De aquí en adelante se realizará un estudio del origen de algunasecuaciones expresadas en coordenadas polares, tenga en cuenta que

al principio solo mostrará copia del texto y luego la demostraciónde las ecuaciones que son propias de los estudiantes de la maestría,

solicitamos paciencia a aquellas personas que no requieren tantoformalismo al escribir paso a paso de donde viene cada ecuación

Gracias.

Donde σT es St

El espesor “t” es dr

Para los propósitos de esta presentación, como los dos problemas que se expondrán tienen como base común el uso de coordenadas polares para problemas de dos dimensiones, recordemos que la relación entre cambios de coordenadas polares a rectangulares se da por estas ecuaciones: cosrx senry

;

De donde por relaciones trigonométricas queda que: ;222 ryx

x

yarctan

;

Ahora bien si se deriva todas las ecuaciones anteriores respecto a las variables “x” e “y” queda:

seny

r

r

rsen

r

y

y

r

y

rry

y

rr

y

yyr

yy

yx

yr

yyx

yy

rx

r

r

r

r

x

x

r

x

rrx

x

rr

x

xxr

xy

xx

xr

xyx

xx

r

ryx22

coscos

22

222222

222222

222

rxr

r

r

x

yxx

x

y

x

yxx

y

x

y

yyx

y

x

y

x

y

y

yx

y

yyy

r

sen

xr

rsen

yx

y

x

x

yxx

y

x

x

y

xxy

x

x

y

x

y

x

xx

y

xxx

x

y

coscos1

1

1

1

arctan

1

1

1

arctan

arctan

2222

2

2

2222

222

2

22

2

22

Por lo cual: ryr

sen

xsen

y

r

x

r cos,,;cos

Ecuaciones 1.

,rf

yxgr , yxh ,

Por otro lado, con la regla de la cadena se tiene que en una función de dos variables

, donde

y

f

y

r

r

f

y

f

x

f

x

r

r

f

x

f

Si se sustituyen las funciones de las derivadas respecto a “x” e “y” queda:

f

rr

fsen

y

f

f

r

sen

r

f

x

f

cos

cos

Aplicando la segunda derivada a las relaciones anteriores queda:

rxf

senf

rsen

rf

rsen

rxf

senr

frf

rsen

rxf

senx

fxr

rf

rsen

rsen

xff

xrsenf

rsen

xB

Arsen

rf

rf

rsen

rf

rf

xrf

xrf

xr

rf

xrf

rf

xrf

xA

fr

senxr

fx

fr

senxr

fx

fr

senrf

xxf

BA

1coscos

1coscos

1

coscos

0coscoscoscoscoscoscos

coscoscos

2

2

2

2

2

22

2

22

22

2

2

2

2

22

2

2

x

f

x

f

x

r

xr

f

x

f

x

f

x

r

r

f

xxx

ff

xxx

f

xB

x

r

r

f

x

r

xr

f

x

r

r

f

x

r

r

f

xr

f

x

r

r

f

x

r

x

r

xr

f

r

f

xx

r

x

r

r

f

xA

x

f

xx

r

r

f

xx

f

x

f

x

r

r

f

xx

f

xBA

2

22

2

22

2

2

2

22

2

222

2

2

2

22

2

2

2

2

x

f

x

r

r

f

x

r

xr

f

x

f

x

r

r

f

x

f

x

f

x

r

xr

f

x

r

r

f

x

r

xr

f

x

r

r

f

x

f

xx

r

r

f

xx

f

BA

2

2

2

222

2

22

2

2

2

22

2

22

2

222

2

2

2

2

2

DCr

sen

r

sen

xx

r

x

f

x

r

r

f

x

r

xr

f

x

f

x

r

r

f

x

f2

2

2

2

cos

22

2

22

cos

2

2

2

2

2

Sustituyendo las dos últimas expresiones resulta:

Sustituyendo los valores de las parciales de las ecuaciones a en la expresión anterior resulta:

frsen

rsensenf

r

senr

senrf

rxr

sensenx

rfr

senx

fx

fD

rf

rsen

xsen

rf

xrf

xr

rf

C

r

sen

2

22

22

2

2

2

2

cos2

coscoscoscos

cos

r

sen

r

f

r

senf

r

sen

r

f

r

senf

r

f

x

f 2

2

22

22

22

2

2

2

2 cos2

cos2cos

Pero las expresiones C y D son:

Luego:

rr

f

r

senf

r

sen

r

f

r

fsen

r

f

y

f 2

2

22

22

22

2

2

2

2 coscos2

cos2

cos

rr

rr

sen

r

f

rr

senfsen

r

f

y

f

x

f

1

22

1

2

2

2

22

2

1

22

2

2

2

2

2

2 coscoscos

2

2

2

22

2

2

2

2

2 11

f

rr

f

rr

f

y

f

x

f

0211

2

2

2

222

4

4

22

4

4

4

,2,,2224

y

f

x

fDD

y

f

yx

f

x

ff

rf

rfff yxyyxxx

0111111

2

2

22

2

2

2

22

2

,2,,2224

f

rr

f

rr

f

rrrrf

rf

rfff rrr

Con un procedimiento similar se obtiene que:

Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones queda:

Pero si a la ecuación anterior se le aplica la identidad (invariante ó ecuación biarmónica)

Queda:

Ec. 2. Ecuación base para los problemas de elasticidad en coordenadas polares

r

01

,01

2

2

22

2

2

f

rr

Caso particular: Distribución de Tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polaresCaso particular: Distribución de Tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares..Supongamos que hay una distribución de tensión que tiene simetría al eje perpendicular al polo y el definido por “ ” y “ “en este caso las componentes de la tensión no dependen del ángulo sino del radio.

En ese caso se tiene que en la ecuación anterior:

Por lo cual la ecuación base se reduce a:  

Pero para cualquier objeto “”, el operador es:

Luego  Como: y

El operador biarmónico queda reescrito así:

Con esta última ecuación se calculará f, para ello hay al menos dos formas de resolver esta ecuación diferencial:

o se supone una solución o se puede proceder de la siguiente manera (integrando sucesivamente respecto a r):

Si … …Al integrar respecto a r resulta:

Si … …Al integrar respecto a r resulta:

 

0111

2

2

2

2

,,2224

r

f

rr

f

rrrf

rfff rrr

rrr r

rr

rrrr

rrrrr

rrrrrr

,,,2

2

2

22 11111

,,

rrr

r ,,224 1

rrr

r ,,

1 f

011

,,,,

224

rrrrfr

rr

rff

ter

001

,, rrr 1c

r

cfr

r

cfrr

r

cfrr

rc

rrr

rrr

rrr

1

,,,

1,

,,

1,

,,1

1

1

1

3

22

21,

3

2

2

22

1, 222

crcLnrrcfr

cr

cr

Lnrr

cfr

r

r

Si … Al integrar respecto a r resulta:

Al redefinir constantes queda: Ec. 3.

Ecuación base para el cálculo de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares

Con esta ecuación se hallan las componentes de la tensión tanto en las coordenadas por “ r ” y “ ”.

Para esto basta sustituir la función anterior en las ecuaciones 1 y resulta:

Ec. 4. Componentes de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares

r

crcrLnrcf

crcLnrrcfr

crcLnrrcfr

r

r

r

321,

32

22

1,

32

22

1,

43

2

2

22

1 222cLnrc

rc

rLnr

rcf

432

22

1 cLnrcrcLnrrcf r

0

223

2211

23

212

2

23

21

r

rr

r

ccLnrc

r

f

r

ccLnrc

r

f

r

Distribución de Deformaciones en coordenadas polaresDistribución de Deformaciones en coordenadas polares..

Debido a que el sistema de coordenadas polares es ortogonal, las ecuaciones de la Ley de Hooke pueden ser escritas

haciendo un simple cambio de coordenadas “x” e “y” por “” respectivamente[1], en las ecuaciones cartesianas. Es decir:

Ec. 5. Relaciones de deformación y desplazamiento en coordenadas polares

Caso particular: Distribución de Deformaciones simétricas respecto a un eje en Caso particular: Distribución de Deformaciones simétricas respecto a un eje en coordenadas polarescoordenadas polares.. Al sustituir las ecuaciones 4 en la primera de 5 queda:

Integrando la ecuación anterior respecto a “r” queda:

 

[1] En problemas en el plano que sean de medios isotrópicos

rrrr

r

rrr

rrrrr

rr

gr

uu

r

u

r

u

r

uu

r

vE

urr

uu

rr

u

vE

ur

u

11

111

1

,,

,

,

23

21123

2123

21,

1121231

1223221

11

r

cvcvLnrcvcv

Er

ccLnrcv

r

ccLnrc

Ev

Eu rrrr

f

r

cvrcvrcvrLnrcv

Edr

r

cvcvLnrcvcv

Eur

32112

3211

112112

11121231

1

fr

cvrcvrcvrLnrcv

Eu r

3211

112112

1

Igual procedimiento se hace con las otras ecuaciones:

Pero , por lo cual la queda:

Integrando la ecuación anterior respecto a “ ” queda:

Lo que queda es determinar las funciones y , para esto se sustituyen las ecuaciones anteriores en la

Expresión

r

r

rrr

ur

cvcvLnrcvcv

E

r

r

u

r

cvcvLnrcvcv

Eru

r

cvcvLnrcvcv

Er

ccLnrcv

r

ccLnrc

Ev

Eu

rr

u

23

21123

211,

23

21123

2123

21,

112123

112123

1

112123

1221223

111

fr

cvrcvrcvrLnrcv

Eu r

3211

112112

1 ,u

fE

rcu

fE

rcv

E

rcv

E

rLnrcv

E

rLnrcv

E

rcv

E

rcv

Er

cv

Er

cv

fEr

cv

E

rcv

E

rcv

E

rLnrcv

Er

cv

E

rcv

E

rLnrcv

E

rcv

fEr

cv

E

rcv

E

rcv

E

rLnrcv

Er

cv

E

rcv

E

rLnrcv

E

rcv

fr

cvrcvrcvrLnrcv

Er

cvcvLnrcvcv

E

ru

E

rc

1,

4

11

0

11

0

22

0

33

32113211

32113211

32112

3211,

4

131212121211

112112112123

112112112123

112112

1112123

1

rfdf

E

rcdf

E

rcuf

E

rcu 1

111,

444

rfdfE

rcu 1

14

f rf1

r

uuu

r rrr

,,

1

r

rfdf

rrf

rf

r

r

rfdf

rrf

rE

c

E

cf

rr

rfdf

rE

crf

rE

cf

r

r

rfdfE

rc

rfdfE

rc

rf

r

cvrcvrcvrLnrcv

Err

uuu

r

r

r

r

rfdf

rE

crf

rE

cf

r

rrr

11

11

0

11111

1

14

11

4

11

1

3211,,

11

14411441

441

12112111

11

11

r Pero es cero, la ecuación anterior queda:

Por lo que finalmente las expresiones para los desplazamientos son:

Ec. 6. Ecuaciones del desplazamiento simétricas respecto a un eje en coordenadas polares

 

0

11 11

r

rfdf

rrf

rf

rr

rcrfCLnrLnrfLn

r

dr

rf

rdfrfrf

dr

dr

r

rfrf

r 61611

111

11 0

CoscSencfimm

yyfd

fddfd

d

dfddf

d

dfdf

rf

r

542

2

2

101

0´´011

rcrfcsencf 6154 ;cos

rccsencE

rcu

csencr

cvrcvrcvrLnrcv

Eur

6451

543

211

cos4

cos1

121121

Aplicaciones:Tubo Cilíndrico:Tubo cilíndrico con diferencia de presiones en las caras interior y exterior.El caso del tubo cilíndrico es uno donde se aplica la simetría respecto a un eje y tiene numerosas aplicaciones. Supongamos la siguiente situación: hay un tubo cilíndrico en donde la superficie externa e interna del tubo están sometidas a una presión y respectivamente. Por otro lado, la superficie externa tiene un radio y la interna .

Matemáticamente se establecen las siguientes condiciones de borde:

Determinemos las componentes de las tensiones: Sustituyendo las condiciones de borde o frontera en las ecuaciones 4 resulta:

En donde hay dos ecuaciones con tres incógnitas. No obstante con la ecuación: evaluándola para distintos valores del ángulo

queda:

Resulta que . Luego:

Al resolver el sistema anterior queda:

Por lo cual al sustituir las constantes anteriores en las ecuaciones de las tensiones resulta: Ecuaciones las tensiones de un cilindro sometido a presión interna y externa (simétrica respecto a un eje en coordenadas polares)

0p ip 0r ir

iirr

rr

pr

pr

00

23

21

20

320100

221

221

i

iiirr

rr

r

ccLnrcpr

r

ccLnrcpr

u

rccrccsencE

rcu 64645

1)0( 0cos0

04

0ic

23

2

20

320

2

2

i

ir

ccp

r

ccp

220

20

2

322

200

2

22

,2 io

ii

io

ii

rr

pprrc

rr

rprpc

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

io

ii

io

ii

io

ii

io

iirr

rrr

pprr

rr

rprp

rrr

pprr

rr

rprp

Determinemos las deformaciones:Sustituyendo las ecuaciones anteriores en las ecuaciones 5 queda:

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

11111

11111

io

ii

io

ii

io

ii

io

ii

io

ii

io

iirr

io

ii

io

ii

io

ii

io

ii

io

ii

io

iirrrr

rrr

vpprr

rr

vrprp

Errr

pprr

rr

rprpv

rrr

pprr

rr

rprp

Ev

E

rrr

vpprr

rr

vrprp

Errr

pprr

rr

rprpv

rrr

pprr

rr

rprp

Ev

E

222

02

02

22

200

2

222

02

02

22

200

2

111

111

io

ii

io

ii

io

ii

io

iirr

rrr

vpprr

rr

vrprp

E

rrr

vpprr

rr

vrprp

E

Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y externamente.

(a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre un elemento

rr

rrr

dr

dr

ddSend

drdzd

Sendzrddzddrrd

2)

2(_/

0)2

(2))((

(Ecuación 1)

PlanteandoEquilibrio

Figure 10.4 Elemento cilíndrico polar, antes y despues de la deformación.

Figura

Ley de Hooke

(Ecuación 3)

(Ecuación 2)

,,: rrIncognitas

Presurizados Internamente

Presurizados ExternamenteAplicando condiciones de frontera:σr =-Pi en r=ri

σr=-Pi en r=ro

(Ecuación 4)

Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3

Donde Ec4 se puede expresar como:

Integrando y simplificando:

Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3:

(Ec6)

(Ec5)

De la Ecuación 2:

Integrando de nuevo:

• Mecánica de los Materiales

Timoshenco y Gere. Cuarta Edición.

International Thomson Editores .

• Mecánica de los Sólidos

Edgor P. Popov. Segunda Edición.

Pearson Educación.

BibliografíaBibliografía