERA
CÓDIGO: 20091180048
DIRECTOR
ING. CARLOS ALFONSO ZAFRA MEJÍA
Ph.D. INGENIERÍA AMBIENTAL
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA AMBIENTAL
BOGOTÁ D.C.
OCTUBRE DE 2015
I
“Las ideas emitidas por los autores son de exclusiva responsabilidad y no expresan
necesariamente opiniones de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas”
(Artículo 117, Acuerdo 029 de 1998).
II
AGRADECIMIENTOS
Los autores de este proyecto de investigación queremos agradecer a la subdirección de
geografía y cartografía del Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAG) por el
suministro de la cartografía y las aerofotografías digitales para el desarrollo del
proyecto. Además, extendemos nuestros agradecimientos a entidades de carácter distrital
como la Secretaría Distrital de Ambiente (SDA) y la Empresa de Acueducto y
Alcantarillado de Bogotá (EAAB-ESP) por el suministro de la información
climatológica e hidrológica requerida en la investigación.
Adicionalmente, expresamos nuestra gratitud al Ing. Carlos Alfonso Zafra Mejía,
director de la tesis, por el interés, dedicación y compromiso mostrado durante todo este
proceso.
Finalmente, deseamos agradecer nuestros colegas, familiares, amigos, y demás personas
que con su apoyo hicieron posible la finalización de este trabajo.
III
DEDICATORIA
A Dios por enseñarme que con perseverancia y dedicación puedo alcanzar
todas las metas y objetivos que me proponga. Además, por darme la sabiduría,
paciencia y fuerzas necesarias para llevar este proyecto a buen puerto.
A mi familia, especialmente a mi madre, por su amor y apoyo incondicional.
A Carol Hernández, por acompañarme durante este proceso y alentarme a
seguir adelante a pesar de las dificultades.
Daniel Alejandro Aguilar Gómez
A Dios, quien es el principio y el final de todo.
Lizeth Natalia Páez
IV
Nota de Aceptación
Director: Carlos Alfonso Zafra Mejía
Ingeniero Civil
Ph.D en Ingeniería Ambiental
Jurado: Néstor Ricardo Bernal Suárez
Estadístico
Jurado: Jorge Alberto Valero Fandiño
Ingeniero Civil
Bogotá D.C., 13 de octubre de 2015
V
RESUMEN
Los cambios globales en el enfoque de estudio de las variables ambientales han hecho
que el análisis de series de tiempo se convierta en una de las principales herramientas de
la ciencia moderna, permitiendo proponer nuevos modelos de simulación ambiental y
evaluar los anteriormente desarrollados. La presente tesis se centra en evaluar el ajuste
de la estructura temporal del método Número de Curva Escorrentía propuesto por el Soil
Conservation Service, en la hoya hidrográfica sub-urbana Quebrada La Vieja para el
período comprendido entre el ocho de abril de 2010 y el 31 de diciembre de 2014.
Para realizar el análisis se emplearon principalmente los modelos ARIMA; además de la
prueba de bondad de ajuste de Kolmogórov-Smirnov, y diferentes estadísticos que
permitieron analizar y comparar la serie de caudales estimados a partir del método de
CN y la serie de caudales medidos por la estación hidrométrica Ventana Captación de la
Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB-ESP).
Los resultados obtenidos sugirieron que el método Número de Curva tiende a
sobreestimar el régimen de caudales pico y medios diarios de la hoya hidrográfica.
Adicionalmente, se evidenció que estos regímenes de caudales presentan un
comportamiento temporal similar pero que no se ajusta a la estructura temporal del
régimen de caudales medios diarios observados en la zona alta de la hoya hidrográfica
Quebrada La Vieja.
Palabras clave: Método Número de Curva, Escorrentía, modelos ARIMA, series de
tiempo, estructura temporal.
VI
ABSTRACT AND KEYWORDS
Global Changes in the approach of the study of environmental variables have made time
series analysis become one of the main tools of modern science, allowing scientist to
propose new models for environmental simulation and also to evaluate previously
developed. This thesis focuses on assessing the temporal structure fit of Runoff Curve
Number Method proposed by the Soil Conservation Service in the sub - urban watershed
Quebrada La Vieja from April 8, 2010 and the December 31, 2014.
ARIMA models were used to perform the analysis; besides the Kolmogorov- Smirnov
goodness of fit test, and different statistical that let us analyze and compare the time
series of flow calculated with the Curve Number Method (CN) and the one of flows
measured by the hydrometric station Ventana Captación bellowing to the Water and
Sewerage Company of Bogotá ( EAAB - ESP) .
The results suggested that the Curve Number Method tends to overestimate the rate of
peak and average daily flows of the watershed. Additionally, it was shown that these
flow regimes present a similar temporal behavior, but it does not fit to the temporal
structure of the average daily flows observed in the upper part of the watershed
Quebrada La Vieja
Keywords: Curve Number Method, runoff, ARIMA models, time series, temporal
structure.
VII
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 14
1. ANTECEDENTES ................................................................................................... 16
1.1 Planteamiento del problema .............................................................................. 16
1.2 Justificación ....................................................................................................... 20
1.3 Objetivos ........................................................................................................... 24
1.3.1 General ....................................................................................................... 24
1.3.2 Específicos ................................................................................................. 24
2. MARCO REFERENCIAL ........................................................................................ 25
2.1 Elementos conceptuales .................................................................................... 25
2.1.1 Hidrología .................................................................................................. 25
2.2 Técnicas y métodos utilizados en el área de investigación ............................... 31
2.2.1 Método del U.S. SCS (Soil Conservation Service of USA) ...................... 31
2.2.2 Hidrográma de caudal ................................................................................ 36
2.2.3 Modelos ARIMA ....................................................................................... 38
2.3 Experiencias nacionales e internacionales en el área de investigación ............. 41
2.4 Descripción de la zona de estudio ..................................................................... 43
2.5 Normatividad y legislación asociada ................................................................. 44
3. MATERIALES Y MÉTODOS ................................................................................. 46
3.1 Escala temporal ................................................................................................. 46
3.2 Materiales .......................................................................................................... 46
3.3 Metodología ....................................................................................................... 47
3.3.1 Análisis exploratorio de datos .................................................................... 49
3.3.2 Caracterización del área de estudio ............................................................ 50
3.3.3 Aplicación del método del Número de Curva (CN)................................... 51
3.3.4 Validación de variables .............................................................................. 53
3.3.5 Incorporación de modelos ARIMA ............................................................ 54
4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN .............................................................................. 58
4.1 Análisis exploratorio de datos: series de tiempo ............................................... 58
4.2 Caracterización del área de estudio ................................................................... 61
4.2.1 Delimitación y parámetros morfométricos................................................. 61
VIII
4.2.2 Tipos de suelos, usos y tratamientos .......................................................... 64
4.2.3 Caudal base ................................................................................................ 65
4.3 Aplicación del método Número de Curva de Escorrentía (CN) ........................ 69
4.3.1 Comparación de caudales estimados y observados .................................... 74
4.4 Validación de variables ..................................................................................... 77
4.4.1 Verificación del Número de Curva de Escorrentía (CN) ........................... 77
4.4.2 Bondad del ajuste de la distribución normal .............................................. 78
4.5 Incorporación de modelos ARIMA ................................................................... 81
4.5.1 Análisis de regresión .................................................................................. 81
4.5.2 Construcción de modelos ARIMA ............................................................. 84
4.5.3 Comparación de modelos ........................................................................... 99
5. CONCLUSIONES .................................................................................................. 104
6. RECOMENDACIONES ......................................................................................... 107
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 109
IX
LISTA DE ANEXOS
Anexo A. Mapas elaborados del área de estudio
Anexo B. Estimación y verificación de modelos ARIMA preliminares de series
de tiempo de precipitación y caudal
112
117
Anexo C. Series de tiempo de caudal y precipitación empleados en el proyecto
de investigación
124
Anexo D. Metodología de cálculo de los parámetros morfométricos evaluados
en el área de estudio
135
Anexo E. Descripción de las unidades cartográficas de suelos, usos y
tratamientos del suelo del área de estudio
142
Anexo F. Diagramas para la determinación de períodos secos y caudal base 146
Anexo G. Criterios de equivalencia de variables del método CN 161
Anexo H. Resultados aplicación método Número de Curva Escorrentía (CN) 163
Anexo I. Resultados verificación Número de Curva de Escorrentía (CN) 236
Anexo J. Gráficas de la prueba de normalidad realizadas a las series de tiempo
de caudal evaluadas
238
Anexo K. Identificación, estimación y verificación de modelos ARIMA para
para la serie de tiempo de caudales observados en el área de estudio
Anexo L. Estimación y verificación de modelos ARIMA para la serie de
tiempo de caudales pico estimados a través de método CN
240
256
Anexo M. Estimación y verificación del modelo ARIMA(0,1,4) para para la
serie de tiempo caudales observados en el área de estudio
263
X
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Esquema del ciclo hidrológico.......................................................................... 26
Figura 2. Representación de la cuenca como sistema hidrológico................................... 28
Figura 3. Clasificación de los modelos hidrológicos utilizando criterios de
generalización o regionalización. ..................................................................................... 30
Figura 4. Solución de las ecuaciones de escorrentía del modelo SCS. ............................ 33
Figura 5. Hidrograma de tormenta y sus componentes. ................................................... 36
Figura 6. Hidrograma sintético triangular. ....................................................................... 37
Figura 7. Diagrama de la metodología de construcción de modelos ARIMA.. ............... 41
Figura 8. Imagen satelital de la Quebrada La Vieja.. ....................................................... 44
Figura 9. Diagrama general de la metodología del proyecto ........................................... 48
Figura 10. Perfil topográfico del cauce principal de la hoya hidrográfica de la Quebrada
La Vieja y ubicación de las estaciones hidrometereológicas de la EAAB-ESP empleadas
en el proyecto de investigación. ....................................................................................... 60
Figura 11. Esquema general de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja ....................... 62
Figura 12. Diagrama Ombrotérmico para el año 2010. ................................................... 66
Figura 13. Hidrográma de caudal para el rango medio (abril a julio) del año 2010. ....... 68
Figura 14. Serie de tiempo de caudales pico estimados a través del método CN para el
periodo de estudio ............................................................................................................ 71
Figura 15. Serie de tiempo de caudal medio calculado a partir de los resultados del
método CN para el período de estudio. ............................................................................ 72
Figura 16. Gráfica de superficie de la ecuación de Precipitación efectiva. ..................... 74
XI
Figura 17. Comparación gráfica de la serie de caudal pico estimado a través del Número
de Curva, caudal medio calculado y la serie de caudal medido por la estación La
Ventana Captación. .......................................................................................................... 76
Figura 18. Distribuciones acumuladas de las series de tiempo de caudal pico estimado y
caudal medio observado, evaluadas en el proyecto de investigación. ............................ 79
Figura 19. Distribuciones acumuladas de las series de tiempo de caudal medio calculado
y caudal medio observado, evaluadas en el proyecto de investigación. .......................... 80
Figura 20. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de
caudales pico diarios estimados a través del método CN (m3/s) para las diferentes
condiciones antecedentes de humedad ............................................................................. 81
Figura 21. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de
caudales medios calculados (m3/s) para las diferentes condiciones antecedentes de
humedad ........................................................................................................................... 82
Figura 22. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de
caudales medios diarios observados (m3/s) para las diferentes condiciones antecedentes
de humedad ...................................................................................................................... 82
Figura 23. Serie de caudales pico diarios estimados a través del método CN. ............... 85
Figura 24. FAC muestral de la serie de caudales pico diarios estimados a través del
método CN. ...................................................................................................................... 86
Figura 25. Residuales del modelo ARIMA(0,1,1) para la serie de caudales pico diarios
estimados a través del método CN. .................................................................................. 92
Figura 26. Relación variables de estudio y sus modelos ARIMA respectivos. ............. 100
Figura 27. Periodograma de las series de tiempo evaluadas en la investigación.. ......... 101
XII
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Clasificación hidrológica de los suelos. ............................................................. 34
Tabla 2. Precipitación acumulada para tres condiciones de humedad antecedente ......... 34
Tabla 3. Valores de números adimensionales de curva CN para diferentes usos de la
tierra y condición antecedente de humedad II.................................................................. 35
Tabla 4. Normatividad y legislación aplicable al proyecto de investigación ................... 45
Tabla 5. Materiales e información empleada en el proyecto de investigación ................ 46
Tabla 6. Comportamiento de la FAS y la FAP para procesos AR, MA y ARMA ........... 56
Tabla 7. Coeficiente de correlación de las estaciones de la Red de Monitoreo y Calidad
de Aire de Bogotá (RMCAB) frente a la estación San Luis (EAAB-ESP).. ................... 59
Tabla 8. Modelos ARIMA preliminares de las series de tiempo de precipitación y
caudales observados en la hoya hidrográfica Quebrada La vieja .................................... 61
Tabla 9. Parámetros morfométricos del área de estudio .................................................. 63
Tabla 10. Usos y tratamientos del suelo presentes en el área de estudio ......................... 64
Tabla 11. Clasificación de los meses de estudio en los rangos de caudal propuestos. .... 67
Tabla 12. Caudal base mensual para el período de estudio (m3/s). ................................. 68
Tabla 13. Equivalencia de variables de unidad de suelos y cobertura de la tierra ........... 69
Tabla 14. Valores de Número de curva (CN) para las categorías presentes en el área de
estudio. ............................................................................................................................. 70
Tabla 15. Resultado de las medidas estadísticas aplicadas a las series de datos. ............ 75
Tabla 16. Resultados del análisis de regresión para las series evaluadas ........................ 83
Tabla 17. FAC y FACP muestrales de la serie de caudales pico diarios estimados a
través del métod ...................................................................................... 88
Tabla 18. Autocorrelaciones de los residuales del modelo ARIMA(0,1,1) ..................... 92
XIII
Tabla 19. Modelos satisfactorios definitivos y estadísticos de ajuste .............................. 96
Tabla 20. Estadísticos de ajuste del modelo ARIMA (1,0,3) ......................................... 102
14
INTRODUCCIÓN
El método Número de Curva de Escorrentía (CN) propuesto por el Soil Conservation
Service (Servicio de Conservación de Suelos de los Estados Unidos de América), es un
modelo determinístico conceptual de la relación precipitación-escorrentía el cual es
empleado en la estimación de caudales máximos de escorrentía directa en hoyas
hidrográficas. Estos caudales de escorrentía son indispensables en la toma de decisiones
a nivel ingenieril en ámbitos como el ordenamiento y planificación territorial, la gestión
de hoyas hidrográficas, la prevención de desastres y emergencias, y en el diseño de
obras civiles.
Ahora bien, en Colombia la combinación de factores naturales como el cambio climático
y antrópicos como la deforestación han desencadenado un aumento de la escorrentía
superficial y por ende el incremento en el nivel de riesgo hidrológico de hoyas
hidrográficas tanto suburbanas como urbanas. En consecuencia, es necesario evaluar la
fiabilidad de los caudales máximos de escorrentía estimados de métodos como el del
Número de Curva de Escorrentía desde una perspectiva temporal y su ajuste al
fenómeno precipitación-escorrentía en cuencas colombianas.
En este sentido, los modelos estocásticos ARIMA que por estar constituidos por tres
componentes: autorregresivo (p), integrado (d) y promedios móviles (q); donde el
primero brinda información sobre la memoria del fenómeno y los últimos frente
aleatoriedad del mismo, son de gran utilidad en la caracterización de la estructura
temporal de series tiempo.
15
Con base en lo anterior, el presente proyecto de grado para optar al título de Ingeniero
Ambiental bajo la modalidad de investigación propone evaluar la estructura temporal de
los caudales diarios estimados por el método Número de Curva Escorrentía en la zona
alta de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja (Bogotá, Colombia) entre los años 2010
y 2014. Razón por la cual, empleando los datos diarios de precipitación de la estación
San Luis y los datos de caudal medio de la estación ventana captación de la Empresa de
Acueducto y alcantarillado de Bogotá (EAAB-ESP); inicialmente se emplea el método
CN para las condiciones hidrológicas de la zona de estudio y posteriormente se utiliza la
estrategia de construcción de modelos para series de tiempo desarrollada por Box &
Jenkins (1970), con el objeto de identificar los modelos ARIMA que se ajusten
adecuadamente a la serie de caudales máximos estimados y medios observados.
Finalmente, el proyecto de investigación se encuentra estructurado por capítulos. En el
capítulo denominado antecedentes se aborda el planteamiento del problema, la
justificación y los objetivos de la investigación. Posteriormente, en el capítulo marco
referencial se esbozan los elementos conceptuales, las técnicas y métodos, las
experiencias nacionales e internacionales, la normatividad y legislación asociada a la
investigación. En el siguiente capítulo expone los materiales y la metodología
empleados, mientras que en los capítulos subsecuentes muestran los resultados obtenidos
y su análisis, las conclusiones a las que se llegó con este trabajo y algunas sugerencias
para tener en cuenta en próximas investigaciones que aborden esta temática.
16
1. ANTECEDENTES
1.1 Planteamiento del problema
El uso de modelos matemáticos aplicados a fenómenos naturales es una de las
herramientas más empleadas en la actualidad para la obtención de predicciones que
soporten la toma de decisiones a nivel ingenieril.
El método de número de curva escorrentía es la propuesta para la estimación de caudales
de escorrentía más difundida a nivel mundial tras su desarrollo en el año de 1972 por el
Soil Conservation Service (Alonso, 2001). En la actualidad el método ha alcanzado una
alta aplicación, sobre todo en los países en desarrollo debido al requerimiento de pocos
datos físicos y meteorológicos (Weber & Jorquera, 2010).
Por otra parte, los modelos ARIMA fueron desarrollados alrededor de los años setentas a
fin de facilitar el análisis de fenómenos estocásticos y estacionarios en donde la variable
tiempo juega un papel fundamental (Arce & Mahía, 2001). Estos son modelos
estadísticos para series de tiempo que tienen en cuenta la dependencia existente entre los
datos, por ende cada observación es modelada en función de los valores anteriores
(Fernández, 2013). A pesar de que los modelos ARIMA fueron desarrollados en primer
lugar como herramienta econométrica, estos han encontrado dentro de la climatología e
hidrología un amplio espectro de aplicación debido a que estas áreas del conocimiento
estudian fenómenos y variables que presentan comportamientos que pueden ser
abordados desde la concepción de un modelo (Maté, 2013).
17
A modo de ejemplo, los modelos ARIMA se han empleado como modelo para la
predicción de caudales de cuencas en Colombia, en el artículo "Aplicación de los
métodos Mars, Holt-Winters y ARIMA generalizado en el pronóstico de caudales
medios mensuales en ríos de Antioquia" (Sánchez, 2006), el modelo ARIMA
generalizado se utilizó como modelo de predicción en los ríos Nare, Guatapé, Guadalupe
y río Grande II. Estos modelos también se han empleado para evaluar la periodicidad de
fenómenos climáticos; un ejemplo de ello es el artículo "Análisis de las periodicidades
de los caudales medios mensuales en la cuenca del Río Santa" (Reyes et al., 2010), en el
cual, el uso de modelos ARIMA permitió el estudio de las series de tiempo de 14
estaciones hidrométricas.
No obstante, en Colombia como consecuencia de la limitada información climatológica
e hidrológica de las cuencas se hace necesario la aplicación del método Número de
Curva Escorrentía como herramienta para la determinación de caudales. Sin embargo, la
fiabilidad de los caudales estimados debe ser evaluada bajo una perspectiva temporal,
debido al cambio de las condiciones ambientales bajo las cuales se aplica el método,
reconociendo que dichas variables pueden llegar a afectar el grado de exactitud de las
predicciones obtenidas. Más aún cuando en las últimas décadas las cuencas hidrológicas
suburbanas y urbanas han presentado un aumento en su nivel de riesgo hidrológico, es
decir, la probabilidad de que en ellas ocurra un evento hidrometeorológico que exceda
un valor específico de daños sociales y económicos (USAL, 2013). De acuerdo a la
segunda comunicación nacional ante la convención marco de las naciones unidas sobre
cambio climático, en Colombia se ha incrementado significativamente el registro de
eventos hidrometeorológicos extremos en las últimas dos décadas.
18
La situación mencionada se genera por la combinación de factores tanto naturales como
antrópicos; dentro de los factores naturales es importante mencionar el papel que
desempeña el fenómeno del cambio climático en los países del neo-trópico, que deriva
en un aumento de las precipitaciones en las temporadas de lluvia que superan la
capacidad de amortiguamiento de las mismas en las cuencas. En cuanto a los factores
producidos por las actividades humanas se destaca la elevada concentración demográfica
en las zonas urbanas, deforestación de las zonas altas de las cuencas junto con el
incremento de las áreas impermeables que representa la disminución de la permeabilidad
natural del suelo y, por ende, el incremento de la escorrentía superficial y la disminución
del tiempo de concentración de la hoya hidrográfica (Norambuena, 2009).
Este aumento del riesgo hidrológico también se ha evidenciado en la ciudad de Bogotá
D.C. (Colombia), donde encontramos un complejo esquema hídrico en el que se
relacionan quebradas y humedales aledaños a las áreas urbanizadas e incluso inmersos
en éstas; que bajo las condiciones de alta precipitación de la ciudad, donde según la
Secretaría Distrital de Ambiente la precipitación anual de los últimos tres años se ha
mantenido en un rango entre 688,20 y 1085,10 mm. De esta manera, es frecuente
observar los sistemas de drenaje desbordados en tiempos de lluvia debido a los grandes
volúmenes de agua pluvial que se reciben provenientes de las zonas urbanas
impermeables, sobrepasando en muchas ocasiones la capacidad de los colectores y
generando inundaciones (SDA, 2011).
Esta problemática aumentará en los próximos años debido a la carencia de una
evaluación técnica, en primer lugar, de la estructura temporal de las estimaciones de
caudales máximos generadas a través de métodos como el Número de Curva de
19
Escorrentía y, en segundo lugar, de la respuesta que este método presenta frente a
fenómenos como la estacionalidad de las lluvias y el cambio climático.
Bajo los anteriores planteamientos, se establecieron las siguientes preguntas de
investigación:
¿Qué caudales máximos de escorrentía estimará el método del Número de Curva
al emplearse bajo las características hidrológicas de la hoya hidrográfica
Quebrada La Vieja en la ciudad de Bogotá D.C.?
¿Existe un modelo ARIMA que permita analizar la estructura temporal de los
caudales estimados a partir del método Número de Curva Escorrentía para el
caso de estudio?
¿Existe un modelo ARIMA que permita analizar el comportamiento temporal de
los caudales observados en campo en la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja en
su zona alta?
¿Las predicciones del método Número de Curva de Escorrentía se ajustan a la
estructura temporal de los caudales observados en campo en la hoya
hidrográfica Quebrada la Vieja?
20
1.2 Justificación
El estudio de los fenómenos naturales ha sido uno de los principales enfoques del
conocimiento científico; la necesidad de entender el medio circundante y los fenómenos
que en éste tienen lugar ha sido esencial en los procesos de transformación y adaptación
realizados por el hombre.
La precipitación y escorrentía no han logrado escapar de dicho estudio; han sido objeto
de análisis complejos que permiten la formulación de modelos de simulación capaces de
generar predicciones a futuro de los comportamientos de una determinada cuenca
hidrográfica. Estos modelos han sido implementados en diferentes áreas de la ingeniería;
desempeñando un papel importante en la toma de decisiones técnicas como la
prevención y mitigación de emergencias entendidas como inundaciones, la ordenación
del territorio, el desarrollo de fuentes alternativas de energía e incluso el diseño de obras
civiles.
Uno de estos métodos es el propuesto por el Soil Conservation Service (S.C.S.)
conocido como el método Número de Curva de Escorrentía, el cual ha sido aplicado
ampliamente en áreas con diversos usos y tratamientos del suelo como por ejemplo en el
trabajo: "Número de curva escurrimiento para una microcuenca de Pampa Ondulada
bajo labranza convencional y siembra directa" (Chagas et al., 2008); a su vez este
método ha sido integrado con sistemas de información geográfica como en el caso de
"Generación automática del número de curva con sistemas de información geográfica"
(Ferrér et al., 1995).
21
Sin embargo, debido a los cambios recientes en el comportamiento del clima,
evidenciados en inundaciones y sequías antes no registradas, se hace necesario evaluar el
comportamiento de los modelos tradicionales ante los efectos generados por fenómenos
como el cambio climático, los cambios en el uso y tratamiento del suelo, la
deforestación y muchas otras variables que pueden repercutir de manera directa en la
correcta modelación de los fenómenos hidrológicos y climáticos (Poveda & Alváres,
2012).
Un ejemplo de los efectos de la variabilidad climática extrema en el país fueron las
inundaciones que se presentaron en el 2010 y que están vinculadas con la ocurrencia del
fenómeno de La Niña; la revista Semana expone en uno de sus artículos que las lluvias
registradas durante ese año no se habían presentado desde hace 75 años en Colombia, de
acuerdo a los registros meteorológicos del Instituto de Hidrología, Meteorología y
Estudios Ambientales (IDEAM), y a los análisis que realiza el Instituto Geográfico
Agustín Codazzi (IGAC).
Debido a estos cambios en el comportamiento del clima, inducidos principalmente por
las actividades antrópicas, se hace necesario evaluar a través de modelos ARIMA la
estructura temporal y periodicidad de las estimaciones de los caudales generados al
emplear el método de Número de Curva de Escorrentía. Lo anterior, bajo el hecho de
que este es el método más empleado para calcular la escorrentía generada por un evento
de precipitación en cuencas de dimensiones pequeñas y con información deficiente o
poco confiable (Mongil, 2010); lo cual es indispensable para el diseño obras de
infraestructura para el manejo de las aguas de escorrentía en áreas urbanas y suburbanas.
22
Los modelos ARIMA se seleccionan como una herramienta de análisis debido a su
utilidad en la caracterización de series de tiempo, estableciendo como referencia de
comparación los valores que asumen los tres parámetros que componen el modelo
generado. Estos tres parámetros tipifican la estructura temporal de los datos analizados
mediante el componente autorregresivo (p), el componente de promedios móviles (q) y
el componente integrado (d); donde el primero brinda información sobre la memoria del
fenómeno y los últimos frente a la aleatoriedad del mismo.
Desde la formación académica como Ingeniero Ambiental que ofrece la Universidad
Distrital Francisco José de Caldas, se cuenta con la capacidad de investigar y realizar
aportes en materia de ordenamiento territorial, el cual debe apoyarse en técnicas
confiables de predicción de fenómenos hidrológicos. Lo anterior, toma relevancia en el
distrito capital ya que en los últimos años se ha buscado establecer un modelo de ciudad
sostenible que contemple a sus cuerpos de agua y la Gestión Integral del Riesgo como
ejes articuladores de su planeación territorial y, además, que esté en la capacidad de
adaptarse y mitigar los efectos del cambio climático.
A su vez, este proyecto de investigación representa un beneficio al sector público en los
ámbitos nacional, regional y distrital dado que proporciona una herramienta de soporte
científico para la toma de decisiones y manejo de los recursos naturales como lo
establecen los principios contemplados en la Ley 99 de 1993. Así, por ejemplo en el
distrito capital, el Sistema Distrital de Gestión de Riesgos y Cambio Climático (SDGR-
CC), creado mediante el Acuerdo 546 de 2013, y que tiene como objetivo el
23
conocimiento y reducción permanente de los riesgos en la sociedad, dispondrá de
información más confiable para la disminución de los riesgos asociados con
inundaciones en el área urbana y suburbana de la ciudad, generando a su vez el ahorro
de recursos empleados a la atención de desastres. Adicionalmente, entidades integrantes
del SDGR-CC, como la Secretaría Distrital de Ambiente de Bogotá D.C. (SDA) y la
Empresa de Acueducto, Alcantarillado y Aseo de Bogotá E.S.P. (EAB-ESP) dispondrán
de insumos confiables para la definición de rondas hídricas y zonas de exclusión para el
manejo, conservación y protección del recurso hídrico, y el desarrollo de diseños de
estructuras de manejo de la escorrentía y el control de inundaciones. Igualmente, la
combinación de todos estos beneficios repercutirá positivamente en las comunidades que
habitan en las zonas susceptibles de inundación, quienes asumen las pérdidas humanas y
económicas en estos eventos.
Considerando el compromiso que tiene la Universidad Distrital Francisco José de Caldas
con las problemáticas ambientales de la ciudad, se seleccionó como área de estudio la
hoya hidrográfica Quebrada La Vieja (localidad de Chapinero) debido a la facilidad de
consecución de los datos; además de presentar diferentes condiciones de uso y
tratamiento del suelo que actúan como variables de alto impacto en las estimaciones del
método Número de Curva de Escorrentía y en la estructura temporal del fenómeno
lluvia-escorrentía de la cuenca.
24
1.3 Objetivos
1.3.1 General
Evaluar la estructura temporal de los caudales estimados por el método Número
de Curva de Escorrentía en la hoya hidrográfica suburbana Quebrada La Vieja -
zona alta- a través del desarrollo de modelos preliminares ARIMA para un
período de 5 años.
1.3.2 Específicos
Estimar los caudales de escorrentía en la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja
basándose en la evaluación de sus características hidrológicas y empleando el
método de Número de Curva de Escorrentía.
Establecer el modelo ARIMA más adecuado para los caudales estimados por el
método de Número de Curva de Escorrentía en la hoya hidrográfica Quebrada La
Vieja mediante la utilización del programa informático IBM-SPSS.
Establecer el modelo ARIMA más adecuado para los caudales observados en
campo en la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja, en su zona alta, mediante la
utilización del programa informático IBM-SPSS.
Comparar la estructura temporal de los caudales estimados y los observados en
campo en la hoya hidrográfica de la Quebrada La Vieja, mediante modelos
ARIMA.
25
2. MARCO REFERENCIAL
2.1 Elementos conceptuales
2.1.1 Hidrología
2.1.1.1 El agua y la hidrología
El agua es la sustancia más abundante del planeta Tierra y el principal constituyente de
los seres vivos que la habitan (Chow et al., 1994). Adicionalmente, desempeña una
función esencial para el adecuado funcionamiento de la biosfera y como integrante del
medio ambiente (UNESCO, 2014). Al tener en cuenta los argumentos anteriores sobre la
importancia del agua, surge la necesidad de su estudio y con ello nace la hidrología que
se define como “la ciencia natural que estudia al agua, su ocurrencia, circulación y
distribución en la superficie terrestre, sus propiedades químicas y físicas, su interacción
con el ambiente y con los seres vivos y en particular con los seres humanos” (Chow et
al., 1994).
2.1.1.2 El ciclo hidrológico
Para la hidrología el concepto de ciclo hidrológico es fundamental y se constituye en su
eje central (ver Figura 1). Al respecto, Aparicio (1992) describió el ciclo hidrológico de
la siguiente manera:
“Como todo ciclo, el hidrológico no tiene principio y su descripción puede comenzar en
cualquier punto. El agua que se encuentra sobre la superficie terrestre o muy cerca de
ella se evapora bajo el efecto de la radicación solar y el viento. El vapor de agua, que así
se forma, se eleva y se transporta por la atmósfera en forma de nubes hasta que se
condensa y cae hacia la tierra en forma de precipitación. Durante su trayecto hacia la
26
superficie de la tierra, el agua precipitada puede volver a evaporarse o ser interceptada
por las plantas o las construcciones, luego fluye por la superficie hasta las corrientes o se
infiltra. El agua interceptada y una parte de la infiltrada y de la que corre por la
superficie se evapora nuevamente. De la precipitación que llega a las corrientes, una
parte se infiltra y otra llega hasta los océanos y otros grandes cuerpos de agua, como
presas y lagos. Del agua infiltrada, una parte es absorbida por las plantas y
posteriormente es transpirada, casi en su totalidad, hacia la atmósfera y otra parte fluye
bajo la superficie de la tierra hacia las corrientes, el mar u otros cuerpos de agua, o bien
hacia zonas profundas del suelo (percolación) para ser almacenada como subterránea y
después aflorar en manantiales, ríos o el mar.”
Figura 1. Esquema del ciclo hidrológico.
Fuente: Civilgeeks. [En línea]. Disponible en: http://civilgeeks.com/wp-
content/uploads/2011/06/Gu%C3%ADa-de-estudio-sobre-ciclo-Hidrol%C3%B3gico.jpg [Último acceso:
09 Mayo 2014]
27
2.1.1.3 La hoya hidrográfica
La hoya hidrográfica es la unidad básica de estudio de la hidrología y en pocas palabras
es “una zona de la superficie terrestre en donde (si fuera impermeable) las gotas de
lluvia que caen sobre ella tienden a ser drenadas por el sistema de corrientes hacia un
mismo punto de salida” (Aparicio, 1992). Por otro lado, la legislación colombiana en el
Código Nacional de Recursos Naturales define la cuenca u hoya hidrográfica como “el
área de aguas superficiales o subterráneas, que vierten a una red natural con uno o varios
cauces naturales, de caudal continuo o intermitente, que confluyen en un curso mayor
que, a su vez, puede desembocar en un rio principal, en un deposito natural de aguas, en
un pantano o directamente en el mar” (“Decreto 2811”, 1974). Finalmente, las hoyas
hidrográficas se encuentran delimitadas por la línea del divorcio de aguas o parteaguas
que es “una línea imaginaria formada por los puntos de mayor nivel topográfico y que
separa la hoya hidrográfica de las hoyas vecinas” (Aparicio, 1992).
2.1.1.4 El sistema hidrológico
Los fenómenos hidrológicos se caracterizan por ser complejos, lo cual genera que
muchas veces no se puedan describir a través de leyes físicas exactas, o que al ser
empleadas estas leyes, se genere un mayor error de aproximación. Es por este motivo
que se abordan desde el concepto de sistema que por definición es “un conjunto de
partes conectadas entre sí, que forman un todo” (Chow et al., 1994). Es decir, lo que
realmente se busca es la construcción de un modelo que establezca la relación entre las
entradas y salidas presentes en el sistema.
En consecuencia, es posible hablar de un sistema hidrológico que se define como “una
estructura o volumen en el espacio, rodeada por una frontera, que acepta agua y otras
28
entradas, opera en ellas internamente y las produce como salidas” (Chow et al., 1994).
Adicionalmente, la mayoría de estos sistemas hidrológicos se caracterizan por su
aleatoriedad ya que su principal entrada es la precipitación, la cual es un fenómeno
variable e impredecible (Chow et al., 1994). La ecuación [I] se considera como la
expresión matemática fundamental de la hidrología, en donde, S es el volumen de agua
almacenada y los términos I y Q corresponden a los flujos de entrada y salida
respectivamente.
[I]
En síntesis, se puede decir que el objetivo principal del análisis del sistema hidrológico
es estudiar cómo es la operación del sistema para finalmente predecir su salida” (Chow
et al., 1994). A modo de ejemplo, observemos la Figura 2 en la cual se esquematiza la
hoya hidrográfica como un sistema hidrológico, en donde la frontera del sistema está
delimitada por la divisoria de aguas, la principal entrada y salida del sistema son la
precipitación y el caudal respectivamente.
Figura 2. Representación de la cuenca como sistema hidrológico. Fuente: (Chow et al., 1994).
29
2.1.1.5 Balance hídrico
A partir del concepto de cuenca desde el punto de vista de sistemas; surge el balance
hídrico empleado por el meteorólogo Thornthwaite en el año de 1944 para referirse a la
contabilidad que se podía establecer entre las entradas y las salidas de una cuenca.
(Aranda, 1998, pág. 64). Para la aplicación de este concepto se define la precipitación
como la principal entrada y fuente primaria del agua de la superficie terrestre. (Chow et
al., 1994).
Con la precipitación surgen diferentes conceptos asociados, como el de escurrimiento,
definido como el agua proveniente de la precipitación que fluye sobre o bajo la
superficie terrestre; pudiéndose clasificar en escurrimiento directo y escurrimiento base.
El escurrimiento directo se relaciona con una tormenta en particular ya que proviene de
la precipitación efectiva, que es aquella que no se infiltra ni es retenida por el suelo. Por
su parte, el escurrimiento base o subterráneo, se produce bajo el nivel freático y es de
velocidad baja, siendo el único que alimenta los cauces cuando no hay precipitación
(Aparicio, 1992).
2.1.1.6 Modelos hidrológicos y su clasificación
Por definición un modelo de sistema hidrológico es “una aproximación al sistema real;
sus entradas y salidas son variables hidrológicas mesurables y su estructura es un
conjunto de ecuaciones que conectan las entradas y las salidas” (Chow et al., 1994).
Diversos autores han clasificado los modelos hidrológicos existentes siguiendo
diferentes criterios, por ejemplo, la Figura 3 muestra la propuesta de clasificación
desarrollada por los autores Smith y Rendón (1997), en la cual, los modelos se agrupan
inicialmente en modelos de generalización o regionalización; los modelos de
30
regionalización son usados en condiciones de poca o ninguna información de entradas y
salidas, y los modelos de generalización se usan cuando existe información de las
entradas y salidas del sistema que permite calibrar los parámetros.
Figura 3. Clasificación de los modelos hidrológicos utilizando criterios de generalización o
regionalización. Fuente: (Smith & Rendón, 1997).
Por otro lado, autores como Chow et al. (1994) realizaron una clasificación de los
modelos hidrológicos utilizando criterios como la forma, la aleatoriedad y variabilidad
espacial y temporal de los fenómenos hidrológicos. Según está clasificación los modelos
hidrológicos pueden dividirse en físicos y abstractos. Los modelos físicos incluyen
modelos a escala (representan el sistema a escala reducida) y los análogos (usan otros
sistemas físicos con propiedades similares a las del sistema).
Los modelos abstractos representan el sistema de manera matemática, es decir, la
operación del sistema se describe a través de ecuaciones que relacionan las variables de
entradas y salidas. Estas variables pueden ser función del espacio y el tiempo, y también
pueden ser variables probabilísticas o aleatorias que no tienen un valor fijo particular en
un punto del espacio y el tiempo, pero que están descritas a través de distribuciones de
probabilidad (Chow et al., 1994).
31
Los modelos determinísticos no consideran aleatoriedad, es decir, que una entrada
produce siempre una salida, mientras que los modelos estocásticos tienen salidas que son
parcialmente aleatorias. En consecuencia, se puede afirmar que con los modelos
determinísticos se pueden realizar pronósticos y con los modelos estocásticos se pueden
realizar predicciones (Chow et al., 1994; Smith & Rendón, 1997).
Esta clasificación en el nivel medio abarca la variación espacial de los modelos. En un
modelo determinístico agregado, el sistema es considerado como un punto único sin
dimensiones en el espacio, mientras que, un modelo determinístico distribuido define las
variables del modelo como funciones de las dimensiones espaciales. Los modelos
estocásticos se clasifican en independientes en el espacio y correlacionados con él.
En el último nivel de esta clasificación se evalúa la variabilidad temporal de los
modelos, es así como los modelos determinísticos se clasifican en modelos de flujo
permanente (la tasa del flujo no cambia con el tiempo) y modelos de flujo no
permanente. Dado el hecho que los modelos estocásticos tienen salidas que varían en el
tiempo, se pueden clasificar como independientes del tiempo (los fenómenos
hidrológicos no influyen entre sí) y modelos correlacionados en el tiempo (secuencia en
la que el evento siguiente está parcialmente influido por el evento anterior y
posiblemente por otros) (Chow et al., 1994).
2.2 Técnicas y métodos utilizados en el área de investigación
2.2.1 Método del U.S. SCS (Soil Conservation Service of USA)
También es conocido como el método del Número de Curva (CN), es un modelo
conceptual de las pérdidas de precipitación o abstracciones y cuyo objetivo principal es
32
la estimación de la precipitación neta o escorrentía superficial generada por una
tormenta o aguacero en una cuenca de pequeñas dimensiones a partir de características
del suelo, su uso y tratamiento y cobertura vegetal (Alonso, 2001; Gaspari et al., 2006;
Mishra & Singh, 2003).
Para este método, en una tormenta, la profundidad de exceso de precipitación o
escorrentía directa “Pe” es menor o igual que la profundidad de la precipitación “P”
registrada en la zona y la profundidad adicional del agua que es retenida en la cuenca
“Fa” es menor o igual a la retención potencial máxima “S”. Además, existe cierta
cantidad de precipitación “Ia” (abstracción inicial antes del encharcamiento) para la cual
no ocurrirá escorrentía, en consecuencia, se establece que la escorrentía potenciales la
diferencia entre la precipitación registrada “P” y la abstracción inicial “Ia” (Chow et al.,
1994).
El método SCS se basa en la hipótesis que las relaciones de las cantidades reales y las
potenciales son iguales. Basados en este supuesto se aplicó el principio de continuidad e
introduciendo la relación empírica entre la abstracción inicial y la retención potencial
máxima que encontró el SCS para muchas cuencas experimentales (Ia=0,2S) se obtiene
la ecuación [II], que es la ecuación básica del método para el cálculo de la profundidad
de exceso de precipitación o escorrentía directa (Chow et al., 1994).
Al representar los valores de registro de la precipitación total “P” y la precipitación de
exceso “Pe” de muchas cuencas estudias por el SCS se obtuvieron curvas que fueron
estandarizadas mediante la definición de un número adimensional de curva CN y de
33
acuerdo a circunstancias como el estado del suelo, su uso y tratamiento, y antecedentes
de humedad. Dicho número adimensional de curva tiene el siguiente rango:
Los CN iguales a 0 corresponden a superficies totalmente permeables, los CN menores a
100 corresponden a superficies naturales y los CN iguales a 100 corresponden a
superficies impermeables y superficies de agua. Adicionalmente, la ecuación [III] es la
expresión matemática que relaciona el número de curva CN con la retención potencial
“S” (Chow et al., 1994).
En la Figura 4 se observan los diferentes números adimensionales de curva CN
estandarizados:
Figura 4. Solución de las ecuaciones de escorrentía del modelo SCS. Fuente: (Chow et al., 1994).
34
En la Tabla 1 se observan los diferentes grupos en los que se clasificaron los suelos en el
modelo SCS.
Tabla 1.
Clasificación hidrológica de los suelos. Fuente: (Chow et al., 1994).
Grupo Descripción
A Arena profunda, suelos profundos depositados por el viento,
limos agregados.
B Suelos pocos profundos depositados por el viento, marga
arenosa.
C
Margas arcillosas, margas arenosas poco profundas, suelos
con bajo contenido orgánico y suelos con alto contenidos de
arcilla.
D Suelos que se expanden significativamente cuando se mojan,
arcillas altamente pláticas y ciertos suelos salinos.
Las tres condiciones antecedentes de humedad de los suelos empleadas en el modelo
SCS se muestran en la Tabla 2.
Tabla 2.
Precipitación acumulada para tres condiciones de humedad antecedente. Fuente: (Monsalve, 1999).
Condiciones de humedad
antecedente (AMC)
Precipitación acumulada de los 5 días
previos al evento en consideración
(mm)
I Menor que 36
II 36 - 53
III mayor que 53
Los números adimensionales de curva CN mostrados en la Figura 4 se aplican para
Condiciones Antecedentes de Humedad normales (AMC II). Sin embargo, las
ecuaciones [IV] y [V] permiten realizar las respectivas transformaciones para
condiciones secas (AMC I) o condiciones húmedas (AMC III), donde CN(I) hace
referencia a la condición antecedente seca y CN(III) a la condición antecedente húmeda.
(Chow et al., 1994).
35
Finalmente, la Tabla 3 muestra los valores de número adimensional de curva para
condición antecedente de humedad II (CN(II)) para diferentes tipos de uso de la tierra.
Tabla 3.
Valores de números adimensionales de curva CN para diferentes usos de la tierra y condición
antecedente de humedad II. Fuente: (Chow et al., 1994).
Descripción del uso de la tierra
Grupo hidrológico
del suelo
A B C D
Tierra Cultivada Sin tratamientos de conservación 72 81 88 91
Con tratamientos de conservación 62 71 78 81
Pastizales Condiciones pobres 68 79 86 89
Condiciones óptimas 39 61 74 80
Vegas de ríos Condiciones óptimas 30 58 71 78
Bosques Troncos delgados, cubierta pobre, sin
hierbas
45 66 77 83
Cubierta buena 25 55 70 77
Áreas abiertas, césped,
parques, campos de
golf, cementerios, etc.
Óptimas condiciones: cubierta de pasto
en el 75% o más
39 61 74 80
Condiciones aceptables: cubierta de
pasto en el 50 al 75%
49 69 79 84
Áreas comerciales de negocios (85% impermeables) 89 92 94 95
Distritos industriales (72% impermeables) 81 88 91 93
Residencial Tamaño de 1/8 acre o menos y 65%
impermeable
77 85 90 92
Tamaño de 1/4 acre y 38%
impermeable
61 75 83 87
Tamaño de 1/3 acre y 30%
impermeable
57 72 81 86
Tamaño 1/2 acre y 25% impermeable 54 70 80 85
Tamaño 1 acre y 20% impermeable 51 68 79 84
Parqueaderos pavimentados, techos, accesos, etc. 98 98 98 98
Calles y carreteras Pavimentados con cunetas y
alcantarillados
98 98 98 98
Grava 76 85 89 91
Tierra 72 82 87 89
36
2.2.2 Hidrográma de caudal
Un Hidrográma de caudal es una gráfica que muestra la tasa de flujo como función del
tiempo en un lugar dado de la corriente y una expresión integral de las características
fisiográficas y climáticas que rigen las relaciones entre la lluvia y escorrentía de una
cuenca de drenaje particular (Chow et al., 1994). La Figura 5 muestra un hidrográma de
tormenta y sus componentes.
Figura 5. Hidrograma de tormenta y sus componentes. Fuente: (Chow et al., 1994).
Por otro lado, Sherman (1932) desarrolló el método del hidrográma unitario (HU) que
contempla los efectos que tienen la altura total de precipitación, el área, la forma, la
pendiente y vegetación de la hoya hidrográfica sobre los componentes de un hidrográma
(Aparicio, 1992) Así pues, el hidrográma unitario se define como “el hidrográma de
escorrentía directa (DRH, por sus siglas en inglés) resultante de 1 pulgada ó1 cm
(unidades del SI) de exceso de lluvia generado uniformemente sobre el área de drenaje a
una tasa constante a lo largo de una duración efectiva” (Chow et al., 1994).
Ahora bien, para el empleo del método de hidrográma unitario en una hoya hidrográfica
es indispensable contar con registros hidrométricos y pluviográficos de la misma,
Caudal pico
Tiempo
Tas
a de
flujo
Componentes de un hidrograma
AB- recesión de flujo base
BC- segmento de aumento
CD- segmento de disminución
DE- recesión de flujo base
37
cuando no se dispone de estos, se utilizan los denominados hidrogramas unitarios
sintéticos, que son aquellos hidrográmas unitarios construidos a través de datos de las
características generales de la hoya (Aparicio, 1992). En relación con lo anterior,
Mockus (1957) desarrolló el hidrograma sintético triangular, el cual se basa en el
principio que si el volumen del hidrograma de escorrentía superficial es conocido, el
caudal pico puede ser calculado teniendo en cuenta la geometría del hidrograma unitario.
A continuación la Figura 6 ilustra un hidrograma sintético triangular.
Figura 6. Hidrograma sintético triangular. Fuente: (Monsalve, 1999).
Teniendo en cuenta la geometría del hidrográma unitario y para un milímetro de
precipitación efectiva “Pe”, el caudal pico “qp” puede calcularse mediante el empleo de
la ecuación [VI].
Dónde:
qp: Caudal pico, (m3/s)
Pe: Precipitación efectiva, (mm)
38
Ac: Área de la hoya hidrográfica, (km2)
Tp: Tiempo al pico, (h)
El Tiempo al pico “Tp” es el tiempo que transcurre desde que inicia el escurrimiento
directo hasta presentarse el caudal pico “qp” (Chow et al., 1994). La ecuación [VII] es
empleada para calcular el tiempo al pico en horas para hoyas hidrográficas de pequeñas
extensiones.
Dónde:
Tc: Tiempo de concentración de la hoya hidrográfica, (h)
De: Duración en exceso, (h)
2.2.3 Modelos ARIMA
Los modelos ARIMA reciben su nombre del inglés AutoRegresive Integrated Moving
Average que en español significa modelos autorregresivos de media móvil (Maté, 2013).
El modelo consta de tres componentes o filtros lineales, donde cada uno modela un
comportamiento distinto de la serie. Estos son el autorregresivo (AR), la diferenciación
o integración (I) y el de media móvil (MA). La notación del modelo ARIMA (p,d,q)
corresponderá a los niveles aplicados de cada uno de estos filtros, correspondiendo p al
nivel del componente autorregresivo, d al de diferenciación y q al de media móvil.
Para lograr una mejor comprensión del modelo se explicarán los modelos lineales
autorregresivos (AR) y los de media móvil (MA).
39
Los modelos autorregresivos (AR (p)) son modelos de procesos estacionarios empleados
para representar la dependencia de los valores de una serie de tiempo frente a su pasado.
(Peña, 2005) En este modelo (p) determinará el número de rezagos necesarios para
explicar la variable. El modelo general para un orden p está dado por la ecuación [VIII]:
[VIII]
Donde , son los parámetros del modelo representando el peso o influencia de
las observaciones pasadas sobre la variable; por su parte representa el término de
error, que para el caso será un proceso denominado ruido blanco. Un ruido blanco está
definido por tres condiciones: esperanza siempre constante e igual a cero, varianza
constante y covarianza nula para todos los retardos.
Los modelos de media móvil (MA (q)) permiten explicar el valor actual de una variable
a partir de la ponderación de las innovaciones o errores pasados, siendo q el valor de los
retrasos en los errores que explican la variable. Al igual que el modelo AR, el modelo
MA representa un proceso estacionario. La representación general del modelo se
muestra en la ecuación [IX]:
[IX]
Donde μ es la media de la serie; son los parámetros del modelo.
Los procesos ARMA (p,q) surgen de combinar las propiedades de los modelos AR y
MA, con lo que se obtiene un modelo autorregresivo y de promedios móviles. (Guerrero,
2003) Este proceso se representa mediante la ecuación [X]:
40
Para este tipo de modelos debe suponerse que son diferentes de cero. Igualmente
cabe resaltar que los modelos anteriormente explicados son aplicables a series de tiempo
estacionarias.
Los modelos ARIMA(p,d,q) se basan en la posibilidad de inducir la estacionariedad de
una serie a través de la diferenciación para luego ajustar un modelo de tipo ARMA (p,q).
Es por esto que los modelos ARIMA pueden ser vistos como una generalización de los
modelos ARMA, pues a través de la diferenciación se logra eliminar una posible
tendencia polinomial que restringue la aplicación de modelos ARMA flexibilizando la
aplicación de éstos últimos. (Guerrero, 2003)
La representación general de un modelo ARIMA (p,d,q) como se muestra a continuación
en la ecuación [XI], es el equivalente a un modelo ARMA (p,q) sobre la serie
diferenciada d veces. Donde se considera que:
2.2.3.1 Construcción del modelo
Para la construcción de un modelo ARIMA (p,d,q) la metodología más conocida es la
propuesta por Box y Jenkins (1970); esta metodología se compone de cuatro etapas, que
se muestran en la Figura 7, a través del cual se observa que la metodología de
construcción de un modelo ARIMA es iterativa.
41
2.3 Experiencias nacionales e internacionales en el área de investigación
Los antecedentes relacionados con el tema de investigación aquí consignados son una
breve abstracción delas principales bases de datos y repositorios a nivel internacional
como nacional. Los antecedentes internacionales más destacados se encaminan
principalmente al uso de los modelos ARIMA dentro de la hidrología y el estudio de
series de tiempo hidrológicas; el análisis de la periodicidad a través de modelos ARIMA
es uno de los enfoques que se ha desarrollado desde estos ámbitos.
Como ejemplo podemos mencionar el trabajo realizado por Reyes et al. (2010) buscando
analizar las periodicidades de los caudales medios mensuales en la cuenca del Río Santa
empleando modelos ARIMA. Los resultados de la investigación arrojaron una
periodicidad de uno a cinco años. Así mismo el trabajo de Guevara et al. (2010) donde
se analizó la serie de tiempo de caudales mensuales del Río Caroní empleando la
Identificación Estimación de
parámetros Verificación
Uso del
modelo
¿Es
adecuado el
modelo?
No
Si
Figura 7. Diagrama de la metodología de construcción de modelos ARIMA. Fuente:
Guerrero, V. 2003. Análisis estadístico de series de tiempo económicas. México: Thomson.
42
metodología ARIMA, la periodicidad observada dentro de la serie presenta una longitud
anual por lo que fue necesario la aplicación de un modelo ARIMA estacional para
representar adecuadamente la serie.
Dentro del ámbito nacional, se pueden evidenciar dos frentes de trabajo relacionados al
tema de investigación; en primer lugar una aproximación al tratamiento y
homogenización de datos climáticos a través del uso de modelos ARIMA y la
realización de pronósticos climáticos con dichas series.
En el primer frente se encuentra el trabajo de Barrios, et al (2012) en el cual presentan
una propuesta metodológica para la homogenización de series de tiempo de
precipitación mensual para la región climatológica del Bajo Magdalena; allí proponen
una metodología compuesta de seis etapas en la cual se involucran los modelos ARIMA.
Por su parte, Sánchez & Poveda (2006) emplearon cuatro modelos de pronóstico,
incluyendo los ARIMA para la predicción de caudales medios mensuales en cuatro ríos
de Antioquía, para luego comparar el error cuadrático medio de las predicciones y el
ajuste de cada modelo; el desempeño de los modelos ARIMA en el porcentaje de acierto
por terciles fue uno de los mejores.
Finalmente, dentro de los trabajos desarrollados con el método Número de Curva;,
encontramos el trabajo de Corredor & Peñaranda (2012) en el cual se buscó identificar
los parámetros de modelo número de curva y su incertidumbre mensual en la cuenca alta
del Río Bogotá; dentro de sus resultados se encontró que el coeficiente de determinación
del método es de 0,68 que puede relacionarse con la dificultad presente al identificar los
parámetros del método.
43
2.4 Descripción de la zona de estudio
La hoya hidrográfica de la Quebrada La Vieja se ubica en los Cerros Orientales de
Bogotá (ver Figura 8), localidad de Chapinero, al nororiente de la ciudad (74°03’
longitud Oeste y 4°39’ latitud Norte) y sus aguas tributan en la cuenca media del Río
Bogotá. Limita al norte con la Quebrada Rosales, al sur con la Quebrada Las Delicias y
al oriente con el municipio de La Calera.
De acuerdo con Rodríguez-Barrios & Ospina (2007) la quebrada presenta características
físicas de un río de montaña con forma encañonada (altura máxima de 3.300 msnm y
altura mínima 2.690 msnm), muestra un buen estado de conservación, y una cobertura
boscosa continua; constituida por una mezcla de especies nativas e introducidas.
Geológicamente, la quebrada se enmarcada dentro del desarrollo de la cordillera
oriental, que se caracteriza por la presencia de rocas del Cretácico superior como la
formación Chipaque, las formaciones Arenisca Dura y Plaeners del grupo Guadalupe,
además, depósitos recientes de coluviones y aluviones que corresponden a un material
de composición heterogénea producto del fracturamiento de las rocas y degradación de
las laderas (INGEOMINAS, 1997).
En cuanto a características climatológicas, según las mediciones de la estación
pluviográfica San Luis (EAAB-ESP) en la zona de estudio acontece un régimen de
precipitación bimodal- tetra estacional o también denominada ecuatorial con dos
máximos anuales entre los meses de marzo a mayo y entre octubre y diciembre; la
precipitación media diaria y media anual son de 3,6 mm y 1.317 mm respectivamente.
Además, se presenta una humedad relativa promedio del 77%, temperatura promedio de
44
16,1 °C y nubosidad promedio de 6 octas (Cantillo & Gracia, 2013). Finalmente, el
caudal promedio diario de la corriente, según la estación hidrométrica Ventana
Captación – Quebrada La Vieja, es de 0,022 m3/s.
Figura 8. Imagen satelital de la Quebrada La Vieja. (La línea de color rojo muestra la delimitación
aproximada de la zona de estudio).
Fuente: Google, 2013. Google Earth. [En línea] Disponible en: http://www.google.com/earth/ [Último
acceso: 29 Enero 2015]
2.5 Normatividad y legislación asociada
La Tabla 4 muestra la normatividad y legislación nacional e internacional aplicable al
proyecto de investigación.
45
Tabla 4.
Normatividad y legislación aplicable al proyecto de investigación
CARÁCTER INTERNACIONAL
Naciones Unidas (ONU)- 1992 Declaración de Río sobre Ambiente y Desarrollo
CARÁCTER NACIONAL
Decreto - Ley 2811 de 1974 Dicta el Código Nacional de Recursos Naturales Renovables y de
Protección al Medio Ambiente.
Art. 155 : Administración de aguas y cauces
Art. 312-315: Administración de cuencas hidrográficas.
Ley 09 de 1979 Código Sanitario Nacional
Art: 55: De las aguas superficiales
Decreto 2857 de 1981 Ordenación y protección de cuencas hidrográficas
Ley 46 de 1988 Crea y organiza el Sistema Nacional para la Prevención y Atención
de Desastres.
Ley 99 de 1993 Crea el Ministerio del Medio Ambiente, se organiza el Sistema
Nacional Ambiental (SINA) y se dictan otras disposiciones.
Documento CONPES 1750 de
1995
Políticas de manejo de las aguas.
Decreto 1729 de 2002 “Por el cual se reglamenta el Capítulo III del Decreto-ley 2811 de
1974 sobre cuencas hidrográficas, parcialmente el numeral 12 del
Artículo 5° de la Ley 99 de 1993 y se dictan otras disposiciones”.
Resolución 463 de 2005 “Redelimita la Reserva Forestal protectora Bosque Oriental de
Bogotá, establecen lineamientos para su manejo y ordenamiento de
los cerros orientales de Bogotá”.
Resolución 3194 de 2006 “Aprueba el plan de ordenación y manejo de la cuenca hidrográfica
del río Bogotá y se toman otras determinaciones.”
Viceministerio de Ambiente -
2010
Política Nacional para la Gestión Integral del Recurso Hídrico
Ley 1523 del 2012 “Adopta la política nacional de gestión del riesgo de desastres y se
establece el Sistema Nacional de Gestión del Riesgo de Desastres”
CARÁCTER DISTRITAL
Decreto 190 de 2004 Plan de Ordenamiento Territorial de Bogotá D.C
Resolución 2837 de 2007 “Por la cual se declara en ordenación la cuenca hidrográfica del Río
Salitre”
Acuerdo 546 de 2013 “Transforma en “SDPAE” en el “SDGR-CC”, se crea “FONDIGER”
y se dictan otras disposiciones”
Decreto 172 de 2014 “Por el cual se reglamenta el Acuerdo 546 de 2013, se organizan las
instancias de coordinación y orientación del “SDGR-CC” y se
definen lineamientos para su funcionamiento.”
Acuerdo 173 de 2014 "Dicta disposiciones en relación con el “IDIGER”, su naturaleza,
funciones, órganos de dirección y administración."
46
3. MATERIALES Y MÉTODOS
3.1 Escala temporal
En el presente proyecto de investigación se definió una escala temporal o periodo de
estudio correspondiente a 5 años (01 de enero de 2010 al 31 de diciembre de 2014), en el
cual se dispuso de un total de 1826 días con mediciones diarias de variables
climatológicas e hidrológicas como precipitación y caudales medios.
3.2 Materiales
La Tabla 5 presenta los instrumentos y la información cartográfica e hidrometereológica
que se emplearon en el desarrollo del proyecto de investigación.
Tabla 5.
Materiales e información empleada en el proyecto de investigación
Categoría Insumo Fuente Año
Cartografía Básica
Hoja Cartográfica 228IIIC1 escala
1:10.000
Instituto Geográfico
Agustín Codazzi
(IGAC)
1965
Hoja Cartográfica 228IIIC3 escala
1:10.000
Instituto Geográfico
Agustín Codazzi
(IGAC)
1965
Cartografía Temática Mapa de suelos Hoja No. 228 escala
1:100.000
Instituto Geográfico
Agustín Codazzi
(IGAC)
2000
Aerofotografías
digitales
Fotografías: 0085-0086-0087-0204-
0205-0206
Vuelo:110010001510012010
Escala 1:30.000
Instituto Geográfico
Agustín Codazzi
(IGAC)
2009-2010
Imágenes Satelitales Imagen de la hoya hidrográfica de la
Quebrada La Vieja Google Earth 2013
Información
Climatológica
Precipitación Total Diaria(mm) -
Estación San Luis- Código: 20040
Empresa de Acueducto
y Alcantarillado de
Bogotá (EAAB-ESP)
2010-2011-
2012-2013-
2014
Precipitación Total Diaria(mm) -
Estación Centro Alto Rendimiento
Red de Monitoreo y
Calidad de Aire de
Bogotá( RMCAB) -
Secretaria Distrital de
Ambiente (SDA)
2010-2011-
2012-2013-
2014
47
Categoría Insumo Fuente Año
Precipitación Total Diaria(mm) -
Estación Las Ferias
Red de Monitoreo y
Calidad de Aire de
Bogotá( RMCAB) -
Secretaria Distrital de
Ambiente (SDA)
2010-2011-
2012-2013-
2014
Precipitación Total Diaria(mm) - Min
Ambiente
Red de Monitoreo y
Calidad de Aire de
Bogotá( RMCAB) -
Secretaria Distrital de
Ambiente (SDA)
2010-2011-
2012-2013-
2014
Precipitación Total Diaria(mm) -
Usaquén
Red de Monitoreo y
Calidad de Aire de
Bogotá( RMCAB) -
Secretaria Distrital de
Ambiente (SDA)
2010-2011-
2012-2013-
2014
Información
Hidrológica
Caudales medios diarios (m3/s).
Caudales máximos instantáneos
mensuales (m3/s) - Estación La
ventana Captación Quebrada La vieja-
Código: 20949
Empresa de Acueducto
y Alcantarillado de
Bogotá (EAAB-ESP)
2010-2011-
2012-2013-
2014
Software
ArcGis Versión 10.0
ESRI (Enviromental
Systems Research
Institute)
-
IBM-SPSS Statistics 19.0 IBM Corporation 2013
Microsoft Word 2010 Microsoft Corporation 2009
Microsoft Excel 2010 Microsoft Corporation 2009
Dispositivo GPS Navegador Garmin modelo Etrex Vista
Hcx - -
3.3 Metodología
Para el presente proyecto de investigación se estableció un marco metodológico de tipo
deductivo en el cual se realizan tratamientos matemáticos y analíticos a información
secundaria cuantitativa suministrada por entidades públicas de carácter nacional y
distrital.
En la
Figura 9 se esboza la metodología que se desarrolló en el proyecto de investigación.
48
Figura 9. Diagrama general de la metodología del proyecto.
Análisis exploratorio de
datos
Caracterización del área de
estudio
Aplicación del método Número
de Curva
Validación de variables
Incorporación de modelos ARIMA
Revisión de series de tiempo
Área de influencia de las estaciones de medición
Preparación de datos
Delimitación y cálculo de parámetros
morfométricos
Tipos de suelos, uso y tratamiento
Caudal base
Equivalencia de variables y asignación de CN
Condición antecedente de humedad
Precipitación efectiva
Caudal pico y caudal medio calculado
Comparación de caudales estimados y
observados
Verificación del Número de Curva Escorrentía
Bondad de ajuste de la distribución normal
Análisis de regresión
Construcción de modelos
ARIMA
Comparación de modelos
49
A continuación se realiza una descripción detallada de las actividades que se
desarrollaron en el marco del proyecto de investigación:
3.3.1 Análisis exploratorio de datos
3.3.1.1 Revisión de series de tiempo
En esta actividad se identificaron los valores faltantes en las series de tiempo de
información climatológica e hidrológica (Tabla 5) que fueron empleadas en proyecto de
investigación.
3.3.1.2 Área de influencia de las estaciones de medición
Como se observa en la Tabla 5 se contó con mediciones de precipitación total diaria de
cinco estaciones climatológicas, pertenecientes a la Red de Monitoreo y Calidad de Aire
de Bogotá (RMCAB) y a la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB-
ESP). Por esta razón, se determinó el área de influencia de cada una de las estaciones
por medio del método de los Polígonos de Thiessen a través del software ArcGis
Versión 10.0, con el fin de identificar las estaciones con mayor representatividad sobre
el área de estudio.
3.3.1.3 Preparación de datos
Los valores faltantes identificados anteriormente de caudales medios diarios y
precipitación total diaria se completaron mediante la identificación de un modelo
ARIMA preliminar para estas series de tiempo y la posterior realización de predicciones
a través del software estadístico IBM-SPSS Statistics (Versión 19) para el periodo de
estudio.
50
3.3.2 Caracterización del área de estudio
3.3.2.1 Delimitación y cálculo parámetros morfométricos
A través del software ArgGis 10.0 se georreferenció y digitalizó los drenajes y curvas de
nivel presentes en la cartografía básica mencionada en la Tabla 5.Adicionalmente, se
localizó la estación hidrométrica de la Quebrada La Vieja, y tomando este punto como la
desembocadura de la hoya hidrográfica se procedió a trazar la divisoria de aguas de la
misma. Luego, se determinaron los siguientes parámetros morfométricos para el área de
estudio: (i) Área y perímetro, (ii) orden, (iii) densidad de drenajes (Dd), (iv) pendiente
media del drenaje principal (método de Taylor – Schwartz y método de valores
extremos), (v) factor de forma (Kf), (vi) coeficiente de compacidad (Kc), (vii) índice de
alargamiento (Ia), (viii) pendiente media de la hoya hidrográfica (método Alvord), (ix)
tiempo de concentración (Tc – ecuación de Kirpich).
3.3.2.2 Tipos de suelos, usos y tratamiento
El tipo de suelo presente en el área de estudio se determinó usando la cartografía
temática mencionada en la Tabla 5, la cual se georreferenció y digitalizó empleando el
software ArcGis 10.0. De forma simultánea, se georreferenciaron las aerofotografías
digitales de la zona (Ver Tabla 5), estableciendo un mosaico de éstas aerofotografías,
abarcando los años 2009-2010. Con este insumo se procedió a la digitalización de las
coberturas presentes en el área, teniendo como base las categorías expuestas por la
"Leyenda nacional de coberturas de la tierra: metodología CORINE Land Cover
adaptada para Colombia escala 1:100.000" (IDEAM, 2010).
Finalmente, como mecanismo de verificación de las coberturas identificadas bajo esta
metodología se realizó una visita de campo.
51
3.3.2.3 Caudal base
El flujo o caudal base de la Quebrada La Vieja en el área de estudio se calculó en primer
lugar mediante la construcción en hojas de cálculo de diagramas ombrotérmicos anuales
para el periodo de estudio que permitieran definir las épocas secas y las de lluvia; a
continuación se elaboraron hidrográmas de caudal para los períodos identificados
anteriormente, utilizando los registros de caudal medio de la estación hidrométrica
presente en el área de estudio (Tabla 5). Seguidamente, para cada hidrográma de caudal
generado se aplicó el método de la Línea Recta (Chow et al., 1994), en el cual, se traza
una línea recta horizontal a partir del punto de levantamiento hasta la intersección con el
segmento de recesión: esta línea indicará el caudal base para el hidrográma analizado.
3.3.3 Aplicación del método del Número de Curva (CN)
3.3.3.1 Equivalencia de variables y asignación de CN
Para la asignación de coeficientes CN del área de estudio se determinó en primer lugar la
clasificación hidrológica de los suelos (ver Tabla 1) basándose en la descripción textural
del "Estudio general de suelos y zonificación de tierras de Cundinamarca" (IGAC, 2000)
de cada una de las unidades de suelos presentes.
En segundo lugar, se establecieron las equivalencias de las coberturas obtenidas en el
numeral 3.4.2.2 con las presentes en la Tabla 3; esta información se agregó como un
atributo a los polígonos digitalizados y posteriormente se realizó la intersección de la
capa tipo de suelo con uso y tratamiento.
52
Por ultimo, una vez intersectadas las capas se procedió a asignar el coeficiente CN a
cada polígono resultante y se calculó un Número de Curva (CN) ponderado para el área
estudio.
3.3.3.2 Condición antecedente de humedad
Con los valores de precipitación observados en la hoya hidrográfica se calculó la
condición antecedente para cada día del periodo de estudio, empleando una sumatoria
simple en el programa informático Microsoft Office Excel 2013. Después, los resultados
anteriores se clasificaron mediante una fórmula condicional en una de las tres
condiciones antecedentes de humedad (AMC) establecidas en la Tabla 2.
3.3.3.3 Precipitación efectiva
Teniendo en cuenta la clasificación de la condición antecedente previamente obtenida,
se transformaron los valores de CN asignados con las ecuaciones [IV] y [V] para luego
sustituir dicho valor en la ecuación [III] y obtener la retención potencial del suelo.
Posteriormente, se empleó la ecuación [II] en la cual se reemplazó el valor de la
retención potencial “S” y el valor de precipitación “P” en el área de estudio; obteniendo
la precipitación efectiva diaria “Pe”.
3.3.3.4 Caudal pico y caudal medio calculado
Empleando los valores de precipitación efectiva “Pe” calculadas previamente, se utilizó
la ecuación [VI] del hidrográma sintético triangular para calcular diariamente el caudal
pico o máximo “qp” para los años de estudio. Simultáneamente, se sustituyó en esta
expresión la variable tiempo al pico “Tp” por la expresión presentada en la ecuación
[VII]. A cada estimación de caudal pico, se le adicionó su correspondiente valor de
caudal o flujo base obtenido en el numeral 3.4.2.3 para la hoya hidrográfica.
53
Con la serie de caudal pico se halló la serie de caudal medio calculado (Qmc) a partir de
la fórmula [XII] y [XIII] , que se desprende del hidrograma sintético unitario.
Donde Vdc es el volumen diario de caudal en m3, tb es el tiempo base en segundos,
es el caudal pico (m3 /s) y es el caudal base calculado (m
3 /s).
3.3.3.5 Comparación de caudales estimados y observados
Haciendo uso de las medidas de dispersión y de tendencia central de la estadística
descriptiva, se comparó la serie de caudal pico estimado a partir del método Número de
Curva de Escorrentía y la serie de caudal medio calculado con la serie de caudales
medios de la estación La Ventana Captación de la Empresa de Acueducto y
Alcantarillado de Bogotá. Los parámetros a comparar se centraron en la desviación
estándar, máximos, mínimos, media y mediana.
3.3.4 Validación de variables
3.3.4.1 Verificación del Número de Curva de Escorrentía (CN)
Para validar el coeficiente CN ponderado del área de estudio obtenido en el numeral
3.4.3.1 se determinó un nuevo coeficiente por medio de los valores de caudal máximo
mensual registrados por la estación hidrométrica empleada en el estudio.
54
Inicialmente, para cada medición de caudal máximo mensual se le sustrajo el valor
calculado de flujo o caudal base en el numeral 3.4.2.3 correspondiente a ese mes. Luego,
este valor de caudal pico “qp” se reemplazó en la ecuación [VI] para obtener un valor de
precipitación efectiva “Pe”. Una vez realizado este cálculo, se procedió a calcular la
retención potencial del suelo “S” sustituyendo en la ecuación [XII] el correspondiente
valor de “Pe”.
[XII]
Seguidamente, en la ecuación [III] con el valor de “S” se determinó un Número de
Curva ponderado de la hoya hidrográfica que de acuerdo a los criterios de humedad
antecedente (Tabla 2) fue transformado según fue el caso, con las ecuaciones [V] y [VI].
3.3.4.2 Bondad del ajuste de la distribución normal
Empleado el software Microsoft Office Excel se realizó una prueba de normalidad para
las series de tiempo de caudal pico “qp” calculado en el numeral 3.4.3.4, la serie de
caudal medio calculado y para los caudales medios diarios registrados por la estación
hidrométrica presente en el área de estudio, esto con el fin de determinar el tipo de
prueba de bondad de ajuste aplicable a los datos. Una vez determinado el tipo de prueba,
paramétrica o no paramétrica, se procedió a efectuar la prueba t-student o Kolmogórov-
Smirnov respectivamente, según el caso.
3.3.5 Incorporación de modelos ARIMA
3.3.5.1 Análisis de regresión
En este numeral se identificó la posible correlación entre la condición antecedente de
humedad, la serie de caudales estimados, la serie de caudal medio calculado y la serie de
55
caudales observados mediante un análisis de regresión empleando el software Microsoft
Excel Versión 2010 y en cual se estableció el ajuste de los diferentes modelos en
términos de su coeficiente de determinación (R2).
3.3.5.2 Construcción de modelos ARIMA
En esta etapa de la investigación se empleó la metodología propuesta por Box- Jenkins
(1970) para la construcción de modelos ARIMA, que se esquematiza en la Figura 7,
para identificar los modelos ARIMA que se ajusten adecuadamente a la series de tiempo
de caudal pico y caudal medio calculado a través del método CN y caudales medios
diarios observados en el área de estudio.
3.3.5.2.1 Identificación
Para la identificación de un modelo ARIMA que represente el comportamiento de las
series de datos evaluadas en el proyecto, inicialmente se realizó la estabilización de la
varianza de las series de tiempo mediante la selección y uso de una transformación
estabilizadora de la varianza de la familia Box-Cox. Seguidamente, a través del software
estadístico IBM-SPSS (Versión 19) se calcularon y graficaron las funciones de
autocorrelación simple (FAS) y parcial (FAP) y de esta manera se determinó el número
apropiado de veces que fue conveniente utilizar el operador diferencia “d” para
estabilizar el nivel de las series de tiempo. Finalmente, teniendo en cuenta el
comportamiento de la FAS y FAP de cada serie de tiempo, y los comportamientos
típicos de estas funciones para procesos AR, MA y ARMA presentados en la Tabla 6, se
procedió establecer los órdenes de los polinomios de los procesos autorregresivos AR
(p) y de promedios móviles MA (q).
56
Tabla 6.
Comportamiento de la FAS y la FAP para procesos AR, MA y ARMA. Fuente: (Guerrero, 2003).
Proceso FAS FAP
AR(p) Convergencia a cero.
Solamente las primeras p
autocorrelaciones parciales son
distintas de cero.
MA(q)
Sólo las primeras q
autocorrelaciones son distintas
de cero.
Sucesión infinita convergente a
cero.
ARMA(p,q)
Comportamiento irregular de
las primeras q
autocorrelaciones y después
convergencia a cero.
Sucesión infinita convergente a
cero.
3.3.5.2.2 Estimación
En esta etapa se calcularon los mejores valores de los parámetros de los modelos
ARIMA propuestos anteriormente para cada una de las series de tiempo evaluadas en el
proyecto de investigación. El cálculo de los valores de los parámetros y sus
correspondientes intervalos de confianza se realizó por medio del método estadístico de
máxima verosimilitud a través del software IBM-SPSS (Versión 19) y Microsoft Excel.
3.3.5.2.3 Verificación
En este numeral se evaluó si los modelos ARIMA propuestos anteriormente satisfacían
los ocho supuestos de verificación para este tipo de modelos (media del proceso de ruido
blanco ( ) igual a cero, presenta varianza constante, supuesto de independencia,
distribución normal, inexistencia de observaciones anómalas, admisibilidad e
57
inestabilidad) planteados por (Guerrero, 2003). Esta verificación se desarrolló mediante
el análisis de los residuales de cada uno de los modelos en software Microsoft Excel.
3.3.5.3 Comparación de modelos
Finalmente, se compararon los modelos ARIMA obtenidos para cada serie contrastando
aspectos como los procesos generadores de datos involucrados en cada una de estas, el
ajuste del modelo generado para caudales pico aplicado a la serie de caudales medidos y
la presencia o no de componentes estacionales a través de la generación de
periodogramas con el software estadístico IBM-SPSS (Versión 19).
58
4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1 Análisis exploratorio de datos: series de tiempo
Una vez realizado el análisis a las series de tiempo de precipitación y caudales diarios
registrados por las diferentes estaciones de medición, y con la necesidad de que estas
coincidieran temporalmente, se determinó que el periodo de estudio iniciaría el 08 de
abril de 2010. En consecuencia, el proyecto de investigación tuvo en cuenta 1729 días.
Adicionalmente, en relación a los registros faltantes se obtuvieron los siguientes
resultados:
(i) Serie de precipitación:
La estación pluviométrica San Luis (EAAB-ESP) presentó un número de tres registros
faltantes, lo que representó el 0,001% del total de datos del periodo de estudio; mientras
que por su parte las estaciones de la Red de Monitoreo y Calidad de Aire de Bogotá
(RMCAB) del Centro de Alto Rendimiento, La Ferias, Min. Ambiente y Usaquén
presentaron 39 (2,25%), 61 (3,52%), 493 (28,51%) y 155 (8,96%) registros diarios
faltantes, respectivamente.
(ii) Serie de caudal:
En la estación hidrométrica La Ventana Captación -Quebrada La Vieja (EAAB-ESP) se
identificaron en total 41 registros faltantes, lo que representó el 2,37% del total de
registros diarios del periodo de estudio.
Por otro lado, y como se observa en el Anexo A del documento (Mapa 1. Polígonos de
Thiessen), la estación climatológica San Luis (EAAB-ESP) registró una influencia del
100% sobre la hoya hidrográfica de la Quebrada La Vieja para los registros de
59
precipitación total diaria, en comparación con los registros de las cuatro estaciones de la
Red de Monitoreo y Calidad de Aire de Bogotá (RMCAB). Además de esto, se calculó
el coeficiente de correlación entre los datos de precipitación de las estaciones de la Red
de Monitoreo y Calidad de Aire de Bogotá (RMCAB) con respecto a los de la estación
climatológica San Luis (EAAB-ESP), hallando que los coeficientes de correlación
fueron menores a 0,62 para todos los casos como se muestra en la Tabla 7; razón por la
cual, se decidió utilizar la serie de tiempo de esta estación como representativa de la
precipitación de la hoya hidrográfica de estudio.
Tabla 7.
Coeficiente de correlación de las estaciones de la Red de Monitoreo y Calidad de Aire de Bogotá
(RMCAB) frente a la estación San Luis (EAAB-ESP).
Las Ferias
Ministerio de
Ambiente
Centro de Alto
Rendimiento Usaquén
Coeficiente de
correlación 0,43 0,62 0,43 0,60
La Figura 10 muestra el perfil topográfico del cauce principal de la hoya hidrográfica de
la Quebrada La Vieja, la ubicación de la estación pluviométrica San Luis y la estación
hidrométrica Ventana Captación operadas por la Empresa de Acueducto y Alcantarillado
de Bogotá (EAAB E.S.P), con las cuales se realizó el presente estudio.
60
Figura 10. Perfil topográfico del cauce principal de la hoya hidrográfica de la Quebrada La Vieja y
ubicación de las estaciones hidrometereológicas de la EAAB-ESP empleadas en el proyecto de
investigación.
Posteriormente, se establecieron dos modelos ARIMA preliminares para las series de
tiempo de precipitación y caudales diarios registrados por las estaciones San Luis y La
Ventana Captación-Quebrada La Vieja, respectivamente. Los anteriores modelos
cumplieron con los ocho supuestos de verificación para modelos ARIMA desarrollados
por Box y Jenkins (1970), como se observa en el Anexo B del presente documento. Las
características de estos modelos se señalan en la Tabla 8.
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Alt
itu
d (
msn
m)
Longitud (m)
Perfil Cauce
Estación Pluviometrica San Luis
Estación Hidrometrica Ventana Captación
61
Tabla 8.
Modelos ARIMA preliminares de las series de tiempo de precipitación y caudales observados en la hoya
hidrográfica Quebrada La vieja
Serie de
tiempo
Modelo ARIMA Estadístico de ajuste
del modelo
Polinomios
(p,d,q) Transformación Ecuación
R
cuadrado
MAPE
(%)
Precipitación
total diaria
(mm)
(2,0,0) Ninguna
0,896 238,24
Caudales
medios diarios
(m3/s)
(1,1,2) Logaritmo
natural
0,878 9,09
Nota. MAPE = error absoluto porcentual promedio
Finalmente, con los anteriores modelos y empleando el software estadístico IBM-SPSS
(Versión 19) se realizó la estimación de los datos faltantes para el periodo de estudio y
se incluyeron en las series de tiempo originales. A partir de lo anterior, se contaron con
series de tiempo completas en sus registros para el desarrollo de la presente
investigación. Las series de tiempo de precipitación y caudales se pueden observar en el
Anexo C presente del documento.
4.2 Caracterización del área de estudio
4.2.1 Delimitación y parámetros morfométricos
En el Anexo A del documento (Mapa 2. Localización del área de estudio) se observa la
localización y la delimitación del área de estudio, dicha delimitación se realizó teniendo
como base la divisoria de aguas topográfica de la hoya hidrográfica. La Figura 11
presenta un esquema general de la hoya hidrográfica de estudio.
62
Figura 11. Esquema general de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja
Por otro lado, en el Anexo D se puede observar la metodología de cálculo de los
parámetros morfométricos evaluados en el área de estudio. Los resultados se muestran a
continuación en la Tabla 9.
63
Tabla 9.
Parámetros morfométricos del área de estudio
Parámetro Valor
Área 1,42 km2
Perímetro 5,70 km
Orden de las corrientes de agua 3
Densidad de drenaje (Dd) 4,18
Pendiente media del cauce
(Taylor-Schwartz) 30,4%
Pendiente media del cauce
(Valores extremos) 35,1%
Factor de forma (Kf) 0,73
Coeficiente de compacidad o
índice de Gravelius (Kc) 1,34
Índice de alargamiento (Ia) 1,19
Pendiente media de la cuenca
(Método de Alvord) 52,5%
Tiempo de concentración-
ecuación de Kirpich (Tc) 0,14 h
Adicionalmente, se elaboró el mapa de pendientes del área de estudio a través del
software ArcGis Versión 10.0 (Ver Mapa 3. Pendientes del área de estudio-Anexo A),
por medio del cual se estableció que en la hoya hidrográfica predominan las pendientes
entre el 40-60% con una cobertura territorial del 33,73%, seguidas por pendientes entre
el 20-40% con una cobertura del 32,56%, y posteriormente pendientes entre el 60-80%
con un 16,90% de cobertura territorial, pendientes menores al 20% se presentan en un
7,73% del territorio, y entre el 80-100% con un 5,82% de cobertura territorial.
Los resultados de los parámetros morfométricos indican que la hoya hidrográfica se
caracteriza por tener una forma alargada y oval redonda, en donde se presenta una alta
densidad de drenajes, fuertes pendientes (35,36% para el cauce y 52,51% para la hoya
hidrográfica), y un tiempo bajo de concentración (0,14 horas o 8,15 minutos); lo cual
sugiere la presencia de altas velocidades de escurrimiento y la tendencia a la generación
64
rápida de caudales instantáneos o crecientes. Por todo esto, es posible inferir que el área
de estudio se comporta como una hoya hidrográfica torrencial.
4.2.2 Tipos de suelos, usos y tratamientos
De acuerdo al Mapa 4 “Unidades de suelo” (ver Anexo A) del presente documento, se
identificaron en la hoya hidrográfica tres unidades cartográficas de suelo. La primera de
estas corresponde a la unidad MLCe presente en un 40,1% del área; esta unidad es un
complejo de los suelos Humic Dystrudepts - Typic Argiudolls - Typic Hapludands. La
segunda corresponde a la unidad MGFf presente en un 33,5% del área, la cual es una
asociación entre suelos Humic Dystrudepts - Andic Dystrudepts - Humic Lithic
Dystrudepts. Finalmente, se identificó en el 26,4% del área la unidad MLSg
caracterizada por la predominancia de los suelos Typic Eutrudepts sobre los suelos
Typic Hapludands.
Por otro lado, se elaboró el Mapa 5 “Usos y tratamientos del suelo” (Anexo A), con el
cual se establecieron los tratamientos y usos del suelo presentes en la hoya hidrográfica
(ver Tabla 10). Las características de las unidades cartográficas de suelo y las categorías
de usos y tratamientos del suelo que se identificaron en el área de estudio se describen
detalladamente en el Anexo E del presente documento.
Tabla 10.
Usos y tratamientos del suelo presentes en el área de estudio
Usos y tratamientos
(CORINE Land Cover) Área (Ha)
Área
(%)
Afloramientos rocosos 11,8 8,3
Arbustal abierto 3,5 2,4
Arbustal denso 6,7 4,7
Bosque abierto alto de
tierra firme 49,6 35,0
Bosque abierto bajo de 21,2 15,0
65
Usos y tratamientos
(CORINE Land Cover) Área (Ha)
Área
(%)
tierra firme
Bosque denso alto de tierra
firme 35,9 25,4
Bosque fragmentado con
vegetación secundaria 11,1 7,9
Pastos enmalezados 1,8 1,3
Total 141,8 100,0
Por último, el hecho que en el área de estudio predominen los suelos impermeables
(textura franco arcillosa) y bosques abiertos en su uso; permite sugerir que la hoya
hidrográfica presenta un gran potencial de producción de escurrimiento, pero que en
cierto grado se ve atenuado por el efecto de interceptación de la precipitación y de
regulación hidrológica que desempeña la cobertura vegetal.
4.2.3 Caudal base
Los diagramas ombrotérmicos son una representación gráfica que permite identificar
períodos de sequía donde la precipitación es inferior a dos veces la temperatura media,
lo cual se toma como una estimación de la evapotranspiración (Almorox, 2007). Éstos
diagramas se construyeron con los datos de precipitación de la estación San Luis y los
datos de temperatura de la estación de Las Ferias de la Red de Monitoreo y Calidad de
Aire de Bogotá (RMCAB); sin embargo, estos diagramas no permitieron establecer
períodos de sequía dentro del área de estudio debido a las condiciones climáticas de la
zona, en donde, el régimen de precipitación presentó un comportamiento bimodal con
períodos de alta y baja precipitación sin exhibir propiamente periodos de sequía.
Adicionalmente, la interpretación de los diagramas generados para el período de estudio
sugirió a los meses de agosto y septiembre como de baja precipitación (ver Figura 12).
66
Figura 12. Diagrama Ombrotérmico para el año 2010.
Debido a la dificultad para determinar períodos homogéneos a partir de los diagramas
ombrotérmicos, se decidió establecer tres rangos a partir de un análisis estadístico de los
promedios mensuales de los datos de caudal. Los rangos se establecieron tomando como
referencia la desviación estándar de los promedios mensuales de caudal, dividiendo los
datos en (i) aquellos que superaron una desviación estándar con respecto al promedio,
(ii) los que se encontraron entre una desviación estándar por encima y por debajo del
promedio, y (iii) aquellos que se mantuvieron debajo de una desviación estándar con
respecto al promedio. A fin de identificar cualitativamente los rangos establecidos para
caudal, se nombraron como rango (i) alto, (ii) medio y (iii) bajo, respectivamente;
clasificando los meses de estudio dentro de uno de estos rangos, como lo muestra la
Tabla 11.
0
25
50
75
100
125
150
0
50
100
150
200
250
300
Tem
pe
ratura /°C
Pre
cip
itac
ión
/m
m
Diagrama ombrotérmico año 2010
Precipitación Temperatura
67
Tabla 11
Clasificación de los meses de estudio en los rangos de caudal propuestos.
Año
Mes
En
ero
Feb
rero
Ma
rzo
Ab
ril
Ma
yo
Ju
nio
Ju
lio
Ag
ost
o
Sep
tiem
bre
Oct
ub
re
No
vie
mb
re
Dic
iem
bre
2010
2011
2012
2013
2014
Nota. Color rojo= caudal alto; Color amarillo= caudal medio; Color verde= caudal bajo; Color blanco= sin
información.
Para cada rango se elaboró el hidrográma de caudal a fin de separar el caudal base
(aporte de aguas subterráneas) del caudal creciente (escorrentía) a partir del método de la
línea recta. A continuación, en la Figura 13 se presenta el hidrográma elaborado para el
rango medio (abril a julio) del año 2010; los demás hidrográmas se presentan en el
Anexo F del presente documento. La Tabla 12 resume los caudales base obtenidos a
través del método de la línea recta para el período de estudio.
68
Figura 13. Hidrográma de caudal para el rango medio (abril a julio) del año 2010. (La línea de color
rojo indica el caudal base determinado con el método de la línea recta.)
Tabla 12
Caudal base mensual para el período de estudio (m3/s).
2010 2011 2012 2013 2014
Enero - 0,011 0,010 0,010 0,005
Febrero - 0,013 0,010 0,010 0,005
Marzo - 0,055 0,010 0,016 0,005
Abril 0,010 0,055 0,016 0,016 0,005
Mayo 0,010 0,014 0,013 0,023 0,005
Junio 0,010 0,014 0,013 0,011 0,005
Julio 0,010 0,014 0,013 0,011 0,005
Agosto 0,005 0,014 0,013 0,007 0,005
Septiembre 0,005 0,014 0,010 0,007 0,005
Octubre 0,011 0,014 0,010 0,007 0,005
Noviembre 0,016 0,014 0,007 0,007 0,014
Diciembre 0,016 0,014 0,013 0,007 0,014
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
08/04/2010 08/05/2010 08/06/2010 08/07/2010
Cau
dal
(m
³/s)
Hidrograma abril a julio de 2010
Caudal m³/s Lineal (Caudal Base)
69
Los valores de caudal base mensual obtenidos muestran principalmente, un aumento
comparativamente mayor para el año 2011 (ver Tabla 12); año el cual se presentó el
fenómeno de La Niña con una intensidad fuerte (NOAA, 2015). Al analizar los demás
años de estudio se observa una tendencia bimodal, con alzas en los meses de abril y
diciembre, correspondiendo a la influencia de los períodos caracterizados por presentar
mayores valores de precipitación.
4.3 Aplicación del método Número de Curva de Escorrentía (CN)
Dado que la caracterización del área de estudio se realizó principalmente haciendo uso
de información secundaria, fue necesario realizar un análisis de correspondencia entre
las categorías establecidas a partir de las fuentes disponibles en el área de estudio y con
respecto a las propuestas por el método Número de Curva de Escorrentía (ver Tabla 13).
Para esto, se revisó de manera detallada cada categoría y sus características,
identificando similitudes entre éstas que las hicieran equivalentes. Los criterios de
equivalencia de las variables involucradas en el método CN se presentan en el Anexo G
del presente documento.
La asignación de los números de curva se realizó con el programa ArcGis Versión 10.0,
teniendo en cuenta los valores de CN que se relacionan en la Tabla 14.
Tabla 13.
Equivalencia de variables de unidad de suelos y cobertura de la tierra.
Variable
Equivalencia método Número de
Curva de Escorrentía (CN)
Unidades de
suelos
MLSg C
MLCe C
MGFf D
Cobertura de Pastos enmalezados Praderas
70
Variable
Equivalencia método Número de
Curva de Escorrentía (CN)
la tierra Bosque fragmentado con
vegetación secundaria Bosques
Arbustal abierto Praderas, arbustos y herbáceas
Arbustal denso Praderas, arbustos y herbáceas en
condiciones óptimas
Bosque abierto alto de tierra
firme Bosques
Bosque abierto bajo de tierra
firme Bosques
Bosque denso alto de tierra
firme Bosque de buena cobertura
Afloramientos rocosos Superficies 85% impermeables
Tabla 14.
Valores de Número de curva (CN) para las categorías presentes en el área de estudio.
Uso y tratamiento del suelo Tipo de suelo
C D
Praderas 79 84
Bosques 73 79
Praderas, arbustos y herbáceas 70 77
Praderas, arbustos y herbáceas en
condiciones óptimas 65 73
Bosque de buena cobertura 70 77
Superficies 85% impermeables 94 95
Habiendo definido las condiciones de uso y tratamiento del suelo específicas para el área
de estudio, se calculó un CN ponderado para la hoya hidrográfica, obteniendo como
resultado un valor de 75,4; de esta manera y considerando la escala de CN, correspondió
a un valor intermedio a los especificados para bosques en suelos tipo C y D.
La aplicación del método Número de Curva de Escorrentía para la obtención de la
precipitación efectiva se realizó con una escala temporal diaria para todo el período de
estudio, basándose en las ecuaciones presentadas en el marco referencial del presente
71
documento. A partir de los resultados obtenidos y empleando a su vez los valores de
caudal base previamente calculados, se determinó a través del método de hidrográma
unitario sintético triangular el caudal pico diario para el periodo de estudio; el cual fue
en promedio de 0,115 m3/s y con valor máximo de 0,979 m
3/s (ver Figura 14). Vale la
pena mencionar que en el anterior cálculo se empleó como duración en exceso de la
precipitación “De” un tiempo de 24 horas. Igualmente, a partir del caudal pico calculado
se estimó el caudal medio para cada día del período de estudio, obteniéndose un
promedio de 0,064 m³/s y con un valor máximo de 0,494 m³/s (ver Figura 15).
En el Anexo H del presente documento se pueden observar las estimaciones diarias de
caudal pico en la hoya hidrográfica para el periodo de estudio.
Figura 14. Serie de tiempo de caudales pico estimados a través del método CN para el periodo de estudio
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
01/04/2010 01/04/2011 31/03/2012 31/03/2013 31/03/2014
qp
(m
³/s)
72
Figura 15. Serie de tiempo de caudal medio calculado a partir de los resultados del método CN para el
período de estudio.
Los resultados obtenidos al aplicar el método Número de Curva de Escorrentía para las
condiciones hidrológicas del área de estudio durante el periodo de investigación,
sugieren que en los 79 días con condiciones de suelo saturado (P > 0,2xS), el coeficiente
de escorrentía máximo ponderado “C” de la hoya hidrográfica es 0,42 (42%), y que en
promedio el 11,1% del total de precipitación registrada en el área se convirtió en
escorrentía directa. Adicionalmente, se evidencia que el comportamiento de la serie de
tiempo de caudales pico estimado con el método CN (Figura 14) no refleja el régimen
bimodal o tetra estacional de precipitación presente en la hoya hidrográfica.
Un análisis más exhaustivo de la respuesta del método CN indica comportamientos
diferentes de acuerdo a la condición antecedente de humedad registrada bajo las
categorías del método Número de Curva. En el caso de la condición antecedente seca
(ACMI) el valor promedio de caudal pico estimado fue de 0,182 m³/s, mientras que el
valor promedio de caudal medio calculado para esta condición fue de 0,096 m³/s. Bajo
esta condición antecedente, las estimaciones resultantes de los días de precipitación
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
01/04/2010 01/04/2011 31/03/2012 31/03/2013 31/03/2014
qm
c (m
³/s)
73
diaria menor a 10 mm son comparativamente mayores a los valores de caudal medidos,
oscilando alrededor de los 0,203 m³/s para la serie de caudal pico y 0,107 para la serie de
caudal medio calculado. Esta particularidad explica el comportamiento general de las
series, ya que el 41,527% de los datos de estudio se presentan en una condición
antecedente seca y con magnitudes de precipitación baja.
Por otra parte, la condición antecedente húmeda (AMCIII) genera estimaciones de
caudal medio calculado similares en magnitud a los valores de caudal medidos, el
promedio de las estimaciones de caudal medio en esta condición de humedad es de
0,040 m³/s; por su parte el promedio de caudales medidos para el mismo rango de datos
es de 0,032 m³/s. Esta respuesta del método Número de Curva de Escorrentía ante los
cambios en el comportamiento de la precipitación reflejados en la condición
antecedente, sugiere una alta sensibilidad del modelo frente a este parámetro y por ende
una alta dependencia ante el mismo, como lo manifiesta Monsalve (1999).
Así mismo, es importante considerar las características del evento de precipitación bajo
el cual se ejecutó el modelo; ya que según Castillo et al. (1997) para lluvias de larga
duración e intensidades bajas el modelo sobrestima las escorrentías producidas, lo cual
concuerda con los resultados obtenidos añadiendo al análisis la condición antecedente de
humedad como un factor determinante en dicha sobrestimación de caudales.
Finalmente, profundizando en el comportamiento del método ante los cambios en los
parámetros de entrada (análisis de sensibilidad), se generó una gráfica de superficie para
la ecuación [II], a partir de la cual se puede establecer que ante un comportamiento
lineal en los parámetros de ingreso “P” y “S” (Precipitación e infiltración potencial,
74
respectivamente) se obtiene un conjunto de resultados de “Pe” (Precipitación efectiva)
muy bajo (Figura 16). De acuerdo a la gráfica los mayores valores esperados para “Pe”
(Precipitación efectiva) se encuentran cuando la infiltración potencial es cero (CN=100),
puesto que no existe infiltración en el suelo al ser éste impermeable; coincidiendo con lo
esperado teóricamente.
Figura 16. Gráfica de superficie de la ecuación de Precipitación efectiva.
Dentro del análisis no se puede dejar de lado la aplicabilidad del método CN para
simular series en el tiempo; más aún si se considera la inoperatividad del modelo frente a
los días de ausencia de lluvia, que genera sobresaltos que le imprimen un carácter
aleatorio a la serie temporal de caudal pico, estimada a través del método Número de
Curva de Escorrentía.
4.3.1 Comparación de caudales estimados y observados
La evaluación de la magnitud de la serie de caudales pico estimados a partir del método
CN, los caudales medios calculados y la serie de caudales medidos por la estación La
P (mm)
Pe
(mm)
S (mm)
75
Ventana Captación de la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB-
ESP), se realizó a través de la aplicación estadística descriptiva a las dos series de datos,
abarcando medidas de tendencia central y dispersión como se observa en la Tabla 15.
Tabla 15
Resultado de las medidas estadísticas aplicadas a las series de datos.
Max Min Media Mediana Desviación
estándar
Caudal pico
estimado (m³/s) 0,979 0,005 0,116 0,089 0,105
Caudal medio
calculado (m³/s) 0,494 0,005 0,064 0,055 0,052
Caudal medio
observado (m³/s) 0,129 0,005 0,022 0,017 0,017
Como se observa, la serie de caudal pico estimado a través del método Número de Curva
de Escorrentía es mucho mayor que la serie de caudal medio, llegando a superarla hasta
cinco veces; por esta razón las comparaciones a realizar se harán tomando la serie de
caudal medio calculado y la serie de caudal medio observado.
El valor máximo de la serie de caudal medio calculado supera 4 veces el valor máximo
de la serie de caudal medio observado. Por otro lado, la media de la serie de caudal
medio calculado es mayor a la media de caudal observado en un 290,9% (2,91 veces
superior); el valor de la desviación estándar de la serie de caudal medio calculado
resulta, a su vez, ser mayor en un 305,9% (3,06 veces superior) a la desviación
presentada por la serie de caudal observado.
Lo expuesto anteriormente indica que tanto la serie de caudal pico estimado y la serie de
caudal medio calculado a partir del método Número de Curva de Escorrentía es mucho
mayor en magnitud a la serie de caudales medidos por la estación La Ventana Captación
76
(EAAB-ESP), lo cual se hace evidente en la Figura 17. Al analizar este comportamiento
se debe considerar que las estimaciones realizadas por el método Número de Curva de
Escorrentía hacen referencia a caudales máximos y estos fueron los datos de partida para
obtener la serie de caudal medio calculado, que a pesar de presentar mayor similitud en
magnitud a la serie de caudal observado continúa siendo mayor. Teniendo claro este
aspecto, que podría explicar la obtención de valores de mayor magnitud en la serie de
caudal pico estimado y caudal medio calculado, es necesario analizar el porcentaje o la
relación entre el caudal medio diario y el caudal pico. Al respecto, Tucci (1998)
estableció una relación entre caudal máximo instantáneo y caudales medios diarios,
obteniendo para cuencas de menos de 200 km² una relación entre tres y cinco. De esta
manera, las variaciones en magnitud entre la serie de caudal estimada con el método
Número de Curva de Escorrentía y la serie de caudal medido serían las esperadas en una
hoya hidrográfica de esta extensión.
Figura 17. Comparación gráfica de la serie de caudal pico (qp) estimado a través del Número de Curva,
caudal medio calculado(Qmc) y la serie de caudal medido (Qm) por la estación La Ventana Captación.
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
01/04/2010 01/04/2011 31/03/2012 31/03/2013 31/03/2014
Cau
da
l (m
³/s)
qp (m³/s) Qmc (m³/s) Qm (m³/s)
77
4.4 Validación de variables
4.4.1 Verificación del Número de Curva de Escorrentía (CN)
La verificación del número de curva (CN) se realizó para los datos de caudal máximo
mensual correspondientes al período de estudio.
Se trabajó con un total de 55 datos, con los cuales se aplicó la metodología expuesta en
el numeral 3.4.4.1 del presente documento para determinar un número de curva de
escorrentía para los caudales máximos mensuales observados en la hoya hidrográfica.
Tras la ejecución de los cálculos se obtuvo un CN promedio para el año 2010 de 44,59,
para el año 2011 de 52,50, para el año 2012 de 64,59, para el año 2013 de 57,91 y para
el año 2014 de 59,95. El promedio interanual para el período de estudio fue de 56,51. El
valor de CN hallado se asemeja en magnitud a los valores establecidos para categorías
como bosques en un grupo hidrológico B del suelo. Los resultados de los cálculos
realizados para la obtención del nuevo valor de CN se presentan en el Anexo I.
El valor de CN adoptado para la aplicación del método Número de Curva de Escorrentía
es un parámetro capaz de afectar la precisión del mismo. Boughton (1989) indica que los
valores de CN estimados a partir de las tablas del método resultan notablemente
diferentes a los valores medidos en campo. Para el caso de estudio el valor de CN
hallado a través de la interpretación de las tablas del método resultó ser mayor en 18
unidades que el CN de verificación. Sin embargo, se debe aclarar que el CN de
verificación resultante no mostró una tendencia clara o estable al presentar una
desviación estándar de 20,96 unidades. Esto puede deberse a la utilización de caudales
máximos mensuales para el cálculo de CN de verificación, los cuales presentan
78
magnitudes y comportamientos diferentes a los caudales máximos instantáneos sobre los
cuales opera el método Número de Curva de Escorrentía.
4.4.2 Bondad del ajuste de la distribución normal
La prueba de normalidad se realizó a través de la prueba de Shapiro-Wilk con un nivel
de significación del 5% tanto para los caudales pico estimados "qp", los caudales medios
calculados “Qmc” y los caudales medios diarios registrados "Qm". Los resultados de la
prueba señalan que las tres series de tiempo no siguen una distribución normal, puesto
que el valor-p es menor que el nivel de significación alfa. Los gráficos P-P que se
muestran en el Anexo J del documento ratifican los resultados de la prueba para cada
una de las series de tiempo, ya que los valores de las muestras no se aproximan ni se
sitúan sobre la recta que representa la normalidad de la serie.
Debido a que las series de tiempo analizadas no siguen una distribución normal, se
empleó la prueba no paramétrica para dos muestras independientes de Kolmogorov-
Smirnov con un nivel de significación del 5%. El resultado de la prueba muestra que la
distribución de los caudales pico generados con el método Número de Curva de
Escorrentía y los caudales medios diarios registrados por la estación La Ventana
Captación (EAAB-ESP) presentan diferencias significativas, mostrando un valor D de
0,497; la cual es la máxima diferencia absoluta observada en la frecuencia;
planteamiento que se comprueba al observar el gráfico de distribuciones acumuladas de
las series de tiempo analizadas, y que se muestra a continuación en la Figura 18.
79
Figura 18. Distribuciones acumuladas de las series de tiempo de caudal pico estimado (qp) y caudal
medio observado (Qm), evaluadas en el proyecto de investigación.
Al realizar la prueba para la serie de caudales medios calculados y los caudales medios
diarios registrados por la estación La Ventana Captación (EAAB-ESP), se obtiene un
valor D de 0,430; siendo un comportamiento similar a la distribución de la serie de
caudal pico. El gráfico de distribuciones acumuladas se observa en la Figura 19.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Fre
cue
nci
a re
lati
va a
cum
ula
tiva
Distribuciones acumuladas (Qm / qp)
Qmedido (m³/s) qp(m³/s)
80
Figura 19. Distribuciones acumuladas de las series de tiempo de caudal medio calculado (Qmc) y caudal
medio observado (Qm), evaluadas en el proyecto de investigación.
La diferencia hallada en la prueba para dos muestras independientes de Kolmogorov-
Smirnov se puede explicar desde el análisis realizado al método Número de Curva de
Escorrentía y sus resultados, pues se evidenció que el método carece de un modelo
matemático que permita integrar en la estructura temporal los días para los cuales no se
presentó precipitación. Esta carencia genera sobresaltos en la serie de caudales
estimados alterando la distribución de los datos, llegando a ser la responsable de una
diferencia de tal magnitud en la distribución de probabilidad de las dos muestras.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Fre
cue
nci
a re
lati
va a
cum
ula
tiva
Distribuciones acumuladas (Qm/Qmc)
Qmedido (m³/s) Qmc (m³/s)
81
4.5 Incorporación de modelos ARIMA
4.5.1 Análisis de regresión
Antes de la identificación de modelos ARIMA para las series de tiempo en evaluación,
fue necesario realizar un análisis de regresión para establecer una posible correlación
entre la serie de precipitación total diaria, la serie de caudales pico diarios estimados a
través del método CN, la serie de caudales medios calculados y los caudales medios
diarios observados en el área de estudio (Ver Figura 20, 21 y 22).
Figura 20. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de caudales pico
diarios estimados a través del método CN (m3/s) para las diferentes condiciones antecedentes de humedad
(I: tipo I; II: tipo II; III: tipo III)
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0
Cau
dal
(m
³/s)
Precipitación (mm)
qp (I) qp (II) qp (III)
82
Figura 21. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de caudales medios
calculados (m3/s) para las diferentes condiciones antecedentes de humedad (I: tipo I; II: tipo II; III: tipo
III)
Figura 22. Modelo de regresión entre serie de precipitación total diaria (mm) y serie de caudales medios
diarios observados (m3/s) para las diferentes condiciones antecedentes de humedad (I: tipo I; II: tipo II;
III: tipo III)
Los resultados obtenidos sugieren que la precipitación total diaria tiene una alta
capacidad explicativa de los caudales pico diarios estimados a través del método CN y
de los caudales medios calculados, al realizar el análisis diferenciando las condiciones
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0
Cau
dal
(m
³/s)
Precipitación (mm)
Qmc (I) Qmc (II) Qmc (III)
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0
Cau
dal
(m
³/s)
Precipitación (mm)
Qm (I) Qm (II) Qm (III)
83
antecedentes de humedad. Para estas dos series se realizó una regresión polinómica,
lineal y exponencial obteniendo los coeficientes de determinación (R²) que se relacionan
en la Tabla 16. Frente a la serie de caudales medios observados no se observa un ajuste
que pueda indicar de forma clara la correlación de las variables, esto debido a los
coeficientes de determinación obtenidos.
Tabla 16.
Resultados del análisis de regresión para las series evaluadas.
Serie
Condición Antecedente (I) Condición Antecedente (II) Condición Antecedente (III)
Regresión
Coeficiente
de
Correlación
Regresión
Coeficiente
de
Correlación
Regresión
Coeficiente
de
Correlación
Ca
ud
al
pic
o
(qp
)
Polinómica
0,984
Polinómica
0,966
Polinómica
0,948
Exponencial
0,871
Lineal
0,466
Lineal
0,652
Ca
ud
al
med
io c
alc
ula
do
(Q
mc)
Polinómica
0,938
Polinómica
0,933
Polinómica
0,868
Exponencial
0,842
Lineal
0,454
Lineal
0,613
Ca
ud
al
med
io
ob
serv
ad
o (
Qm
)
Exponencial
0,065
Polinómica
0,086
Potencial
0,034
84
4.5.2 Construcción de modelos ARIMA
En este numeral se presentan los resultados obtenidos al aplicar la metodología de
construcción de modelos ARIMA desarrollada por Box y Jenkins (1970), para la serie de
caudales pico en la hoya hidrográfica estimada a través del método Número de Curva de
Escorrentía (CN) para el periodo de estudio. Del mismo modo, el modelo ARIMA
desarrollado para la serie de caudales observados en el área de estudio se expone en el
Anexo K del documento.
(i) Identificación de modelos univariantes
Esta etapa se centró en determinar los órdenes de los polinomios del proceso
autorregresivo “p” y de promedios móviles “q”, así como el operador de diferencia “d”
que debió utilizarse para cancelar la no estacionariedad de la serie, causada por una
tendencia polinomial no determinista.
Inicialmente, se determinó una transformación estabilizadora de varianza con la cual se
logró volver estacionaria la serie del tiempo estudiada. El procedimiento para elegir la
transformación adecuada se basó en el propuesto por Bartlett (1947) y en el cual se
afirma que “si la variación tiende a cambiar con el nivel medio de las mediciones, la
varianza solamente se estabilizará con un cambio apropiado de escala”. En
consecuencia, se restringió el tipo de transformaciones a la familia de transformaciones
potencia “”, las cuales son utilizadas frecuentemente por presentar buenos resultados
en la práctica (Guerrero, 2003). Por lo tanto, la serie de tiempo transformada T(Zt) y la
potencia “” que estabilizo su varianza fue:
85
Los resultados conseguidos sugirieron que el valor de “” adecuado para a serie de
caudales pico estimados (qp) en el área de estudio es 0,6. Dado que este valor es
diferente de cero, se determinó que la transformación estabilizadora potencia es
apropiada para la mencionada serie de tiempo (ver Figura 23).
a)
b)
Figura 23. Serie de caudales pico diarios estimados a través del método CN. (a) Sin y (b) con
estabilización de la varianza
Seguidamente, se estabilizó el nivel de la serie de caudales mediante la aplicación del
operador de diferencia “” un número apropiado de veces. Por lo tanto, se empleó
primeramente la Función de Autocorrelación muestral (FAC) como herramienta para
determinar el grado de diferencia apropiada de la serie, y en consecuencia, se graficó
86
esta función por medio del software estadístico IBM-SPSS (Versión 19) para las series
T(Zt)}, {T(Zt)} y {²T(Zt)} (ver Figura 24) , ya que se ha demostrado que en raras
ocaciones se requieren de diferencias de grado más alto (Guerrero, 2003).
a)
b)
c)
Figura 24. FAC muestral de la serie de caudales pico diarios estimados a través del método CN. a) {T
(Zt)}, b) {T (Zt)} y c) {²T (Zt)}.
87
En segundo lugar, se utilizó como herramienta complementaria para establecer el grado
de diferenciación “d” requerido para estabilizar el nivel de la serie, el método de la
diferenciación de la variable, en el cual se calcula la desviación estándar muestral “σ” de
la series T(Zt)},{T(Zt)}, {²T(Zt)} y {3T(Zt)}, y el grado de diferención requequido
es el que cumpla con σ(d)= mín{σ(j), j=0,1,2,3}(Anderson, 1976). En efecto, los valores
para la serie de tiempo de caudales pico estimados en el área de estudio fueron los
siguientes: σ(0)= 0,160, σ(1)=0,194, σ(2)= 0,331, σ(3)= 0,602.
En pocas palabras, al tener en cuenta las gráficas de la FAC muestral con 0, 1, y 2
diferencias (Figura 24), se determinó que la serie de tiempo con la primera
diferenciación canceló su estacionalidad no homogénea (decaimiento rápido de las
autocorrelaciones a cero); aunque esto no fue corroborado por los valores de desviación
estándar muestral, ya que el menor se presentó en la serie original, se mantuvo la
determinación de trabajar con la primera diferenciación ya que los valores de σ(0) y σ(1)
fueron cercanos.
El último paso en la etapa de identificación consistió en asociar la FAC y la FACP
muestral de la serie de caudales pico estimados con un posible proceso generador del
tipo ARIMA (p,d,q) . A continuación, en la Tabla 17 se pueden observar los valores de
la FAC y la FACP para serie de tiempo en estudio {T(Zt)}.
88
Tabla 17.
FAC y FACP muestrales de la serie de caudales pico diarios estimados a través del método CN {T(Zt)}
FAC (qp) FACP(qp)
k rk i Φii
1 -0,458 1 -0,458
2 -0,032 2 -0,307
3 0,032 3 -0,179
4 -0,031 4 -0,153
5 -0,018 5 -0,153
6 0,010 6 -0,131
7 0,007 7 -0,101
8 0,005 8 -0,073
9 -0,012 9 -0,075
10 -0,005 10 -0,082
11 0,009 11 -0,068
12 -0,007 12 -0,068
13 -0,033 13 -0,119
14 0,035 14 -0,094
15 -0,004 15 -0,089
16 0,013 16 -0,060
17 -0,001 17 -0,050
18 -0,020 18 -0,074
19 0,003 19 -0,082
20 0,027 20 -0,039
21 0,021 21 0,023
22 -0,033 22 0,005
23 -0,020 23 -0,039
24 0,021 24 -0,026
Los resultados de la FAC muestra que se presenta un valor sensiblemente alto para la
primera autocorrelación y en el caso de la FACP se evidencia una sucesión convergente
de autocorrelaciones a cero. Teniendo en cuenta los anteriores comportamientos y según
lo expuesto en la Tabla 6, a la serie de tiempo se le puede asociar un proceso generador
89
de datos del tipo IMA (1,1), fundamento por lo cual es razonable proponer un modelo
ARIMA (0,1,1).
La anterior propuesta fue sustentada por el criterio proporcionado por Bartlett (1946), el
cual permitió identificar cuáles de las autocorrelaciones de la FAC fueron
significativamente diferentes de cero para cierto retraso (q) (ver Ecuación XIII).
| | √
∑
[XIII]
Dónde:
rk: magnitud de la autocorrelación asociada con el retraso k
N: número total de datos de la serie de tiempo estudiada
d: grado de la diferenciación requerido para la estabilización del nivel de la serie
Al aplicar este criterio partiendo del supuesto que pk = 0 para k > 0 (lo cual significaría
que la serie es un ruido blanco) se estableció que |r1|=0,458 > 0,048 y que |r2|=0,032 <
0.048 (ver Tabla 17), es decir, que la primera autocorrelación es significativamente
diferente de cero. En adición, el criterio de Quenouille (1949) sustentó también la
propuesta de un proceso ARI (0,1) ya que indicó que la mayoría de las autocorrelaciones
(ver Tabla 17) son distintas de cero debido a que sus valores están por fuera del
intervalo ± 0.048, que fue calculado mediante la ecuación XIV.
√
90
Dónde:
N: número total de datos de la serie estudiada
d: grado de la diferenciación requerido para la estabilización del nivel de la serie
Ahora bien, para comprobar si se ha omitido un coeficiente que resulte ser significativo,
es decir, si el modelo propuesto puede ser mejorado mediante la introducción de
coeficientes adicionales resultó conveniente proponer dos modelos más; el modelo
ARIMA (0,1,3) y el ARIMA (1,0,3).
Para concluir, en la etapa identificación de los modelos univariantes se propusieron los
siguientes modelos ARIMA para predecir el comportamiento de los caudales pico
diarios estimados en la hoya hidrográfica para el periodo de estudio:
ARIMA (0,1,1)
ARIMA (0,1,3)
ARIMA (1,0,3)
(ii) Estimación de los modelos univariantes
91
La finalidad de esta etapa fue encontrar los mejores valores de los parámetros de
modelos ARIMA propuestos anteriormente con el objeto de que representen
adecuadamente la serie de tiempo de caudales pico diarios estimados en el área de
estudio. La estimación puntual de estos parámetros y sus intervalos de confianza se
realizó a través del software estadístico IBM-SPSS (Versión 19), el cual se basa en el
método estadístico de máxima verosimilitud y en el método de estimación no lineal para
ϕ, θo y θ propuesto por Box y Jenkins (1970) que se fundamenta en el algoritmo de
Marquardt (1963).
De acuerdo a Guerrero (2003) el método de máxima verosimilitud parte del supuesto de
que {αt} es un proceso de ruido blanco con distribución normal, media cero y varianza
σ2
α; con lo cual se obtiene la función de densidad conjunta de los errores aleatorios y la
función de verisimilitud de los parámetros, esta función deberá maximizarse con
respecto a los parámetros para obtener la representación más apropiada de la serie en
estudio.
Los resultados de la estimación de los parámetros de los modelos ARIMA propuestos en
la etapa son los siguientes:
ARIMA (0,1,1)
Número de observaciones “N” = 1728
Diferenciación “d”= 1
Valor del parámetro e intervalo de 95% de confianza
92
Proceso autorregresivo:
√
Media de los residuales, m(â): 0,00035
Desviación estándar de los residuales, : 0,151643
Autocorrelaciones de los residuos
Tabla 18.
Autocorrelaciones de los residuales del modelo ARIMA(0,1,1)
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rk ,122 ,052 ,039 -,030 -,044 -,026 -,025 -,037 -,058 -,058 -,049 -,055
k 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
rk -,049 ,016 ,020 ,032 ,021 ,011 ,036 ,057 ,029 -,035 -,042 -,013
Desviación estándar de las autocorrelaciones: 0,046
Estadístico de Ljung y Box (Q´): 71,765 con 17 grados de libertad
La gráfica de los residuales {αt} se presenta a continuación:
Figura 25. Residuales del modelo ARIMA(0,1,1) para la serie de caudales pico diarios estimados a través
del método CN. Línea límite para ±2 desviaciones residuales.
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
at
Lineal (±2σ) Lineal (±3σ)
93
(iii) Verificación de los modelos univariantes
Esta esta etapa tuvo como propósito poner en tela de juicio los modelos propuestos y
descritos en las etapas anteriores con el ánimo de detectar sus fallas y así determinar
objetivamente cuál de estos representa adecuadamente la serie estudiada. Esta
verificación de modelos ARIMA se realizó mediante la utilización los ocho supuestos
propuestos por los autores Box y Jenkins (1970).
A continuación se presentan los resultados de la verificación de los ochos supuestos para
los modelos identificados para la serie de caudales pico diarios estimados en el área de
estudio:
ARIMA (0,1,1)
(1) {αt} tiene media cero
Como |√ | , no hay razón para pensar que la media de
los residuos pueda ser distinta de cero.
(2) {αt} tiene varianza constante
La Figura 25 muestra que aparentemente no existió una violación importante a dicho
supuesto.
(3) Las variables aleatorias {αt} son mutuamente independientes
El valor de Q’ se comparó con el valor de distribución de Ji cuadrada con 17 grados de
libertad. El valor del 5% de dicha distribución es 27,58 por lo cual se concluye que el
valor de Q’ = 71,765 conduce al rechazo de la hipótesis que los residuos son un residuo
blanco. Adicionalmente, el hecho de que existieron ocho valores de las
94
autocorrelaciones residuales por fuera del intervalo (
√ )
fundamentó el rechazo del supuesto de independencia.
(4) {αt} tiene una distribución normal
En la Figura 25 se observó que solo el 1,099% de los residuales del modelo se encuentra
por fuera del intervalo , lo cual es consistente con la idea de que solamente
el 5% de los residuales se encuentren por fuera de dicha banda y por ende no existe
violación al supuesto.
(5) No existen observaciones aberrantes
La gráfica de los residuales del modelo permitió observar que existieron solamente 3
valores considerados como extremos, es decir, que estuvieron por fuera del intervalo
. Estos residuales se consideraron como atípicos y fueron explicados por los
altos valores de precipitación (97,1 mm, 76,2 mm y 49,5 mm) registrados por la estación
pluviométrica San Luis y que influyeron en el aumento de las estimaciones del caudal
pico para esos tres días. En otras palabras, las tres predicciones extremas no fueron
generadas por el proceso generador de datos del modelo si no que fueron influenciadas
por condiciones externas.
(6) El modelo es parsimonioso
Debido a que el intervalo del 95% de confianza del parámetro θ no incluyó el valor cero
(0,916;0,950), se concluyó que este parámetro es necesario para explicar el
comportamiento de serie de tiempo.
95
(7) El modelo es admisible
El modelo cumple este supuesto ya que el intervalo de 95% de confianza del parámetro
θ se encontró totalmente incluido dentro de la región admisible para modelos MA(1),
que era el intervalo (-1;1).
(8) El modelo es estable en parámetros
Teniendo en cuenta que el modelo solo presentó un parámetro para el proceso de
promedio móvil, por esto no existió redundancia de parámetros y era improbable que el
modelo fuera inestable.
Por último, los resultados de la estimación y verificación de los modelos ARIMA (0,1,3)
y (1,0,3) identificados para representar la serie de tiempo de caudales pico diarios
estimados a través del método Numero de Curva de Escorrentía (ver Anexo L),
señalaron que estos dos modelos aprobaron los ochos supuesto de verificación de
modelos ARIMA y, en consecuencia, fueron satisfactorios para representar el
comportamiento temporal de dicha serie de tiempo.
De igual modo, los resultados de la estrategia de construcción de modelos ARIMA
utilizada en la presente investigación señalaron que los modelos (0,1,3) y (1,0,3)
también son apropiados para representar el comportamiento temporal de la serie de
caudales medios calculados a través del método Numero de Curva de Escorrentía;
mientras, que el modelo ARIMA (2,1,2) permitió una aproximación a la representación
del comportamiento de la serie de tiempo de caudales medios diarios observados en el
área de estudio (ver Anexo K).
A continuación, en la Tabla 19 se presentan los modelos ARIMA definitivos
identificados para cada una de las series de tiempo evaluadas, con sus respectivos
96
parámetros y valores de estadísticos de ajuste obtenidos a través del software estadístico
IBM-SPSS (Versión 19).
Tabla 19.
Modelos satisfactorios definitivos y estadísticos de ajuste
Serie de
tiempo
Modelo ARIMA
Estadísticos de ajuste del
modelo
Polinomios
(p,d,q) T
ran
sfo
rma
ció
n
Ecuación R2
MA
PE
(%
)
Ma
xA
PE
(%
)
Caudales
pico diarios
estimados
(m3/s)
(0,1,3) Potencia
0,123 117,822 812,678
(1,0,3) Potencia
0,129 119,948 764,460
Caudales
medios
diarios
calculados
(m3/s)
(0,1,3) Potencia
0,124 78,842 514,086
(1,0,3) Potencia
0,130 80,319 484,337
Caudales
medios
diarios
observados
(m3/s)
(2,1,2) Logaritmo
natural
0,877 8,865 142,051
Nota. MAPE= error absoluto porcentual promedio; MaxAPE= error absoluto porcentual máximo
97
Con base en la información expuesta en la Tabla 19, se evidenció en primer lugar que
los regímenes de caudales pico diarios y caudales medios estimados a través del método
Número de Curva de Escorrentía presentan una estructura o comportamiento temporal
similar.
En segundo lugar, el modelo ARIMA (2,1,2) identificado la serie de caudales medios
diarios observados en el área de estudio, sugiere que en este régimen de caudales en la
zona alta de la Quebrada La Vieja se caracteriza por la presenta el fenómeno de
persistencia de caudales; afirmación sustentada por el componente autorregresivo (p) de
orden dos y del cual Cadavid & Carvajal (2013) afirman que para los ejercicios de
prediccion en Colombia este rezago ha mostrado ser adecuado. De modo similar, los
autores Rojo et al. (2010) y Verón et al. (2006) identificarón modelos ARIMA con
procesos autoregresivos semejantes para pronosticar el comportamiento de caudales
medios mensuales en los ríos Tala (Argentina) y Guadalupe (Colombia),
respectivamente. Al respecto, Monsalve (1999) define el fenómeno de persistencia de
caudales en hoyas hidrográficas como “la tendencia de que un caudal bajo sea seguido
por otro cadual bajo, que por un caudal alto y, similarmente; que un caudal alto es más
probable que sea seguido por otro caudal alto”.
En tercer lugar, la necesidad de estabilizar la varianza y el nivel de los datos a través de
la utilización de funciones transformadoras y operadores de diferencia (d) de primer
orden en los modelos ARIMA identificados para las tres series de tiempo de caudales
evaluadas en la presente investigación (ver Tabla 19), indicaron que estas series no son
estacionarias, es decir, que tanto los regímenes de caudales pico y medios diarios
98
estimados a través del método CN, y los caudales medios diarios observados en el área
de estudio presentaron una gran variabilidad a lo largo del periodo de estudio.
En cuarto lugar, los modelos ARIMA identificados en la presente investigación (ver
Tabla 19) sugieren que las series de tiempo de caudales pico diarios y caudales medios
estimados, y caudales medios diarios observados exhiben procesos generadores de datos
del tipo de promedios móviles de tercer orden MA(3) y segundo orden MA(2),
respectivamente; lo cual revela que son series de tiempo que absorben rápidamente los
impactos generados en su punto de equilibrio por estimaciones u observaciones de
caudales inesperados, o dicho de otra manera, la serie de caudales pico y caudales
medios estimados volvieron a su nivel como máximo en los 3 días posteriores a una
estimación atípica y la serie de caudales medios observados lo retomó en los dos días
subsiguientes.
Finalmente, teniendo en cuenta los valores del coeficiente de determinación (R2) de los
modelos ARIMA identificados en la presente investigación (ver Tabla 19) evidenciaron
que el modelo (1,0,3), aunque aprobó la etapa de verificación, solo logra explicar como
máximo la variación del 12,9% de los caudales pico diarios estimados y del 13% de los
caudales medios diarios estimados en el periodo de estudio, lo que significa que el
modelo no es idóneo para representar el comportamiento a escala diaria de la series pero
si su comportamiento general. En contraste, el modelo ARIMA (2,1,2) presentó la
capacidad para explicar la variación del 87,7% de los caudales medios diarios
observados en la hoya hidrográfica para el periodo de estudio.
99
En este sentido, vale la pena destacar que Guerrero (2003) afirma que “el valor de R2 es
muy sensible al grado de diferención utilizado y esto causa la fe bastante limitada que se
les asigna a estas medidas por personas experimentadas con datos de series de tiempo”.
4.5.3 Comparación de modelos
Desde el punto de vista de los modelos ARIMA, los modelos (0,1,3) y (1,0,3) que
representaron el comportamiento de la series de caudales pico diarios y caudales medios
estimados a través del método Numero de Curva de Escorrentía presentaron diferencias
en su estructura temporal con respecto al modelo (2,1,2) que representó la serie de
caudales medios diarios observados en el área de estudio. Lo anterior, en cuanto a los
procesos generadores de datos que en estos intervienen, es decir, a los procesos
autorregresivos y de promedios móviles. Inicialmente, se observa que los modelos de la
serie de tiempo de caudales pico estimados se caracterizaron por tener memoria limitada
o casi nula, es decir, el caudal pico estimado para un día dependió o fue influido como
máximo por el caudal pico estimado del día anterior. Adicionalmente, el hecho de
presentar un proceso de media móvil de orden tres (MA (3)) indicó una combinación
alta de fluctuaciones aleatorias de los caudales picos estimados alrededor del punto de
equilibrio de la serie de tiempo.
En contraste, se observó que el modelo de la serie de caudales medios diarios
observados en el área de estudio presentó una memoria corta, es decir, el caudal medio
de un cualquier día observado en la hoya hidrográfica fue influenciado por los caudales
medios de los dos días previos: lo que se evidenció por un proceso autorregresivo de
segundo orden (AR (2)) y fue fundamentado por la influencia consecutiva que tuvo la
serie al ser necesaria la diferenciación de primer orden. Además, este modelo indicó una
100
menor fluctuación de los caudales medios diarios observados alrededor del punto de
equilibrio de la serie de tiempo, ya que presentó un proceso de media móvil de orden dos
(MA (2)).
En la Figura 26 se observa las variables de estudio y los modelos ARIMA obtenidos
para cada una, indicando las posibles relaciones o similitudes presentes dentro de los
modelos obtenidos y, a su vez, permitiendo visualizar las diferencias en la estructura
temporal de las series analizadas.
Figura 26. Relación entre variables de estudio y sus modelos ARIMA respectivos.
Posteriormente, con el propósito de establecer posibles componentes periódicos o sus
estructuras subyacentes en las series de tiempo de caudales evaluadas en la presente
investigación, se generaron sus respectivos periodogramas (ver Figura 27). Los
resultados mostraron que para la serie de caudales pico estimados a través del método
Precipitación diaria
ARIMA (2,0,0)
Caudal medio diario
ARIMA (2,1,2)
Caudal pico diario estimado
ARIMA (1,0,3)
ARIMA( 0,1,3)
101
CN la existencia de un pico destacable en la frecuencia 0,00289, y cuyo inverso
corresponde el periodo estacional o ciclo, sugirió la presencia de un ciclo en esta serie de
tiempo con una longitud de aproximadamente 346 días. En el caso de la serie de
caudales medios diarios observados en el área de estudio no fue posible determinar
algún componente periódico en la escala temporal de la investigación, ya que se observó
que el pico destacable se encuentra en la frecuencia cero.
a)
b)
Figura 27. Periodograma de las series de tiempo evaluadas en la investigación. a) Caudales pico diarios
estimados a través del método CN y (b) Caudales medios diarios observados.
102
Finalmente, la Tabla 20 muestra los valores de los estadísticos de ajuste del modelo
ARIMA (1,0,3), el cual presentó el mayor valor de R2 tanto en la serie de caudales pico
diarios estimados como en la serie de caudales medios calculados (ver Tabla 19), al ser
aplicado a la serie de caudales medios diarios observados en la hoya hidrográfica de
estudio.
Tabla 20.
Estadísticos de ajuste del modelo ARIMA (1,0,3)
Modelo Transformación R2
MAPE
(%)
MaxAPE
(%)
(1,0,3) Logaritmo natural 0,935 2,361 69,188
Nota. MAPE= error absoluto porcentual promedio; MaxAPE= error absoluto porcentual máximo
Debido a que el modelo presentó un coeficiente de determinación de 0,935 (ver Tabla
20), lo cual indicó un ajuste adecuado a la serie de tiempo en mención, se decidió
realizar la etapa de estimación y verificación de este modelo (Anexo M); de esta manera,
los resultado sugirieron que el modelo no era satisfactorio para representar la serie de
caudales observados en el área de estudio ya que este no aprobó los supuestos de
distribución normal de sus residuales y que el modelo fuera parsimonioso.
Ahora bien, teniendo en cuenta los resultados expuestos anteriormente, es posible
afirmar que los modelos ARIMA (0,1,3) y (1,0,3), identificados para los regímenes de
caudal pico diarios y medios diarios calculados a través del método Numero de Curva de
Escorrentía, no se ajusta a la estructura temporal de la serie de caudal medio observado
representada por el modelo ARIMA (2,1,2); en primer lugar, por el limitado componente
de persistencia existente en la serie de caudal medio observado y por la presencia de un
mayor grado de fluctuación alrededor del punto de equilibrio de la serie de caudales pico
103
y medios estimados frente a la serie de caudales medios observados. En segundo lugar, a
través del análisis de los periodrogramas se estableció un ciclo de 346 días en la serie de
tiempo de caudal pico estimado; ciclo inexistente en la serie de tiempo de caudal medio
observado. La explicación de las discrepancias en la estructura temporal de las tres
series de tiempo estudiadas recae en el hecho de que las serie de caudal pico y medio
diario estimado surgió de un modelo conceptual establecido para la representación
puntual de la magnitud de los caudales máximos y no el comportamiento temporal de
éstos.
Finalmente, los resultados de esta investigación permiten comprobar la utilidad de los
modelos estocásticos univariantes (AR, ARMA y ARIMA) para abordar el carácter
aleatorio de los fenómenos hidrológicos y con ello lograr la predicción confiable de
caudales y la evaluación de la estructura temporal de estas a lo largo del tiempo.
104
5. CONCLUSIONES
La aplicación de los métodos Número de Curva de escorrentía e Hidrográma Sintético
Triangular bajo las condiciones hidrológicas de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja
en su zona alta, permiten obtener la serie de tiempo de caudales pico diarios y caudales
medios estimados para el período comprendido entre el 8 de abril de 2010 y el 31 de
diciembre de 2014, las cuales presentan un valor promedio de 0,116 m3/s y 0,064 m
3/s, y
un valor máximo de 0,979 m3/s y 0,494 m
3/s, respectivamente.
El análisis descriptivo de las series de tiempo estimadas a través del método Número de
Curva de Escorrentía señala que en cuanto a magnitud, la serie de caudales pico diarios
y la serie de caudales medios calculados son, respectivamente, hasta cinco veces
(527,27%) y tres veces mayores (290,90%) que el promedio de la serie de caudales
medios diarios observados en la zona alta de la hoya hidrográfica de la Quebrada La
Vieja.
El hecho que el promedio de las series de tiempo de caudales (pico y medios diarios)
estimadas a través del método Número de Curva de Escorrentía se encuentre por encima
del rango teórico de relación entre caudales máximos instantáneos y caudales medios
planteado por Tucci (1998), sugiere que el método Número de Curva de Escorrentía
tiende a sobrestimar estos regímenes de caudales de la hoya hidrográfica en estudio.
Los resultados de la utilización de la estrategia de construcción de modelos para series
de tiempo desarrollada por Box y Jenkins (1970) y el software estadístico IBM-SPSS
(Versión 19) indican que los modelos ARIMA (0,1,3) y (1,0,3), brindan una
aproximación a la representación general del comportamiento temporal del régimen de
105
caudales picos y medios diarios estimados con el método Número de Curva de
Escorrentía para la zona alta de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja; esto al
presentar coeficientes de determinación (R2) de 0,123 y 0,129, y un error absoluto
porcentual promedio (MAPE) de 117,8% y 119,9%, respectivamente.
El empleo de estas mismas herramientas señalan que el modelo ARIMA (2,1,2), el cual
tiene un coeficiente de determinación (R2) de 0,88 y un MAPE de 8,9%, representa
adecuadamente el comportamiento de la serie de tiempo de caudales medios diarios
observados en la zona alta de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja para el periodo de
estudio y además, se constituye como una herramienta confiable para realizar
estimaciones de este régimen de caudales para periodos de tiempo anteriores o
posteriores al considerado en la presente investigación.
La comparación entre los modelos ARIMA (0,1,3), (1,0,3) y (2,1,2), hace evidente las
diferencias existentes entre las ponderaciones de los procesos generadores de datos y los
componentes estacionales que intervienen en las series de tiempo evaluadas en el
proyecto, lo que sugiere la inexistencia de ajuste en cuanto a estructura temporal similar
entre las series de tiempo estimadas (caudales pico y medios diarios) y la serie de
caudales medios diarios observados en la zona alta de la hoya hidrográfica Quebrada La
Vieja.
El análisis a través de los modelos ARIMA de la serie de tiempo de caudales pico y
medios diarios estimados por medio del método de Número de Curva de Escorrentía en
la zona alta de la hoya hidrográfica Quebrada La Vieja para el periodo de investigación,
permite establecer que estas dos series de tiempo cuentan con una estructura temporal
106
similar, caracterizada por una limitada o casi nula memoria, la ausencia del fenómeno de
persistencia de caudales, una alta variabilidad y fluctuación a lo largo del tiempo, la
capacidad de absorber rápidamente los impactos generados en su punto de equilibrio por
eventos inesperados, y un componente cíclico de aproximadamente 343 días de
duración.
107
6. RECOMENDACIONES
En primer lugar, es recomendable evaluar si al emplear modelos ARIMA más robustos,
es decir, con órdenes de polinomios superiores para los procesos generadores de datos
autoregresivo AR (p) y promedios móviles MA (q), se obtienen mejores resultados en la
representación del comportamiento temporal de la series de tiempo de caudales pico y
medios diarios estimados a través del método Número de Curva de Escorrentía.
También, se sugiere realizar un análisis de las estimaciones del caudal en hoyas
hidrográficas colombianas que presenten usos y tratamientos del suelo, y características
hidrológicas diferentes a las estudiadas en la presente investigación, pudiendo incluir un
ajuste del porcentaje de pérdidas iniciales. Además de esto, resultaría conveniente
evaluar la posibilidad de obtener mejores resultados en la aproximación a la
representación del comportamiento temporal de series de tiempo de caudales estimadas
por el método Número de Curva, mediante la eliminación de los sobresaltos que se
generan al utilizar el valor del el caudal base en los días en que no se presentó eventos
de precipitación en la hoya hidrográfica.
Así mismo, la utilización de una escala temporal diferente a la empleada en la presente
investigación (mensual o anual) y de series de tiempo de mayor longitud puede derivar
en un análisis más completo de la estructura temporal de los modelos hidrológicos
existentes del fenómeno lluvia-escorrentía. En este sentido, resulta pertinente analizar la
alternativa de modelar este fenómeno físico a través modelos ARIMA con un análisis de
intervención y el desarrollo de modelos de función de transferencia.
108
Teniendo en cuenta que actualmente se dispone de diferentes tipos de software que
hacen posible obtener modelaciones matemáticas de fenómenos de la naturaleza de
manera casi instantánea; se podrían obtener las predicciones del método Número de
Curva de Escorrentía a través de software como HEC-HMS o SWAT. Adicionalmente,
se sugiere evaluar la estructura temporal de estas predicciones por medio de la
utilización de otros modelos estocásticos univariantes como el ARMAX, modelos
multivariados como el filtro de Kalman y redes neuronales.
Por otro lado, como producto de esta investigación y teniendo en cuenta la importancia
del método Número de Curva de Escorrentía en el campo ingenieril, se recomienda
indagar acerca de la influencia que pueden presentar los fenómenos característicos de la
variabilidad climática interanual extrema sobre las predicciones de volúmenes de
escorrentía de este método en hoyas hidrográficas colombianas.
Finalmente, la facilidad que brindan los modelos ARIMA para analizar fenómenos en
donde la variable tiempo desempeña un papel importante, sugiere que estos modelos
pueden emplearse como herramienta para representar y predecir el comportamiento de
contaminantes de físicos y químicos en cuerpos de agua; y con ello brindar herramientas
a las autoridades competentes para la toma de decisiones encaminadas a establecer
estrategias para la adecuada gestión del recurso hídrico y minimizar los riesgos para
salud humana.
109
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