Introducción al Calculo Integral Ccesa007

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Demetrio Ccesa Rayme Integrales indefinidas

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Demetrio Ccesa Rayme

Integrales indefinidas

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Esquema

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Primitiva de una función

La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I

si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.

Ejemplo: la función F(x) = x4

4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.

También la función G(x) = x4

4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en

cualquier intervalo de la recta real.

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Integral indefinida

Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-

tegral de f(x)»

Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = e

x + C, donde C es una cons-

tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = e

x + C

Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.

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Las primitivas se diferencian en una constante

Integrando Derivando

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Propiedades de la integral indefinida

I k f(x) dx = k f(x) dx con k R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida.

II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx

g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte-

grales indefinidas.

Propiedades de la integral indefinida

Propiedades de la derivada

I (kf )' (x) = k f '(x) con k R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función.

II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri-vadas de cada una de ellas.

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Integrales inmediatas

Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.

1.-

xa dx =

xa+1

a+1 + C, si a -1, a R

2.-

1

x dx = ln x + C

3.-

ex dx = ex + C

4.- ∫ax = ln

xa

a + C, si a>0, a 1

5.-

sen x dx = – cos x + C

6.-

cos x dx = sen x + C

7.- 2

1

1dx arcsen x C

x

8.- 2

1arctg

1dx x C

x

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

x r dx =

x r+1

r + 1 + C, para cualquier constante r – 1

f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1

r + 1 + C para r -1

1

2 2 cos 2x sen3 2x dx =

1

2 sen4 2x

4 =

1

8 sen4 2x + C

Tipo general

cos 2x sen3 2x dx =

Ejemplo:

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1

x dx = ln | x | + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

dxxf

xf

)(

)(' = ln |f(x)| + C

tg 3x dx = – 1

3 – 3 sen 3x

cos 3x dx = –

1

3 ln |cos 3x | + C

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

ax

dx = a

x

ln a + C, para cualquier a > 0

Para a = e se obtiene

ex

dx = ex + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0

x2 e

x3 dx =

1

3

3x2 e

x3 dx =

1

3 e

x3 + C

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

sen x dx = – cos x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

e3x

sen (e3x

+ 5) dx =1

3

3 e3x

sen (e3x

+ 5) dx = – 1

3 cos (e

3x + 5) + C

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

cos x dx = sen x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

e7x

cos (e7x

+ 5) dx =1

7

7 e7x

cos (e7x

+ 5) dx = 1

7 sen (e

7x + 5) + C

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

2

1arcsen( )

1dx x C

x

Tipo

general

Ejemplo:

g '(x)

1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C

e3x

1 – e6x

dx =

e3x

1 – (e3x

)2 dx =

1

3

3e3x

1 – (e3x

)2 dx =

1

3 arcsen e

3x + C

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Integrales inmediatas para funciones compuestas

1

1 + x2 dx = arctg x + C

2

f ( )arctg( )

1 f ( )

xdx x C

x

Tipo

general

1

1 + 2x2 dx =

Ejemplo:

1

1 + ( 2x)2 dx =

1

2

2

1 + ( 2x)2 dx =

1arctg 2x

2C

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Integración por partes

Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:

f(x)g'(x)

dx = f(x)g(x) –

g(x)f '(x)

dx

Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene

poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:

u dv = uv –

v du

Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.

2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para

g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda

que ∫ f g .

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Integración por partes: Ejemplos

= x2 e

x – 2[xe

x –

e

x dx ] = e

x (x

2 – 2x + 2) + C

x

2 e

x dx = x

2 e

x –

e

x 2x dx = x

2 e

x – 2

x e

x dx =

u = x2 du = 2x dx

dv = ex . dx v = ex

u = x du = dx

dv = ex . dx v = ex

u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx

dv = dx v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –

sen(ln x) . dx

Despejando la integral buscada queda:

u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx

dv = dx v = x

x . sen (ln x) –

cos (ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

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Integración por sustitución o cambio de variable

Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:

(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)

Por lo que la integral del elemento final es:

f[g(x)]g'(x)

dx = F[g(x)] + C

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.

Con esta sustitución se tiene

f(u) du = F(u) + C

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Integración por sustitución: Ejemplos I

1

x ln x dx

Cambio ln x = u dx / x = du

= dxLnx

x

/1 =

1

u du = ln | u | + C

deshacer el cambio

= ln | ln x | + C

Para calcular una integral por cambio de variable: • Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral

inmediata.

• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.

du = g'(x) dx • Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio

poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

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Integración por sustitución: Ejemplos II

deshacer el cambio

x3 x

4 + 2 dx =

Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4

4

duu

sen3 2x

. cos 2x dx =

1

2

t3 . dt =

Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2

= 1

8 sen

4 2x + C

1

2

t4

4 + C

deshacer el cambio

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Integración de funciones racionales

Pretendemos obtener

P(x)

Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n

Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.

P(x) Q(x)

C(x) R(x)

con grad[R(x)] < grad[Q(x)]

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)

Q(x) = C(x) +

R(x)

Q(x)

Por tanto:

P(x)

Q(x) dx =

C(x) .dx +

R(x)

Q(x) dx

En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al

Caso 2

Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)

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Descomposición en fracciones simples I

Pretendemos obtener

P(x)

Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n

• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.

• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: • Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). • Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2). • Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que

son necesariamente conjugadas). • El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.

Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:

Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)

2 . (x2 + bx + c) tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.

P(x)

Q(x) dx =

1

ao

P(x)

(x – x1) . (x – x2)

2 . (x

2 + bx + c)

dx =

Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)

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Descomposición en fracciones simples II

Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples

P(x)

(x – x1) . (x – x2)

2 . (x

2 + bx + c)

= A

x – x1

+B

(x – x2)2 +

C

x – x2

+ Mx + N

x2 + bx + c

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

Proceso de cálculo:

• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.

• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).

• Resolver el sistema.

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Descomposición en fracciones simples: ejemplo

Descomponer en fracciones simples: x

2 + x + 1

x5 – x

4 – x + 1

Paso 1. Factorización del polinomio denominador

Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)

Paso 2. Descomponer en fracciones simples

x2 + x + 1

x5 – x

4 – x + 1

= A

x + 1 +

B

(x – 1)2 +

C

x – 1 +

Mx + N

x2 + 1

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

x2 + x + 1= A(x–1)

2(x

2+1) + B(x+1)(x

2 +1) + C(x–1)(x+1)(x

2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)

2

x=1 B=3/4

x=–1 A=1/8

x=0 – C + N = 1/8

x=2 5C+2M+N = –13/8

x=–2 5C+6M–3N = 3/8

Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4

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Integrales racionales con denominador de grado 2

Estudio de la integral

Mx + N

ax2 + bx + c

dx Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac

Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.

En caso contrario: • Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. • Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.

Pasos para su obtención:

M 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras

dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).

Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.

Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente

Page 25: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Integración de funciones trigonométricas: fórmulas

Fórmulas trigonométricas fundamentales

sen2px + cos

2px = 1

Fórmula fundamental de la

trigonometría.

sen 2px = 2 sen px . cos px

cos 2px = cos2px – sen

2px

Seno y coseno del ángulo

doble.

cos2px =

1 + cos 2px

2

sen2px =

1 – cos 2px

2

Fórmulas de reducción de

grado.

sen a . cos b = 1

2 sen (a + b) +

1

2 sen (a – b)

cos a . cos b = 1

2 cos (a + b) +

1

2 cos (a – b)

sen a . sen b = – 1

2 cos (a + b) +

1

2 cos (a – b)

Fórmulas de conversión de

productos de senos y

cosenos en suma.

sen (– px) = – sen px

cos (– px) = cos px

Seno y coseno del ángulo

opuesto.

1 + tg2 px = sec

2 px;

1 + ctg2 px = csc

2 px

Page 26: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Integración de funciones trigonométricas: métodos

Forma Condiciones Método

n par Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. (I)

sen

n px dx

cos

n px dx

n impar

Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.

m y n pares

Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.

(II)

sen

n px . cos

n px dx

m ó n impares

De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.

Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:

sen

n px . cos

n px dx =

12

n

sen

n 2px dx

que es del tipo (I).

Page 27: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Forma Condiciones Método

(III)

sen px.cos qx.dx

sen px.sen qx.dx

cos px.cos qx..dx

p y q números reales cuales-

quiera

Convertir los productos en sumas mediante la

relaciones 4 según convenga.

Integración de funciones trigonométricas: métodos II

Page 28: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I

=

sen3x.dx +

cos43x sen 3x.dx –2

cos23x sen 3x.dx =

= – 1

3 cos 3x -

2

9 cos

3 3x +

1

15 cos

5 3x+C

Tipo I. Exponente impar

= 1

4 x +

1

4

1 + cos4x

3

2 dx –

3

4 sen

2x

3 =

3x

8 –

3

4 sen

2x

3 +

3

32 sen

4x

3 + C

Tipo I. Exponente par

sen5 3x.dx =

(sen23x)2 sen 3x.dx =

(1–cos23x)2 sen 3x.dx =

sen4 x

3 dx = 1

4

1 + cos2 2x

3 – 2 cos

2x

3 dx =

sen2 x

3

2

dx =

1 – cos

2x

3

2

2

dx =

= 1

4

1.dx +

1

4

cos2 2x

3dx – 2

1

4

cos

2x

3 dx =

Page 29: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II

Tipo II. Al menos un exponente impar

cos

4 5x.sen

3 5xdx =

cos

4 5x . sen

25x .sen 5x . dx =

cos

4 5x . (1 – cos

25x).sen 5x.dx =

=

cos

45x.sen 5x.dx –

cos

65x.sen 5x.dx =

= – 1

25 cos

5 5x +

1

35 cos

7 5x + C

= 1

8

1 – cos 12x

2 dx –

1

48 sen

36x

3 =

= 1

8

sen

26x dx –

1

8

sen

26x .cos 6x.dx =

= x

16 –

1

144 sen

3 6x –

1

192 sen 12x + C

Tipo II. Todos los exponentes pares

sen

43x .cos

2 3x.dx =

(sen

23x)

2 .cos

2 3x.dx =

1 – cos 6x

2

2

1 + cos 6x

2 dx =

= 1

8

(1 – cos 6x)(1 – cos

26x) dx =

( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)

( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)

sen2 6x

Page 30: Introducción al  Calculo Integral   Ccesa007

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III

Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento

sen 3x.cos 5x.dx =

1

2

sen 8x .dx +

1

2

sen( – 2x) .dx =

= – 1

16 cos 8x +

1

4 cos( – 2x) + C == –

1

16 cos 8x +

1

4 cos 2x + C

Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas

en productos

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Cálculo de áreas

• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.

• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)

. (b – a)

Área (Trapecio curvilíneo)

f(a) + f(b)

. (b – a)

Error