Cap 1 cinemática de partículas
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Mecánica de los cuerpos
macroscópicos
Movimiento mecánico
Cinemática: Rama de la Mecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica:Rama de la Mecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico. Justificar el movimiento.
Movimiento Mecánico:
Cambio de posición de un cuerpo en función del tiempo, con respecto a otros, tomados como referencia.
El tiempo es el parámetro
de control
Definir Sistema de Referencia
(SR)
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
• Definición del objeto de estudio
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Identificación de las magnitudes físicas apropiadas y sus relaciones.
• Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición. Empleo de las leyes que controlan el movimiento.
SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
SRI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.
Los SRI tienen entre ellos velocidad constante
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
SRNI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio sin la acción de otros
cuerpos, experimenta aceleraciones.
Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Posición, Velocidad,
Aceleración
Dinámicas
Fuerza, Torque
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
Modelos
de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
Traslación pura
Es aplicable el modelo de partícula
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
Rotación pura de cuerpo sólido
Es aplicable el modelo del
cuerpo rígido pero no el de
partícula
Es aplicable el modelo de partícula
Pasos para el estudio del movimiento mecánico
Métodos
•Vectorial (conciso, elegante)
•de Coordenadas
Mayor número de ecuaciones
•Natural Coordenadas curvilíneas
Problemas de la cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P. Dire
cto
P. I
nvers
o
Con
d.
Inic
iale
s
12
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t ha sido en la tabla adjunta. Calcular su velocidad media en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t m/s
3 46 25 1 25
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005
... ... ... ... ...
0 20
13
Derivada de una función en un punto Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,
Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h→0 se cumplirá que x→a.La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera:
)()()(
lim0
afh
afhafdxdf
h
Derivada de funciones
Sea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2.
La ordenada correspondiente es f(2) = -1Veamos el procedimiento a seguir:
2lim2
)2(lim
2
2lim
2
)1()12(lim
2
)2()(lim)2(
22
2
2
2
22
xx
xx
x
xx
x
xx
x
fxff
xxxxx
Derivada de funciones
431
31
1
32
1
212
1
11
11
2
1
2
11
)(lim))((
limlim
)()(lim
)()(lim)(
xx
xx
x
xx
x
xx
x
fxff
xxx
xx
Esto lo podemos hacer en cualquier punto del dominio de la función. Por ejemplo en el punto cualquiera “a”
2222
1212
22
22
aaxax
axax
ax
aaxx
ax
afxfaf
axax
axax
)(lim)()(
lim
)()(lim
)()(lim)(
Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior y=x2 -2x -1 la derivada en x = -1La ordenada para x = -1 es f(-1)= 2
Derivada de funciones
22)( xxfComprueba estos resultados: Función F
primitiva de ffunción fderivada de F
xn + k nx n-1, para todo n ≠ 0
e x + k e x
ln x + k 1 / x
x-n + k -n x–n-1
Cos x + k - sin x
sin x + k cos x
a x, a>0 ln a . a x
x1/2 ½ x-1/2
Ax + b A
Como “a” es cualquier punto del dominio, entonces es variable que la representaremos con x también y diremos:
Derivada de funciones
Propiedad lineal de la derivadaPara funciones dentro del dominio de las derivadas
donde c es una constante
dx
dg
dx
df))x(g)x(f(
dx
d dx
dfc)x(cf
dx
d
dx
dfg
dx
dgf)x(g)x(f
dx
d
2g/)dx
dgf
dx
dfg()x(g/)x(f
dx
d
dx
df
df
dg))x(f(g
dx
d
Derivada de un producto
Derivada de un cociente
Regla de la cadena
Derivada de funciones
Otras PropiedadesSi f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es crecienteSi f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decrecienteSi f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un punto critico extremoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un maximoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un minimoCurvaturaSi f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es concava hacia arribaSi f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es concava hacia abajoSi f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.
Derivada de funciones
EJERCICIOS1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de area maxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h
Derivada de funciones
EJERCICIO1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.
Problema inverso
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P. I
nvers
o
Con
d.
Inic
iale
s
Derivada Antiderivada
xn (n+1)-1 x n+1 +C para todo n ≠ -1
e x e x +C
1/x lnx+C
cosx senx+C
sen x - cos x+C
A Ax+C
lnx xlnx-x
ax ax /lna
1 x
ttr
tr
)(: trposición
ttV
tV
dt
dr
t
rtVvelocidad
t
lim
0
)(:dtdV
tanaceleració )(:
mV r
tr
Vmediavelocidad m :
r
)()(: trttrrentodesplazami
t
tVttVanaceleració m
:media
Vectorialdr
)(tx
)(ty
)(tz)(),(),(: tztytxposición
,)(:dtdx
tVvelocidad x
dtdy
tVy )(
dtdz
tVz )(
dtdV
tanaceleració xx )(:
dt
dVta y
y )(
dtdV
ta zz )(
De Coord.
y
x
zzyxentodesplazami ,,:
,)(: Vdtds
tVvelocidad
dtdV
taT )(
Ta
a
22
TNaaa
n
0s0s
nV
dtd
Vtanaceleració N 2
)(:
Na
Natural
)()(: Vdtd
dtdV
tanaceleració
n
)(: tsposición
0s
Ejercicio
Si el vector posición de una partícula esta dada por:
k)14t4(jt)7(ti)(t(t)r 232 t
Hallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s7) Su aceleración tangencial en t=2s8) Su aceleración normal en t=2s9) Su radio de curvatura en t=2s
25
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
Ejercicio
26
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4
m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Ejercicio
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil
vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del
móvil en cualquier instante.
27
Ejercicio
1. Identificar sistema físico:
La pelota
2. Selección del SRI (Ubicación del Observador):
La azotea (ver gráfico). Tiempo t=0 al inicio del movimiento
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
28
Ejercicio
3. Selección del método o métodos:
de coordenadas
4. Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
29
Ejercicio
15102150
)15;0()0(102
102
21
21
22
tvtvCC
tvCtvCtv
msamsa
yx
yx
yx
ttytx
CCyx
CttyCtx
155
000)0(0)0(
155
22
43
42
32
Problema indirecto
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
30
Ejercicio
mtxd
stttmy
x 25)5(
551550 *2**
mtyh
sttttvy
25,6150)5,1(5)5,1(1550)(
5,1101500)(2
max
Distancia horizontal
Altura máxima
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
31
Ejercicio
El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobreel suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m.
Instantes para y=10m
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
bajandosmvsmvst
subiendosmvsmvst
ststtty
yx
yx
/5/42
/5/21
1^251510 2
Ejercicio
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s
33
Posición angular, q
Velocidad angular, w
El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.
Aceleración angular, a
Movimiento circular
34
Movimiento circular uniforme
Movimiento circular uniformemente acelerado
Movimiento circular
35
nt aanrra
dt
d
d
drr
dt
dr
dt
dr
dt
vda
2
Magnitudes lineales y angulares
Aceleración tangencial
rdt
ds
dt
rdv
dsrd
Aceleración normal
Movimiento circular
EjemploUna rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manera uniforme en 4s. Calcular:
1. La aceleración angular ω=ω0+αt En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2
El ángulo girado hasta este instante es
2. La posición y la velocidad angular del móvil en el instante t=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/s
3. La componente tangencial de la aceleración es at=α·r at=-0.1π m/s2
4. La componente normal de la aceleración es
Movimiento circular
37
2211
2211
rrs
rrvc
Movimiento de una bicicleta
bba
bbaa
rrv
rrs
2
2
2
2
rr
vv
tt
r
v
r
v
vtrvts
ac
bba
bb
a
aa
Movimiento circular
38
•Sean dos observadores O y O’ que se desplazan uno respecto al otro con un movimiento rectilíneo.
O
X
Y
Z
Y’
Z’
X’O’R
Ov
r
P(x,y,z) (x’,y’,z’)r
La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es
RrrRrr
Relatividad del movimiento
39
40
O
X
Y
Z
Y’
Z’
X’O’R
Ov
Derivando respecto a t la expresión anterior
O
vvvdt
Rd
dt
rd
dt
rd
Y derivando nuevamente
OO
aaa
dt
vd
dt
vd
dt
vd
Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que
0OO actev
aa
vvv
Rrr
O Transformaciones de Galileo
r
P(x,y,z) (x’,y’,z’)r
Relatividad del movimiento
41
P
rr
O
X Y
Z
Y’
Z’
X’
O’
t
t
•Sean dos observadores O y O’ que giran uno con respecto a otro con velocidad angular uniforme sin traslación relativa.
rr vector de posición de P respecto del
origen común
Odt
rdv
velocidad de P medida por O
• Si P está en reposo respecto a O’ entonces
'Odt
rdv
velocidad de P medida por O’
0v
pero como O’ gira con velocidad angular respecto a O, entonces P describirá un movimiento circular respecto a O, cumpliéndose que
rv
Relatividad del movimiento
42
•Pero si P se mueve respecto de O’ entonces
0v
y ambas velocidades se encuentran relacionadas a través de
rvvrvv
•La relación entre la aceleración de P medida por O y O’ viene dada por
centrífuganAceleració
CoriolisdenAceleració
rvaa
2
Relatividad del movimiento
43
•En el caso más general en que O’ se traslada y gira respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es
rvaaarvvv
O
O
2'
'
Ov
P
O
X
Y
Z
SRF
O’
X’
Y’
Z’
SRM
Traslación de O’ respecto O
Rotación de O’ respecto O
Relatividad del movimiento
44
Aceleración de Coriolis•La aceleración de Coriolis es perpendicular a la velocidad de la partícula respecto del observador móvil, y su efecto consiste en desviar la partícula en una dirección perpendicular a la velocidad.
Desviación hacia el este de un cuerpo en caida libre en el Hemisferio Norte, debida a la aceleración de Coriolis
Plano horizontal
S
N
E
O
Vertical
A
S
N
v
2
Eje terrestre
Polo Norte
Plano ecuatorial
C
Eje terrestre
A’
Trayectoria Plano
horizontal
v
Vertic
al
A
v
Relatividad del movimiento
45
Aceleración de Coriolis
Desviación hacia la derecha de un cuerpo que se mueve horizontalmente en el hemisferio norte
Trayectoria
v
Plano ecuatorial
S
N
Vertic
al
Polo Norte
Plano horizontal
C
Eje terrestre
v
2
Ha E
S
N
O
Plano horizontal
Vertical Eje terrestre
Relatividad del movimiento
46
•Desarrollo de centros de bajas presiones en la atmósfera.
Baja Presión
Baja Presión
Hemisferio Norte
Hemisferio Sur
Relatividad del movimiento
47
•Péndulo de Foucault.
N
S
EOB
Hemisferio Norte
A’’’
B’’’
A’’
B’’
A’
B’
A
Relatividad del movimiento
•En el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es
rvaaarvvv
O
O
2'
'
Ov
P
O
X
Y
Z
SRF
O’
X’
Y’
Z’
SRM
Traslación de O’ respecto O
Rotación de O’ respecto O
Suma de velocidades
OOPOOP
OOPOOP
aaa
vvv
OOOPPO
OOOPPO
aaa
vvv
Trasformaciones de Galileo
•En el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es
rvaaarvvv
O
O
2'
'
Ov
P
O
X
Y
Z
SRF
O’
X’
Y’
Z’
SRM
Traslación de O’ respecto O
Rotación de O’ respecto O
Suma de velocidades
luzladevelocidadcc
vvvv
vOOPO
OOPOOP
21
Trasformaciones de Lorentz
50
Suma de velocidades
Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?
51
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba). Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es vBT=c+vBA, es decir de 7 m/s.Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es 3-4= -1 m/s.
El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)El tiempo total es
Con los datos t=800/7=114.3 s.
Suma de velocidades
52
Un río fluye hacia el este con velocidad de vAT =3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de vBA =4 m/s.¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
El vector velocidad vBT del barco debe apuntar hacia P. El resultado de la suma vBT=vBA+vAT es vBT =vBA cosθ0=vAT-vBA senθ
smvvvvvv ATBABTBAATBT /.65291622222
5484
652.
.cos s
vv
d
v
dt
ATBABT
4775652
20022
22.
.
Suma de velocidades