MC. Edith Leticia Torres Arias

LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica es la ciencia del pensamiento racional

Contenido

1. Lógica proposicional

2. Demostración lógica

3. Lógica de predicados

UNIDAD 2 DEMOSTRACIÓN LÓGICA

MC. Edith Leticia Torres Arias

Lógica Proposicional

1. Reglas de Sustitución

2. Demostración Formal

3. Reglas de Inferencia

1. Reglas de Sustitución

Reglas de Sustitución

1. Si una proposición compuesta P es una tautología y si cada vez que

aparece una variable de P, digamos q, la sustitución por una

proposición E, siempre la misma, entonces el resultado es una

proposición compuesta P* que también es una tautología.

2. Si una proposición compuesta P contiene una proposición Q y Q es

remplazada por una proposición lógicamente equivalente Q*

entonces el resultado es una proposición compuesta P*

lógicamente equivalente a P.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Demostraciones de equivalencia lógica

Demostrar que

Demostraciones de equivalencia lógica

Demostrar que

Demostrar que

Demostraciones de equivalencia lógica

2. Demostración Formal

Argumento

Un argumento (o teorema) consiste en algunas proposiciones H1, H2…,

Hn llamadas hipótesis (o premisas) del argumento y una proposición

C que será su conclusión.

Un argumento con hipótesis H1, H2…, Hn y conclusión C es verdadera

siempre que

De esta forma el argumento es verdadero si y solo si

H1 H2 … Hn C es una tautología

H1 H2 … Hn C

Demostraciones

Veamos algunas definiciones

Teorema : Consiste en una proposición P, llamada hipótesis y otra

proposición Q que será la conclusión.

Corolario: Es un teorema que se deduce inmediatamente de otro

teorema.

Lema: Es un teorema que no tiene especial interés en sí mismo pero

que es útil para probar algún otro teorema.

Demostración: Es un razonamiento que establece la veracidad de un

teorema.

Demostración formal

La demostración formal de un argumento consiste en una sucesión de

proposiciones, que termina con la conclusión, y que se considera

válidas.

Una proposición es válida si es una de las hipótesis, una tautología

conocida o puede derivarse de las anteriores por medio de las reglas

de sustitución o puede inferirse por ciertas reglas de inferencia.

Si una o más de las proposiciones no es valida, entonces el

argumento se llama falacia

Demostración directa

Demostración indirecta -- Contrapositiva

Demostración indirecta -- Demostración por contradicción

H1 H2 … Hn C

C (H1 H2 … Hn)

H1 H2 … Hn C contradicción

Métodos de Demostración

Métodos de Demostración

Demostración por contradicción

Demostrar un teorema H1 H2 … Hn C es equivalente a

demostrar que

H1 H2 … Hn C una contradicción

En virtud de la equivalencia lógica del absurdo (regla 15).

Este enfoque para una demostración recibe el nombre de

demostración por contradicción.

3. Reglas de Inferencia

Reglas de Inferencia

Una proposición Q se puede inferir de las proposiciones P1 P2 …

Pk siempre que

P1 P2 … Pk Q.

Simbolizamos tal regla de inferencia como

P1

P2

…Pk

Q [ se lee “por lo tanto”]

Reglas de Inferencia mas comunes

Veamos una tabla con las reglas de inferencia más útiles junto con los

nombres que reciben

Ejemplo

Para cada una de los siguientes conjuntos de premisas, decir cuáles son las conclusiones relevantes y las reglas de inferencia utilizadas en cada caso

a) Estoy gordo o delgado. Ciertamente no estoy delgado.b) Si corro, me quedaré sin aliento. No estoy sin aliento.c) Si el mayordomo lo hizo, entonces tiene las manos sucias. Las

manos del mayordomo no están sucias.d) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo

está azul o gris.e) Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las

funciones periódicas son continuas.

Ejemplo

a) Estoy gordo o delgado. Ciertamente no estoy delgado. “Estoy gordo”

silogismo disyuntivob) Si corro, me quedaré sin aliento. No estoy sin aliento. “No he corrido”

modus tollensc) Si el mayordomo lo hizo, entonces tiene las manos sucias. Las manos

del mayordomo no están sucias. “ el mayordomo no lo hizo”modus tollens

d) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo está azul o gris. “Estoy contento o triste”.

dilema constructivoe) Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las

funciones periódicas son continuas. “Todas las funciones trigonométricas son continuas”.

silogismo hipotético

Demostración

Un teorema es verdadero si, y sólo si la proposición condicional

P Q

es una tautología o también si

P Q

o también si

P Q

Dicho de otra forma un teorema es verdadero si, y sólo si el razonamiento

P Q

es válido.

Ejercicios

1. Determinar cuales de los razonamientos siguientes son válidos.

Construir demostraciones para los razonamientos que lo sean y

para los que no lo sean, explicar por qué la conclusión no se sigue

de la hipótesis.

a) b) c)

Ejercicios

2. Formular simbólicamente los siguientes razonamientos y determinar cuáles son válidos. Tomar:

p : Estudio mucho.q : Obtengo C como calificación.r : Me hago rico.

a) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación. Estudio mucho.

Obtengo C como calificación.

b) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación. Si no me hago rico, entonces no obtengo C como calificación. Me hago rico.

Ejercicios

c) Estudio mucho si y sólo si me hago rico. Me hago rico.

Estudio mucho.

d) Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo C como calificación.

Obtengo C como calificación. Si no estudio mucho, entonces me hago rico.

e) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación o me hago rico.

No obtengo C como calificación y no me hago rico. No estudio mucho.

Ejercicios

3. Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos. Tomar:

p : 1Gb es mejor que nada.q : Compraremos mayor capacidad de memoria.r : Compraremos un ordenador nuevo.

a) b)

c) d) e)