IntroduccinPara iniciar el estudio del Clculo Integral te daremos una breve perspectiva histrica del Clculo, el cual ha tomado varios siglos de desarrollo en el pensamiento de la humanidad.Podemos considerar cuatro grandes problemas como motores del Clculo (sobre todo en sus comienzos, en el siglo XVII): El problema de la recta tangente El problema de la velocidad y la aceleracin El problema de los mximos y los mnimos El problema del rea debajo de una curvaUno de los momentos cruciales en la historia de las matemticas lo constituye el descubrimiento de la interrelacin entre estos grandes problemas. Este hallazgo provoc el nacimiento del Clculo como una gran rama de las matemticas en lo que se denominaTeorema Fundamental del Clculo.En esta unidad de aprendizaje tendrs la oportunidad de conocer los fundamentos del Clculo Integral, mencionaremos los problemas que dieron origen al mismo y algunas estrategias que fueron usadas para enfrentar dichos problemas. Conocers el Teorema Fundamental del clculo y su uso para encontrar el rea debajo de una curva, aprenders a integrar y, finalmente, analizars la interpretacin geomtrica de la integral y algunas de sus aplicaciones.1.1 AntiderivadaCuando estudiaste Clculo Diferencial el problema central era:dada una funcin obtener su derivada. Las aplicaciones importantes del Clculo Integral estn relacionadas con el problema inverso:dada la derivada de una funcin hallar la funcin original; por ejemplo, un fsico que conoce la velocidad de una partcula podra desear conocer su posicin en un instante dado. Un ingeniero que mide la razn variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad de agua que se ha fugado durante cierto periodo. Un bilogo que conoce la razn a la que crece una poblacin de bacterias puede interesarse en deducir el tamao de la poblacin en algn momento futuro.Si retomramos el caso del fsico que conoce la velocidad de una partcula cmo podra saber su posicin en un instante dado?Como ya sabes, para determinar la velocidad utilizamos la derivada; ahora el problema es inverso, es decir, tenemos la velocidad y queremos obtener la posicin, entonces debemos invertir el proceso de derivar: dada la derivada (velocidad) encontrar la funcin de la posicin.Cuando se realiza este proceso inverso la funcin que se obtiene tomar el nombre deantiderivadaporque se obtuvo revirtiendo el proceso de la derivacin.

Ejemplificamos el proceso con algunas funciones.Para cada funcin, primero obtenemos su derivada y despus realizamos el proceso inverso, es decir,la antiderivacin.

Ahora analiza lo que sucede con las siguientes funciones, observa qu tienen en comn y qu cambia de una a otra.

Como sabes, al derivar una funcin que incluye constantes que suman o restan, stas siempre desaparecen en el proceso porque la derivada de una constante es igual a cero.En la tabla anterior, nota que la funcin es una antiderivada de la funcin para cualquier valor que pueda tomar la constante, la cual se conoce comoconstante de integracin.Volveremos a hablar de ella ms adelante.

Una misma funcin puede tener muchas antiderivadas, pero slo una derivada.

Si es una antiderivada de, tambin lo es para cualquier eleccin de la constante.Nota:Si consultas algunos textos, te dars cuenta de que generalmente la antiderivada de una funcin, por ejemplo , se simboliza con una letra mayscula . La representacin formal de la antiderivada establece la siguiente relacin: Donde es la derivada de la funcin

Ahora que tienes claro lo que es una antiderivada, te explicaremos qu son las integrales, especficamente qu es una integral indefinida.1.2 Integral indefinidaLa antiderivada, en su forma general, es llamadaintegral indefinidade la funciny se denota de la siguiente manera:Al procedimiento de encontrar esta integral se le llamaintegracin.Recordemos que a la habamos denominadoconstante de integracin, y puesto que es desconocida e indefinida a la expresin anterior se le llamaintegral indefinida. Entonces podemos concluir que la integracin es el proceso inverso de la derivacin.Es importante mencionar que a partir de aqu y a lo largo de esta unidad de aprendizaje tendrs que practicar los conocimientos que has adquirido de lgebra, geometra, trigonometra, geometra analtica y clculo diferencial.Si no recuerdas algn tema especfico ser necesario que recurras a tus apuntes y lo revises detenidamente.Resuelve la siguiente actividad en la cual tendrs que practicar todos tus conocimientos de matemticas.

Actividad de aprendizaje 1. Recordando las matemticas

Actividad de aprendizaje 1. Recordando las matemticasDescarga el siguiente archivo. Encontrars varios ejercicios, resulvelos poniendo en prctica tus conocimientos de lgebra, trigonometra y clculo diferencial.Recurre a tus apuntes ante cualquier duda. De ser necesario, consulta a tu asesor mediante el Foro de dudas."Recordando las matemticas.doc"

Realiza tu actividad en un documento Word utilizando el editor de ecuaciones. Si te resulta muy laborioso usar el editor puedes elaborar tu actividad a mano, con letra clara y legible. Toma en cuenta que si escaneas tu actividad slo podrs enviar un archivo, el cual deber tener un peso menor de 1 Mb.Guarda tu archivo con el siguiente formato:apellidopaterno_apellido materno_nombre_nmero de la actividady envalo.Esta actividad tiene un valor de10 puntosen tu calificacin final.Ya que has recordado tus conocimientos de matemticas, es momento de iniciar el clculo de integrales; algunas se pueden resolver por medio de frmulas preestablecidas y en otras ser necesario usar artificios matemticos. Las primeras se llamanintegrales inmediatasy las segundasintegrales reducibles a inmediatas.1.3 Integrales inmediatas y reducibles a inmediatasAl inicio del tema mencionamos que es posible conocer la trayectoria seguida por un objeto su posicin en cada instante de tiempo si conocemos su velocidad. Tal proceso consiste en integrar la velocidad la derivada de la posicin con respecto al tiempo.Si en lugar de la velocidad pensamos en una funcin cualquiera, nuestro problema se puede reformular de la siguiente manera:Conociendo la derivada, aplicar el proceso inverso, es decir, calcular su integral para conocer lafuncin original.Para encontrar la integral de una funcin usamosfrmulas de integracin.Las principales frmulas de integracin se encuentran en el siguiente formulario. Te sugerimos que lo descargues e imprimas ya que es una herramienta que debers tener siempre a la mano pues la utilizars para entender las explicaciones, ejemplos y para realizar tus actividades de autoevaluacin y de aprendizaje.Con tu formulario en mano, revisaremos cmo se lleva a cabo la integracin de diferentes funciones. Comenzaremos con una clase especial de integrales que solamente necesitan la aplicacin de alguna de las frmulas bsicas de integracin, por lo que las llamaremos integrales inmediatas.a) Integrales inmediatasEmpezaremos a integrar, para ello te recomendamos que atiendas los siguientes pasos: Antes de iniciar, identifica la variable a integrar, la cual est indicada por el diferencial, generalmente Despus, verifica si hay alguna o algunas constantes que estn multiplicando o dividiendo; stas salen de la integral (revisa la propiedad b en el formulario).Para practicar lo anterior, te invitamos a que realices los siguientes ejercicios, pero antes te mostramos uno resuelto. Ejercicio 0Identifica la frmula adecuada para calcular la siguiente integral Viendo la integral, identificamos que el diferencial es , por lo tanto la variable con respecto a la cual se va a integrar es . se considera constante. Aplicamos la propiedad b del formulario: siendo una constante cualquiera.Por lo tanto, tenemos que sale de la integral; queda de la siguiente forma: La frmula adecuada a utilizar sera la nmero 1: porque su estructura algebraica es idntica; observa: Tienes claro cmo puedes identificar la frmula para cada integral? En el siguiente ejercicio podrs verificar tu conocimiento. Te mostramos varias integrales para las cuales tendrs que identificar la frmula correcta para integrar y las partes de dicha frmula. El ejercicio te guiar paso a paso indicndote qu es lo que debes responder.Ten a la mano tu formulario y en cada caso identifica lo siguiente:i) Cul es la variable de integracin? ii) Necesitas aplicar la propiedad b?iii) Cul es la frmula de integracin que debes aplicar?iv) Identifica cada una de las partes de la frmula de acuerdo con la integral que deseas calcular.Como habrs observado en el ejercicio anterior, primero hay que identificar la variable de integracin. Una vez hecho eso, te recomendamos atender las indicaciones que a continuacin listamos.

a) Verificar si la integral es igual a alguna del formulario bsico de integrales; si es as,

b) aplicar la frmula tal como est en el formulario,

c) reducir los trminos que se puedan presentar, y

d) poner la constante de integracin al final.

Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1Calcula la integral indefinida Primero debes identificar cul es la frmula de integracin, de las que tienes en tu formulario. Te mostramos 3 frmulas posibles. Cul utilizaras? Date cuenta de que en la integral nuestro integrando es . Veamos la primera frmula Ten presente que en el formulario la letra representa la variable de integracin y que la puedes sustituir por etctera.Sustituyendo la variable de integracin por nos queda: Compara los dos integrandos: no es igual a , por lo tanto sta no es la frmula correcta.Podra ser Sustituyendo el valor de en la integral obtenemos: Se parece mucho, sin embargo observa que el integrando se define como , lo cual nos dice que la base es un valor constante y el exponente es la variable .Por otro lado, nuestro integrando es , donde la base es la variable , no una constante, y el exponente 4 es una constante, no una variable. Por lo tanto, sta frmula tampoco es la indicada.Por ltimo, tenemos la frmula: En ella el integrando es y esto equivale a ; en otras palabras: Donde deducimos que , lo cual s corresponde porque 4 es una constante. Por lo tanto es la frmula correcta a utilizar en este caso.Ahora podemos seguir los pasos que habamos propuesto sustituyendo por y escribiendo 4 en lugar de .a. Como vemos, la integral es igual a b. Aplicamos la frmula c. d. Ejemplo 2Calcula la siguiente integral , identifica cul es el integrando y cul la variable de integracin.El integrando es y la variable de integracin es .Ahora calculamos la integral siguiendo las sugerencias indicadas anteriormente:a. Esta integral es igual a b. c. no hay que reducird. Ejemplo 3Calcula la integral a. La integral es igual a b. c. no hay que reducird. Es muy sencillo resolver una integral inmediata, solamente necesitamos nuestro formulario y dominar el lgebra. Para que practiques la solucin de integrales inmediatas, hemos preparado para ti un documento que contiene varios ejercicios. Te invitamos a que los resuelvas en tu cuaderno.Recuerda, puedes revisar el tema anterior cuantas veces quieras para que te quede claro el procedimiento que debes seguir. Si tienes alguna duda, consulta a tu asesor mediante el Foro de dudas.Ejercicios integrales inmediatas.doc

Ahora que ya tienes la prctica suficiente para resolver integrales inmediatas, contesta la siguiente autoevaluacin; con ella podrs verificar si has comprendido el tema o an tienes algunas dudas que debes aclarar.

Actividad de autoevaluacin 1. Integrales inmediatas

Actividad de autoevaluacin 1. Integrales inmediatasEn la siguiente autoevaluacin te presentamos 10 integrales inmediatas que debes resolver. Realiza el procedimiento necesario en tu cuaderno. Para resolverlas debes tener a la mano tu formulario. Una vez que tengas la respuesta correcta para cada inciso, elgela de las opciones que te presentamos.Esta actividad no tiene un puntaje en tu calificacin final, sin embargo es muy importante que la resuelvas pues slo as podrs revisar si te ha quedado claro el tema.Tienes 3 intentos para resolver la autoevaluacin. Principio del formulario1.

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Final del formulario

b) Integrales reducibles a inmediatasLas integrales no siempre son sencillas, es decir, no todas se pueden resolver aplicando directamente el formulario. En ocasiones, la integral no se parece a ninguna de nuestras frmulas bsicas de integracin, as que es necesario realizar un artificio o transformacin matemtica que no altere la expresin original para reducirla a una integral inmediata. De ah que el nombre de la expresin sea integrales reducibles a inmediatas.Algunos artificios ms comunes transformaciones matemticas pueden ser: Desarrollo de operaciones indicadas, podran ser el desarrollo de un binomio cuadrado o el manejo de exponentes. Aplicacin de alguna identidad trigonomtrica. Factorizacin y simplificacin. Cambio de variable.Mediante estos artificios matemticos es posible reducir una gran parte de las integrales a formas inmediatas, sin embargo no existen reglas de carcter general que permitan elegir cul es el mejor a utilizar.Te recomendamos que atiendas las siguientes sugerencias:

Verifica si la integral es igual a alguna del formulario bsico de integrales, si no es as:

Utiliza el artificio ms apropiado, segn sea el caso.

Iguala la integral a una inmediata y aplica la frmula tal como est en el formulario.

No olvides poner la constante de integracin al final.

Te mostramos algunos ejemplos de cmo se resuelven integrales reducibles a inmediatas.Ejemplo 4Calcula la siguiente integral Observa que esta integral no se parece a ninguna de nuestras frmulas bsicas de integracin, por lo tanto tendremos que aplicar un artificio. Date cuenta de que en nuestra integral aparece una potencia en el denominador, sin embargo en las frmulas de integracin la expresin para integrar una potencia es: Se te ocurre algo para lograr que la estructura algebraica de nuestra integral sea igual a la de la frmula?Es aqu donde utilizamos las leyes de los exponentes que ya conocemos, de manera que podemos transformar la integral de la siguiente forma: Observa que la integral que obtenemos ya es igual en estructura a la de nuestra frmula: As pues, ya la podemos resolver aplicando la frmula: Nota: Un artificio muy poderoso que te ser til consiste en lo siguiente: si la potencia est en el denominador hay que reescribirla como una potencia negativa, para ello aplicamos las leyes de los exponentes. Ten cuidado, ya que esto slo funciona cuando en el denominador no hay sumas o restas.

Bien

No es posible

Ejemplo 5Resuelve la siguiente integral Segn se observa, no hay ninguna igualdad con nuestras frmulas bsicas de integracin; nuevamente tenemos que aplicar un artificio matemtico.Por la propiedad a del formulario: nos conviene separar el numerador en tres diferentes integrales y calcular cada una por separado. En la primera integral aplicamos una divisin e integramos: En la segunda usamos la propiedad b: y dividimos para despus integrar con Tip:

En la integracin, las constantes que multiplican o dividen salen de la integral (aplicando la propiedad b de tu formulario) y despus se incorporan cuando ya se integr.Luego, en la tercera usamos la propiedad e integramos con Al final reunimos los resultados obtenidos y colocamos la constante de integracin. Ejemplo 6Dada la integral encuentra su funcin primitiva.Observamos que no hay ninguna igualdad con nuestras frmulas bsicas de integracin; por lo tanto aplicaremos un artificio.Pero qu haremos?Nos conviene desarrollar el binomio al cuadrado Por la propiedad separamos En la primera aplicamos la propiedad En la segunda separamos la raz porque nos permitir aplicar la propiedad y la frmula Tip:

Y en la ltima simplemente aplicamos Al final reunimos los resultados obtenidos y agregamos la constante de integracin.

Si quieres ver ms ejemplos de integracin inmediata consulta la siguiente pgina, ah vienen resueltas varias integrales directas.

En este caso el autor nombra integrales directas a aquellas que podemos calcular utilizando directamente el formulario (integrales inmediatas) o aquellas que mediante un artificio podemos transformar en integrales reducibles a inmediatas.

Referencia http://ed21.webcindario.com/id354.htm

A continuacin veremos el artificio ms importante en el proceso de integracin debido a la aplicacin que tiene para resolver gran variedad de problemas convienen estudiarlo de manera detallada.1.4 Cambio de variableMediante este artificio es posible reducir una gran cantidad de integrales a integrales inmediatas. Cabe destacar que no existen reglas de carcter general que indiquen cundo se aplica el cambio de variable. Como su nombre lo indica, es un cambio de la variable original por otra que nosotros proponemos con la intencin de que nos permita simplificar la funcin de cuya integral deseamos calcular. Al hacer este cambio de variable tambin debemos modificar el diferencial. Veamos los siguientes ejemplos donde analizaremos diferentes situaciones en las cuales el cambio de variable es la clave para la solucin de la integral.Ejemplo 7Calcula la integral Como observamos, no hay ninguna igualdad con nuestras frmulas bsicas de integracin; por lo tanto realizaremos un artificio.En este caso hay dos artificios posibles para reducir a una integral inmediata:1 Desarrollar el binomio al cuadrado ; despus, multiplicarlo por y con esto tendremos una integral inmediata.2 El cambio de variable.Estos dos artificios son validos, pero el cambio de variable es menos laborioso que el desarrollo del binomio.El cambio de variable, en la mayora de los casos, permite eliminar variables, reducir potencias o cambiar funciones trigonomtricas, lo cual resulta apropiado para llegar a una integral inmediata.Para aplicar el cambio de variable es necesario determinar en el integrando qu factor, al derivarlo, nos genera un trmino que pueda eliminar o reducir al otro.En nuestra integral el integrando es ,El primer factor es ,El segundo factor es De aqu surge una duda: por qu derivar?Como se dijo al principio, al cambiar de variable se tiene que cambiar tambin el diferencial, lo cual es posible nicamente con la derivacin.Recuerdas como derivar una funcin? Consulta el siguiente archivo: Formulario de Derivadas.pdf

Si derivamos la expresin tenemos como resutlado , lo cual puede reducir al primer factor. De lo contrario, si derivamos nicamente obtenemos el diferencial y esto no ayuda a simplificar el integrando.Veamos el siguiente procedimiento:Proponemos como la nueva variable; sta sustituir la expresin . As pues, obtenemos: Derivando esta expresin tenemos ; ahora despejamos Y hacemos el cambio de variable de por y el diferencial por Dejamos que todo quede en funcin de la nueva variable Simplificamos la expresin y obtenemos la integral inmediata que podremos calcular sin dificultad: Tip:

Resolvemos la integral: La solucin de la integral es , ahora hay que regresar a la variable original. Recuerda que:

Por lo tanto, el resultado de la integral planteada es: En este ejemplo podramos haber utilizado el desarrollo del binomio para resolver la integral, pero imagina que en lugar de tener un binomio al cuadrado tuviramos un binomio a la doceava potencia, eso sera muy complicado de resolver si no utilizas el cambio de variable.Veamos otro ejemplo, ahora con funciones trigonomtricas.Ejemplo 8Dada la funcin , calcula su integral.Como observamos, no hay ninguna igualdad con nuestras frmulas bsicas de integracin porque existen constantes en el ngulo, as que realizaremos un artificio matemtico.Utilizaremos un cambio de variable: cambiaremos la expresin por , debido a que para aplicar una frmula inmediata el requisito es que el ngulo no est acompaado de constantes.Observa en el formulario que en todas las integrales que involucran funciones trigonomtricas te piden que el ngulo est solo, para calcular la integral inmediata. Por ejemplo En esta frmula el ngulo es En cambio, en la integral el ngulo es , la variable est acompaada de la constante , por tanto no podemos utilizar directamente la frmula.Para que te resulte ms sencillo el procedimiento, te sugerimos que organices tu informacin en una tabla como la que te presentamos:

Hacemos el cambio de variable y eliminamos la variable anterior para que todo quede en funcin de la nueva variable Ahora resolvemos la nueva integral expresada en funcin de ; una vez calculada, regresamos a la variable original. Ejemplo 9Descarga el siguiente archivo para que revises ms ejemplos totalmente desarrollados y puedas analizar la forma en que se resuelven diferentes integrales usando los artificios ms comunes.Artificios matemticos.pdf

Puedes consultar la siguiente pgina: http://ed21.webcindario.com/id355.htm

Ahora ya sabes cmo resolver las integrales reducibles a inmediatas. Prctica los conocimientos adquiridos resolviendo los ejercicios que hemos preparado para ti. Recuerda, puedes revisar el tema cuantas veces quieras para que comprendas bien los procedimientos que se deben seguir en cada operacin. De ser necesario, consulta con tu asesor cualquier duda que tengas. Toma en cuenta que no existe un camino nico para llegar al resultado.Ejercicios integrales reducibles a inmediatas".doc

Recuerda que el dominio se logra con la prctica, por lo cual debers realizar varios ensayos. No te preocupes si no encuentras la solucin al primer intento pues, ya que ests aprendiendo, tendrs que probar diferentes alternativas. Como te habrs dado cuenta, no hay una regla para elegir el artificio adecuado para transformar la integral a una integral inmediata.Con esta idea en mente, realiza la siguiente autoevaluacin. Si tienes dudas enva a tu asesor un documento con el procedimiento que seguiste y tus dudas; seguramente l te dar algunas claves para continuar.

Actividad de autoevaluacin 2. Integrales reducibles a inmediatas

Actividad de autoevaluacin 2. Integrales reducibles a inmediatasEsta autoevaluacin consta de dos partes.En la primera, te presentamos algunas afirmaciones. Elige Verdadero o Falso para cada enunciado listado.En la segunda, te ofrecemos 10 integrales reducibles a inmediatas que debes resolver. Realiza el procedimiento necesario en tu cuaderno; recuerda, para resolverlas debes tener a la mano tu formulario. Una vez que tengas la respuesta correcta para cada inciso, elgela de las opciones que te presentamos.Esta actividad no tiene un puntaje en tu calificacin final, sin embargo es muy importante que la resuelvas pues slo as podrs verificar si te ha quedado claro el tema.Tienes 3 intentos para resolver la autoevaluacin.

Primera partePrincipio del formulario1.Una funcin puede tener muchas derivadas.

Verdadero

Falso

2.El proceso inverso a la derivacin es la integracin.

Verdadero

Falso

3.Una antiderivada es sinnimo de integracin.

Verdadero

Falso

4.El smbolo de la integral significa sustraccin.

Verdadero

Falso

5.En una integral indefinida se puede omitir a la constante de integracin.

Verdadero

Falso

6.En una integral inmediata solo se necesita el formulario de integrales para su solucin.

Verdadero

Falso

7.En una integral se puede tener a la variable w.

Verdadero

Falso

8.Las constantes desaparecen en el proceso de integracin, igual que en la diferenciacin.

Verdadero

Falso

9.En el proceso de integracin, se puede usar a la diferenciacin como un artificio.

Verdadero

Falso

Segunda parte10.

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Final del formulario

Ahora s, ests listo para resolver la siguiente actividad de aprendizaje donde debers practicar lo que has aprendido en este tema. Recuerda seguir los pasos que te hemos sugerido. Intntalo hasta que obtengas la respuesta correcta.

Actividad de aprendizaje 2. Integrales indefinidas

Actividad de aprendizaje 2. Integrales indefinidasEn esta actividad debers resolver las 8 integrales que te presentamos. Recuerda usar tu formulario y los conocimientos que tienes de lgebra, trigonometra y clculo diferencial.Para cada integral incluye todo el procedimiento que elaboraste y resalta el resultado final. Siempre que utilices el cambio de variable en la solucin de las integrales ser necesario que lo resaltes."Actividad de aprendizaje 2.doc"

Realiza tu actividad en un documento Word utilizando el editor de ecuaciones. Si te resulta muy laborioso usar el editor puedes elaborar tu actividad a mano, con letra clara y legible. Toma en cuenta que si escaneas tu actividad slo podrs enviar un archivo, el cual deber tener un peso menor de 1 Mb.Guarda tu archivo con el siguiente formato: apellidopaterno_apellido materno_nombre y nmero de la actividad y envalo.Esta actividad tiene un valor de 16 puntos en tu calificacin finalConclusionesComo has podido apreciar, las integrales tienen formas diferentes de resolucin y no hay reglas generales, por lo tanto podemos decir que la integracin es un procedimiento esencialmente de ensayos, sin embargo algunas integrales se pueden reducir mediante artificios a nuevas integrales, las cuales se pueden calcular simplemente aplicando las reglas bsicas de integracin.El cambio de variable, en especial, es un recurso muy til que nos permitir resolver diferentes tipos de integrales.Continua con tus temas!