Capıtulo 20

Guıas de Onda

A partir de las ecuaciones de Maxwell discutimos primeramente el comportamiento de lasondas electromagneticas en el espacio libre (en medios dielectricos y conductores). Posterior-mente vimos como es posible guiar ondas entre dos conductores paralelos, y estudiamos lasecuaciones fundamentales de la lınea de transmision. Ahora veremos un fenomeno interesanteque ocurre a altas frecuencias, y es que si uno de los conductores es removido, los camposigualmente se propagan. Es decir, a frecuencias suficientemente altas un tubo metalico huecosirve tan bien como uno con cables. Esto en realidad nos es muy familiar, todos sabemos queciertas ondas electromagneticas se propagan en un tubo hueco (Nosotros vemos luz a travesde un tubo!). Pero no es posible transmitir ondas de baja frecuencia (por ejemplo una senalde telefono) a traves de un unico tubo metalico. Nos resultara de particular interes entoncesdeterminar la maxima longitud de onda (o mınima frecuencia) que debe tener una onda paraque se pueda propagar por una guıa de onda de determinadas dimensiones

En la figura se ilustra una guıa de onda rectangular

613

20.1. Propagacion de ondas entre placas paralelas

Veamos el caso de la propagacion de ondas electromagneticas en una region confinada pordos planos conductores, ubicados en x = 0 y x = a, como se muestra en la siguiente figura

En la region interior a las placas (dielectrico lineal, homogeneo e isotropico) los camposdeben satisfacer las ecuaciones de Maxwell sin fuentes

~∇ · ~E(~x, t) = 0

~∇× ~E(~x, t) +∂

∂t~B(~x, t) = 0

~∇ · ~B(~x, t) = 0

~∇× ~B(~x, t) = εµ∂

∂t~E(~x, t)

Recordemos que ambos campos satisfacen la ecuacion de onda, y la deduccion es muy simpleal considerar la siguiente identidad

~∇× ~∇× ~E(~x, t) = ~∇(

~∇ · ~E(~x, t))

− ~∇2 ~E(~x, t)

ante la ausencia de fuentes el campo electrico es de divergencia nula, luego

~∇× ~∇× ~E(~x, t) = −~∇2 ~E(~x, t) = −~∇×(

∂

∂t~B(~x, t)

)

~∇2 ~E(~x, t) =∂

∂t~∇× ~B(~x, t) = µε

∂2

∂t2~E(~x, t)

el mismo procedimiento es analogo para el campo magnetico y se obtiene la conocidaecuacion de onda para los campos

~∇2 ~E(~x, t) − µε∂2

∂t2~E(~x, t) = 0

~∇2 ~B(~x, t) − µε∂2

∂t2~B(~x, t) = 0

Al igual que antes, utilizaremos el metodo de separacion de variables y supondremos quelos campos tienen una dependencia armonica en el tiempo, de la forma

614

~E(~x, t) = ~E(~x)eiwt

~E(~x, t) = ~B(~x)eiwt

Ası, la parte espacial de los campos satisface la ecuacion de Helmhotz

~∇2 ~E(~x) + µεw2 ~E(~x) = 0

~∇2 ~B(~x) + µεw2 ~B(~x) = 0

Supongamos que la dependencia en z (que sera la direccion de propagacion) es, al igual quepara las ondas planas, de la forma

~E(~x) = ~E(x, y)e−γz

donde γ es un numero complejo de la forma γ = α + iβ. Con esto estamos diciendo que loscampos tendran la forma

~E(~x, t) = ~E(x, y)e−αz−iβeiwt = ~E(x, y)e−αzei(wt−βz)

~B(~x, t) = ~B(x, y)e−αz−iβeiwt = ~B(x, y)e−αzei(wt−βz)

que son efectivamente ondas que se propagan en la direccion z. Notemos ademas que el espacioconfinado entre las placas es de extension infinita en la direccion y, lo que implica una clarasimetrıa de los campos, que deben ser totalmente independientes de la coordenada y, de estaforma

~E(~x) = ~E(x)e−γz

~B(~x) = ~B(x)e−γz

En el caso mas general posible, se tendra

~E(x) = Ex(x)i + Ey(x)j + Ez(x)k

~E(x) = Bx(x)i + By(x)j + Bz(x)k

En terminos de sus componentes, las ecuaciones rotacionales equivalen a

∂Bz

∂y− ∂By

∂z= iwεµEx,

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z= −iwBx

∂Bx

∂z− ∂Bz

∂x= iwεµEy,

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x= −iwBy

∂By

∂x− ∂Bx

∂y= iwεµEz,

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= −iwBz

Reduciendolas para el tipo de ondas que hemos propuesto, se debe resolver el siguientesistema

∂2

∂x2~E(~x) + γ2 ~E(~x) + µεw2 ~E(~x) = 0

∂2

∂x2~B(x) + γ2 ~B(~x) + µεw2 ~B(~x) = 0

γBy = iwεµEx, γEy = −iwBx

615

−γBx −∂Bz

∂x= iwεµEy,−γEx −

∂Ez

∂x= −iwBy

∂By

∂x= iwεµEz,

∂Ey

∂x= −iwBz

De aquı podemos despejar

iwεµEx = −iγ

w

(

γEx +∂Ez

∂x

)

Ex =

( −γ

εµw2 + γ2

)

∂Ez

∂x

tambien

γEy = −iwBx = −iw

(

1

γ

(

∂Bz

∂x− iwεµEy

))

Ey =

( −iw

γ2 + w2εµ

)

∂Bz

∂x

de la misma forma es posible demostrar

Bx =

(

− γ

γ2 + w2εµ

)

∂

∂xBz

By =

( −iwεµ

γ2 + w2εµ

)

∂Ez

∂x

En resumen, buscamos soluciones de la forma

~E(~x, t) = ~E(x)e−γzeiwt =(

Ex(x)i + Ey(x)j + Ez(x)k)

e−γzeiwt

~B(~x, t) = ~B(x)e−γzeiwt =(

Bx(x)i + By(x)j + Bz(x)k)

e−γzeiwt

que satisfacen

616

Notar que salvo un caso muy particular que se discutira mas adelante, es necesaria la exis-tencia de la componente segun z de al menos uno de los dos campos. El que los campos puedanadmitir una componente en la direccion de propagacion puede resultar algo confuso para al-guien que esta acostumbrado al caso de las ondas planas como soluciones de las ecuaciones deMaxwell. Sucede que en dicho caso los campos necesariamente son transversales a la direccionde propagacion, ¿hay alguna inconsistencia? La respuesta es que en este problema las solucionesseran una superposicion de ondas planas, como veremos mas adelante

20.1.1. Ondas Transversales Electricas TE

Una onda transversal electrica corresponde al caso en que el campo electrico no posee unacomponente en la direccion de propagacion, es decir Ez = 0 ( y entonces, para que los camposno se anulen en todo el espacio, Bz 6= 0). Se tiene en este caso

Ex = 0, Ey =−iw

h2

∂Bz

∂x

Bx = − γ

h2

∂

∂xBz, By = 0

Entonces el campo electrico es de la forma ~E(~x, t) = Ey(x)je−γzeiwt y

∂2

∂x2Ey(x) + h2Ey(x) = 0

Notar que h depende de γ el cual, en general, es un numero complejo. Es posible demostrar(se vera mas adelante) que para el caso en que las placas son perfectamente conductoras, γ espuramente real o puramente imaginario (es decir, h es siempre un numero real!), dependiendode la frecuencia. Supongamos entonces que el rango de frecuencias (por determinar luego) esel adecuado para que γ sea puramente imaginario, y entonces las ondas se propagaran sinatenuacion. La solucion puede ser escrita en la forma

Ey(x) = A sin hx + B cos hx

la condicion de borde de Dirichlet en las placas conductoras requiere

Ey(0) = 0 → B = 0

Ey(a) = A sin ha = 0

esto impone una condicion sobre los posibles valores que puede tomar h

h =mπ

a, m = 1, 2, 3, ...

Ası

Ey = A sin(mπ

ax)

El campo magnetico se obtiene de considerar

Ey =−iw

h2

∂Bz

∂x→ dBz

dx=

ih2

wEy

617

Bz = − ih2a

wmπA cos

(mπ

ax)

= −imπ

waA cos

(mπ

ax)

y

Bx = − γ

h2

dBz

dx= −iγ

wA sin

(mπ

ax)

FinalmenteEy = A sin

(mπ

ax)

Bz = −imπ

waA cos

(mπ

ax)

Bx = −iγ

wA sin

(mπ

ax)

Cada valor de m define lo que se llama un modo. Ası, una onda transversal electrica asociadaal modo de propagacion m es designada como TEm0. El segundo ındice es nulo pues los camposno tienen una dependencia en la coordenada y, algo que si ocurrira cuando estudiemos el casode guıas de onda rectangulares. El menor modo que existe para el caso de placas paralelaspara ondas transversales electricas es el TE10 (Si m = 0 los campos se anulan). Finalmente loscampos TE tienen por solucion

~E(~x, t) = A sin(mπ

ax)

ei(wt−βz)j

~B(~x, t) =

(

β

wA sin

(mπ

ax)

i − imπ

waA cos

(mπ

ax)

z

)

ei(wt−βz)

Para ilustrar la forma que adquiere el campo electrico en la guıa, se muestra el campo endireccion y magnitud en planos con z constante

Campo electrico para modo TE10 para distintos valores de z, ambos con t constante

Notar que el campo se anula en las superficies x = 0 y x = a (en este caso a = 10). Ademas,la magnitud es modulada por una funcion sinusoidal en la variable z

618

El siguiente grafico muestra la magnitud del campo electrico en funcion de z para el modoTE01

A continuacion se ilustra la forma del campo electrico para distintos modos

Campo electrico para modo TE20, a la izquierda para un z constante, a la derecha se muestrala magnitud del campo electrico como funcion de z. Todo esto en un tiempo fijo

Campo electrico para modo TE30

619

El campo magnetico esta contenido en el plano x− z para cualquier y fijo. En las siguientesfiguras se muestra la forma del campo magnetico (y su magnitud en color) para distintos modosde propagacion

Campo magnetico para modo TE10 (izquierda) y TE20 (derecha). El campo esta contenido enel plano X-Z

Campo magnetico para modo TE30 (izquierda) y TE40 (derecha)

20.1.2. Ondas Transversales Magneticas

Una onda transversal electrica corresponde al caso en que el campo magnetico no posee unacomponente en la direccion de propagacion, es decir Bz = 0 . Se tiene en este caso

Ex = − γ

h2

∂Ez

∂x, Ey = 0

Bx = 0, By =−iwεµ

h2

∂Ez

∂x

Resolviendo la ecuacion de onda para el campo magnetico (cuya unica componente es segunj)

∂2

∂x2~By(x) + h2 ~By(x) = 0

dondeh2 = γ2 + w2µε

La solucion es de la forma

By(x) = A sin hx + B cos hx

El campo electrico segun z se relaciona con By segun

By =−iwεµ

h2

∂Ez

∂x

ih2

wεµBy =

∂Ez

∂x

620

de forma que

Ez(x) =ih

wεµ(−A cos hx + B sin hx)

y este debe ser nulo en x = 0 y x = a. La primera condicion equivale a A = 0, mientras quela segunda

Ez(a) =ih

wεµB sin ha = 0

los posibles valores que puede tomar h estan dados por

h =mπ

a, m = 0, 1, 2, ...

Ası, las componentes no nulas de los campos son

By = C cos(mπ

ax)

Ez =imπC

waεµsin(mπ

ax)

Ex =βC

wεµcos(mπ

ax)

Existen infinitos modos de propagacion que estaran determinados por el valor de m, perohay que notar que en este caso el modo m = 0 si es posible (los campos no se anulan), lo queno es posible en el modo TE. En conclusion, los campos para ondas transversales magneticasestan dados por

~E(~x, t) =

(

βC

wεµcos(mπ

ax)

i +imπC

waεµsin(mπ

ax)

z

)

ei(wt−βz)

~B(~x, t) = C cos(mπ

ax)

ei(wt−βz)j

621

20.2. Constante de propagacion y frecuencia crıtica

Tanto las ondas TE y TM se propagan en la direccion z con una velocidad

v =w

β

ademas, la relacion entre h y γ esta dada por

γ =√

h2 − w2µε

donde h esta limitado en valores discretos dados por

h =mπ

a, m = 0, 1, 2...

de esta forma

γ =

√

(mπ

a

)2

− w2µε

para que la propagacion de ondas sea posible, es necesario que γ sea un imaginario puro,concretamente γ = iβ, lo que ocurre si

(mπ

a

)2

< w2µε

es decir

w2 >1

µε

(mπ

a

)2

y la constante de propagacion esta dada por

β =

√

w2µε −(mπ

a

)2

Notar que hay una frecuencia crıtica dada por

w2c =

1

µε

(mπ

a

)2

la cual es la mınima que deben tener los campos para que se puedan propagar a traves dela guıa. Notar que esta frecuencia crıtica es mayor mientras mas grande es m (modos altosposeen frecuencias crıticas mayores). Para frecuencias menores que wc, γ sera un numero realy entonces los campos seran atenuados exponencialmente a lo largo de z y no existira unapropagacion debido a que en este caso β = 0. En definitiva, la frecuencia de corte esta dadapor

fc =wc

2π=

m

2a√

µε

La longitud de onda esta relacionada con la constante de propagacion segun

λ =2π

β=

2π√

w2µε −(

mπa

)2

y la velocidad de fase

vf =w

β=

w√

w2µε −(

mπa

)2

622

20.2.1. Ondas transversales Electromagneticas

Es importante notar que para el caso de ondas transversales magneticas, el mınimo valorde m posible tal que los campos no son nulos es m = 0. En este caso se tendra

~E(~x, t) =βC

wεµei(wt−βz)i

~B(~x, t) = Cei(wt−βz)j

Notar que el campo electrico tambien es transversal! Por este motivo la onda recibe elnombre de transversal electromagnetica (TEM). Este es el tipo de propagacion que se daa lo largo de las lıneas de transmision. Se tiene

γ = iw√

µε

β = w√

µε

v =1√µε

= c

λ =2π

w√

µε=

c

f

Se tiene ademas

Ex

Hy

=µEx

By

=β

wε=

√

µ

ε

que corresponde a la impedancia intrınseca del medio

20.2.2. Velocidad de propagacion

¿Que son realmente los modos de propagacion?. El modo TEM, en el que los campos sontransversales a la direccion de propagacion, se representa en la siguiente figura

Este es simplemente el caso de dos placas paralelas operando como lınea de transmision. Unvoltaje sinusoidal entre las placas generara campos tal cual como se indican en la figura.¿Que ocurre en una guıa de onda? A medida que aumenta la frecuencia, algo muy intere-sante sucede con la forma en que los campos se pueden transmitir. Una posibilidad de ondaguiada se muestra en la siguiente figura

623

En este caso tambien hay una onda guiada en la direccion z, pero el origen de esta es unainfinita progresion de ondas reflejadas en las placas conductoras. Ası, se pueden transmitircampos al colocar una antena que irradie al interior de la guıa de onda. Pero cuidado!, estasondas se pueden propagar siempre y cuando se cumplan algunas condiciones, por ejemplo, parael angulo de incidencia ϑ. Los vectores de onda ~ku y ~kd asociados con las ondas que se propaganhacia arriba y hacia abajo, respectivamente, tienen por supuesto magnitudes identicas

| ~ku |=| ~kd |= w

c= w

√µε

pues corresponden a ondas planas que se propagan en un medio dielectrico. Los campos quevemos en una guıa de onda surgen de la superposicion de estas ondas. Para que una onda deeste tipo realmente se propague, todas las ondas que se propagan hacia arriba deben estar enfase (lo mismo debe tenerse para las ondas que se propagan hacia abajo). Esta condicion solose puede satisfacer para ciertos angulos de incidencia discretos. Un cierto valor particular de ϑpara el cual esto ocurra, junto a la correspondiente forma de los campos, es lo que determinaun modo de propagacion. Como vimos, para cada modo de propagacion ademas existe unafrecuencia de corte fc, ası, si la frecuencia de operacion es menor a fc, el modo no se propagara.Si la frecuencia de operacion es mayor que fc, entonces habra propagacion. El modo TEMcarece de frecuencia de corte. Para cada valor de la frecuencia de operacion, la guıa podrıasoportar distintos modos de propagacion, y la cantidad de estos que admita dependera de lasdimensiones de la guıa. El numero de modos de operacion aumenta a medida que crece lafrecuencia de operacion.

Representacion de ondas TE (a la izquierda) y TM (a la derecha) en una guıa de planosparalelos

Veamos ahora como interpretar geometricamente las condiciones para las cuales los distintosmodos de propagacion son posibles. En la siguiente figura se ilustra una onda que se propagahacia arriba y que incide con un cierto angulo sobre la placa conductora superior. Esta ondaes reflejada dos veces (en el conductor de arriba y en el de abajo) para formar la segunda ondaque aparece en la figura

Notar que los frentes de onda de ambas no coinciden, y entonces las ondas no estan en fase. Enla siguiente figura, el angulo de incidencia se ha arreglado de forma que todas las ondas que sepropagan hacia arriba si esten en fase

624

Esta condicion automaticamente hara que las ondas que se propaguen hacia abajo tambiense encuentren en fase. En la siguiente figura se muestra el vector de onda ~ku, junto con suscomponentes (km y βm), ademas de algunos frentes de onda

El subındice m esta relacionado por supuesto, con el angulo de incidencia ϑm, y entonces, conel modo de propagacion. Por un analisis puramente geometrico se ve que, para cualquier valorde m

βm =√

k2 − k2m

donde por supuesto k = wc

=√

µεw y se obtiene la ya familiar expresion

βm =√

w2µε − k2m

veremos entonces que debe cumplir km. La condicion es que la diferencia de fase de unaonda que es reflejada sobre el conductor superior y luego reflejada por el transmisor inferiordebe ser un multiplo entero de 2π. (En otras palabras, todas las ondas hacia arriba estan enfase, y todas las ondas hacia abajo tambien). Supongamos entonces que congelamos el tiempo,y un observador medira cambios de fase en la onda que se muestra en la figura. Al inicio, elobservador esta por sobre el conductor inferior y recorre una distancia vertical d hasta que llegaal conductor superior

625

El observador en este tramo medira un cambio de fase igual a kmd (rad). Al llegar a lasuperficie superior, el observador podrıa notar un cambio de fase debido a la reflexion de laonda. Este sera π si la onda esta polarizada TE, o cero si la polarizacion es TM. La explicacionde esto se ve en la siguiente figura

A la izquierda se muestra que en polarizacion TE el campo electrico reflejado se invierte yentonces el campo neto en la superficie del conductor es nulo. Esto corresponde a un cambiode fase de π, y es facil de ver considerando una onda ficticia transmitida que resulta de de

rotar la onda reflejada de forma que este alineada con la onda incidente. A la derecha,(polarizacion TM), la onda reflejada sufre una inversion de la componente segun z del campoelectrico, esto equivale a un cambio de fase de 0, y es facil de ver al considerar la onda ficticia

transmitida que surge de rotar la onda reflejada para alinearla con la onda incidente

Ahora, el observador se mueve a lo largo de las ondas reflejadas hasta volver al conductorinferior, nuevamente medira un cambio de fase de kmd

Finalmente, despues de incluır el cambio de fase producto de la segunda reflexion (ahora en elconductor inferior), el observador habra vuelto al punto inicial. En este punto, estara midiendola fase del nuevo frente de ondas que se propaga hacia arriba

Este corrimiento de fase debe ser un multiplo entero de 2π, entonces

2 (kmd + φ) = 2mπ

donde φ es el corrimiento de fase en cada reflexion, el cual es 0 o π, de forma que no tieneefecto alguno en el corrimiento de fase total. Ası

626

kmd = mπ

km =mπ

d

resultado valido tanto para modos TE y TM. Es por supuesto el mismo resultado obtenidoanteriormente. Notar que de esta interpretacion geometrica es posible obtener aquellos angulosde incidencia que permiten la propagacion de las ondas

km = k cos ϑm

ϑm = cos−1(mπ

kd

)

= cos−1(mπc

wd

)

Entonces, para un modo determinado de propagacion

βm =

√

w2µε −(mπ

a

)2

donde hemos vuelto a utilizar a como la separacion entre las placas. Esto define para cadamodo una frecuencia de corte

fc =wc

2π=

m

2a√

µε

y la longitud de onda mınima que deberıa tener la onda en el vacıo

λc =c

f=

2a√

µε

m√

µε=

2a

m

Notar que para una guıa de onda llena de aire, la longitud de onda (en vacıo) a la cual elmodmo mas bajo se puede propagar es

λ1 = 2a

La longitud de onda que se mide en la ingenierıa de las guıas de onda corresponde a

λ =2π

β=

2π√

w2µε −(

mπa

)2

y la velocidad de fase

vf =w

β=

w√

w2µε −(

mπa

)2

la cual es siempre mayor que la velocidad de la luz. Por supuesto que esta velocidad defase no corresponde a la velocidad con que se transmite la energıa. Recordar que los difer-entes modos corresponden a la superposicion de ondas reflejadas en las placas conductoras, deforma que la velocidad a la que se propaga la energıa es siempre menor que la velocidad de la luz.

627

20.3. Atenuacion en Guıas de Placas paralelas

Hasta ahora hemos considerado que las placas paralelas que conforman la guıa son perfecta-mente conductoras. Por supuesto que esto no es ası, y entonces tendran una cierta resistividad.Debido a las corrientes inducidas sobre las placas habra potencia disipada como calor de Joule.En la figura se muestra la densidad de corriente inducidas en las paredes conductoras, para elcaso de una guıa de onda de placas paralelas

20.3.1. Factor de atenuacion para ondas TEM

En el caso de ondas transversales electromagneticas se tiene

~E(~x, t) =βC

wεµei(wt−βz)i

~B(~x, t) = Cei(wt−βz)j

la densidad de corriente lineal en cada plano conductor esta dada por

~Js = n × ~H

donde n es la normal sobre el conductor y ~H = 1µ

~B. Sobre cada conductor, n = ±i, de

forma que la corriende inducida solo tendra una componente segun k, y

| ~Js |=C

µ| cos(wt − βz) |

que corresponde a la corriente por metro cuadrado sobre un plano conductor

IS =C

µ| cos(wt − βz) |

y entonces la potencia disipada por metro cuadrado es

P = I2s RS =

(

C

µ

)2

cos2(wt − βz)RS

donde RS es la resistencia por unidad de largo, que en este caso es

RS =

√

wµm

2σm

con µm y σm la permeabilidad y la conductividad del conductor, respectivamente. Tomandoel promedio temporal

628

< P >=1

2

(

C

µ

)2

RS

las perdidas totales por unidad de largo y para un ancho de b metros de la guıa es

Pd =

(

C

µ

)2

RSb

Por otro lado, el modulo del vector Poynting es

| S |=| ~E × ~H |= η | ~H |2= ηC2

µ2cos2(wt − βz)

el promedio temporal es

< S >=1

2ηC2

µ2

y entonces en promedio temporal la potencia transmitida para una seccion transversal dela guıa de ancho b es

PT =1

2ηC2

µ2ba

y entonces la razon entre la potencia disipada por unidad de longitud y la potencia trans-mitida es

Pd

PT

= 2α

donde α es el factor de atenuacion exponencial para cada campo. Ası, se tendra en este caso

α =1

2

(

C2RSb

µ2 12ηC2

µ2 ba

)

=

(

RS

ηa

)

α =1

ηa

√

wµm

2σm

20.3.2. Factor de atenuacion para ondas TE y TM

Los campos electromagneticos para modos TE estan dados por

~E(~x, t) = A sin(mπ

ax)

ei(wt−βz)j

~B(~x, t) =

(

β

wA sin

(mπ

ax)

i − imπ

waA cos

(mπ

ax)

z

)

ei(wt−βz)

El campo magnetico en x = 0 y x = a (superficies conductoras) esta dado por

~B = −imπ

waAei(wt−βz)z

tomando la parte real~B = −mπ

waA sin(wt − βz)z

629

La densidad de corriente tendra una unica componente segun j (notar que no existe unflujo de corriente en la direccion de propagacion de la onda). La magnitud de la densidad decorriente en las supericies conductoras es

| Jsy |=| Hz |=mπA

waµsin2(wt − βz)

La perdida de energıa en la placa es entonces, en promedio

Pd =1

2

(

mπA

waµ

)2

Rs =m2π2A2

√

wµm/2σm

2w2µ2a2

por otro lado, el vector de Poynting en la direccion z esta dado por

S(~x, t)z =(

~E(~x, t) × ~H(~x, t))

z= − 1

µEyBx = − 1

µA2 sin2

(mπ

ax) β

wcos2(wt − βz)

tomando el promedio temporal

< S >=A2β

2µwsin2

(mπ

ax)

la potencia transmitida en la direccion z para una seccion transversal de ancho 1 es

PT =

ˆ 1

0

dy

ˆ a

0

dxA2β

2µwsin2

(mπ

ax)

=βA2a

4wµ

Con esto, el coeficiente de atenuacion esta dado por

α =1

2

(

Pd

PT

)

=

√2m2π2

√

wµm

σm

a3µw√

w2µε − m2π2

a2

El mismo procedimiento se utiliza para obtener el coeficiente de atenuacion para ondas TM,obteniendose

α =wε√

2wµm

σm

a√

w2µε − m2π2

a2

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Problema

En una gran biblioteca se requiere transmitir una senal WiFi a lo largo del edificio. Para max-imizar la eficiencia en la senal transmitida, un ingeniero postula la idea de propagar la senalentre dos placas paralelas de aluminio (conductividad 3,97× 107 S/m), ubicadas en un espaciodisponible entre dos grupos de vigas en el entretecho. La superficie de las placas puede ocupartoda el area del entretecho, sin embargo por las restricciones de espacio entre las dos vigas, laseparacion entre ellas no puede ser mas que 5 cm. Adicionalmente, el ingeniero propone llenar elespacio entre las placas con espuma de styrofoam (εr = 1,03) o de polyetileno (εr = 2,56) comomedio separador y soporte entre ellas, y ademas como medio adicional de aislacion termica parael edificio. El edificio tiene una longitud de 100 m y la senal se introduce en uno de los extremoscon una antena especial. Se debe recordar que la senal WiFi actualmente tiene una frecuenciade 2,4 Ghza) ¿Cual de los dos rellenos (polyetileno o styrofoam) es mas conveniente desde el punto devista de la propagacion de la senal WiFi?b) ¿Que modos son posibles de transmitir para ondas tipo TE y tipo TM?c) Si el maximo aceptado para la atenuacion de potencia de la senal es de 50 %, ¿que modo esmas conveniente transmitir?d) En el futuro la frecuencia para la senal WiFi se incrementara a 5,25 Ghz, ¿servira la insta-lacion construıda para 2.4 Ghz?e) ¿Que modos se pueden transmitir si la senal WiFi es de 5.25 Ghz?

Solucion

a) La frecuencia de corte para ondas tipo TE y TM esta dada por

fm =m

2a√

µε

ası, la mınima frecuencia de operacion es aquella dada por el modo m = 1

f1 =1

2a√

εrε0µ0

Ası, para el caso del styrofoam es

f sty1 =

3 × 108

2 × 0,05√

1,03= 2,9559 × 109

si se utiliza polyetileno entonces

fpol1 =

3 × 108

2 × 0,05√

2,56= 1,875 × 109

Notar entonces que la frecuencia de operacion de la WiFi es menor que la frecuencia decorte si se utiliza Styrofoam, es decir, con este material ni siquiera es posible transmitir losmodos mas bajos de ondas TE o TM. Se debe utilizar polyetileno

b) Es claro que es posible transmitir los modos TE10 y TM10. La frecuencia de corte paralos modos siguientes (TE20, TM20) es

f2 =2

2a√

εrε0µ0

= 3,75 × 109

la cual supera a la frecuencia de operacion de la WiFi, es decir, los unicos modos posiblesson TE10, TM10

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c) Para transmision en modo TE10, el coeficiente de atenuacion esta dado por

α1 =

√2π2√

wµm/σm

a2µw√

w2εµ − π2

a2

donde µm y σm son la permeabilidad magnetica y la conductividad de los conductores,respectivamente. En este caso, µm = µ0, ademas, para el dielectrico de polyetileno µ = µ0,ε = εrε0

α1 = 0,002567

Para transmision en modo TM10, el coeficiente de atenuacion es

α2 =εw√

2wµ0/σm

a√

w2µ0εrε0 − (π/a)2

α2 = 0,004207

Entonces la fraccion de potencia incidente que es recibida en el extremo del edificio (de largo100 m) es

ATE10= e−2×100α1 = 0,59383

ATM10= e−2×100α2 = 0,431125

Vemos que solo el modo TE10 cumple con el requerimiento de una atenuacion inferior al 50 %

d) La instalacion servira evidentemente para senal WiFi a 5.25 Ghz , y para propagacionen modo TE10 se tendra un nuevo coeficiente de atenuacion de

α =

√2π2√

wµ0/σm

a2µ0w√

w2εrε0µ0 − π2

a2

la nueva frecuencia es w = 2π × 5,25 × 109

α = 0,00053037

entonces la fraccion de potencia original recibida en el extremo del edificio es

At = e−2×100α = 0,899359

La atenuacion en modo TE10 ahora es alrededor de un 10 %

e) La frecuencia de corte para los modos TE20, TM20 fue obtenida anteriormente, y esta dadapor

f2 = 3,75 × 109

para los modos TE30 y TM30 es

f3 =3

2a√

µ0εrε0

= 5,625 × 109 > 5,25Ghz

de forma que los modos posibles de propagacion para WiFi a 5,25 Ghz son TE10, TE20,TM10, TM20

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