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Ejercicio N° 47

El volumen de un cilindro circular recto está dado por la formula 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ ,

donde 𝑟 es el radio y ℎ la altura.

a) Encuentre una fórmula para la razón de cambio instantánea de 𝑉 respecto

a 𝑟 si 𝑟 cambia y ℎ permanece constante.

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑉, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟.

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟ℎ

Respuesta: la razón de cambio instantánea es 2𝜋𝑟ℎ

b) Encuentre una fórmula para la razón de cambio instantánea de 𝑉 respecto

a ℎ si ℎ cambia y 𝑟 permanece constante.

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑉, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ℎ.

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑟2

Respuesta: la razón de cambio instantánea es 𝜋𝑟2

c) Suponga que ℎ tiene un valor constante de 4 pulgadas, pero 𝑟 varia.

Encuentre la razón de cambio de 𝑉 respecto a 𝑟 en el punto donde 𝑟 = 6

pulgadas.

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎) ,

𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠.

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟ℎ

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2 × 𝜋 × 4 × 6

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 48𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔.2

Respuesta: la razón de cambio instantánea en el punto (6;4) es 48𝜋𝑝𝑢𝑙𝑔.2

d) Suponga que 𝑟 tiene un valor constante de 8 pulgadas, pero ℎ varia.

Encuentre la razón de cambio de 𝑉 respecto a ℎ en el punto donde ℎ = 10

pulgadas.

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎) ,

𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠.

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑟2

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋 × 82

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 64𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔.2

Respuesta: la razón de cambio instantánea en el punto (8;10) es

64𝜋𝑝𝑢𝑙𝑔.2