Bien Temperado, según definición de...

Bien Temperado, según definición de Werckmeister

Edición mejorada y complementada.

Desde Werckmeister, pasando por Bach, Kirnberger y Vallotti, hasta Temperado Igual

Inspirado por Kelletat.

Broekaert Johan M.

Electronic Engineering, Catholic University of Leuven (KUL), Leuven, Belgium

Nieuwelei, 52

B 2640 Mortsel

Belgium

00 - 32 - (0)3 - 455.09.85

https://expernova.academia.edu/JohanBroekaert

http://users.telenet.be/broekaert-devriendt/Index.html

http://home.deds.nl/~broekaert/Index.html

Bien Temperado, según definición de Werckmeister

Edición mejorada y complementada.

Desde Werckmeister, pasando por Bach, Kirnberger y Vallotti, hasta Temperado Igual

Inspirado por Kelletat.

Resumen: Basado en una definición de "Bien Temperado", compilada por

Kelletat H., pero derivada de Werckmeister A., se elaboraron una serie de pasos

lógicos matemáticos para obtener "temperamentos" modelo, matemáticamente

óptimos y bien temperados. Esto conduce a una clasificación matemática objetiva

de los temperamentos históricos. Los temperamentos históricos que mejor se

acercan al modelo matemáticamente óptimo bien temperado son los mismos que

los que a menudo se establecen en los órganos con la mayor apreciación y

prominencia musical registrada. La apreciación matemática elaborada y la

apreciación musical de los temperamentos históricos son, por lo tanto, muy

similares. Cualitativamente, los temperamentos bien temperados se encuentran

totalmente entre el óptimo trabajado y el temperamento igual. Están muy cerca de

estos límites, y la lista está llena de pequeños incrementos. En consecuencia, no

tiene sentido desarrollar nuevos temperamentos bien temperados.

Los módulos matemáticos desarrollados también se pueden usar para la

identificación precisa de temperamentos históricos establecidos.

Palabras clave : temperament; extended; just; intonation; musical; Pythagorean;

natural harmonic; equal temperament; well temperament; optimal; model;

objective; root mean square; RMS; interval; pure; third; fifth; diatonic; tune;

wohltemperiert; Werckmeister

Indicación:

Este texto fue traducido del holandés principalmente con "Google Translate", en

combinación con la revisión de la terminología sobre relevante páginas Wiki y una

revisión del autor, que solo tiene conocimientos básicos limitados de castellano.

Con disculpas por los errores de idioma restantes.

1 Temperamentos musicales

1.1 Problemática

Hay diferentes culturas musicales, y diferentes escuelas musicales han existido desde la

antigüedad: había, por ejemplo, la escuela canónica de Pitágoras y el armónico de

Aristóxeno. A lo largo de los siglos hasta hoy, los requisitos musicales han llevado a

más de cien [1] temperamentos musicales históricos. Barbour publicó una descripción

extendido (1951 [2]).Todavía recientemente, se desarrollaron nuevos temperamentos:

Kelletat (1966 [3, 4, 5

]), Vogel (1975 y 1985 [6]), Michelin (1976 [

6]), Kellner (1976 [

7]),

Barnes (1979 [6]), Billeter (1979 [

4]), Asselin (1985 [

6]), Lehman (2005 [

8]), ...

Lindley [9] se refiere a 21 temperamentos recientes, del que se dice que son

temperamentos de Bach. Esta evolución muestra que no hay un temperamento

universalmente aceptado: la elección de un temperamento pertenece a la libertad

artística de un músico. Una apreciación o clasificación objetiva y racional de los

temperamentos musicales probablemente no exista, pero los temperamentos se pueden

clasificar en varias familias. Un grupo especial de temperamentos incluye los

temperamentos Bien Temperados (WT: Well Temperament). Sus propiedades se

exploran más en este texto.

1.2 Temperamentos Bien Temperados (WT)

“Wohltemperiert“es alemán para “Bien Temperado”.

El término "Wohltemperiert" o una composición de

términos similares fue utilizado por primera vez por

Werckmeister A., en un subtítulo de “Orgelprobe”,

1681 (ver facsímil abajo, de [10

], pág. 18):

“Unterricht, Wie durch Anweiß und Hülffe des Monochordi ein Clavier wohl zu

temperiren und zu stimmen sei, damit man nach heutiger Manier alle modos fictos in

einer erträglichen und angehmen harmoni vernehme.“

Uso adicional en “Musicae Hodegus

Curiosus”, 1686 [11

], capitulo 40 pag.

118 (incorrectamente marcado como 108), en la 2da linea, como “wol temperiret”

y en pag. 120, 16-la regla, como “wohl

temperirtes”.

Incluso más adelante también en

“Musicalische Temperatur”, 1689 [12

], como

“wol temperirt” en el título,

y como “wohl temperiret”, en el capítulo

22, pag. 61, 7-la regla.

También en una versión

complementada y mejorada de

Orgelprobe, 1698 [13

],fue utilizado

“Wohltemperiert”, en la pag. 7, pero todavía no está escrito asi.

Todas las publicaciones mencionadas anteriormente están en el origen del término

musical “Wohltemperiert”, e imponen requisitos musicales convincentes sobre las

características de estos temperamentos, complementado con una serie de propuestas que

ahora se llaman temperamentos Werckmeister, como:

Werckmeister I (valores en cent / Kelletat) [3], recalculado a 1 / 10 cent

fracciones indican la desviación en coma del quinto en la nota

C C� D E� E F F� G G� A B� B -1/3 0 -1/3 +1/3 -1/3 -1/3 0 0 +1/3 0 -1/3 0

0.0 82.4 196.1 294.1 392.2 498.0 588.3 694.1 784.4 890.2 1003.9 1086.3

Orgelprobe 1681 [13

]

Musicalische Temperatur 1691 [12

]: pag. 78, marcado con “Die andere N.4.”

Sin embargo, este temperamento no cumple todos los requisitos, debido a las grandes

terceras duras (= más grandes que una tercera pitagórica) en D, C�, F�. Esto llevó a la

crítica de varios contemporáneos, y la publicación posterior de Werckmeister II en III.

Werckmeister II

C C� D E� E F F� G G� A B� B -1/4 0 -1/4 0 0 0 0 -1/4 0 0 0 -1/4

0.0 90.2 192.2 294.1 390.2 498.0 588.3 696.1 792.2 888.3 996.1 1092.2


]: pag. 78, marcado con “Die erste Art Num. 3.“

Werckmeister III

C C� D E� E F F� G G� A B� B 0 -1/4 -1/4 0 0 -1/4 -1/4 0 +1/4 -1/4 0 0

0.0 96.1 203.9 300.0 396.1 503.9 600.0 702.0 792.2 900.0 1002.0 1098.0


]: pag. 79, marcado con “Die dritte Manier“.

Los requisitos establecidos por Werckmeister en ese momento todavía son ampliamente

aceptados hoy (ver [10

], pag. 25, 26): …“ La redacción utilizada es la misma que la

utilizada por Werckmeister, en el título de su Musicalische Temperatur (1691), lo que

significa que se puede modular alrededor del círculo de quintas: ….”.

Es muy posible que Werckmeister solamente usara las palabras "wol" y "temperirt" para

indicar brevemente la gran cantidad de características que deben cumplirse, sin darse

cuenta de que creó un nuevo término musical importante.

De todos modos, la palabra deletreada "Wohltemperiert" más tarde se convirtió en una

palabra muy común. Hasta ahora no era (¿todavía?) posible recuperar fuentes escritas

anteriores de "Wohltemperiert". Este

término probablemente también se hacía

popular porque, entre otras cosas, su uso

en el título de "Das Wohltemperirte

Clavier" (1722) de J. S. Bach.

Es muy posible que J. S. Bach no haya prestado demasiada atención a la caraterística

bien temperado, o tampoco al temperamento establecido en un teclado en general, pero

esto no excluye que haya usado un modo específico de sintonizar por sí mismo; ver [3]

capitulo “Mittelton”. Hasta hoy, no se ha sabido con certeza cuál habría sido su modo

de sintonizar.

Sobre la base de las publicaciones de Werckmeister, no es inmediatamente

posible trabajar en una optimización o una caracterización matemática más estricta de la

sintonización bien temperada.. Las publicaciones de Werckmeister son demasiado

amplias para poder desarrollar algoritmos fácilmente. Seguro que sus publicaciones han

llevado a la definición de sintonización bien temperada, elaborado por el Prof. H.

Kelletat, después de un exhaustivo análisis de temperamentos e investigaciones. El

capítulo completo Wohltemperiert, ver [3], muestra claramente esto. La definición de

Kelletat, conciso y claro, hace posible desarrollar algoritmos basados en ella.

La explicación adicional en este texto se basa completamente en esta definición, y por

lo tanto también en Werckmeister, aunque esto solamente es indirectamente el caso.

La definición es la siguiente (ver [3] página 9):

“La sintonización Bien Temperada presupone una división matemático-acústica

y práctica-musical de los sonidos de una octava en doce partes, para que sobre la base

de la escala diatónica natural sea posible una ejecución impecable en todas las

tonalidades, por lo que el objetivo debe ser lograr la mayor pureza posible de los

intervalos diatónicos.

Este temperamento se produce como una relajación y extensión proporcional

moderadamente templada del temperamento meso-tónico, como semitonos desiguales

y como temperamento igual.”

2 Elaboración matemática de “Bien Temperado”

Se requieren posibilidades para los cálculos de purezas de intervalos, en combinación

con la definición anterior, para poder examinar objetivamente qué temperamentos

cumplen mejor con esta definición.. Por lo tanto, hay una necesidad de una definición

matemática de la pureza de un intervalo.

2.1 Determinación de purezas

Si dos sonidos con frecuencias f1 y f2 se observan simultáneamente, de los cuales la

relación de sus frecuencias está cerca de una relación de p2 / p1, y donde p1 y p2 son

enteros, entonces existe la posibilidad de un batimiento audible entre estos dos sonidos.

Uno tiene un intervalo con pureza perfecta si no se observa un batimiento; en el caso de

batimientos, uno tiene un intervalo impuro. El batimiento más notable es el batimiento

entre el armónico de f1, con la frecuencia p2 × f1, y el de f2 con la frecuencia p1 × f2. La

frecuencia de este batimiento es por lo tanto:

Frecuencia del batimiento Beat = (p1 × f2 - p2 × f1)

con - p2 / p1 = la relación del intervalo con pureza perfecta;

p1 y p2 son enteros, y 1 ≤ p2 / p1 ≤ 2

y - f2 / f1 = la relación de las frecuencias de los dos tonos del intervalo.

Este "Beat" se puede usar como una definición de la impureza de un intervalo. Esta

es una medida audible y absoluta de la impureza. También se puede deducir de estos

tamaños relativos de una impureza, como:

Impureza en cents: Cents = 1200.log(f2 / f1 × p1/p2) / log2

o La coma pitagórica ”coma” = 312

/ 219

(ver [14

])

o Porcentaje de batimientos (PBP: Percent Beat Pitch)

PBP = 100.(p1 × f2 / f1 - p2)

La elección de la definición de impureza con la que se permite el trabajo puede

depender del análisis que uno desee hacer. Todas las posibilidades enumeradas

anteriormente ya fueron utilizadas en investigaciones. A continuación se calculará en

este texto con PBP; esta cantidad está muy cerca de la técnica de sintonización de un

instrumento, que se basa en la observación de batimientos.

Los cálculos también se harán con el cuadrado del PBP. Hall Donald tambien[15

] ya ha

contado con cuadrados de impureza, para determinar el valor medio cuadrado (RMS

[16

]) de impurezas. El uso de cuadrados de impurezas tiene dos ventajas:

• Musicalmente: una gran impureza musical

pesa más en la audiencia que una pequeña.

Por lo tanto, las impurezas musicales

mayores también serán más aritméticas, si

uno cuenta con el cuadrado de una impureza

(ver fig. 1). El cuadrado de una impureza se

corresponde mejor en los cálculos con la percepción musical de la magnitud de una

impureza.

• Aritmética: A igual impureza total de dos grupos de intervalos, -entonces, grupos

con la misma media aritmética-, el grupo que tiene las mayores desviaciones en

relación con esta media aritmética -entonces, el grupo menos bueno-, tendrá también

el mayor RMS.

2.2 La Escala Diatónica Natural

Kelletat: “…sobre la base de la escala diatónica natural …”

La Tabla 1 muestra las relaciones de tono para el sistema armónico natural. Las notas

con un tercera mayor justa dentro de la escala C-mayor diatónica se marcan con TM

(= 5 / 4), estos con un tercera menor justa están marcados con tm (= 6 / 5), y aquellos

con un quinta justa están marcados con Q (= 3 / 2).

También hay algunos valores alternativos: F� = 25 / 18, G� = 64 / 45, B� = 16 / 9.

Figura 1

just

a

TM

, Q

tm,

Q

TM

, Q

TM

, Q

tm,

Q

tm

TM

, Q

pro

po

rció

n

1,0

000

1,0

417

1,0

667

1,1

250

1,1

719

1,2

000

1,2

500

1,3

021

1,3

333

1,4

063

1,4

222

1,5

000

1,5

625

1,6

000

1,6

667

1,7

578

1,7

778

1,8

750

1,9

531

2,0

000

frac

ció

n

1

25

/24

16

/15

9/8

75

/64

6/5

5/4

12

5/9

6

4/3

45

/32

36

/25

3/2

25

/16

8/5

5/3

22

5/1

28

9/5

15

/8

12

5/6

4

2/1

Tabla 1: Sistema Armónico Natural: fracciones; intervalos puros en C-mayor

Solo dentro de C-mayor ya, este sistema tiene algunas carencias: el quinto D-A y el

tercero menor D-F no están justas, y la relación B-F requiere que al menos algunos de

los quintos en B, F�, C�, G�, E� en B� deben ser más grandes que un quinta justa, lo

que conduce a terceras mayores más grandes que la tercera pitagórica. Por lo tanto, esta

estructura debe ajustarse.

Este sistema tiene una estructura muy apretada: vea la figura 2, con una flecha para cada

intervalo justo -entonces, un valor fijo-; triángulos con un valor fijo por lado no se

pueden deformar. C-mayor no contiene flechas para los quintos B-F y D-A, y tampoco

por el tercero D-F : estos intervalos, por lo tanto, no están puros.

Fig. 2 : Sistema Armónico Natural : intervalos puros

C

C

� D

� D

D

� E

� E

E

� F

F

� G

� G

G

� A

� A

A

� B

� B

B

� C

La mayoría de las otras tonalidadas tienen una estructura diferente de C-mayor, con otro

afecto musical, carácter: ver por ejemplo la figura de D-mayor.

2.2.1 Optimización hasta Bien Temperado, de la Diatónica Natural en C-mayor

Kelletat: …”sobre la base de la escala diatónica natural”…

El C-mayor diatónico está optimizado hasta varios "temperamentos" modelo, al

optimizar todos los intervalos diatónicos importantes: las terceras mayores en F, C, G;

las terceras menores en D, A, E, B; y las quintas en F, C, G, D, A, E. La quinta en B

no se evalúa, porque lleva a F�, y esta no es una nota diatónica en C-mayor. Las

relaciones de tono se deben ajustar para minimizar la impureza generala de estos

intervalos.

La optimización de la diatónica en C-mayor para "temperamentos" modelo se

obtiene al calcular el mínimo del promedio cuadrático (la valor de RMS-PBP, según la

fórmula a bajo) de la impureza en los trece intervalos pertinentes. La determinación

de los mínimos se realiza numéricamente mediante iteraciones en una hoja de cálculo

(spreadsheet).

Las terceras mayores no insertados -estas en C�, D, E�, E, F�, A�, A, B�, B- se

controlan durante las iteraciones para evitar un valor mayor que 81 / 64 -la tercera

pitagórica-.

2.2.2 Cálculo de un modelo con un RMS mínimo

2.2.2.1 Modelo con RMS mínimo,

con terceras mayores que pueden ser como máxima pitagóricas

El resultado de la iteración se muestra en la tabla 2. Este modelo es muy similar a

Kirnberger III ungleich (ver tabla 11). Damos a este modelo el nombre "PBP".

C C� D E� E F F� G G� A B� B

PBP 263,8 278,0 294,9 312,8 329,6 351,9 370,7 395,2 417,0 440,0 469,1 494,2

Tabla 2 : Frecuencias para el "temperamento" modelo, con, como máximo, terceras pitagóricos

Este modelo tiene seis quintas justas: estas en B, F�, C�, G�, E�, B�. Esta característica

específica también se conservará en futuros desarrollos de modelos.

El modelo obtenido, parece tener terceras menoras con una pureza mejor que

la de algunas quintas (ver más fig. 3). Debido a que el oído es más sensible a la

impureza en quintas, se puede considerar una mejora adicional, donde la pureza de los

terceras menoras no exceda la de la quinta más impura.


con limitación en la pureza de terceras menoras

Resultados en la in tabla 3. Este modelo es muy similar a Kirnberger III (ver tabla 11).

Damos a este modelo el nombre “PBP-min.th” (min.th significa minor thirds).


PBP-min.th 263,4 277,7 294,6 312,5 329,4 351,5 370,3 394,5 416,6 440,0 468,7 493,8

Tabla 3 : Frecuencias para el "temperamento" modelo con terceras menoras limitadas

Con el modelo obtenido se puede establecer que hay terceras mayores con una pureza

mejor que la de algunas quintas (ver más fig. 3). Por la misma razón que para las

terceras menores, se puede considerar una mejora adicional en un siguiente paso, en el

cual la pureza de las terceras mayores no exceda la de la quinta más impura.


con limitación en la pureza de terceras mayoras

Resultados en la in tabla 4. Este modelo es muy similar a Vallotti-Tartini (ver tabla 11).

Damos a este modelo el nombre “PBP-maj.th” (maj.th significa major thirds)


PBP-maj.th 262,8 277,3 294,1 311,9 329,1 350,9 369,7 393,1 415,9 440,0 467,9 492,9

Tabel 4 : Frecuencias para el "temperamento" modelo con terceras mayoras limitadas

La impureza de las quintas en C, G, D y A no disminuye fuertemente, y además las

terceras mayores en F, C, G, han perdido en calidad (ver más Fig. 3). Una mejora

adicional de quintas es posible reduciendo el peso de terceras dentro del cálculo de

RMS. Sin embargo, esto conduce solemente a una mejora muy limitada de quintas. De

alguna manera, las terceras siguen siendo muy pesadas. Un peso "cero" es la reducción

más posible del peso de las terceras. En otras palabras: una mejora adicional de quintas

requiere la eliminación de terceras en el cálculo del RMS.


sin optimización de (-contar con-) terceras

Resultados en la tabla 5. Este modelo es idéntico con Vallotti-Tartini [17

] (ver tabla 11).


Valotti 262.5 277.2 294.0 311,8 329,3 350,8 369,6 392,9 415,8 440.0 467,7 492,8

Tabel 5 : Frecuencias para modelo -“Vallotti-Tartini” 1728

La mejora de las quintas es fuertemente a expensas de la tercera mayor en C. Este

temperamento tiene como característica notable que hay seis quintas que tienen un

batimiento proporcionalmente igual, en F, C, G, D, A, en E; las otras seis quintas están

justas (ver fig. 3).

Si uno hace que las seis quintas con batimiento proporcionalmente igual sean

absolutamente iguales (= igual frecuencia de batimiento), en lugar de ser

proporcionalmente igual, se obtiene como una variante:


pitch 262.7 277.3 294.1 312.0 329.4 351.0 369.8 392.9 416.0 440.0 468.0 493.0

Tabel 6 ; “Equally Beating” “Vallotti-Tartini”

Las quintas tienen batimientos con frecuencia exactamente calculada [18

]:

Frecuencia de los batimientos = -2,267209627… (por A = 440)

2.2.2.5 El Temperamento Igual; abreviado: ET (= Equal Temperament)

Kelletat: “…y como temperamento igual.”

Si todas las quintas sean la más buenas posible, terminaras con el temperamento igual

ampliamente conocido (se dice también: temperamento proporcionalmente igual).


ET 261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9

Tabel 7 : Frecuencias por el temperamento igual

Este temperamento satisface los requisitos para ser bien temperado, pero en gran

medida a expensas de la calidad de las terceras (ver figura 3).

El temperamento igual se conoce desde hace siglos. Se informa por primera vez en

varias fuentes escritas totalmente independientes que se elaboraron casi

simultáneamente: Vincenzo Galilei 1581, Chu Tsai-Yu 1584, Simon Stevin en

Wisconstighe Gedachtenissen (1608).

El término “igual” también se puede tomar muy literalmente: todas las quintas tienen

una frecuencia de batimiento absolutamente igual, en lugar de ser proporcionalmente

iguales. Bajo esta condición uno obtiene el temperamento debajo.


Equal Beat 261,8 277,3 293,7 311,2 329,7 349,4 370,2 392,0 415,4 440,0 466,3 494,0

Tabla 8 : Frecuencia en caso de batimiento absolutamente igual en todas las quintas

El temperamento anterior habría sido primero pensado por Barthold Fritz, en 1756 [19

].

El frecuencia de batimiento en cada quinta en este temperamento está dentro de una

octava:

Frecuencia de los batimientos = -1,19357408944714… (por A = 440)

Esta frecuencia de los batimientos se puede calcular de modo exacto [20

].

2.2.3 Discusión

Figura 3: Características de impureza de Terceras y Quintas en

los "temperamentos" modelo desarrollados en el par. 2.2.2

Es fácil ver en la Figura 3 cómo los requisitos de pureza en quintas tienen una gran

influencia en la justeza de terceras diatónicos importantes.

Una pequeña mejora en quintas conduce rápidamente a una reducción en la calidad de

buenas terceras diatónicos. También la transición a un temperamento igual causa un

gran salto en la calidad de las terceras.

2.3 El Temperamento Meso-Tónico

Kelletat: … “relajación y extensión proporcional moderadamente

templada del temperamento meso-tónico,” …

El Temperamento Meso-Tónico se caracteriza por una quinta aumentada agrandada,

esto es usualmente G�-D�(÷E�), de tal manera que ocho

terceras mayoras justas ocurren (las cuerdas continuas en

fig. 4). Las cuatra terceras restantas (las cuerdas punteadas

en fig. 4), quienes por su construcción de quintas incluyen

la quinta aumentada, excedan por lo tanto la tercera

pitagórica. En un primer paso del temperameno meso-

tonicó a un temperamento bien temperado, estas terceras demasiada grandes deben al

menos atenuarse a terceras pitagóricas: las quintas en B, F�, C�, G�, E�, B� en F deben

hacerse justas para ese fin. Esto hace que seis de estas siete quintas sean iguales a los

seis quintas justas que ocurrieron durante la optimización de la "Escala Diatónica

Natural" (ver el par. 2.2.2). El requisito de una mayor optimización de los tercios

diatónicos y quintos pertinentes conduce, por lo tanto, al mismo proceso de

optimización que en el par. 2.2.2, y por lo tanto los mismos resultados.

3 Comparación de los modelos con temperamentos históricos

Los datos sobre los temperamentos históricos provienen de [3] y [

4] y [

6]; o fueron

autocalculados; por ejemplo Kirnberger III ungleich (con datos de [4] fig. 12).

La comparación con los temperamentos históricos se puede hacer por medio de

cuatro métodos de medición (PBP, cent, coma, beat). En las ecuaciones siguientes, los

modelos y temperamentos se ordenan según su pureza, medido en impureza media

cuadrática en PBP, de los intervalos relevantes de la escala diatónica en C-mayor (ver

la sección 2.2.1).

Las mediciones en Cents, coma o Beat dan resultados en los que, en

comparación con la medición de PBP, solo se producen pequeños saltos en el

clasificación obtenido.

Fig. 4: Meso-tónico

3.1 Comparación Ciega

El número total de temperamentos comparados fue alrededor de cien.

• La mayoría de los datos de origen de los temperamentos se redondearon al cent. Esta

precisión es de hecho insuficiente: Emmanuel Amiot advierte (ver [21

] par. [2.1.5]) :

“Espero que a través del proceso de cita de cadena, los valores exactos de estas

temperamentos se hayan preservado”. Para compensar algo de esto, la clasificación

se llevó a cabo, con valores límite aumentados a (81/64) x 1,002 para las terceras

pitagóricas.

• Una primera clasificación también contenía temperamentos, como Kirnberger I y II,

que no son reconocidos como bien temperados, debido a quintas demasiado

pequeñas (ver [3], capítulo sobre el temperamento de Kirnberger). Esto llevó a la

publicación de Kirnberger III en el momento. Los temperamentos con una quinta

menos que la quinta más pequeña de Kirnberger II se filtran por lo tanto. Asi la

proporción mínima permitida se convierte en 1,491. Esto también conduce a una

ampliación máxima permitida de quintas a la proporción de 1.509, debido a los

mismos batimientos que con quintas demasiada pequeñas. Los temperamentos con

tal quinta son eliminados [22

].

Discusión :

La ordenación según la pureza en C-mayor produce la siguiente lista.

Los temperamentos marcados con t o con T tienen un tercera menor (t) o mayor (T), que

es más pura que la quinta menos pura (ver también 2.2.2.2 en 2.2.2.3).

El RMS-PBP más bajo es fijo: en la primera posición de la lista con el modelo PBP,

como tenga ser como resultado de un algoritmo correcto y bueno. El RMS-PBP más

alto también esta arreglado arreglado : con el temperamento igual.

secuen

cia Temperamento

RMS

PBP

secuen

cia Temperamento

RMS

PBP

1 PBP 1,48 21 NEIDHARDT-1 2,45

2 PBP-min.th 1,54 22 LAMBERT 2,48

3 VOGEL (STADE) 1,58 T 23 WEINGARTEN 2,50

4 Kirnberger III unequal 1,80 T 24 BARCA 2,53

5 Kirnberger III 1,83 T 25 Lehman_1_6_Synth 2,60

6 Kelletat 1,84 Tt 26 MEANTONE -1/7 C 2,70

7 SIEVERS 1,86 T 27 BENDELER-II 2,71

8 PBP-maj.th 1,87 28 NEIDHARDT-2 2,71

9 STANHOPE 1,91 Tt 29 ASSELIN 2,79

10 VALLOTTI - TARTINI 2,06 30 SORGE 1744 2,82

11 Kellner 2,16 T 31 NEIDHARDT-3 2,83

12 Billeter 2,21 T 32 SORGE 1758 2,83

13 WERCKMEISTER III 2,26 33 BENDELER-III 2,87

14 BARCA - acc. DEVIE 2,28 34 WERCKMEISTER V 2,87

15 YOUNG 2,31 35 BENDELER-I 2,91

16 NEIDHARDT-4 2,31 36 MEANTONE -1/8 C 2,99

17 Lehman_1_6_Pyth 2,34 37 "GOTHEL /

NIEDERBOBRITZSCH"

3,06

18 BARNES 2,34 38 MEANTONE -1/9 C 3,25

19 YOUNG / Van BIEZEN 2,34 39 equal beat 3,47

20 MERCADIER 2,34 40 Equal temperament 3,56

Tabel 9: Impureza media cuadrática en C-mayor

Los límites para los temperamentos bien temperados son ahora conocidos :

tanto en la cabeza como en la cola de la lista, uno tiene una estrecha conexión con los

temperamentos históricos, y la lista está bien llena en pequeños pasos. Así que no tiene

sentido desarrollar más temperamentos bien temperados. El impulso de muchos de

hacer esto todavia es racionalmente difícil de entender (ver también 1.1 y [1]).

Observación: Vogel (Stade) tiene características bastante inusuales: las quintas en F� y

B� tienen una proporción mayor a 1.5 (1,504), pero están rodeados por quintas

disminuadas, asi que como resultado, esto excepcionalmente no conduce a terceras

mayores pitagóricas.

Para la mayoría de los temperamentos, estos con bajo número de secuencia

tienen las terceras más puras y las quintas menos puras, y los que tienen un alto número

de secuencia se aplica lo contrario: ver fig. 5, con la impureza RMS de la diatónica

C-mayor, y curvas separadas para quintas y terceras mayoras y menoras, trazadas de

acuerdo con clasificación en la Tabla 9. Algunos picos ocurren durante el curso

descendente de las quintas, y en el curso creciente de las terceras mayoras se produce un

aumento repentino a la derecha. Los temperamentos que corresponden tienen una

desventaja frente a su vecino inmediato, y son estos con número de secuencia 9, 27, y

33-35 y 37-40 en la tabla 9.

Fig. 5: Curso de impurezas

3.2 Curso de impureza diatónica en función de la tonalidad

El valor de RMS-PBP de las tonalidades diatónicas dentro de un temperamento

aumentará si uno se aleja de la tonalidad principal en C-mayor. La comparación

numérica y gráfica del curso de impureza de las tonalidades se detalla a continuación

para el temperamento meso tónico, el temperamento igual (ET) y el “temperamento”

temperado óptimo (WT / PBP- "temperament").

D� A� E� B� F C G D A E B F� C�

ET 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56

meso tónico 9,75 8,05 5,88 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 5,88 8,05 9,75 9,75

WT (PBP) 5,06 4,89 4,29 3,39 2,27 1,48 2,27 3,39 4,29 4,89 5,06 5,09 5,06

Tabla 10: RMS-PBP de la impureza de las tonalidades

Especialmente la figura 6 deja claro el curso de las propiedades. El temperamento meso

tónico se destaca en este:

• Sorprendente y muy buena e igual pureza con las tonalidades normalmente

aceptadas, con muchas posibilidades para cambiar la tonalidad, o más bien: el tono

• Extremadamente impuro (¿expresivo?) en las tonalidades lejanas.

Figura 6

Puede valer la pena profundizar un poco más; ver recuadro.

Comparación rudimentaria concisa del Temperamento Meso-Tónico con el

temperamento Bien Temperado Muchos libros ya están escritos sobre la comparación de temperamentos. Solo mostramos las diferencias más obvias

y acusadas aquí, como se muestra por la observación del gráfico.

1 Comparación en tono:

• Temperamentos bien temperado: estos permiten cambios de tono en pasos de semitono, mientras se mantiene

una armonía aceptable. Todas las tonalidadeses son por lo tanto posibles.

• El temperamento Meso-Tónico: tiene seis tonalidades con armonía excelente e idéntica: los tonalidades B�-, C-,

D-, F-, G-, A-mayor. Esto permite cambiar la tonalidad de estas tonalidades, muy bien dividida en una octava: la

mayoría de los pasos abrazan un tono completo (B�-C, C-D, F-G, G-A), pero una vez también medio tono

(A-B�) o un tono y medio (D-F). En otras palabras, también el tono medio ofrece muchas posibilidades para

cambiar la tonalidad -en realidad el tono- sin comprometer la armonía.

2 Afecto musical:

• Temperamentos bien temperado: Todos los temperamentos bien temperados, especialmente aquellos con un

tercera casi perfecta en C, sufren una alteración de afecto y armonía con un cambio en tonalidad. Todas las

tonalidadas tienen armonías iguales con el temperamento igual.

• El temperamento Meso-Tónico: ningún cambio en la armonía en absoluto, para las tonalidadas B�-, C-, D-, F-,

G-, A-mayor, y las tonalidadas menoras correspondientes. Cambio de armonía y afecto muy fuerte a agudo para

todas las demás tonalidadas.

Si se desea, es posible tocar musica escrita en una tonalidad lejana en un teclado meso-tónico, sin embargo

todavia con una armonía razonablemente pura. A excepción de E- y E�-mayor, es suficiente transponer esta

pieza medio tono, solo cambiando las llaves; ver la tabla a continuación. Por E- y E� mayor, la partitura debe

ser completamente reescrito.

transponer de … a … transponer de … a …

B-mayor �� B�-mayor �� A�-mayor �� A-mayor ��

F�-mayor �� F-mayor � D�-mayor �� D-mayor ��

C�-mayor �� C-mayor ninguna G�-mayor �� G-mayor �

C�-mayor �� C-mayor ninguna

E-mayor �� F-mayor � E�-mayor �� D-mayor ��

Transposición a tonalidades diatónicas normales,

Con estas transposiciónes, se debe prestar especial atención a las marcas de cambio accidentales en la

partitura Lo anterior deja en claro que la elección del temperamento y de la tonalidad es una elección artística primordial. Un

ejemplo de aclaración es suficiente:

J. S Bach

Su educación musical se basó en el meso-tónico y hasta su visita a Buxtehude (1705) solo conoció el meso-tónico:

ver [3] capítulo “Mittelton (meso-tónico)”.

Sobre la base de una elección artística deliberada, usa el meso-tónico, así como otro o cualquier (¿o su?)

temperamento bien temperado.

• “Das Wohltemperierte Klavier”: Se necesita un (¿su o cualquier?) teclado bien templado

• Pasión según San Mateo: aquí el uso de tonalidades lejanas en el meso-tónico apoya fuertemente algunos

eventos dramáticos, como por ejemplo en (ver: [4] “Mittelton und Charakteristik der Tonarten”): …"Sind Blitze,

sind Donner (hat rayos, hay truenos)" … "Eröffne den feurigen Abgrund, o Hölle (Abre el abismo ardiente, oh

infierno)" … "Der du den Tempel Gottes zerbrichts (Quien rompe el templo de Dios)" … "Laß ihn kreuzigen

(Deja que sea crucificado)" … "Ich bin's, ich sollte büßen (Soy yo, debería pagar)" …"Ach Golgotha, unselges

(infeliz) Golgotha" … "Wahrlich, dieser ist Gottes Sohn gewesen (En verdad, este era el Hijo de Dios)"

3.3 Conclusiónt

Se examinaron las características diatónicas de los temperamentos bien temperados y se

establecieron sus límites. Por lo tanto, se pueden clasificar, por ejemplo en función de

su impureza diatónica en C-mayor. Nuevos temperamentos de este tipo son ilimitados,

pero superflui.

4 Reconocemiento de temperamentos.

4.1 Metodología

Reconocer los temperamentos es útil aquí, para asegurar qué temperamentos históricos

se adaptan mejor a los temperamentos de los modelos desarrollados. El reconocimiento

de un temperamento requiere una medición en todas las notas, en lugar de solo las

notas de la escala diatónica en C-mayor, como en los párrafos anteriores.

Una comparación entre los temperamentos es posible determinando la media

cuadrática para una octava, de las diferencias de pureza por intervalo mutuo, para

todas las terceras, mayoras y menoras, y todas las quintas, de acuerdo con la fórmula a

continuación. Los promedios cuadráticos más pequeños corresponden a las mejores

similitudes.

Reconocer un temperamento se hace comparando el temperamento

desconocido con los temperamentos históricos, seguido por la selección y disposición

de los temperamentos históricos según el promedio de mínimos cuadrados.

4.2 Lista corta

Los mejores aproximaciones con los modelos de PBP se calcularon de acuerdo con la

sección 4.1 anterior, y los primeros 10 se organizan en la tabla 11 a continuación.

Los temperamentos marcados con "t" se omitieron desde la columna PBPmin.th;

ésos etiquetados con “T” fueron omitidos desde la columna PBP-maj.th, porque no

cumplen con los requisitos de pureza con respecto a las terceras en comparación con las

quintas (de acuerdo con los párrafos 2.2.2.2 y 2.2.2.3).

Temperamento RMS

∆ PBP Temperamento

RMS


RMS


RMS

∆ PBP

PBP 0,00 PBP-min.th 0,00 PBP-maj.th 0,00 Vallotti 0,00

Kirnberger III

unequal 1779 0,66 T

Kirnberger III

1779 0,43 T

Vallotti-

Tartini 1750 0,28

Vallotti-

Tartini 1750 0,00

Kirnberger III

1779 0,67 T

Kirnberger III

unequal 1779 0,47 T Young 1800 0,40

Barca acc.

Devie 1786 0,30

Kelletat 1966 0,85

Tt Sievers 1868 0,68 T

Barca acc.

Devie 1786 0,47 Young 1800 0,32

Stanhope 1806 0,88

Tt Vogel (Stade) 0,72 T Barnes 1979 0,52 Barnes 1979 0,45

Vogel (Stade) 0,93 T Vallotti-

Tartini 1750 0,77

Mercadier

1788 0,58 Lambert 1774 0,51

Sievers 1868 0,94 Kellner1976 0,82 T Lambert 1774 0,67 Mercadier

1788 0,57

Kellner1976 1,06 T Young 1800 0,85 Neidhardt-4

1732 0,71 Sievers 1868 0,58

Werckmeister

III 1681 1,08

Neidhardt-4

1732 0,86 Neidhardt-1 0,71 Asselin 1985 0,64

Neidhardt-4

1732 1,08

Werckmeister

III 1681 0,88

Werckmeister

III 1681 0,79

Weingarten

1750 0,66

Vallotti-

Tartini 1750 1.09

Mercadier

1788 0,90

Weingarten

1750 0,81 Neidhardt-1 0,70

Tabla 11: comparación entre los temperamentos históricos y los modelos desarrollados

4.3 Evaluación de los resultados

Se puede verificar que la clasificación anterior, sobre la base de criterios matemáticos

objetivos, sorprendentemente se corresponde bien con las evaluaciones musicales

generalmente prevalecientes.

De 248 órganos en los Países Bajos [23

], por ejemplo, más de dos de los tres

órganos tienen un “bien temperamento”, según Werckmeister (64), Neidhardt (60),

Young (9), Vallotti (12), Kirnberger (11); ver las cajas grisas en la tabla 11. Al ingresar

las palabras clave "famous musical temperament" en Internet, se puede establecer una

correspondencia bastante buena entre los temperamentos que se mencionan en las

páginas afectadas, y los mencionados en las columnas de la tabla 11.

Observación: se requiere una estadística más amplia, científicamente

determinada, sobre los temperamentos establecidos para la música occidental en

órganos o teclados de músicos clásicos profesionales, para poder confirmar o refutar

lo anterior más general y objetivo.

También se puede determinar gráficamente que las diferencias entre estos

temperamentos y los modelos de PBP son muy pequeñas; ver fig.7.

Fig. 7 : Impureza en PBP de terceras mayoras y quintas para

algunos temperamentos de la tabla 11

5 Conclusiones

Los temperamentos históricos se evaluaron sobre la base de la definición de Kelletat, a

partir de varios puntos de ataque formulados por él. En base a los hallazgos y análisis

matemáticos en este texto, se espera que las siguientes conclusiones puedan ser

aceptadas :

5.1 Conclusion principal :

UENOS TEMPERAMENTOS, SON TEMPERAMENTOS DE LOS CUALES LA

ESCALA DIATÓNICA EN C-MAYOR TIENE UN IMPUREZA QUE SE

ENCUENTRA ENTRE UN ABSOLUTO Y ESPECÍFICO MÍNIMO ÓPTIMO Y UN MÁXIMO

QUE CORRESPONDE A LA DEL TEMPERAMENTO IGUAL, DONDE LOS TERCERAS

MAYORAS NO PUEDEN SER MAYORAS DE TERCERAS PITÁGORICAS, Y DENTRO DE

LOS CUALES LAS QUINTAS TENGAN UNA PROPORCIÓN ENTRE 1.491 Y 1.509.

5.2 Conclusiones auxiliaras :

• Se determinaron los modelos y temperamentos óptimos, y sus características: los

siguientes valores extremos se aplican a la impureza diatónica de C-mayor:

• PBP : min. 1.48 %, y max. 3.56 %.

• Generalmente, la apreciación musical prevaleciente de los temperamentos

históricos, y la disposición matemática objetiva obtenida, concuerdan bien

• Nuevos intentos de desarrollar nuevos temperamentos bien temperados no tienen

sentido.

• El reconocimiento objetivo preciso del temperamento establecido en un

instrumento es posible por medio de los módulos de cálculo utilizados

• La forma en que los músicos, basados únicamente en su audición, fueron

capaces de desarrollar temperamentos que están tan estrechamente alineados con

los modelos óptimos desarrollados, obliga a una mayor apreciación y respeto.

Esta optimización de los intervalos, sin poderosos medios de cálculo, en un

pasado distante, muestra el enorme refinamiento de los sentidos humanos en

general, en particular de la audición musicalmente entrenada, y el enorme poder

de procesamiento intuitivo de nuestro cerebro.

B

Dedicación : Este texto está dedicado a músicos clásicos y sintonizadores de música,

como un tributo a su musicalidad y audición refinada.

Noviembre 2017

Johan Broekaert

1 El 12 de noviembre de 2013 fue posible consultar un archivo con más de 500 temperamentos,

en la página de Internet: http://www.dolmetsch.com/musictheory27.htm

2 Barbour James: “Tuning and Temperament: A Historical Survey”. Michigan State College

Press. 1951

3 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 1. Johann Sebastian Bach

und seine Zeit, 1981, ISBN 3-87537-156-9

Pag. 9:“Wohltemperierung heißt mathematisch-akustische und praktisch-musikalischen

Einrichtung von Tonmaterial innerhalb der zwölfstufigen Oktavskala zum einwandfreien

Gebrauch in allen Tonarten auf der Grundlage des natürlich-harmonischen Systems mit

Bestreben möglichster Reinerhaltung der diatonische Intervalle. Sie tritt auf als

proportionsgebundene, sparsam temperierende Lockerung und Dehnung des mitteltönigen

Systems, als ungleichschwebende Semitonik und als gleichschwebende Temperatur.”

(Orgelprobe, 1681).

4 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 2. Wiener Klassik, 1982,

ISBN 3-87537-187-9

5 Kelletat Herbert, professor; “Zur musikalischen Temperatur”. Band 3. Franz Schubert, 1994,

ISBN 3-87573-239-5

6 De Bie Jos: “Stemtoon & Stemmingsstelsels”, 4-de uitgave, 2001 (Private edition)

7 Kellner Anton, Darmstadt: “Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann

Sebastian Bach”, Das Musikinstrument, Heft 1/77

8 Lehman B.: “Bach’s extraordinary temperament: our Rosetta Stone”, “Early Music”, 2005,

Vol. XXXIII, No. 1, p. 3-23, No.2, p. 211-231. Oxford University Press.

9 See http://www-personal.umich.edu/~bpl/larips/bachtemps.html3 on oct. 30-th 2013. Los

temperamentos mencionados son: Kelletat, Kellner, Barnes, Billeter, Lindley, Sparschuh,

Jira, Zapf, Lehman, Francis, Jencka, Jobin, Maunder, Mobbs/MacKenzie, Lucktenberg,

Interbartolo, Lindley/Ortgies, O'Donnell, Spanyi's Kirnberger II, Williams (retune the

instrument per composition), Di Veroli. Sorprendentemente, Kirnberger III y Kirnberger

III ungleich no se mencionan en la lista.

10 Johan Norback: “A Passable and Good Temperament; A New Methodology for Studying

Tuning and Temperament in Organ Music”. Studies from the Department of Musicology,

Göteborg University, no. 70, 2002, ISBN 91 85974-66-8, ISSN 1650-9285, Facsimilé: ver

pag. 18. Quote: ver pag. 25, 26.

11 Werckmeister A.: 1686, Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus. Frankfurt, Leipzig. In

Verlegung Theodori Philippi Calvisii, Merseburg, Gedruckt bei Christian Gottschich / F.S.

Hoff-Buchdr. Im Jahr 1686.

Copias facsímiles de esta publicación se pueden encontrar en Internet. Entre otros, en el

sitio: http://digitale.bibliothek.uni-halle.de/vd17/content/titleinfo/5174512

12 Werckmeister A. 1691, Musicalische Temperatur, Oder deutlicher und warer Mathematischer

Unterricht, Wie man durch Anweisung des MONOCHORDI, Ein Klavier, sonderlich die

Orgel-Wercke, Positive, Regale, Spinette, und dergleichen wol temperirt stimen könne,

damit man nach heutiger manier alle Modi ficti in einer angenehm- und erträglichen

Harmonia mögen genommen werden. Frankfurt und Leipzig. In Verlegung Theodori

Philippi Calvisii, Buch-Händler in Quedlingburg, ANNO 1691.


sitio: https://imslp.nl/imglnks/usimg/2/2e/IMSLP75012-PMLP150508-

Werckmeister_musicalische_temperatur.pdf

13 Werckmeister A.: Orgelprobe, 1681; Extended and Improved publication in 1698:

Quedlingburg, In Verlegung Theodori Philippi Calvisii, Buch-Händler daselbst, Gedruckt

bei Joh. Heinrich Sievert, J. S. Hoff: Buchdr, ANNO 1698.


sitio: https://imslp.nl/imglnks/usimg/9/9d/IMSLP75013-PMLP150511-

Werckmeister_Erweiterte_Und_verbesserte_Orgel-Probe.pdf

No se encontró una copia facsímil de 1681 en internet.

14 Esta coma equivale a 23.5 cent. También hay mucho trabajo con la coma sintónica, igual a

81/80 (21.5 cent). Además, hay muchos otros microintervalos, como el cisma, el diesis,

etc... todos los cuales indican una impureza específica de un intervalo.

15 Hall Donald: “The Objective Measurement of Goodness-of-Fit for Tunings and

Temperaments”. Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 2 (Autumn 1973), pp. 274-290.

16 RMS: “RMS” representa “Root Mean Square”. Esta es la raíz del promedio de la suma de los

cuadrados de los números; un cálculo en una colección de números que se aplica con

frecuencia en estadística y ciencia. Esta abreviatura se usa casi universalmente en todos los

idiomas. En Castellano: “Valor media cuadrática”.

17 Dolata David, 2016: “Meantone Temperaments on Lutes and Viols”, Indiana University

Press, ISBN 978-0-253-02146-5, zie pag. 117: Vallotti habría preparado su temperamento

en 1728, fue publicado en 1754 por Tartini.

18 Las ecuaciones son: (A = 440)

1. Beat + 3C - 2G = 0

2. 3C� - 2G� = 0

3. Beat + 3D = 2A

4. 3E� - 2B� = 0

5. Beat + 3E - 2B = 0

6. Beat - 4C + 3F = 0

7. - 4C� + 3F� = 0

8. Beat - 4D + 3G = 0

9. - 4E� + 3G� = 0

10. Beat - 4E = 3A

11. - 4F + 3B� = 0

12. - 4F� + 3B = 0

Asi que: Beat = 440 (219

-312

) / (7×310

+ 33×2

13 + 23×2

15) = -2.267209627…

19 De acuerdo con la información recibida el 02/09/2013 de Willem Kroesbergen, constructor de

clavicordio, Holanda.

20 Las ecuaciones son: (A = 440)

1. Beat + 3C - 2G = 0

2. Beat + 3C� - 2G� = 0

3. Beat + 3D = 2A

4. Beat + 3E� - 2B� = 0

5. Beat + 3E - 2B = 0

6. Beat - 4C + 3F = 0

7. Beat - 4C� + 3F� = 0

8. Beat - 4D + 3G = 0

9. Beat - 4E� + 3G# = 0

10. Beat - 4E = 3A

11. Beat - 4F + 3Bb = 0

12. Beat - 4F� +3B = 0

Asi que: Beat = 440×(219

- 312

) / (119×38 + 2

7×3

6×5 + 2

10×3

4×5 + 2

13×3×29 + 2

18)

= -1,19357408944714…

21 Emmanuel Amiot: Discrete Fourier Transform and Bach’s Good Temperament. Society for

Music Theory; Music Theory Online, Volume 15, Number 2, June 2009.

“[2.1.5] I hope that through the process of chain-quotation, the exact values of these

tunings have been preserved. ...”

22 Los temperamentos filtrados son: Kirnberger I and II, Werckmeister VI, Von Wiese II,

Agricola, Ramis de Pareja, Schiassi.

23 Cifras obtenidas a través de una extracción de la base de datos en línea de Huygens-Fokker

Foundation, Holanda. http://www.huygens-fokker.org/docs/orgeltemp.html

Bien Temperado, según definición de...

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