Cap 1 Cinemática de Partículas 2015
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Mecánica
Estudio del movimiento
Cap. 3
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Movimiento
Cambio de posición según(punto de vista 4D):
1.- Referencia espacial (objeto 3D)
2.- Referencia temporal (Instante 1D)
Es la suma de dos vocablos latinos: el verbo “movere”, que es sinónimo de “mudar de un lado a otro”, y el sufijo “-miento”, que es equivalente a “acción y efecto”
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Mecánica Clásica: Movimiento de cuerpos no muy pequeños y a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
Mecánica Relativista:Movimiento de cuerpos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Mecánica Cuántica:Movimiento de cuerpos pequeños
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Mecánica Clásica: Se basa en:
Principios generales establecidos:• Conservación de la masa• Conservación de la energía• Conservación de la carga eléctrica• Relatividad de Galileo (Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llevad con vosotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores... colgad una botella que se vacíe gota a gota en un amplio recipiente colocado por debajo de la misma... haced que el barco vaya con la velocidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya fluctuaciones en un sentido u otro.... Las gotas caerán... en el recipiente inferior sin desviarse a la popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas están en el aire... las mariposas y las moscas seguirán su vuelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se concentren en la popa, como si cansaran de seguir el curso del barco...)
• Leyes de Newton. • Definiciones propias(Lenguaje).
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Planteamiento de problemas de mecánica
• Identificar el objeto de estudio
• Definir el modelo apropiado al problema (Cantidades físicas afines)
• Definición del Sistema de Referencial. Concepto de movimiento. (SR)
• Aplicar al modelo los principios, las leyes y las definiciones Obtener las relaciones existentes entre las cantidades físicas(ecuaciones).
• Resolver las ecuaciones para obtener las respuestas a los problemas planteados.
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Modelo
• Representación del objeto de estudio, apropiada para los requerimientos del problema.
• Ejemplos de modelos:• Modelo de partícula: Cuerpo sin dimensiones, representado
por un punto (CF:posición, velocidad, trayectoria,…).• Modelo de cuerpo rígido: Cuerpo formado por varias
partículas(puntos) que conservan su distancia en el movimiento(CF: Ruta, Momento de Inercia, Momento angular,…).
• Modelo de fluido: Cuerpo donde sus partículas pueden deslizarse por capas(CF: densidad, presión,…).
• Modelo de gas ideal: Cuerpo donde sus partículas se mueven libremente sin interaccionar entre ellas(Numero de partículas, Volumen, viscosidad,…).
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Cuerpo Rígido en rotación
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Modelo de partícula
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Sistema Referencial:
• Referencia espacial
• Referencia temporal
• Lenguaje
• Sistema de Referencia Inercial (Galileo): Para este observador el cuerpo no cambia su movimiento en ausencia de interacciones. • Sistema de Referencia No Inercial: Para este observador el cuerpo puede cambiar su movimiento sin la necesidad de interaccionar o con interacciones puede presentar constancia de su movimiento.
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Objetos del sistema: Árbol, escuela, campana, reloj, estudiantes, pelota
Planteamiento de un problema de Mecánica
Objeto de Estudio: Pelota en movimiento
Modelo a usar: modelo de partícula (posición, velocidad,…)
RE ObservadorRT Reloj
Lenguaje Coordenadas Rectangulares
y
x
z
SR:
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición {𝑥=5 sin (4 𝑡)𝑦=5 cos (4 𝑡)
𝑧=3 𝑡
{𝑥=3sin (𝑡)𝑦=3cos (𝑡)
{𝑟=5 cos (3 t)𝜃=3 𝑡
{𝑟=5 cos (3 𝑡)𝜃=3𝑡𝑧=𝑡
{𝑠=3 𝑡2−5𝜃= 𝑓 (𝑡)
(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)
(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)
Ubica al objeto en el espacio-tiempo
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición
(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)
(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)
Desplazamiento:
r
)()( trttrr
(0,-4,5)Mide cambios de posición del objeto
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición
(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)
(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)
Desplazamiento:
r
r
Cantidades diferenciales:
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición
(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)
(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)
Desplazamiento:
r
r
dr
)(:lim0
tvvelocidadtr
dtdr
t
Mide rapidez de movimiento y orientación de movimiento
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
{𝑥=5 sin (4 𝑡)𝑦=5 cos (4 𝑡)
𝑧=3 𝑡
{𝑥=3sin (𝑡)𝑦=3cos (𝑡)
{𝑟=5 cos (3 t)𝜃=3 𝑡
{𝑟=5 cos (3 𝑡)𝜃=3𝑡𝑧=𝑡
{𝑠=3 𝑡2−5𝜃= 𝑓 (𝑡)
Derivada de una función en un punto Para una función y=f(t) y un tiempo t=a, se define la derivada de f(t) en t=a como el límite siguiente, si es que existe,
Esto lo realizaremos de la siguiente manera:
f ´ (a )=lim𝑡→𝑎
𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (𝑎)𝑡−𝑎
=𝑑𝑓𝑑𝑡
(𝑎)
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Sea la función f(t) = t2 -2t -1. Queremos calcular la derivada en el punto t=2.
Evaluamos f(t) en t=2s: f(2) = -1
Derivada de funciones
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 : lim𝑡→ 2
𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (2)𝑡−2
lim𝑡→ 2
𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (2)𝑡−2
=lim𝑡→ 2
𝑡=2→2=𝑑𝑓𝑑𝑡
(2)
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Para otra función:
Derivada de funciones
𝑔 (𝑡 )=sin (𝑡 )
La derivada en t=O
Evaluamos g(t) en t=O : g(0) =sin(O)=0
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 : lim𝑡→ 0
𝑔 (𝑡 )−𝑔 (0)𝑡−0
lim𝑡→ 0
𝑔 (𝑡 )−𝑔 (0)𝑡−0
=lim𝑡→ 0
sin (𝑡)
𝑡=11=
𝑑𝑔𝑑𝑡
(0)
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Para la función f(t) = t2 -2t -1. Calculemos las derivadas en t=1, en t=3 y en general para cualquier t*.
Derivada de funciones
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Comprobar estos resultados:
Derivada de funciones
Función f (Primitiva) Función f´ (Derivada de f)
Atn +C nAt n-1, para todo n ≠ 0
Ae t + C Ae t
Aln t + CA / t
At-n + C -nA t–n-1
Acos t + k - Asin t
Asin t + k Acos t
a t, a>0 ln a . a t
t1/2 ½ t-1/2
At + b A
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Comprobar estos resultados:
AntiDerivada de funciones
Función f (Derivada) Función (Primitiva de f)
Atn At n+1/(n+1)+C, n ≠ -1
Ae t Ae t +C
A/t Aln(t)+C
At-n A t–n+1/(-n+1)
Acos t Asin t+C
Asin t -Acos t+C
a t, a>0 a t/ln a
A t-1/2 2A t1/2+C
A At+C
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Propiedad lineal de la derivadaPara funciones dentro del dominio de las derivadas
dx
dg
dx
df))x(g)x(f(
dx
d dx
dfAxAf
dxd )(
dx
dfg
dx
dgf)x(g)x(f
dx
d
2g/)dx
dgf
dx
dfg()x(g/)x(f
dx
d
dx
df
df
dg))x(f(g
dx
d
Derivada de un producto
Derivada de un cociente
Regla de la cadena
Derivada de funciones
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Otras PropiedadesSi f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es crecienteSi f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decrecienteSi f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un posible extremoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un máximoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un mínimoCurvaturaSi f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es cóncava hacia arribaSi f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es cóncava hacia abajoSi f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.
Derivada de funciones
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EJERCICIOS1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de area maxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h
Derivada de funciones
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición
(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)
(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)r
dr tV
dt
dr
t
rtVvelocidad
t
lim
0
)(:
mV r
t
rVmediavelocidad m
:
Mide rapidez de movimiento y orientación de movimiento
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Lenguaje de la Mecánica de partículas
Cantidades Físicas en la Cinemática
ttr
tr
)(: trposición
r
dr tV
dtrd
vvelocidad:
ttV
)(: ttVvelocidad
)()( tVttVV tV
amedianaceleració m :
dtdV
tanaceleració )(:Mide rapidez de cambio de la velocidad y la dirección del cambio de la velocidad
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Problemas de Cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P. Dire
cto P.
In
vers
o
Con
d.
Del p
rob
lem
a
![Page 27: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/27.jpg)
EJERCICIO1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.
![Page 28: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/28.jpg)
)(tx
)(ty
)(tz )(),(),(: tztytxposición
,)(:dtdx
tVvelocidad x
dtdy
tVy )(
dtdz
tVz )(
dtdV
tanaceleració xx )(:
dt
dVta y
y )(
dtdV
ta zz )(
y
x
zzyxentodesplazami ,,:
Coordenadas Rectangulares
,)(:dtdx
ttVvelocidad x
dtdy
ttVy )(
dtdz
ttVz )(
![Page 29: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/29.jpg)
EjercicioSi el vector posición de una partícula esta dada por:
k)14t4(jt)7(ti)(t(t)r 232 t
Hallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s7) Su aceleración tangencial en t=2s8) Su aceleración normal en t=2s9) Su radio de curvatura en t=2s
![Page 30: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/30.jpg)
,)(: Vdtds
tVvelocidad
dtdV
taT )(
Ta
a
22
TNaaa
n
0s0s
nV
dtd
Vtanaceleració N 2
)(:
Na
n
)(: tsposición
0s
Coordenadas Naturales
)()(: Vdtd
dtdV
tanaceleració
![Page 31: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/31.jpg)
Coordenadas Polares (2D)
Polo Eje polar
r
𝜃
Posición
Velocidad angular:
El ángulo q en radianes se define como el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r.
Aceleración angular,
Def. Velocidad :
𝑣𝑟=𝑑𝑟𝑑𝑡
𝑣𝜃=𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡
=𝑟 𝜔
re
e
![Page 32: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/32.jpg)
re
e
Coordenadas Polares (2D)
Polo Eje polar
r
𝜃
Aceleracion
𝑑𝑒𝑟𝑑𝑡
=𝑑𝑒𝑟
𝑑𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡
=𝜔𝑒𝜃 )
![Page 33: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/33.jpg)
Coordenadas Cilíndricas (3D)
Polo Eje polar
r
𝜃
Posicion 𝑑𝑒𝜌
𝑑𝑡=𝑑𝑒𝜌
𝑑𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡
=𝜔𝑒𝜃
𝑣 𝜌=𝑑𝜌𝑑𝑡
𝑣 𝜃=𝜌𝜔𝑣 𝑧=𝑑𝑧𝑑𝑡
)
𝜌
Velocidad
𝑒𝜌𝑒𝜃
𝑘z
Aceleracion
𝑎𝜌=(𝑑2𝜌𝑑𝑡 2 −𝜌𝜔
2)𝑎𝜃=(2𝜔 𝑑𝜌𝑑𝑡
+𝜌 𝑑𝜔𝑑𝑡 )𝑣𝑧=
𝑑2𝑧𝑑𝑡2
![Page 34: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/34.jpg)
Coordenadas Esféricas (3D)
Polo Eje polar
r
𝜃
Posicion
𝜑
Velocidad
𝑒𝑟𝑒𝜃
𝑒𝜑
z
𝜑=
𝑣𝑟=𝑑𝑟𝑑𝑡
,𝑣 𝜃=𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡
,𝑣𝜑=𝑟𝑑𝜑𝑑𝑡
Acceleration
𝑎𝑟=𝑑2𝑟𝑑𝑡 2 −𝑟 (𝑠𝑖𝑛𝜑 [ 𝑑𝜃𝑑𝑡 ]
2
+[ 𝑑𝜑𝑑𝑡 ]2)𝑑𝑒𝜑𝑑𝑡
=𝑑𝑒𝜑
𝑑𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡
+𝑑𝑒𝜑
𝑑𝜑𝑑𝜑𝑑𝑡
=𝑒𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡
−𝑒𝑟𝑑𝜑𝑑𝑡
𝑎𝜃=(2 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝜃𝑑𝑡 +𝑟 𝑑2𝜃𝑑𝑡2 +𝑟
𝑑𝜃𝑑𝑡
𝑑𝜑𝑑𝑡 )
𝑎𝜑=(2 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝜑𝑑𝑡 +𝑟 𝑑2𝜑𝑑𝑡 2 )−𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 [ 𝑑𝜃𝑑𝑡 ]
2
![Page 35: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/35.jpg)
Una particular se mueve sobre una esfera describiendo un circulo.
Ejercicio
q
j REncuentre velocidad en cualquier tiempo:
𝑟=𝑅𝑒𝑟
𝑣=𝑑 𝑟𝑑𝑡
=𝑅𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑡=𝑅𝜔𝑒𝜃
𝑣
Encuentre aceleracion en cualquier tiempo:
𝑎=𝑑𝑣𝑑𝑡
=𝑅𝜔𝑑𝑒𝜃
𝑑𝑡=−𝑅𝜔(𝜔 sin (𝜋4 ))𝑒𝑟−𝑅𝜔(𝜔cos ( 𝜋4 ))𝑒𝜑
![Page 36: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/36.jpg)
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
Ejercicio
![Page 37: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/37.jpg)
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4
m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Ejercicio
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil
vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del
móvil en cualquier instante.
![Page 38: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/38.jpg)
Ejercicio
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
15102150
)15;0()0(102
102
21
21
22
tvtvCC
tvCtvCtv
msamsa
yx
yx
yx
ttytx
CCyx
CttyCtx
155
000)0(0)0(
155
22
43
42
32
Problema indirecto
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Ejercicio
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
mtxd
stttmy
x 25)5(
551550 *2**
mtyh
sttttvy
25,6150)5,1(5)5,1(1550)(
5,1101500)(2
max
Distancia horizontal
Altura máxima
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Ejercicio
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s
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Coordenadas Polares: Posición
Velocidad angular:
velocidad radial=0 velocidad azimutal
Movimiento circular
𝑟 (𝑡 )=𝑅=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡→𝑑𝑟𝑑𝑡
=0→𝑣𝑟=0
Aceleracion: aceleracion radial aceleracion azimutal
𝑎𝜃
𝑎𝑟
𝑣
Velocidad:
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Movimiento circular uniforme
Movimiento circular
𝜔=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑣=𝑑𝑟𝑑𝑡𝑒𝑟+𝑟 𝜔𝑒𝜃=𝑅𝜔𝑒𝜃
𝑣
𝑎=(𝑑2𝑟𝑑 𝑡2 −𝑟 𝜔
2)𝑒𝑟+(𝑟 𝑑𝜔𝑑𝑡
+2𝜔 𝑑𝑟𝑑𝑡 )𝑒𝜃=−𝑅𝜔
2𝑒𝑟
𝑎𝑟
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Movimiento circular uniformemente acelerado
Movimiento circular
𝑣=𝑅𝜔𝑒𝜃=𝑅 [𝜔0+𝛼𝑡 ]𝑒𝜃
𝑣
𝑎= (−𝑟 𝜔2 )𝑒𝑟+(𝑟 𝑑𝜔𝑑𝑡 )𝑒𝜃=−𝑅𝜔2𝑒𝑟+𝑅𝛼𝑒𝜃
𝛼=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑎𝜃
𝑎𝑟
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EjemploUna rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manera uniforme en 4s. Calcular:
1. La aceleración angular ω=ω0+αt En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2
El ángulo girado hasta este instante es
2. La posición y la velocidad angular del móvil en el instante t=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/s
3. La componente tangencial de la aceleración es at=α·r at=-0.1π m/s2
4. La componente normal de la aceleración es
Movimiento circular
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2211
2211
rrvts
rrvc
ba
bicib
babbbab
aacbici
rr
r
v
rr
rrvv
rvv
1
111
1
Movimiento circular acoplado por banda
11
1
1
rr
vvrv
rv a
aa
aa
Movimiento circular
Movimiento circular acoplado por el centro
2
112221121 r
rrrvv
Bicicleta
![Page 46: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/46.jpg)
•Sean dos observadores O y O’ que se desplazan uno respecto al otro con un movimiento rectilíneo.
O
X
Y
Z
Y’
Z’
X’O’R
Ov
r
P(x,y,z) (x’,y’,z’)r
La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es
RrrRrr
Relatividad del movimiento (Galileo)
![Page 47: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/47.jpg)
Derivando respecto a t=t´ la expresión anterior
O
vvvdt
Rd
dt
rd
dt
rd
Y derivando nuevamente
OO
aaa
dt
vd
dt
vd
dt
vd
Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que
0OO actev
aa
vvv
Rrr
O
Transformaciones de Galileo
Sistemas de Referencia Inercial
•Los relojes de los dos observadores O y O’ funcionan de igual manera. El tiempo es igual para ambos.
Relatividad del movimiento (Galileo)
O
X
Y
Z
Y’
Z’
X’O’R
Ov
r
r P(x,y,z)
(x’,y’,z’)
Si el sistema O´ tiene aceleración no es un Sistema de Referencia Inercial
![Page 48: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/48.jpg)
Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?
Relatividad del movimiento (Galileo)
𝑣𝐴 /𝑇
𝑣𝐴 /𝑉
𝑣𝑉 /𝑇
𝑣𝐴 /𝑇
𝑣𝐴 /𝑉𝑣𝑉 /𝑇
![Page 49: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/49.jpg)
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se
dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es , es decir de 7 m/s.Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es-1 m/s.
El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)El tiempo total es
Con los datos t=800/7=114.3 s.
Relatividad del movimiento (Galileo)
![Page 50: Cap 1 Cinemática de Partículas 2015](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022081511/5695d3d61a28ab9b029f5c9c/html5/thumbnails/50.jpg)
Un río fluye hacia el este con velocidad de vA/T =3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de vBA =4 m/s.• ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la
orilla opuesta enfrente de O?• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P
y regresar de nuevo al punto de partida O.El vector velocidad vB/T del barco debe apuntar hacia P. El resultado de la suma vB/T=vB/A+vA/T es vBT =vB/A cosθ0=vA/T-vB/A senθ
smvvvvvv ATBABTBAATBT /.65291622222
5484
652.
.cos
svv
d
v
dt
ATBABT
4775652
20022
22.
.
Relatividad del movimiento (Galileo)