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$: CALCULO - caminos.udc.escaminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/102/pdf/Examenes/Exame… · CALCULO Examen Final Primer Parcial. Segunda Parte (45 min.) Curso 2011{2012 1.{ Expresar$
CALCULO Examen Final

Primer Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Enunciar el Teorema Fundamental del Algebra

2ndash Calcular los tres primeros terminos no nulos de la aproximacion polinomica de Tayloren un entorno del punto a = 0 de la funcion f(x) =tg(x)

3ndash Dada la funcion f(x) = e

(|x|

x2 minus x

)a) Determinar su dominio

b) Estudiar su continuidad indicando en su caso el tipo de discontinuidad

c) Estudiar la derivabilidad y calcular la funcion derivada

1 iexcl[J()~ amp Cx) rO) o

I (X __A_ ffCD) - d ~1X

1ft JI (b) c=- uacuteex ) ~

Ue) iexcl( ) Jiacute) iexclIt)) Xli Jlr (D) JL~ e l Jf X Ciexcl lIL()) iexcl )( t D + D X -1- I -2 c rOI _ T ~~ bull~ -iexcl (

JIL )()+ _ -t

3 I x

e x _)(

~) Vx G W 1DI ir ~(h( tCA (LfTl ~ ~uacute~ tk laquoltshy(iquestnl-bnUN)

)C --- )1e~ ~ iexclLt

xgt gtlt AJex) ~ - )( ALx - shy)1-1e tt-l X iquest o

--

- -

[1 (J iexclu~~ x ~c

e x - -ttMi iexcl ex ) - t rrr X~D f- )(~ () t- o amp- SA-f TO FfJ) 1 1

A

ltM iexclex) L _ x o

)lt-10 shy

ti~ c -shy

L ~ ~~m e x -

- e1W e = e bo O 1~c )1 o EiJ 1 AlU f= X~ A ~ )(~ ~ r

~~ )

)lt - j -L - e - ~

- o )( ~f -shy

e) ~ X ~ D r) x 1 g tlw ~ C~c-~ iexclun -k~ iexclhP0r 1

a jk

shy~ (j A iexclUiA A r~L~ ~ ~ iexclun~ tm~clt~ Je~~

tk middot~~ middot ~ -~)

euro- te X 0 I Xli[)( I )~iexclex]

~ x-Ie iexclt f lto Cx-) Z


Primer Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Expresar como union de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos xque verifican

x2 + 1

x2 minus 1gt 0 x = minus1 1

2ndash Calcular los siguientes lımites

a) limnrarrinfin

(radicn+ 1

n

) 1radic(n+1)minusn

b) limnrarrinfin

(1 + tg2

(1

n

)) 1

sen2( 1n )

3ndash Se define el conjunto

A = x isin IR4minusx lt 1 cup1

n n isin IN

Se pide

a) Dibujar el conjunto A

b) DeterminarA A Aprime partA Ais(A)

i )(l-t1 ~o gtlt=11-1 ~ (- to -1) u(di 00)

X~-i

B 8 I cplusmnJ )( L+ i

(plusmn) lt=) I e gtlt 1_ iI

-1 1shyI

(f)GJ I 8 1bl14L I

~ ~

0) o~ -n(ffI) VA+1 -- 1shyh-r1 ~

1shy10

4 PV(i t~ Y~l ~t(~)b)

Ph- ( d + f -(-f))~L(U) =o e

~

-shyY 1) Oc ly-oq

o j ~oe-T

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)

iacutek~ ~ cf 1Yft = lo~


Segundo Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Sea la funcion z = z(t) = f(x y) = exy2 con x = x(t) = t cos t y = y(t) = t sin t

Calcular el valor de dzdt

en el punto t = π2 NOTA El problema se resolvera sin

sustituir x e y en funcion de t Se aplicara la derivacion de funciones compuestas

2ndash Indica el error en el desarrollo siguiente justificando la respuesta

int 1

minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2

3ndash Un satelite esta bajo el efecto del campo magnetico terrestre que suponemos que sepuede escribir como M(x y z) = ex+2y+3z El satelite siempre se encuentra sobreel elipsoide de ecuacion 6x2 + 8y2 + 9z2 = 60 Utilizando la funcion Lagrangianadeterminar los puntos donde el satelite estara sometido al valor maximo y mınimo desu campo magnetico NOTA Considerar que los valores maximo y mınimo buscadosson los que verifican la condicion de extremo relativo condicionado

= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t

01 2- _ ~ d y( + U oh _ 2 )1- - 61 x df ~Q oriexcl-

+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)

V fau ~rc ~ lttf it [k

g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1

J r JDlt) = ~ ~u - [-Q 4J I fA Ji r- L()U) ~ X =O E

1Zeiexclamp ol ~~~ me R-9 af~ cJ~

A~ F (~) - ~_ (111) ~ cfJl~ ~)~ euro [- 2 ( J 5 t iexcl rx) r ~W~ )(

fl () [ Il F uuml ) -6 hgtL qM M1 c~ iexclyWJ bull

lM1 I4-Ptt ~ C 1 ) I f

V L tenJw k e~ M ct-t f-lt- uf r= t1-t~ L ~ ~fCtr ~ ~ C4ltgt

X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l

6X -=- liexcl)-V ~ raquol- ) l( 3) -tshy

- [~B [i Z )(7

o ~ L8ne4middot4 middot r X 2 + 8 J 2 -1 q t t =- o b x 2 8 t x 2 middott ltJi y 2 60

( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i

LJ 1gt bull bull Q(lJ_ Cw-n ~ o f) A jf~ T 7iexclq tA ~ I Cl e (l1t (haaA Vfiquest e-otlt41c)


Segundo Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Sea R la region encerrada entre las graficas de ecuaciones y = eminusx y = 12 y x = 0

Calcular el volumen del solido que se obtiene cuando la region R gira entorno al ejeOY

2ndash Estudiar la convergencia de las siguientes series

a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0

F~ PARctlL iquest ~ A4Rlt I J -x ~

-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~

v Jdv f 11 middot p~ J ~ ~JT [d pj - Jt ~ p~Ji cljJ= Y2 l

PARlES

Ll e a J -T) ~ lt P-J - ltd j

~v - cl~ -o v d

=1T bmiddotP - Jd~~ d~gtl~TTamp p~ j - [ ~ PLJ - f ~ i iquest~]=

~- ~)

lt) fA euro- (o -i) --) o -o p~ do Y

~1 -o e ~

b)

ogti 4 t- U2~ 1 ( NJ ) lt ~ ---L O gt~ ~- S hO ) o~L

0 ho

Pvr 00 ~h

~ -oCsect)() ~d

5 o- ~ i ~copy

1 iexcl[J()~ amp Cx) rO) o

I (X __A_ ffCD) - d ~1X

1ft JI (b) c=- uacuteex ) ~

Ue) iexcl( ) Jiacute) iexclIt)) Xli Jlr (D) JL~ e l Jf X Ciexcl lIL()) iexcl )( t D + D X -1- I -2 c rOI _ T ~~ bull~ -iexcl (

JIL )()+ _ -t

3 I x

e x _)(

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)C --- )1e~ ~ iexclLt

xgt gtlt AJex) ~ - )( ALx - shy)1-1e tt-l X iquest o

--

- -

[1 (J iexclu~~ x ~c


A


)lt-10 shy

ti~ c -shy

L ~ ~~m e x -


~~ )

)lt - j -L - e - ~

- o )( ~f -shy


a jk








x2 + 1



a) limnrarrinfin

(radicn+ 1

n

) 1radic(n+1)minusn

b) limnrarrinfin

(1 + tg2

(1

n

)) 1

sen2( 1n )



n n isin IN

Se pide



i )(l-t1 ~o gtlt=11-1 ~ (- to -1) u(di 00)

X~-i



-1 1shyI

(f)GJ I 8 1bl14L I

~ ~

0) o~ -n(ffI) VA+1 -- 1shyh-r1 ~

1shy10

4 PV(i t~ Y~l ~t(~)b)

Ph- ( d + f -(-f))~L(U) =o e

~

-shyY 1) Oc ly-oq

o j ~oe-T

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)









int 1

minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


~v - cl~ -o v d


~- ~)


~1 -o e ~

b)


0 ho

Pvr 00 ~h

~ -oCsect)() ~d

5 o- ~ i ~copy

--

- -

[1 (J iexclu~~ x ~c


A


)lt-10 shy

ti~ c -shy

L ~ ~~m e x -


~~ )

)lt - j -L - e - ~

- o )( ~f -shy


a jk








x2 + 1



a) limnrarrinfin

(radicn+ 1

n

) 1radic(n+1)minusn

b) limnrarrinfin

(1 + tg2

(1

n

)) 1

sen2( 1n )



n n isin IN

Se pide



i )(l-t1 ~o gtlt=11-1 ~ (- to -1) u(di 00)

X~-i



-1 1shyI

(f)GJ I 8 1bl14L I

~ ~

0) o~ -n(ffI) VA+1 -- 1shyh-r1 ~

1shy10

4 PV(i t~ Y~l ~t(~)b)

Ph- ( d + f -(-f))~L(U) =o e

~

-shyY 1) Oc ly-oq

o j ~oe-T

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)









int 1

minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


~v - cl~ -o v d


~- ~)


~1 -o e ~

b)


0 ho

Pvr 00 ~h

~ -oCsect)() ~d

5 o- ~ i ~copy




x2 + 1



a) limnrarrinfin

(radicn+ 1

n

) 1radic(n+1)minusn

b) limnrarrinfin

(1 + tg2

(1

n

)) 1

sen2( 1n )



n n isin IN

Se pide



i )(l-t1 ~o gtlt=11-1 ~ (- to -1) u(di 00)

X~-i



-1 1shyI

(f)GJ I 8 1bl14L I

~ ~

0) o~ -n(ffI) VA+1 -- 1shyh-r1 ~

1shy10

4 PV(i t~ Y~l ~t(~)b)

Ph- ( d + f -(-f))~L(U) =o e

~

-shyY 1) Oc ly-oq

o j ~oe-T

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)









int 1

minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


~v - cl~ -o v d


~- ~)


~1 -o e ~

b)


0 ho

Pvr 00 ~h

~ -oCsect)() ~d

5 o- ~ i ~copy

i )(l-t1 ~o gtlt=11-1 ~ (- to -1) u(di 00)

X~-i



-1 1shyI

(f)GJ I 8 1bl14L I

~ ~

0) o~ -n(ffI) VA+1 -- 1shyh-r1 ~

1shy10

4 PV(i t~ Y~l ~t(~)b)

Ph- ( d + f -(-f))~L(U) =o e

~

-shyY 1) Oc ly-oq

o j ~oe-T

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)









int 1

minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


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x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


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~1 -o e ~

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0 ho

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5 o- ~ i ~copy

3

h) oA (000)

A [000)

A [o ~)









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minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

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b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

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---t-----~~

~


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~1 -o e ~

b)


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minus2

1

x2dx =

[minus1

x

]1minus2

= minus1minus 1

2= minus3

2


= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


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x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


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= I( x 111) e X)L X ~ r-~f

~ -= l ~ t


+ lt X ~ e_)L ~ 1 eIeI1 t- -f- t ~ J

- --n 3 shy(tJ- ~) + [)


g J i1famp (1lt) ) = F ( ~ ) ~

JCX) 6ew ~ (k ~~~ ~ [~fJ-1







X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

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x =- Pr ~

---t-----~~

~


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~- ~)


~1 -o e ~

b)


0 ho

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X-l-l ~ +3 i - 12 )gt(

-1 -2) X - g)J 6 ~-l


- [~B [i Z )(7


( ~ -t 1~ +36) Y 2 eo

yl 1 -gt x - i







a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


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~1 -o e ~

b)


0 ho

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5 o- ~ i ~copy






a)

infinsumn=1

(a+

1

n

)n

a gt 0

b)infinsumn=1

(1 + sen2(na)

na

) a isin IR

shy ~= e el

j= ~ )(0


-~ 1 e

1gt 1 =- -)(

x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


~v - cl~ -o v d


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~1 -o e ~

b)


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shy ~= e el

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-~ 1 e

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x =- Pr ~

---t-----~~

~


PARlES


~v - cl~ -o v d


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~1 -o e ~

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~1 -o e ~

b)


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